第 08 讲 整式的乘法（十二大题型）
学习目标
1、会进行单项式的乘法,单项式与整式的乘法,整式的乘
法计算
2、会利用整式的乘法求字母或代数式的值；
3、整式乘法的应用
一、单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连
同它们的指数作为积的一个因式.
【方法规律】
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理
数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指
数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
二、单项式与整式相乘的运算法则
单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.
即m(a + b + c) = ma + mb + mc .
【方法规律】
（1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
三、整式与整式相乘的运算法则
整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加 .即
a + b m + n = am + an + bm + bn .
【方法规律】整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之
积.
整 式 与 整 式 相 乘 的 最 后 结 果 需 化 简 ， 有 同 类 项 的 要 合 并 . 特 殊 的 二 项 式 相 乘 ：
x + a x + b = x2 + a + b x + ab .
【即学即练 1】计算：
(1) ab 2b3
(2) a2 2a2 - ab
(3) m + 3 m -1
(4) 2x + y 2x - y
【即学即练 2】计算：
1
(1) x2 × 2x +1 ；
2
2
(2) a
2b - 3ab2
3 ÷
×3ab；
è
5 xy 2 4 (3) - × xy
2 - 2xy + y
2 ÷ ÷
；
è è 3 3
(4)3x × 2x2 - x +1 - x × 2x - 3 - 4 1- x2 ．
【即学即练 3】先化简，再求值：
(1) m n - 4 - n m - 6 ，其中 2m - 3n = -4；
(2) x2 3- x + x x2 - 2x +1，其中 x = 3．
题型 1：单项式乘以单项式
【典例 1】．计算：
1
(1) - a2 × -6ab ；
3
2
(2)3x2 y2 × -2xy2z ；
2
(3)3a2 × a4 - a3 + 2a6 ．
【典例 2】．计算：
(1) -2a2b3 × -6ab ．
(2) 2-2x2 × -3x2 y2 ．
(3) 2-2xy2 × -3xyn × -x2z ．
3 1
(4) -6a2b × x - y × ab2 × y - x 2 ．
3
题型 2：利用单项式的乘法求字母或代数式的值
2 1
2
【典例 3】．先化简，再求值： -2a2b3 × -ab2 + 2 3 - a b ÷ ×4b，其中 a = 2，b =1．
è 2
【典例 4】．若 (-5am+1b2n-1)(2anbm )＝－10 a4b4，则 m－n 等于（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【典例 5】．若（am＋1bn＋2） （a2n-1b2m）＝a5b3，则 m＋n 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．﹣3
题型 3：计算单项式乘以整式
1
【典例 6】．（1）计算：- x × -2x2 + 4 ；2
（2）计算： 4xy × -3y + 2y 6xy + 2 ；
2
1
（3）计算： - a
2b 2
2 ÷ 4a - b ；è
（4 2）计算： x x -1 - x x2 - x -1 ．
【典例 7】．计算：
(1) 5mn2 - 4m2n -2mn ；
(2) (-2a)2 × 3a2 - a -1 ；
(3) (-3xy)2
3 8
- xy2 xy - 2x
÷．2 è 3
【典例 8】．计算下列各式：
(1) -3y 4x2 y - 2xy ；
(2) -3ab × -2ab2 + ab - 2 ；
1 2 1 1
(3) - x2 y × y
2 - x +
2 è 3 3 4 ÷
；
2
(4)3a2 a3b2 - 2a - 4a -a2b ；
(5) 2a2 × 3a2 - 5b ；
2 2 1(6) ab - 2ab÷ × ab ．
è 3 2
题型 4：计算单项式乘以整式的求值问题
【典例 9】．化简求值： 2x x - 5y - 3y 2y - 3x 3，其中 x = ， y = -1．
2
2 2
【典例 10】．先化简，再求值： x x + 3 - x x + 2x -1 ，其中 x2 + x = 2．
2
【典例 11】．若 x + ax = x x + 4 ，则 a 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【典例 12】．已知 x x - a + b x + a = x2 + 5x - 6，当 x 为任意数时该等式都成立，则 a b -1 + b a +1 的值
为（ ）
A．17 B． -7 C． -1 D．-17
题型 5：利用单项式乘以整式求字母的值
【典例 13】．若计算 (3x2 + 2ax +1) × (-3x) - 4x2 的结果中不含有 x2 项，则 a 的值为（ ）
2 3
A．- B．0 C．2 D．-
3 2
2
【典例 14】．如果 2nx +3x +mx3 -4x2 的结果中不含 x 的五次项，那么 m 的值为（ ）
1
A．1 B．0 C．-1 D．-
4
2 2
【典例 15】．计算：-5xy 2y + x -8 = -10xy - 5x y □，□内应填写（ ）
A．－10xy B．-5x2y C．＋40 D．＋40xy
题型 6：单项式乘以整式的综合应用
【典例 16】．某同学在计算﹣3x2乘一个整式时错误的计算成了加法，得到的答案是 x2﹣x+1，由此可以推
断该整式是（ ）
A．4x2﹣x+1 B．x2﹣x+1 C．﹣2x2﹣x+1 D．无法确定
【典例 17】．一个长方体的长、宽、高分别为 2a2、3a 、3a + 2，它的体积等于（ ）
A．18a4 +12a3 B．18a6 + 6a3 C．36a4 D．6a3 +18a4
【典例 18】．如图，两正方形并排在一起，左边大正方形边长为 a右边小正方形边长为b ，则图中阴影部分
的面积可表示为（ ）．
1 1 1
A． a2 + b2 - ab B． a2 + b2 - ab2 2 2
1 1 1
C 2 2． a + b - ab D a2 + b2． - ab
2 2 2
【典例 19】．8 张如图 1 的长为 a，宽为b （ a > b）的小长方形纸片，按图 2 的方式不重叠地放在矩形 ABCD
内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，如果左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，则 a,b
满足（ ）
A． a = 2b B． a = 3b C． a = 4b D． a = 5b
题型 7：计算整式乘以整式及求值问题
【典例 20】．计算下列各式：
(1) 3x - 2y 6x - 4y ；
(2) a + b 3a - 2b - b a - b ；
(3) y + 2 y - 2 - y -1 y + 5 ；
(4) a - b a2 + ab + b2 ．
【典例 21】．计算：
(1) 3a + 2 4a -1 ；
(2) 3m - 2n + 2 3m + 2n + 2 ；
(3) y - 2 y2 + 2y + 4 - y2 +1 y -1 ．
【典例 22】．化简求值： (x -1)(x2 - 3x + 2) - x(x -1)(x - 3) ，其中 x =1．
【典例 23 2】．已知代数式 ax - 3 2x + 4 - x - b化简后，不含有 x2 项和常数项．
(1)求 a，b 的值．
(2)求 b - a -a - b + -a - b 2 - a 2a + b 的值．
题型 8：（x+p）（x+q）型整式乘法
【典例 24】．若 (x - 3)(x + 5) = x2 + ax + b ，则 a为（ ）
A．8 B．2 C．-2 D．-15
2
【典例 25】． x + 8 x - 4 = x + mx + n，则m ， n的值为（ ）.
A． 4，32 B． 4，-32 C．-4，32 D．-4，-32
【典例 26】．【阅读材料】代数式大小的比较
我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知 M = 2x + 3， N = 2x +1，比较 M 和 N 的大小．先求M - N ，
若M - N > 0，则M > N ；若M - N < 0，则M < N ；若M - N = 0，则M = N ，反之亦成立．本题中因为
M - N = 2x + 3- 2x +1 = 2 > 0，所以M > N ．
【解决问题】若M = x - 3 x - 4 ， N = x -1 x - 6 ，则M 与 N 的大小关系为（ ）
A．M > N B．M = N C．M < N D．由 x 的取值而定
题型 9：整式乘法不含某项求字母的值
【典例 27 2】．若关于 x 的整式 x + ax + 2 2x - 4 展开合并后不含 x2 项,则 a的值是（ ）
A． 0 B 1． 2 C． 2 D．-2
【典例 28】．（1）若 (x2 + mx + n)(x2 - 3x +1)的展开式中不含 x2 和 x3项，求 m、n 的值．
（2）求 (m + n)(m2 - mn + n2 )的值．
题型 10：图形问题
【典例 29】．如图所示，根据图形，写出一个正确的等式： ．
【典例 30】．如图：已知长方形纸片 ABCD长为3a +1，宽为b + 3，裁去一个长为 2a +1，宽为b +1的长方
形 AEFG ，则剩余部分面积为 ．
【典例 31】．用如图所示的A ， B ，C 类卡片若干张，拼成一个长为3a + 2b，宽为 a + b 的长方形，则A ，
B ，C 类卡片一共需要 张．
题型 11：整式的乘法综合
【典例 32】．计算：
-1
(1) 1 ÷ + p - 3.14
0 - -1 2024 ；
è 2
(2) -2xy 2 ×8x4 y2 -16x2 y ；
(3) a - b a2 + ab + b2 ；
(4) x + 3y - 2 x - 3y - 2 ．
【典例 33】．计算：
3
1
（1） - x2
2
y
÷ × -2xy22 è
2 2 2 3
（2） - a b × - ab - 3a
è 3 ÷ ÷ è 2
（3） (x + y) × (x - 2y) - 3y2
2
（4） a + 3 × (a - 2) - a a2 - 2a - 2
【典例 34】．如图，在一块长方形土地上修建两个如图所示的四分之一圆水池，其余面积（阴影部分）进
行绿化处理，两个四分之一圆的半径分别为 a、b ．
(1)用含 a，b 的代数式表示长方形的长；
(2)用含 a，b 的代数式表示绿化土地（阴影部分）的面积S ；
(3)当 a = 3m，b = 5m时，求绿化土地（阴影部分）的面积S ．
【典例 35】．在日历牌上，我们可以发现一些日期数满足一定的规律．如图是今年 4 月的日历牌，若任意
选择图中上下相邻的四个日期（阴影部分），将其中四个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：
3 9 - 2 10 = 7,6 12 - 5 13 = 7，不难发现，结果都是 7
（1）请再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律．
（2）设符合条件的四个日期左上角位置上的数为 a，请利用整式的运算对以上的规律加以证明．
题型 12：材料、规律题
【典例 36】．观察以下等式：
x +1 x2 - x +1 = x3 +1
x + 3 x2 - 3x + 9 = x3 + 33
x + 6 x2 - 6x + 36 = x3 + 63
(1)按以上等式的规律，填空：
① x + 8 x2 -8x + 64 = ______．
② a + b a2 - ab+b2 = ______．
(2)利用整式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立．
(3)利用（1）中的公式化简；
x + y x2 - xy + y2 - x + 4y x2 - 4xy +16y2
【典例 37】．阅读∶
x -1 (xn + xn-1 n-2在计算 + x +… + x +1) 的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一
般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一
般．如下所示：
[观察]① x -1 x +1 = x2 -1；
② x -1 (x2 + x +1) = x3 -1；
③ x -1 (x3 + x2 + x +1) = x4 -1；
……
(1)[归纳]由此可得∶
x -1 (xn + xn-1 + xn-2 +．．．+ x +1) =
(2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题：
计算∶ 22024 + 22023 + 22022 + 22021 +… + 2 +1 =
(3)计算∶ 220 - 219 + 218 - 217 +… - 23 + 22 - 2 +1
1
【典例 38 】．在学习整式乘以整式时，我们知道 x + 4÷ 2x + 5 3x - 6 的结果是一个整式，并且最高次项
è 2
1
为： x ×2x ×3x = 3x3，常数项为 4 5 -6 = -120．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一
2
1
次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是 5 -6 + 2 4 -6 + 3 4 5 = -3，即一次项为
2
－3x．
请参考上面的方法，解决下列问题：
(1)计算 x +1 3x + 2 5x - 3 所得整式的一次项系数为______；
(2) x2 + x + 5 7x2如果计算 - 2x + a 3x -1 所得整式不含一次项，则常数 a 的值是______；
(3) 2024如果 x +1 = a x2024 + a x2023 + a 20220 1 2x +L+ a2023x + a2024 ，则 a2023 的值是______．
一、单选题
1 3．计算 a × -2a 的结果是（ ）
A．-2a2 B．-2a 4 C． 2a2 D． 2a4
2．计算 -3x × 2x2 - 5x -1 的结果是（ ）
A．-6x2 -15x2 - 3x B．-6x3 +15x2 + 3x
C．-6x3 +15x2 D．-6x3 +15x2 -1
3．下列各式中，计算结果是 x2 + 7x -18的是（ ）
A． x - 2 x + 9 B． x + 2 x + 9 C． x - 3 x + 6 D． x -1 x +18
4．李老师做了个长方形教具，其中一边长为a + 2b，另一边长为 b，则该长方形的面积为（ ）
A． a + 3b B． 2a + 6b
C． ab + 2b D． ab + 2b2
5．已知 x -1 x - 2 = x2 + mx + n ，则 nm 的值为（ ）
1 1
A． B． C．-8 D．9
9 8
6．已知 x(x + 3) = 2022，则代数式 2(x + 4)(x -1) - 2012的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
7．通过计算，比较图 1，图 2 中阴影部分的面积，可以验证的算式是（ ）
A． a(b - x) = ab - ax B． (a - x)(b - x) = ab - ax - bx + x2
C． (a - x)(b - x) = ab - ax - bx D．b(a - x) = ab - bx
8．若M = y y + 5 ， N = y -1 y + 6 ，则 M 与 N 的大小关系是（ ）
A．M < N B．M = N C．M > N D．M 与 N 的大小由 y 的取值而定
9．已知整式M = x2 - 3ax + 6， N = x + 3，且MN = A，当整式 A 中不含 x 的 2 次项时，a 的值为（ ）
1
A． -1 B．- C．0 D．1
3
10．设实数满足 x3 = -2x +1，若 x7 = ax2 + bx + c ，则 a - 2b + c 的值为（ ）
A．-14 B．14 C．-6 D．6
二、填空题
11．计算： 32a2 × -6a2 ×b4 = ．
2 3-4an-1b (-3a) = (-3x) × - x2 y × - xy2 12．（1） ；（2） ÷ ÷ = ；
è 3 è 4
（3） -2a4 3 3 3 2 13ab = 4 3 102；（ ） 103 ÷ = ；
è 3
（5） -x2 ym 2 (xy)3 = ；（6） -a3 - a3 2 2- a3 4a4 = ．
13．已知 x2 + 2x = -8，则代数式3+ x x + 2 的值为 ．
14．如图中的大长方形，分割成四个小长方形，计算其面积可发现公式： ．
15．在数学课上，小明计算 x + 2 (x -■) 时，已正确得出结果，但课后不小心将第二个括号中的常数染黑
了，若结果中不含有一次项，则被染黑的常数为 ．
16 2 2．已知 x - ax + bx + 2 2x2 - 3x + 5 的展开式中不含三次项和四次项，则展开式中二次项和一次项的系
数之和为 ．
17．如图，正方形卡片A 类， B 类和长方形卡片C 类若干张，如果要拼一个长为 a + 2b ，宽为 a + b 的大
长方形，则需要C 类卡片 张．
18．观察以下等式：
(x -1)(x +1) = x2 -1， (x -1) x2 + x +1 = x3 -1 3 2， (x -1) x + x + x +1 = x4 -1……根据你所发现规律，计算：
22022 + 22021 + 22020 +L+ 23 + 22 + 2 +1 = ．
三、解答题
3 3 3 219．（1）5ab × - a b÷ ×
- ab
4c ÷； （2） é4(a - b)m-1 ù é -3(a - b)
2m ù ．
è 4 è 3
20．计算：
1 4a - b2（ ） (-2b)；
（2）2x2 x
1
- 2 ÷
；
è
（3）5ab(2a - b + 0.2)；
2a2 2 4（4） - a -
÷ (-9a)．
è 3 9
21．计算：
（1） (x - 6)(x - 3) ；
2
1 1
（ ） x + ÷ x - ÷；
è 2 è 3
（3） (3x + 2)(x + 2)；
（4） (4 y -1)(5 - y) ；
（5） (x - 2) x2 + 4 ；
（6） (x - y) x2 + xy + y2 ．
22．某中学扩建教学楼，测量地基时，量得地基长为 2am宽为 2a - 24 m，试用 a表示地基的面积，并计算
当 a = 25时地基的面积．
23．甲、乙两人共同计算一道整式： x + a 2x + b ，由于甲抄错了 a 的符号，得到的结果是 2x2 - 7x + 3，
乙漏抄了第二个整式中 x 的系数，得到的结果是 x2 + 2x - 3．
(1)求 -2a+b a+b 的值；
(2)若整式中的 a 的符号不抄错，且 a = 3，请计算这道题的正确结果．
24．计算：
（1） (x + 2)(x + 3)；
（2） (x - 4)(x +1) ；
（3） ( y + 4)( y - 2) ；
（4） ( y - 5)( y - 3) ．
由上面计算的结果找规律，观察右图，填空：
(x + p)(x + q) = ( )2 + ( )x + ( ) ．
25．长方形的长为 a厘米，宽为b 厘米，其中 a > b，如果将原长方形的长和宽各增加 3 厘米，得到的新长方
形面积记为 S1，如果将原长方形的长和宽分别减少 2 厘米，得到的新长方形面积记为 S2 ．
（1）若 a、b 为正整数，请说明： S1与 S2 的差一定是 5 的倍数；
（2）如果 S1 = 2S2，求将原长方形的长和宽分别减少 7 厘米后得到的新长方形面积．
26．阅读理解：
（1）计算后填空： x +1 x + 2 = ______； x + 3 x -1 = ______；
（2）归纳、猜想后填空：
x + a x + b = x2 + x + ；
（3）运用 2 的猜想结论，直接写出计算结果：
x + 2 x + m = ______.
27．方法探究：同学们在学习数学过程中，遇到难题可以考虑从简单到特殊的情况入手，例如：求
x -1 x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x +1 的值．分别计算下列各式的值：
(1)填空：
x -1 x +1 = ；
x -1 x2 + x +1 = ；
x -1 x3 + x2 + x +1 = ；
9 8 7 6
由此可得 x -1 x + x + x + x + x5 + x4 + x3 + x2 + x +1 = ；
(2)计算：1+ 2 + 22 + 23 +L+ 22020 + 22021 = ；
(3)根据以上结论，计算：5 + 52 + 53 +L+ 52020 + 52021
28．如图 1，把边长为b 的正方形放在长方形 ABCD中，其中正方形的两条边分别在 AD ，CD 上，已知
AB = a a < 2b ，BC = 4a ．
(1)请用含 a、b 的代数式表示阴影部分的面积： S阴 = ；
7
(2)将另一长方形 BEFG 放入图 1 中得到图 2，已知BE = a，BG = b；
2
①请用含 a、b 的代数式表示长方形 AGPH 的面积： S长方形AGPH = ；请用含 a、b 的代数式表示长方形ECNM
面积： S长方形ECNM = ；
②若长方形PQMF 的周长为 6，求阴影部分的面积（用含b 的代数式表示）．
29．阅读以下材料，回答下列问题：
小明遇到这样一个问题：求计算 x + 2 2x + 3 3x + 4 所得整式的一次项系数．小明想通过计算
x + 2 2x + 3 3x + 4 所得的整式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方
法．
他决定从简单情况开始，先找 x + 2 2x + 3 所得整式中的一次项系数．通过观察发现：
也就是说，只需用 x + 2 中的一次项系数 1 乘以 2x + 3中的常数项 3，再用 x + 2 中的常数项 2 乘以 2x + 3中的
一次项系数 2，两个积相加1 3 + 2 2 = 7 ，即可得到一次项系数．
延续．上面的方法，求计算 x + 2 2x + 3 3x + 4 所得整式的一次项系数．可以先用 x + 2 的一次项系数 1，
2x + 3的常数项 3，3x + 4的常数项 4，相乘得到 12；再用 2x + 3的一次项系数 2， x + 2 的常数项 2，3x + 4
的常数项 4，相乘得到 16；然后用3x + 4的一次项系数 3， x + 2 的常数项 2， 2x + 3的常数项 3，相乘得到
18，最后将 12，16，18 相加，得到的一次项系数为 46．
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
(1)计算 2x+1 3x+2 所得整式的一次项系数为______．
(2)计算 x+1 3x+2 4x-3 所得整式的一次项系数为______．
(3)若计算 x2 - x +1 x2 - 3x + a 2x -1 所得整式的一次项系数为 0，则a = ______．
(4) 5计算 x +1 所得整式的一次项系数为______，二次项系数为______．
(5)计算 2x -1 5所得整式的一次项系数为______，二次项系数为______．
30．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图 1 所示的三种纸片，A 种纸片是边长为 a 的正方形，B 种纸片是边长
为 b 的正方形，C 种纸片是长为 b，宽为 a 的长方形，并用 A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼
成了如图 2 所示的大正方形．
(1)① 2观察图 2，请你写出代数式 a + b ， a2 + b2 ， ab之间的等量关系式______．
②图 3 是由图 1 提供的几何图形拼接而得，可以得到 a + b 3a + b = ______．
(2)请利用图 1 所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为 2a + b a + 2b ，（在图 4 的方框内进
行作图），进而可以得到等式：______；
1
(3)利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若 4a2 +10ab + 4b2 = 5， a + 2b = ，求 2a + b 的值．2第 08 讲 整式的乘法（十二大题型）
学习目标
1、会进行单项式的乘法,单项式与整式的乘法,整式的乘
法计算
2、会利用整式的乘法求字母或代数式的值；
3、整式乘法的应用
一、单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连
同它们的指数作为积的一个因式.
【方法规律】
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理
数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指
数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
二、单项式与整式相乘的运算法则
单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.
即m(a + b + c) = ma + mb + mc .
【方法规律】
（1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
三、整式与整式相乘的运算法则
整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加 .即
a + b m + n = am + an + bm + bn .
【方法规律】整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之
积.
整 式 与 整 式 相 乘 的 最 后 结 果 需 化 简 ， 有 同 类 项 的 要 合 并 . 特 殊 的 二 项 式 相 乘 ：
x + a x + b = x2 + a + b x + ab .
【即学即练 1】计算：
(1) ab 2b3
(2) a2 2a2 - ab
(3) m + 3 m -1
(4) 2x + y 2x - y
【答案】(1) 2ab4
(2) 2a4 - a3b
(3) m2 + 2m - 3
(4) 4x2 y2
【分析】本题考查整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，
（1）利用单项式乘单项式法则计算即可；
（2）利用单项式乘多项式法则计算即可；
（3）根据多项式乘多项式计算即可；
（4）根据多项式乘多项式计算即可；
【解析】（1） ab 2b3 = 2ab4 ；
2 a2 2a2（ ） - ab
= a2 2a2 - a2 ab
= 2a4 - a3b ；
（3） m + 3 m -1
= m m - m 1+ 3m - 3 1
= m2 + 2m - 3；
（4） 2x + y 2x - y
= 2x 2x - 2x y + y 2x - y y
= 4x2 - y2 ．
【即学即练 2】计算：
1
(1) x2 × 2x +1 ；
2
2
(2) a2b - 3ab2 ×3ab；
è 3 ÷
5 xy 2(3) - ÷ ×
xy
2 - 2xy 4+ y ÷；
è 2 è 3 3
(4) 3x × 2x2 - x +1 - x × 2x - 3 - 4 1- x2 ．
(1) x3
1
【答案】 + x2
2
(2) 2a3b2 - 9a2b3
5
(3) - x2 y3 + 5x2 y2
10
- xy2
3 3
(4) 6x3 - x2 + 6x - 4
【分析】本题考查了整式的混合运算，单项式乘多项式，熟练掌握相关的运算法则是解题关键．
（1）根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可；
（2）根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可；
（3）根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可；
（4）根据单项式乘多项式的运算法则进行运算，再合并同类项即可．
1
【解析】（1 2）解： x × 2x +1
2
1 x2 1= ×2x + x2
2 2
x3 1= + x2 ；
2
2
2 2（ ） a b - 3ab
2
÷ ×3ab
è 3
2
= a2b ×3ab - 3ab2 ×3ab
3
= 2a3b2 - 9a2b3 ；
5 2
3 - xy × xy2（ ） ÷ - 2xy
4
+ y
è 2 ÷ è 3 3
5 xy 2 5 5 4= - × xy2 + xy ×2xy - xy × y
2 3 2 2 3
5
= - x2 y3 + 5x2 y2 10- xy2；
3 3
（4）3x × 2x2 - x +1 - x × 2x - 3 - 4 1- x2
= 6x3 - 3x2 + 3x - 2x2 - 3x - 4 + 4x2
= 6x3 - 3x2 + 3x - 2x2 + 3x - 4 + 4x2
= 6x3 - x2 + 6x - 4．
【即学即练 3】先化简，再求值：
(1) m n - 4 - n m - 6 ，其中 2m - 3n = -4；
(2) x2 3- x + x x2 - 2x +1，其中 x = 3．
【答案】(1) -4m + 6n，8
(2) x2 +1，10
【分析】本题考查了整式的化简求值．细心运算是解题关键．
（1）直接利用单项式乘多项式乘法法则去括号，进而合并同类项，再将 2m - 3n = -4变形为-2(2m - 3n) = 8
即可求出答案；
（2）直接利用单项式乘多项式乘法法则去括号，进而合并同类项，再将已知数据代入求出答案．
【解析】（1）解：m n - 4 - n m - 6
= mn - 4m - mn + 6n
= -4m + 6n ，
∵ 2m - 3n = -4，
∴ -2(2m - 3n) = 8，
即原式= -4m + 6n = 8；
（2 2） x 3- x + x x2 - 2x +1
= 3x2 - x3 + x3 - 2x2 +1
= x2 +1，
把 x = 3代入得：原式= 32 +1 = 10．
题型 1：单项式乘以单项式
【典例 1】．计算：
1
(1) - a2 × -6ab ；
3
(2)3x2 y2
2
× -2xy2z ；
(3)3a2
2
× a4 - a3 + 2a6 ．
【答案】(1) 2a3b
(2)12x4 y6z2
(3) 4a6
【分析】（1）利用单项式乘以单项式的计算法则直接计算即可；
（2）先根据幂的乘方与积的乘方的运算法则计算，再利用单项式乘以单项式的计算法则计算即可；
（3）先计算幂的乘方与单项式乘单项式，再合并同类项即可．
1
【解析】（1 2）解：- a × -6ab
3
1
= - -6 a2+1b
3
= 2a3b；
2
（2）解：3x2 y2 × -2xy2z
= 3x2 y2 × 4x2 y4z2
=12x4 y6z2 ；
2
（3）解：3a2 × a4 - a3 + 2a6
= 3a6 - a6 + 2a6
= 4a6 ．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式、幂的乘方、积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解
题的关键．
【典例 2】．计算：
(1) -2a2b3 × -6ab ．
(2) 2-2x2 × -3x2 y2 ．
2
(3) -2xy2 × -3xyn × -x2z ．
(4) -6a2b × x 1- y 3 × ab2 × y - x 2 ．
3
【答案】(1)12a3b4
(2) -18x6 y4
(3)12x5 y4+n z
(4) -2a3b3 x - y 5
【分析】（1）直接根据单项式乘以单项式法则计算即可；
（2）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可；
（3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可；
（4）利用整体法及单项式的乘法计算即可．
【解析】（1） -2a2b3 × -6ab
= é -2 -6 ù × a2 × a × b3 ×b
=12a3b4 ．
（2） -2x2 × -3x2 y2 2
= -2x2 ×9x4 y4
= é -2 9 2 4 4 ù x × x y
= -18x6 y4 ．
（3） -2xy2 2 × -3xyn × -x2z
= 4x2 y4 × -3xyn × -x2z
= é4 -3 -1 ù × x2 × x × x2 × y4 × yn × z
=12x5 y4+n z ．
2
（4）-6a b × x - y 3 1× ab2 × y - x 2
3
1 2
= -6a2b × x - y 3 × ab2 × é - x - y ù3
1
= -6 ÷ × a2 × a × b ×b2 × é x - y
3 × x - y 2 ù
è 3
= -2a3b3 x - y 5 ．
【点睛】题目主要考查单项式的乘法及积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
题型 2：利用单项式的乘法求字母或代数式的值
2
【典例 3】．先化简，再求值： -2a2b3 × -ab2 2 + 1 2 3 - a b ÷ ×4b，其中 a = 2，b =1．
è 2
【答案】-a4b7 ，-16．
【分析】先化简，再把 a=2，b=1 代入求解即可．
= -2a2b3 ×a2b4 1+ a4b6【解析】解：原式 × 4b = -2a4b7 + a4b7 = -a4b7．
4
当 a = 2，b =1时，原式= -a4b7 = -24 17 = -16．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是正确的化简．
【典例 4】．若 (-5am+1b2n-1)(2anbm )＝－10 a4b4，则 m－n 等于（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】B
【分析】首先根据单项式乘单项式的运算法则计算求出 m，n 的值，然后代入计算即可．
【解析】 (-5am+1b2n-1)(2anbm )
= (-5 2)(am+1b2n-1anbm )
= -10am+n+1b2n+m-1
∴ -10am+n+1b2n+m-1 = -10a4b4
ì m + n +1 = 4
∴ í
2n + m -1 = 4
ìm =1
解得 í
n = 2
∴m－n=1-2=-1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握单项式乘单项式的运算法则是关键．
【典例 5】．若（am＋1bn＋2） （a2n-1b2m）＝a5b3，则 m＋n 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．﹣3
【答案】B
【分析】先利用单项式乘单项式法则，可得（am+1bn+2） （a2n-1b2m）=am+2n bn+2m+2，从而得到关于 m，n 的
方程组，即可求解．
【解析】解：（am+1bn+2） （a2n-1b2m）=am+1+2n-1 bn+2+2m=am+2n bn+2m+2，
∵（am＋1bn＋2） （a2n-1b2m）＝a5b3，
m + 2n = 5
∴{n + 2m ，+ 2 = 3
两式相加，得 3m+3n=6，
解得 m+n=2．
故选：B
【点睛】本题主要考查了利用单项式乘法求字母或代数式的值，熟练掌握单项式乘单项式法则是解题的关
键．
题型 3：计算单项式乘以整式
1
【典例 6】．（1）计算：- x × -2x2 + 4 ；2
（2）计算： 4xy × -3y + 2y 6xy + 2 ；
3 1
2
（ ）计算： - a2 b
÷ 4a - b2 ；
è 2
（4）计算： x2 x -1 - x x2 - x -1 ．
5 2 1 4 4
【答案】（1） x3 - 2x；（2） 4y ；（3） a b - a b ；（4） x4
【分析】（1）根据单项式乘以整式的运算法则计算即可；
（2）先计算单项式乘以单项式及整式，然后合并同类项计算即可；
（3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以整式即可；
（4）先计算单项式乘以整式去括号，然后合并同类项即可．
1 1
【解析】解：（1 2 3）原式= - x × -2x + - x ÷ 4 = x - 2x ．2 è 2
（2）原式= -12xy2 +12xy2 + 4y = 4y ．
1 4 2 2
（3）原式= a b 4a - b
4
= a5b2 1- a4b4 ．
4
2 2
（4） x x -1 - x x - x -1
= x3 - x2 - x3 + x2 + x
= x ．
【点睛】题目主要考查单项式乘以单项式及整式，合并同类项等的运算法则，熟练掌握各个运算法则是解
题关键．
【典例 7】．计算：
(1) 5mn2 - 4m2n -2mn ；
(2) (-2a)2 × 3a2 - a -1 ；
(3) (-3xy)2
3
- xy2 8 xy - 2x
÷．2 è 3
【答案】(1) -10m2n3 + 8m3n2
(2)12a4 - 4a3 - 4a2
(3)12x2 y2 - 4x2 y3
【分析】（1）直接利用单项式乘整式法则计算；
（2）先算积的乘方，再利用单项式乘整式法则计算；
（3）先算单项式乘整式，积的乘方，再去括号，合并同类项即可．
2 2
【解析】（1）解： 5mn - 4m n -2mn
= -10m2n3 + 8m3n2 ；
2 (-2a)2 × 3a2（ ） - a -1
= 4a2 × 3a2 - a -1
=12a4 - 4a3 - 4a2
2 3 8
（3） (-3xy) - xy2
xy - 2x
2 è 3 ÷
= 9x2 y2 - 4x2 y3 - 3x2 y2
= 9x2 y2 - 4x2 y3 + 3x2 y2
=12x2 y2 - 4x2 y3．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及了单项式乘整式，合并同类项，积的乘方，掌握相应的运算法
则，细心计算是解题的关键．
【典例 8】．计算下列各式：
(1) -3y 4x2 y - 2xy ；
(2) -3ab × -2ab2 + ab - 2 ；
1
(3) - x2 y ×
2 y2 1- x 1+
2 3 3 4 ÷；è
2 3 2 2(4)3a a b - 2a - 4a -a2b ；
(5) 2a2 × 3a2 - 5b ；
2
(6) 2 ab - 2ab
1× ab ．
è 3 ÷ 2
【答案】(1) -12x2 y2 + 6xy2
(2) 6a2b3 - 3a2b2 + 6ab
1
(3) - x2 y3
1
+ x3 y 1- x2 y
3 6 8
(4) -a5b2 -6a3
(5) 6a4 -10a2b
1
(6) a2b3 - a2b2
3
【分析】（1）根据单项式乘以整式进行计算即可求解；
（2）根据单项式乘以整式进行计算即可求解；
（3）根据单项式乘以整式进行计算即可求解；
（4）根据单项式乘以整式进行计算，然后合并同类项即可求解；
（5）根据单项式乘以整式进行计算即可求解；
（6）根据单项式乘以整式进行计算即可求解．
【解析】（1）解： -3y 4x2 y - 2xy
= -12x2 y2 + 6xy2 ；
（2）解： -3ab × -2ab2 + ab - 2
= 6a2b3 - 3a2b2 + 6ab ；
1 x2 y 2 y2 1 x 1（3）解：- × - +
2 è 3 3 4 ÷
= 1 x2 y3 1- + x3 y 1- x2 y；
3 6 8
2 3 2 2 2（4）解：3a a b - 2a - 4a -a b
= 3a5b2 - 6a3 - 4a1+2 2b2
= 3a5b2 - 4a5b2 - 6a3
= -a5b2 -6a3；
（5）解： 2a2 × 3a2 - 5b
= 6a4 -10a2b ；
2 2 1
（6）解： ab - 2ab × ab
è 3 ÷ 2
1
= a2b3 - a2b2 ．
3
【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．
题型 4：计算单项式乘以整式的求值问题
3
【典例 9】．化简求值： 2x x - 5y - 3y 2y - 3x ，其中 x = ， y = -1．
2
【答案】 2x2 - xy - 6y2 ，0
【分析】原式利用单项式乘整式法则计算，去括号合并得到最简结果，把 x 与 y 的值代入计算即可求出
值．
【解析】解：原式 = (2x2 -10xy) - (6y2 - 9xy)
= 2x2 -10xy - 6y2 + 9xy
= 2x2 - xy - 6y2 ，
当 x
3
= ， y = -1时，
2
原式 = 2 (
3)2 3- (-1) - 6 (-1)2
2 2
2 9 3= + - 6
4 2
9 3
= + - 6
2 2
= 0．
【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2
【典例 10】．先化简，再求值： x x + 3 - x x2 + 2x -1 ，其中 x2 + x = 2．
【答案】 x2 + x ，2．
【分析】先将原式根据单项式乘整式的法则进行化简，再将 x2 + x = 2整体代入计算即可．
2
【解析】解： x x + 3 - x x2 + 2x -1
= x3 + 3x2 - x3 - 2x2 + x
= x2 + x，
∵ x2 + x = 2，
∴原式= 2．
【点睛】本题考查了整式的化简求值；熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键．
2
【典例 11】．若 x + ax = x x + 4 ，则 a 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了单项式乘以整式，根据单项式乘以整式的计算法则求出 x x + 4 的结果即可得到答
案．
2
【解析】解：∵ x + ax = x x + 4 ，
∴ x2 + ax = x2 + 4x，
∴ a = 4，
故选：C．
【典例 12】．已知 x x - a + b x + a = x2 + 5x - 6，当 x 为任意数时该等式都成立，则 a b -1 + b a +1 的
值为（ ）
A．17 B． -7 C． -1 D．-17
【答案】B
2 2
【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为 x + -a + b x + ab = x + 5x - 6，根据当 x 为
任意数时该等式都成立，可得-a + b = 5,ab = -6，然后代入，即可求解．
【解析】解： x x - a + b x + a = x2 + 5x - 6，
∴ x2 + -a + b x + ab = x2 + 5x - 6，
∵ x x - a + b x + a = x2 + 5x - 6，当 x 为任意数时该等式都成立，
∴ -a + b = 5,ab = -6，
∴ a b -1 + b a +1
= ab - a + ab + b
= 2ab - a + b
= 2 -6 + 5
= -7
故选：B
题型 5：利用单项式乘以整式求字母的值
【典例 13】．若计算 (3x2 + 2ax +1) × (-3x) - 4x2 的结果中不含有 x2 项，则 a 的值为（ ）
2 3
A．- B．0 C．2 D．-
3 2
【答案】A
【分析】利用单项式乘整式的法则进行求解，再结合不含 x2 项，则其 x2 项的系数为 0，从而求解．
【解析】解： (3x2 + 2ax +1) × (-3x) - 4x2
= -9x3 - 6ax2 - 3x - 4x2
= -9x3 + (-6a - 4)x2 - 3x ，
Q结果中不含有 x2 项，
\-6a - 4 = 0，
2
解得 a = - ，
3
故选：A．
【点睛】本题主要考查了单项式乘整式，合并同类项，解题的关机是熟练掌握相应的运算法则．
【典例 14】．如果 2nx +3x2 +mx3 4x2 的结果中不含 x 的五次项，那么 m 的值为（ ）
1
A．1 B．0 C．-1 D．-
4
【答案】B
【分析】根据单项式乘以整式法则计算，即可求解．
【解析】解： 2nx +3x2 +mx3 4x2
= -8nx3 -12x4 - 4mx5
∵结果中不含 x 的五次项，
∴ 4m = 0，
解得：m = 0．
故选：B
【点睛】本题主要考查了单项式乘以整式法则，理解结果中不含 x 的五次项，即该项的系数等于 0 是解题
的关键．
2
【典例 15】．计算：-5xy 2y + x -8 = -10xy - 5x2 y □，□内应填写（ ）
A．－10xy B．-5x2y C．＋40 D．＋40xy
【答案】D
【分析】运用单项式乘以整式法则展开，再根据对应项相等，即可求解．
【解析】解：∵-10xy2-5x2y□=-5xy(2y+x-8)=-10xy2-5x2y+40xy，
∴□=+40xy，
故选：D．
【点睛】本题考查单项式乘以整式，熟练掌握单项式乘以整式法则是解题的关键．
题型 6：单项式乘以整式的综合应用
【典例 16】．某同学在计算﹣3x2乘一个整式时错误的计算成了加法，得到的答案是 x2﹣x+1，由此可以推
断该整式是（ ）
A．4x2﹣x+1 B．x2﹣x+1 C．﹣2x2﹣x+1 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据整式的减法法则求出整式，得到答案．
【解析】根据题意得：整式为 x2﹣x+1﹣（﹣3x2），
x2﹣x+1﹣（﹣3x2）
=x2﹣x+1+3x2
=4x2﹣x+1．
故选：A．
【点睛】本题考查的是单项式乘整式、整式的加减，能根据题意列出算式是解此题的关键．
【典例 17】．一个长方体的长、宽、高分别为 2a2、3a 、3a + 2，它的体积等于（ ）
A．18a4 +12a3 B．18a6 + 6a3 C．36a4 D．6a3 +18a4
【答案】A
【分析】本题考查单项式乘整式的应用，根据长方体的体积=长 宽 高，进行计算即可．
2
【解析】解： 2a ×3a 3a + 2 = 6a3 3a + 2 =18a4 +12a3，
即长方体的体积为18a4 +12a3，
故选：A．
【典例 18】．如图，两正方形并排在一起，左边大正方形边长为 a右边小正方形边长为b ，则图中阴影部
分的面积可表示为（ ）．
2 1 1 1A． a + b2 - ab B 2 2． a + b - ab2 2 2
1
C a2
1
+ b2 - ab D a2． ． + b2
1
- ab
2 2 2
【答案】B
【分析】根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去空白部分的面积，即可求解．
【解析】解：根据题意得：阴影部分的面积为
a2 b2 1 1+ - a2 - b a + b
2 2
= a2 + b2 1- a2 1- ab 1- b2
2 2 2
1 a2 1 b2 1= + - ab
2 2 2
故选：B
【点睛】本题主要考查了整式加减及乘法的应用，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
【典例 19】张如图 1 的长为 a，宽为b （ a > b）的小长方形纸片，按图 2 的方式不重叠地放在矩形 ABCD
内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，如果左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，则 a,b
满足（ ）
A． a = 2b B． a = 3b C． a = 4b D． a = 5b
【答案】C
【分析】用代数式表示出左上角与右下角部分的面积，根据面积相等求出 a 与 b 的关系式．
【解析】解：如图，左上角阴影部分的长为 AE=AD-a，宽为 AF＝4b，右下角阴影部分的长为
PC=BC-4b=AD-4b，宽为 CG=a，
四边形 AEHF 的面积为： AEgAF = AD - a 4b = AD 4b - 4ab，
四边形 QPCG 的面积为：PCgCG = AD - 4b a = AD a - 4ab ，
∵左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，
∴ AD 4b - 4ab = AD a - 4ab，
∴ AD 4b = AD a，即 a = 4b，
故选：C．
【点睛】此题考查了整式的混合运算的应用，用代数式表示出两个阴影部分的面积是解本题的关键．
题型 7：计算整式乘以整式及求值问题
【典例 20】．计算下列各式：
(1) 3x - 2y 6x - 4y ；
(2) a + b 3a - 2b - b a - b ；
(3) y + 2 y - 2 - y -1 y + 5 ；
(4) a - b a2 + ab + b2 ．
【答案】(1)18x2 - 24xy + 8y2
(2)3a2 - b2
(3) -4y +1
(4) a3 - b3
【分析】（1）直接利用整式乘以整式运算法则计算得出答案．
（2）直接利用整式乘以整式运算法则、单项式乘整式运算法则计算得出答案．
（3）直接利用整式乘以整式运算法则计算得出答案．
（4）直接利用整式乘以整式运算法则计算得出答案．
【解析】（1）解： 3x - 2y 6x - 4y
= 2 3x - 2y 3x - 2y
= 2 9x2 -12xy + 4y2
=18x2 - 24xy + 8y2
（2）解： a + b 3a - 2b - b a - b
= 3a2 - 2ab + 3ab - 2b2 - ab + b2
= 3a2 - b2
（3）解： y + 2 y - 2 - y -1 y + 5
= y2 - 4 - y2 + 4y - 5
= y2 - 4 - y2 - 4y + 5
= -4y +1
（4）解： a - b a2 + ab + b2
= a3 + a2b + ab2 - a2b - ab2 - b3
= a3 - b3
【点睛】本题考查了整式的乘法，掌握其计算法则是解题的关键．
【典例 21】．计算：
(1) 3a + 2 4a -1 ；
(2) 3m - 2n + 2 3m + 2n + 2 ；
(3) y - 2 y2 + 2y + 4 - y2 +1 y -1 ．
【答案】(1)12a2 + 5a - 2
(2)9m2 +12m - 4n2 + 4
(3) y2 - y - 7
【分析】利用整式乘整式，进行计算求解即可．
【解析】（1）解：原式=12a2 - 3a + 8a - 2 =12a2 + 5a - 2；
（2）解：原式= 9m2 + 6mn + 6m - 6mn - 4n2 - 4n + 6m + 4n + 4
= 9m2 +12m - 4n2 + 4；
3 2 2
（3）解：原式= y + 2y + 4y - 2y - 4y -8 - y3 - y2 + y -1
= y3 -8 - y3 + y2 - y +1
= y2 - y - 7；
【点睛】本题考查了整式乘整式．解题的关键在于正确的运算．
【典例 22】．化简求值： (x -1)(x2 - 3x + 2) - x(x -1)(x - 3) ，其中 x =1．
【答案】 2x - 2 ；0.
【分析】根据整式乘法运算法则即可求出答案．
3 2
【解析】解：原式= x - 3x + 2x - x2 + 3x - 2 - x x2 - 4x + 3
= x3 - 4x2 + 5x - 2 - x3 + 4x2 - 3x
= 2x - 2．
当 x =1时，原式= 2 1- 2 = 0 ．
【点睛】本题考查了整式乘法运算法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2
【典例 23】．已知代数式 ax - 3 2x + 4 - x - b化简后，不含有 x2 项和常数项．
(1)求 a，b 的值．
(2)求 b - a -a - b + -a - b 2 - a 2a + b 的值．
【答案】(1)0.5；-12
(2) -6
【分析】（1）先算乘法，合并同类项，即可得出关于 a、b 的方程，求出即可；
（2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解析】（1）解： ax - 3 2x + 4 - x2 - b
= 2ax2 + 4ax - 6x -12 - x2 - b
= 2a -1 x2 + 4a - 6 x + -12 - b ，
∵代数式 ax - 3 2x + 4 - x2 - b化简后，不含有 x2 项和常数项．，
∴ 2a -1 = 0， -12 - b = 0 ，
∴ a = 0.5，b = -12；
（2）∵ a = 0.5，b = -12，
∴ b - a -a - b + -a - b 2 - a 2a + b
= a2 - b2 + a2 + 2ab + b2 - 2a2 - ab
= ab
1
= -12
2
= -6．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，
难度适中．
题型 8：（x+p）（x+q）型整式乘法
【典例 24】．若 (x - 3)(x + 5) = x2 + ax + b ，则 a为（ ）
A．8 B．2 C．-2 D．-15
【答案】B
【分析】本题考查了整式乘以整式，根据整式的乘法进行计算，即可求解．
【解析】解：∵ (x - 3)(x + 5) = x2 + 2x -15 = x2 + ax + b
∴ a = 2，
故选：B．
【典例 25】． x + 8 x - 4 = x2 + mx + n，则m ， n的值为（ ）.
A． 4，32 B． 4，-32 C．-4，32 D．-4，-32
【答案】B
【分析】根据整式乘以整式进行计算，即可求解．
【解析】解：∵ x + 8 x - 4 = x2 + 4x - 32
∴ m = 4, n = -32 ,
故选：B．
【点睛】本题考查了整式乘以整式，熟练掌握整式乘以整式的运算法则是解题的关键．
【典例 26】．【阅读材料】代数式大小的比较
我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知 M = 2x + 3， N = 2x +1，比较 M 和 N 的大小．先求M - N ，
若M - N > 0，则M > N ；若M - N < 0，则M < N ；若M - N = 0，则M = N ，反之亦成立．本题中因为
M - N = 2x + 3- 2x +1 = 2 > 0，所以M > N ．
【解决问题】若M = x - 3 x - 4 ， N = x -1 x - 6 ，则M 与 N 的大小关系为（ ）
A．M > N B．M = N C．M < N D．由 x 的取值而定
【答案】A
【分析】根据M - N = x - 3 x - 4 - x -1 x - 6 = 6 > 0，进行判断即可．
2 2
【解析】解：由题意知，M - N = x - 3 x - 4 - x -1 x - 6 = x - 7x +12 - x - 7x + 6 = 6 > 0 ，
∴ M > N ，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式乘整式．解题的关键在于正确的运算．
题型 9：整式乘法不含某项求字母的值
2
【典例 27】．若关于 x 的整式 x + ax + 2 2x - 4 展开合并后不含 x2 项,则 a的值是（ ）
A． 0 B 1． 2 C． 2 D．-2
【答案】C
【分析】本题考查整式乘整式,解题的关键是令含 x2 的系数为零,本题属于基础题型．
根据整式乘整式的乘法即可求出答案．
【解析】解: x2 + ax + 2 2x - 4 ,
= 2x3 + 2ax2 + 4x 4x2 4ax 8 ,
=2x3 + (2a - 4)x2 + (4 - 4a)x -8 ,
由题意可知：2a - 4 = 0 ,
∴ a = 2 ,
故选:C ．
【典例 28】．（1）若 (x2 + mx + n)(x2 - 3x +1)的展开式中不含 x2 和 x3项，求 m、n 的值．
（2）求 (m + n)(m2 - mn + n2 )的值．
【答案】（1）m = 3,n = 8（2）m3 + n3
【分析】本题主要考查整式乘整式，熟练掌握整式乘整式的运算法则是解题的关键．
（1）利用整式乘整式的运算法则进行运算，再结合条件求出答案．
（2）整式乘整式的运算法则进行运算即可．
【解析】解：（1） (x2 + mx + n)(x2 - 3x +1)
= x4 - 3x3 + x2 + mx3 - 3mx2 + mx + nx2 - 3nx + n
= x4 + (-3 + m)x3 + (1- 3m + n)x2 + (m - 3n)x + n，
Q展开式中不含 x2 和 x3项，
\-3 + m = 0,1- 3m + n = 0，
解得：m = 3,n = 8；
2 m + n m2 - mn + n2（ ）
= m3 - m2n + mn2 + m2n - mn2 + n3
= m3 + n3．
题型 10：图形问题
【典例 29】．如图所示，根据图形，写出一个正确的等式： ．
【答案】m m + a = m2 + ma
【分析】分别利用两种方法计算图形面积即可得出结果．
【解析】解：根据图形得，长方形的长为 m + a ，宽为 m，面积为m m + a ，
当图形分为两个长方形时，总面积为m2 + ma，
∴可得等式：m m + a = m2 + ma ，
2
故答案为：m m + a = m + ma ．
【点睛】本题主要考查利用图象计算单项式乘以整式，结合图形求解是解题关键．
【典例 30】．如图：已知长方形纸片 ABCD长为3a +1，宽为b + 3，裁去一个长为 2a +1，宽为b +1的长方
形 AEFG ，则剩余部分面积为 ．
【答案】 ab + 7a + 2
【分析】长方形纸片 ABCD的面积减去长方形 AEFG ，即可作答．
【解析】根据题意，有：
长方形 ABCD的面积： S长方形ABCD = 3a +1 b + 3 = 3ab + 9a + b + 3，
长方形 AEFG 的面积： S长方形AEFG = 2a +1 b +1 = 2ab + 2a + b +1，
则剩余部分的面积为： S = S剩余 长方形ABCD - S长方形AEFG = 3ab + 9a + b + 3 - 2ab + 2a + b +1 ，
即有： S = 3ab + 9a + b + 3 - 2ab + 2a + b +1 = ab + 7a + 2剩余 ．
故答案为： ab + 7a + 2．
【点睛】本题主要考查了利用整式乘以整式求解图形的面积的知识，掌握整式乘以整式是解答本题的关
键．
【典例 31】．用如图所示的A ， B ，C 类卡片若干张，拼成一个长为3a + 2b，宽为 a + b 的长方形，则A ，
B ，C 类卡片一共需要 张．
【答案】10
【分析】根据长方形的面积公式 S = 3a + 2b a + b = 3a2 + 5ab + 2b2即可得出结果．
【解析】解：由题可知：A ， B ，C 类卡片的面积分别为 a2 ， ab，b2 ，
Q长方形的长为3a + 2b，宽为 a + b ，
\长方形的面积： S = 3a + 2b a + b = 3a2 + 5ab + 2b2，
\ A ， B ，C 类卡片一共需要3+ 5 + 2 =10张，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了整式乘整式的运算，找出对应卡片面积的系数，分别对应，即可找出所需卡片数
量．
题型 11：整式的乘法综合
【典例 32】．计算：
1 -1(1) + p - 3.14 0 - -1 2024 ÷ ；
è 2
(2) -2xy 2 ×8x4 y2 -16x2 y ；
(3) a - b a2 + ab + b2 ；
(4) x + 3y - 2 x - 3y - 2 ．
【答案】(1) 2
(2) -2x4 y3
(3) a3 - b3
(4) x2 - 4x - 9y2 + 4
【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式乘除法，解题的关键是掌握相关的运算法则．
（1）先算乘方，再算加减，即可求解；
（2）根据单项式的乘除法法则计算即可；
（3）根据整式乘整式的计算法则求解即可；
（4）根据整式乘整式的计算法则求解即可．
1 -11 0 2024【解析】（ ）解： ÷ + p - 3.14 - -1
è 2
= 2 +1-1
= 2
-2xy 2（2） ×8x4 y2 -16x2 y
= 4x2 y2·8x4 y2 -16x2 y
= 32x6 y4 -16x2 y
= -2x4 y3
（3） a - b a2 + ab + b2
= a a2 + ab + b2 - b a2 + ab + b2
= a3 + a2b + ab2 - a2b + ab2 + b3
= a3 + a2b + ab2 - a2b - ab2 - b3
= a3 - b3
（4） x + 3y - 2 x - 3y - 2
= x2 - 3xy - 2x + 3xy - 9y2 - 6y - 2x + 6y + 4
= x2 - 4x - 9y2 + 4
【典例 33】．计算：
1 3 2 2（1） - x y
÷ ×2 -2xy
2
è
2 2 2 3
（2） - a b ÷ × - ab - 3a
è 3 ÷ è 2
（3） (x + y) × (x - 2y) - 3y2
（4） a2 + 3 × (a - 2) - a a2 - 2a - 2
1 8 7
【答案】（1）- x y ；（2） a3b3 + 2a3b2；（3） x2 - xy - 5y2；（4）5a -62
【分析】（1）先计算积的乘方，然后计算单项式乘单项式即可；
（2）根据单项式乘整式的计算法则求解即可；
（3）根据整式乘整式计算法则求解，然后合并同类项即可；
（4）整式乘整式计算法则和单项式乘整式的计算法则求解，然后合并同类项即可.
3
1
【解析】解：（1） - x2 y g -2xy2 2 2 ÷ è
1
= - x6 y3g4x2 y4
8
1
= - x8 y7
2
2 2 2 3
（2） - a b ÷g - ab - 3a
è 3 ÷ è 2
= a3b3 + 2a3b2
（3） (x + y)g(x - 2 y) - 3y2
= x2 + xy - 2xy - 2 y2 - 3y2
= x2 - xy - 5y2
2
（4） a + 3 × (a - 2) - a a2 - 2a - 2
= a3 + 3a - 2a2 - 6 - a3 + 2a2 + 2a
= 5a - 6
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握整式的混合运算计算法则.
【典例 34】．如图，在一块长方形土地上修建两个如图所示的四分之一圆水池，其余面积（阴影部分）进
行绿化处理，两个四分之一圆的半径分别为 a、b ．
(1)用含 a，b 的代数式表示长方形的长；
(2)用含 a，b 的代数式表示绿化土地（阴影部分）的面积S ；
(3)当 a = 3m，b = 5m时，求绿化土地（阴影部分）的面积S ．
【答案】(1) a + b
3
(2) ab + b2
1
- a2
4 4
63
(3) m2
2
【分析】（1）根据题意表示求解即可；
（2）用长方形的面积减去两个四分之一圆水池求解即可；
（3）将 a = 3m，代入（2）表示的代数式求解即可．
【解析】（1）解：∵两个四分之一圆的半径分别为 a、b
∴长方形的长为 a + b ；
（2）解：根据题意可得，
S b a b 1 1= + - a2 - b2
4 4
= ab + b2 1 1- a2 - b2
4 4
3
= ab + b2 1- a2；
4 4
（3）解：∵ a = 3m，b = 5m
S ab 3∴ = + b2
1
- a2
4 4
3m 5m 3 5m 2 1= × + × - × 3m 2
4 4
=15m2 75+ m2 9- m2
4 4
63
= m2 ．
2
【点睛】本题考查了列代数式，整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的法则是解本题的关键．
【典例 35】．在日历牌上，我们可以发现一些日期数满足一定的规律．如图是今年 4 月的日历牌，若任意
选择图中上下相邻的四个日期（阴影部分），将其中四个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：
3 9 - 2 10 = 7,6 12 - 5 13 = 7，不难发现，结果都是 7
（1）请再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律．
（2）设符合条件的四个日期左上角位置上的数为 a，请利用整式的运算对以上的规律加以证明．
【答案】（1）符合；（2）见解析
【分析】（1）利用规定的方法计算，比较结果得出规律即可；
（2）其它三个分别为 a+1，a+7，a+8，利用交叉相乘计算证明即可．
【解析】解：（1）8×14-7×15=7；
5×11-4×12=7，
符合这个规律；
（2）证明：设符合条件的四个日期左上角位置上的数为 a，则其它三个分别为 a +1， a + 7 ，a +8，
∴ (a +1)(a + 7) - a(a + 8)
= a2 + 8a + 7 - a2 - 8a
= 7．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，数字的变化规律，由特殊到一般，得出一般性结论解决问题．
题型 12：材料、规律题
【典例 36】．观察以下等式：
x +1 x2 - x +1 = x3 +1
x + 3 x2 - 3x + 9 = x3 + 33
x + 6 x2 - 6x + 36 = x3 + 63
(1)按以上等式的规律，填空：
① x + 8 x2 -8x + 64 = ______．
② a + b a2 - ab+b2 = ______．
(2)利用整式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立．
(3)利用（1）中的公式化简；
x + y x2 - xy + y2 - x + 4y x2 - 4xy +16y2
【答案】(1) x3 +103 ； a3 + b3
(2) a3 + b3
(3) -63y3
【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键．
（1）根据材料提示的方法即可求解；
（2）运用整式乘以整式，再根据整式的运算法则即可求解；
2 2 2 2
（3）根据材料提示，分别计算 x + y x - xy + y 与 x + 4y x - 4xy +16y 的值，再运用整式加减运算即
可求解．
【解析】（1）解：根据材料提示，
① x + 8 x2 -8x + 64 = x3 + 83 ．
② a + b a2 - ab + b2 = a3 + b3．
故答案为： x3 +103 ； a3 + b3 ；
（2）解： a + b a2 - ab + b2
= a3 - a2b + ab2 + ba2 - ab2 + b3
= a3 + b3；
（3）解： x + y x2 - xy + y2 - x + 4y x2 - 4xy +16y2
= x3 + y3 - x3 + 64y3
= x3 + y3 - x3 - 64y3
= -63y3 ．
【典例 37】．阅读∶
在计算 x -1 (xn + xn-1 + xn-2 +… + x +1) 的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一
般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一
般．如下所示：
[观察]① x -1 x +1 = x2 -1；
② x -1 (x2 + x +1) = x3 -1；
③ x -1 (x3 + x2 + x +1) = x4 -1；
……
(1)[归纳]由此可得∶
x -1 (xn + xn-1 + xn-2 +．．．+ x +1) =
(2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题：
计算∶ 22024 + 22023 + 22022 + 22021 +… + 2 +1 =
(3)计算∶ 220 - 219 + 218 - 217 +… - 23 + 22 - 2 +1
【答案】(1) x n +1 -1
(2) 22025 -1
221(3) +1
3
【分析】此题考查了整式乘法的规律，根据题意找到规律是解题的关键.
（1）根据题意得到规律即可；
2 2 -1 22024 + 22023 + 22022 + 22021（ ）由 +… + 2 +1 = 22025 -1即可得到答案；
（3）设 S = 220 - 219 + 218 - 217 +… - 23 + 22 - 2 +1①，则 2S = 221 - 220 + 219 - 218 +… - 24 + 23 - 22 + 2 ②，①＋
②后即可得到答案.
n n-1 n-2 n+1
【解析】（1）解：由题意可得， x -1 (x + x + x +．．．+ x +1) = x -1
故答案为： x n +1 -1
2 2 -1 22024 + 22023 + 22022 + 22021 +… + 2 +1 = 22025（ ）由题意可得， -1，
∴ 22024 + 22023 + 22022 + 22021 +… + 2 +1 = 22025 -1
故答案为： 22025 -1
（3）设 S = 220 - 219 + 218 - 217 +… - 23 + 22 - 2 +1①
则 2S = 221 - 220 + 219 - 218 +… - 24 + 23 - 22 + 2 ②
①＋②得，3S = 221 +1
21
∴ S 2 +1=
3
1
【典例 38】．在学习整式乘以整式时，我们知道 x + 4÷ 2x + 5 3x - 6 的结果是一个整式，并且最高次
è 2
1
项为： x ×2x ×3x = 3x3，常数项为 4 5 -6 = -120．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定
2
1
一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是 5 -6 + 2 4 -6 + 3 4 5 = -3，即一次项
2
为－3x．
请参考上面的方法，解决下列问题：
(1)计算 x +1 3x + 2 5x - 3 所得整式的一次项系数为______；
(2)如果计算 x2 + x + 5 7x2 - 2x + a 3x -1 所得整式不含一次项，则常数 a 的值是______；
(3)如果 x +1 2024 = a x2024 + a x2023 + a x20220 1 2 +L+ a2023x + a2024 ，则 a2023 的值是______．
【答案】(1) -5
5
(2) a = -
7
(3) 2024
【分析】本题考查了整式乘整式的规律探究，熟练掌握整式乘整式的运算法则是解题的关键．
（1）根据题干提示列式计算即可；
（2）根据给定的方法可得出一次项系数1 a -1 + -2 5 -1 + 5 3 a = 0，进一步求解即可；
（3）根据给定的方法找出 x +1 2024 的一次项系数即可．
【解析】（1）解： x +1 3x + 2 5x - 3 所得整式的一次项系数为：
1 2 -3 +1 2 5 +1 3 -3 = -6 +10 - 9 = -5；
（2）根据题意，一次项系数1 a -1 + -2 5 -1 + 5 3 a = 0，
即-a +10 +15a = 0，
5
解得 a = - ；
7
（3） x +1 2024 = a x20240 + a x2023 20221 + a2x +L+ a2023x + a2024的一次项系数为：
2024 1 = 2024，
\a2023 = 2024，
一、单选题
1 a × -2a3．计算 的结果是（ ）
A．-2a2 B．-2a 4 C． 2a2 D． 2a4
【答案】B
【分析】本题考查了单项式乘单项式．根据单项式乘单项式的运算法则计算即可求解．
【解析】解： a × -2a3 = -2a4 ，
故选：B．
2 -3x × 2x2．计算 - 5x -1 的结果是（ ）
A．-6x2 -15x2 - 3x B．-6x3 +15x2 + 3x
C．-6x3 +15x2 D．-6x3 +15x2 -1
【答案】B
【分析】本题考查了单项式乘以整式．熟练掌握单项式乘以整式的法则是解题的关键．
根据单项式乘以整式的法则求解作答即可．
【解析】解： -3x × 2x2 - 5x -1 = -6x3 +15x2 + 3x，
故选：B．
3．下列各式中，计算结果是 x2 + 7x -18的是（ ）
A． x - 2 x + 9 B． x + 2 x + 9 C． x - 3 x + 6 D． x -1 x +18
【答案】A
【分析】将各项逐一展开合并同类项比较即可得．
2
【解析】解：A、 x - 2 x + 9 = x - 2x + 9x -18 = x2 + 7x -18，故本选项符合题意；
B、 x + 2 x + 9 = x2 + 2x + 9x +18 = x2 +11x +18，故本选项不符合题意；
C、 x - 3 x + 6 = x2 - 3x + 6x -18 = x2 + 3x -18，故本选项不符合题意；
D、 x -1 x +18 = x2 - x +18x -18 = x2 +17x -18，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了整式乘整式，准确的将其展开是解题的关键．
4．李老师做了个长方形教具，其中一边长为a + 2b，另一边长为 b，则该长方形的面积为（ ）
A． a + 3b B． 2a + 6b
C． ab + 2b D． ab + 2b2
【答案】D
【分析】本题考查整式的乘法，根据单项式乘整式法则求解即可．
【解析】解：长方形的面积为=b a + 2b = ab + 2b2 ，
故选：D．
5．已知 x -1 x - 2 = x2 + mx + n ，则 nm 的值为（ ）
1 1
A． B． C．-8 D．9
9 8
【答案】B
【分析】本题主要考查了整式乘以整式运算，掌握整式乘以整式的运算法则是解题关键．
先根据整式相等则对应项的系数相等求出 m 与 n 的值，然后代入 nm 计算即可．
2
【解析】解：∵ x -1 x - 2 = x + mx + n ，
∴ x2 - 3x + 2 = x2 + mx + n，
∴ m = -3，n = 2 ，
∴ nm
1
= 2-3 = ．
8
故选：B．
6．已知 x(x + 3) = 2022，则代数式 2(x + 4)(x -1) - 2012的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】B
【分析】本题主要考查整式的混合运算，利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即
可．
【解析】解： 2(x + 4)(x -1) - 2012
= 2 x2 + 3x - 4 - 2012
= 2x2 + 6x -8 - 2012
= 2x2 + 6x - 2020
= 2x(x + 3) - 2020 ，
∵ x(x + 3) = 2022，
∴原式= 2 2022 - 2020
= 4044 - 2020
= 2024．
故选：B．
7．通过计算，比较图 1，图 2 中阴影部分的面积，可以验证的算式是（ ）
A． a(b - x) = ab - ax B． (a - x)(b - x) = ab - ax - bx + x2
C． (a - x)(b - x) = ab - ax - bx D．b(a - x) = ab - bx
【答案】B
【分析】本题考查整式乘整式，单项式乘整式，整式运算．要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用
大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解．
【解析】解：图 1 中，阴影部分=长 (a - x) 宽 (a - 2b)长方形面积，
\阴影部分的面积= (a - x)(b - x)，
图 2 中，阴影部分=大长方形面积-长 a宽 x 长方形面积-长b 宽 x 长方形面积+ 边长 x 的正方形面积，
\阴影部分的面积= ab - ax - bx + x2 ，
\(a - x)(b - x) = ab - ax - bx + x2．
故选：B．
8．若M = y y + 5 ， N = y -1 y + 6 ，则 M 与 N 的大小关系是（ ）
A．M < N B．M = N C．M > N D．M 与 N 的大小由 y 的取值而定
【答案】C
【分析】本题考查的是整式的混合运算．利用求差法、整式乘整式的运算法则进行计算，根据计算结果判
断即可．
【解析】解：M - N = y y + 5 - y -1 y + 6
= y2 + 5y - y2 + 5y - 6
= y2 + 5y - y2 - 5y + 6
= 6 > 0，
∴ M > N ，
故选：C．
9．已知整式M = x2 - 3ax + 6， N = x + 3，且MN = A，当整式 A 中不含 x 的 2 次项时，a 的值为（ ）
1
A． -1 B．- C．0 D．1
3
【答案】D
【分析】本题考查的是整式的乘法—整式乘整式，正确进行整式的乘法是解答此题的关键．根据题意列出
整式相乘的式子，再计算整式乘整式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于 0 即可．
【解析】解：∵ MN = x2 - 3ax + 6 x + 3
=x3 - 3ax2 + 6x+3x2 - 9ax +18
= x3 + 3- 3a x2 + 6 - 9a x +18
∴ A = MN = x3 + 3- 3a x2 + 6 - 9a x +18
∵整式 A 中不含 x 的 2 次项时，
∴ 3 - 3a = 0
∴ a =1
故选 D．
10．设实数满足 x3 = -2x +1，若 x7 = ax2 + bx + c ，则 a - 2b + c 的值为（ ）
A．-14 B．14 C．-6 D．6
【答案】B
【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设 t = x3 = -2x +1，则
x7 = (x3 )2 × x = t2 × x = 4x3 - 4x2 + x = 4(-2x +1) - 4x2 + x ，可得： a = -4 ，b = -7， c = 4，再代入 a - 2b + c 计算即
可．
【解析】解：根据题意，设 t = x3 = -2x +1，
\ x7 = (x3 )2 × x
= t2 × x
= (-2x +1)2 × x
= 4x3 - 4x2 + x
= 4(-2x +1) - 4x2 + x
= -4x2 - 7x + 4，
\-4x2 - 7x + 4 = ax2 + bx + c，
\a = -4，b = -7， c = 4，
\a - 2b + c = -4 +14 + 4 = 14，
故选：B．
二、填空题
3
11．计算： 2a2 × -6a2 ×b4 = ．
【答案】-48a8b4
【分析】先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可．
3
【解析】解： 2a2 × -6a2 ×b4
= 8a6 × -6a2 ×b4
= -48a8b4 ，
故答案为：-48a8b4．
【点睛】本题主要考查积的乘方运算、单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．
12 n-1
2
．（1） -4a b (-3a) = ；（2） (-3x) × - x2 y 3÷ × - xy2 ÷ = ；
è 3 è 4
3 3 2
（3） -2a4 3ab3 = ；（4） 3 102 1 103 ÷ = ；
è 3
2 2 2
（5） -x2 ym (xy)3 = ；（6） -a3 - a3 - a3 4a4 = ．
3
【答案】 12anb - x4 y3 -216a15b9 3 107 x7 y2m+3 144a14 ．
2
【分析】（1）根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可；
（2）根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可；
（3）先计算乘方，然后根据根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可；
（4）先计算乘方，然后根据根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可；
（5）先计算乘方，然后根据根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可；
（6）先计算乘方，然后根据根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可．
n-1
【解析】解：（1） -4a b (-3a) = 12an-1+1b = 12anb ；
2
2 (-3x) × - x2
3 2 3 3
（ ） y ÷ ×
- xy2 ÷ = -
3 x × x2 y × xy2 = - x4 y3 ÷ ；
è 3 è 4 è 3 4 2
（3） -2a4 3 3ab3 3 = -8a12 × 27a3b9 = -216a15b9 ；
3 102 2 1（4） 103 ÷ = 9 104 1 103 = 3 107；
è 3 3
（5） -x2 ym 2 (xy)3 = x4 y2m × x3 y3 = x7 y2m+3 ；
3 3 3 2 2 2（6） -a - a - a 4a4 = -3a3 ×16a8 = 9a6 ×16a8 = 144a14 ．
故答案为：12an
3
b；- x4 y3 ；-216a15b6；3 107 ； x7 y2m+3 ；144a14 ．2
【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方和幂的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计
算法则进行求解．
13．已知 x2 + 2x = -8，则代数式3+ x x + 2 的值为 ．
【答案】-5
2
【分析】先用单项式乘以整式法则展开3+ x x + 2 = x + 2x + 3，利用已知代数式的值整体代入计算即可．
【解析】解：∵ x2 + 2x = -8，
∴ 3+ x x + 2 = x2 + 2x + 3
= -8+3
= - 5
故答案为：-5．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，掌握代数式的求值方法，解题的关键是会利用整体代入法求值．
14．如图中的大长方形，分割成四个小长方形，计算其面积可发现公式： ．
【答案】 m + b n + a = mn + bn + am + ab
【分析】根据长方形面积公式可进行求解．
【解析】解：由图可知： m + b n + a = mn + bn + am + ab ；
故答案为 m + b n + a = mn + bn + am + ab ．
【点睛】本题主要考查整式乘以整式，熟知长方形的面积公式是解题的关键．
15．在数学课上，小明计算 x + 2 (x -■) 时，已正确得出结果，但课后不小心将第二个括号中的常数染黑
了，若结果中不含有一次项，则被染黑的常数为 ．
【答案】2
【分析】设被染黑的常数为 a，利用乘法公式展开 x + 2 (x - a) ，根据一次项系数为 0 即可求出 a 的值．
【解析】解：设被染黑的常数为 a，
则 x + 2 (x - a) = x2 - ax + 2x - 2a = x2 + 2 - a x - 2a ，
∵结果中不含有一次项，
∴ 2 - a = 0，
∴ a = 2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查整式乘以整式，解题的关键是掌握整式乘以整式的运算法则，本题也可以通过平方差公
式快速求解．
16 x2 - ax2 + bx + 2 2x2．已知 - 3x + 5 的展开式中不含三次项和四次项，则展开式中二次项和一次项的系
数之和为 ．
【答案】-2
【分析】利用整式乘整式法则将原式展开，根据题意展开式中不含三次项和四次项，可得 2 - 2a = 0 ，
-3 + 3a + 2b = 0，求解即可得 a,b的值，然后代入求值可确定展开式中二次项和一次项的系数，求和即可得
答案．
【解析】解： x2 - ax2 + bx + 2 2x2 - 3x + 5
= 2x4 - 3x3 + 5x2 - 2ax4 + 3ax3 - 5ax2 + 2bx3 - 3bx2 + 5bx + 4x2 - 6x +10
= (2 - 2a)x4 + (-3 + 3a + 2b)x3 + (5 - 5a - 3b + 4)x2 + (5b - 6)x +10
根据题意，展开式中不含三次项和四次项，
∴ 2 - 2a = 0 ，-3 + 3a + 2b = 0，
解得 a =1，b = 0，
∴ 5 - 5a - 3b + 4 = 5 - 5 1- 3 0 + 4 = 4，5b - 6 = 5 0 - 6 = -6，
即展开式中二次项系数为 4，一次项的系数为-6，
∴展开式中二次项和一次项的系数之和为 4 + (-6) = -2．
【点睛】本题主要考查了整式乘整式运算、整式相关概念、代数式求值等知识，熟练掌握整式乘整式运算
法则，正确展开原式是解题关键．
17．如图，正方形卡片A 类， B 类和长方形卡片C 类若干张，如果要拼一个长为 a + 2b ，宽为 a + b 的大
长方形，则需要C 类卡片 张．
【答案】3
2 2
【分析】拼成的大长方形的面积是 a + 2b a + b = a + 3ab + 2b ，即需要一个边长为 a的正方形，2 个边长
为b 的正方形和 3 个C 类卡片．
【解析】解：由题意得，一个 A 类卡片的面积为 a2 ，一个 B 类卡片的面积为b2 ，一个 C 卡片的面积为 ab，
∵ a + 2b a + b = a2 + 3ab + 2b2 ．
∴需要一个边长为 a的正方形，2 个边长为b 的正方形和 3 个C 类卡片．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了整式乘整式的运算，需要熟练掌握运算法则并灵活运用，利用各个面积之和等于总的
面积也比较关键．
18．观察以下等式：
(x -1)(x +1) = x2 -1， (x -1) x2 + x +1 = x3 -1 (x -1) x3， + x2 + x +1 = x4 -1……根据你所发现规律，计算：
22022 + 22021 + 22020 +L+ 23 + 22 + 2 +1 = ．
【答案】 22023 -1
【分析】根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大 1，减数都
为 1，利用规律来解答．
【解析】解：根据 (x -1)(x +1) = x2 -1，
(x -1) x2 + x +1 = x3 -1，
(x -1) x3 + x2 + x +1 = x4 -1，
…的规律，得出：
(x -1)(xn + xn-1 + xn-2 + + x3 + x2 + x +1) = xn+1 -1，
xn+1
\ xn + xn-1 + xn-2 + + x3 + x2 + x +1 -1= ，
x -1
2023
\22022 + 22021 + 22020 2 -1+ ×××+ 23 + 22 + 2 +1 = = 22023 -1．
2 -1
故答案是： 22023 -1．
【点睛】本题主要考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规
律解决问题．
三、解答题
3 2
19．（1）5ab3 × - a
3b 4÷ × - ab c ÷； （2） é 4(a - b)
m-1
ù é-3(a - b)
2m ù ．
è 4 è 3
5 5 8
【答案】（1） a b c；（2）-12(a - b)3m-1 ．
2
【分析】（1）根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可；
（2）根据同底数幂的乘法计算法则进行求解即可．
【解析】解：（1）5ab3
3
× - a3b 2× 4 4 ÷
- ab c
è è 3 ÷
= 5ab3 3× a3b 2× ab4c
4 3
5
= a5b8c ；
2
2 é4(a - b)m-1ù é-3(a - b)2m（ ） ù
= -4(a - b)m-1 ×3(a - b)2m
= -12(a - b)2m+m-1
= -12(a - b)3m-1．
【点睛】本题主要考查了整式的乘法计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
20．计算：
（1） 4a - b2 (-2b)；
2x2 x 1 （2） - 2 ÷
；
è
（3）5ab(2a - b + 0.2)；
2 2 4
（4） 2a - a - ÷ (-9a)．
è 3 9
【答案】（1）-8ab + 2b3 ；（2） 2x3 - x2 ；（3）10a2b - 5ab2 + ab ；（4）-18a3 + 6a2 + 4a．
【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案．
2
【解析】解：（1） 4a - b (-2b) = -8ab + 2b3；
2 2x2 x
1
- = 2x3（ ） ÷ - x
2
；
è 2
（3）5ab(2a - b + 0.2) =10a2b - 5ab2 + ab；
2a2 2（4） - a
4
- ÷ (-9a) = -18a
3 + 6a2 + 4a ．
è 3 9
【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
21．计算：
（1） (x - 6)(x - 3) ；
（2 ） x
1
+ x 1- ÷ ÷；
è 2 è 3
（3） (3x + 2)(x + 2)；
（4） (4 y -1)(5 - y) ；
（5） (x - 2) x2 + 4 ；
（6） (x - y) x2 + xy + y2 ．
2 1 1
【答案】（1） x2 - 9x +18；（2） x + x - ；（3）3x2 + 8x + 4 ；（4）-4 y2 + 21y - 5；（5）6 6
x3 - 2x2 + 4x -8；（6） x3 - y3 ．
【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；
（2）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；
（3）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；
（4）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；
（5）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；
（6）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案.
【解析】解：（1） (x - 6)(x - 3)=x2 - 3x - 6x +18 = x2 - 9x +18；
1 1 2 1 1 1 2 1 1
（2） x + ÷ x - ÷ = x - x + x - = x + x - ；
è 2 è 3 3 2 6 6 6
（3） (3x + 2)(x + 2) = 3x2 + 6x + 2x + 4 = 3x2 + 8x + 4；
（4） (4y -1)(5 - y) = 20y - 4y2 - 5 + y = -4y2 + 21y - 5；
5 (x - 2) x2 + 4 = x3（ ） + 4x - 2x2 -8 = x3 - 2x2 + 4x -8；
（6） (x - y) x2 + xy + y2
= x3 + x2 y + xy2 - x2 y - xy2 - y3
= x3 - y3
【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，掌握“多项式乘以多项式的法则：把一个多项式的每一项分别乘
以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”是解题的关键.
22．某中学扩建教学楼，测量地基时，量得地基长为 2am宽为 2a - 24 m，试用 a表示地基的面积，并计算
当 a = 25时地基的面积．
2
【答案】 4a - 48a m2，1300 m2．
【分析】根据题意可直接利用长×宽进行求解面积，然后把 a = 25代入求解即可．
【解析】解：根据题意得：
2 2
地基的面积是： 2a 2a - 24 = 4a - 48a m ，
当 a = 25时，地基面积为：
4a2 - 48a = 4 252 - 48 25 =1300 m2 ．
【点睛】本题主要考查整式的乘除的应用，熟练掌握整式的乘法是解题的关键．
23．甲、乙两人共同计算一道整式： x + a 2x + b ，由于甲抄错了 a 的符号，得到的结果是 2x2 - 7x + 3，
乙漏抄了第二个多项式中 x 的系数，得到的结果是 x2 + 2x - 3．
(1)求 -2a+b a+b 的值；
(2)若整式中的 a 的符号不抄错，且 a = 3，请计算这道题的正确结果．
【答案】(1)-14．
(2) x2 + 5x - 3
【分析】（1）根据题意，列出关于 a 和 b 的代数式的值，直接代入计算即可；
（2）先求出 b 的值，再代入计算．
1 a x - a 2x + b = 2x2 + -2a + b x - ab = 2x2【解析】（ ）解：甲抄错了 的符号的计算结果为： - 7x + 3，
因为对应的系数相等，故-2a + b = -7， ab = -3
乙漏抄了第二个多项式中 x 的系数，计算结果为： x + a x + b = x2 + a + b x + ab = x2 + 2x - 3．
因为对应的系数相等，故 a + b = 2 ， ab = -3，
∴ -2a+b a+b = -7 2 = -14
（2）解：乙漏抄了第二个多项式中 x 的系数，得到的结果得出：
a + b = 2 ，
故3+ b = 2，
∴b=-1，
把 a=3，b=-1 代入 x + a 2x + b ，
得(x+3)(2x-1)=2x2+5x-3，
故答案为：2x2+5x-3．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常
考题型，解题时要细心．
24．计算：
（1） (x + 2)(x + 3)；
（2） (x - 4)(x +1) ；
（3） ( y + 4)( y - 2) ；
（4） ( y - 5)( y - 3) ．
由上面计算的结果找规律，观察右图，填空：
(x + p)(x + q) = ( )2 + ( )x + ( ) ．
【答案】（1） x2 + 5x + 6；（2） x2 - 3x - 4 ；（3） y2 + 2 y - 8；（4） y2 - 8y +15；括号内依次填
x2 , p + q, pq．
【分析】利用多项式乘多项式直接去括号，再合并同类项即可．根据前 4 个式子的结果可以得出规律，即
可得出答案．
【解析】解：（1） (x + 2)(x + 3)
= x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6
（2） (x - 4)(x +1)
= x2 + x - 4x - 4
= x2 - 3x - 4
（3） ( y + 4)( y - 2)
= y2 - 2y + 4y -8
= y2 + 2y -8
（4） ( y - 5)( y - 3)
= y2 - 3y - 5y +15
= y2 -8y +15
(x + p)(x + q) = x2由上面的规律可知 + px + qx + pq = x2 + p + q x + pq ．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
25．长方形的长为 a厘米，宽为b 厘米，其中 a > b，如果将原长方形的长和宽各增加 3 厘米，得到的新长方
形面积记为 S1，如果将原长方形的长和宽分别减少 2 厘米，得到的新长方形面积记为 S2 ．
（1）若 a、b 为正整数，请说明： S1与 S2 的差一定是 5 的倍数；
（2）如果 S1 = 2S2，求将原长方形的长和宽分别减少 7 厘米后得到的新长方形面积．
【答案】（1）见解析；（2）将原长方形的长和宽分别减少 7 厘米后得到的新长方形面积为 50 平方厘米
【分析】（1）由题意，根据长方形的面积公式分别写出 S1 与 S2，再求差，变形即可得答案；
（2）根据 S1＝2S2，得到 ab 7a 7b＝1，再写出将原长方形的长和宽分别减少 7 厘米后得到的新长方形面
积，整体代入即可求得答案．
【解析】（1）证明：由题意得：S1=（a+3）（b+3）=ab+3（a+b）+9
S2=（a-2）（b-2）=ab-2（a+b）+4
S1-S2=[ab+3（a+b）+9]-[ab-2（a+b）+4]
=ab+3（a+b）+9-ab+2（a+b）-4
=5（a+b）+5
=5（a+b+1）
∴S1与 S2的差一定是 5 的倍数．
（2）∵S1=2S2
∴ab+3（a+b）+9=2[ab-2（a+b）+4]
∴ab-7a-7b-1=0
∴ab-7a-7b=1
∴将原长方形的长和宽分别减少 7 厘米后得到的新长方形面积为：（a-7）（b-7）=ab-7a-7b+49=1+49=50．
∴将原长方形的长和宽分别减少 7 厘米后得到的新长方形面积为 50 平方厘米．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式在长方形面积问题中的应用，正确地根据题意列出算式，是解题的
关键．
26．阅读理解：
（1）计算后填空： x +1 x + 2 = ______； x + 3 x -1 = ______；
（2）归纳、猜想后填空：
x + a x + b = x2 + x + ；
（3）运用 2 的猜想结论，直接写出计算结果：
x + 2 x + m = ______.
2
【答案】（1） x2 + 3x + 2 ， x2 + 2x - 3；（2） a + b ， ab；（3） x + 2 + m x + 2m
【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则即可求解.
（2）根据已知的等式找到规律即可求解；
（3）根据（2）中规律直接写出即可.
【解析】（1） x +1 x + 2 = x2 + 2x + x + 2 = x2 + 3x + 2
x + 3 x -1 = x2 - x + 3x - 3 = x2 + 2x - 3
故填： x2 + 3x + 2 ， x2 + 2x - 3；
（2 2）根据已知的等式找到规律为 x + a x + b = x + a + b x + ab
故填： a + b ， ab；
（3）由规律可得 x + 2 x + m = x2 + 2 + m x + 2m ；
2
故填： x + 2 + m x + 2m .
【点睛】此题主要考查多项式的乘法，解题的关键是熟知多项式乘多项式的运算法则.
27．方法探究：同学们在学习数学过程中，遇到难题可以考虑从简单到特殊的情况入手，例如：求
x -1 x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x +1 的值．分别计算下列各式的值：
(1)填空：
x -1 x +1 = ；
x -1 x2 + x +1 = ；
x -1 x3 + x2 + x +1 = ；
x -1 x9 8 7 6 5 4 3 2由此可得 + x + x + x + x + x + x + x + x +1 = ；
(2)计算：1+ 2 + 22 + 23 +L+ 22020 + 22021 = ；
(3)根据以上结论，计算：5 + 52 + 53 +L+ 52020 + 52021
【答案】(1) x2 -1， x3 -1， x4 -1， x10 -1；
(2) 22022 -1；
52022(3) - 5．
4
【分析】（1）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可；
（ 2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）根据得出的规律将原式变形，计算得到结果，即可做出判断．
2 2
【解析】（1） x -1 x +1 = x - x + x -1 = x -1，
x -1 x2 + x +1 = x3 + x2 + x - x2 - x -1 = x3 -1，
x -1 x3 + x2 + x +1 = x4 + x3 + x2 + x - x3 - x2 - x -1 = x4 -1，
x -1 x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 10由此可得： + x +1 = x -1，
故答案为： x2 -1， x3 -1， x4 -1， x10 -1；
（2）1+ 2 + 22 + 23 +L+ 22020 + 22021 = (2 -1)(1+ 2 + 22 + 23 +L+ 22020 + 22021) = 22022 -1，
故答案为： 22022 -1；
1
（3）5 + 52 + 53 +L+ 52020 + 52021 = 5 -1 50 + 51 + 52 + 53 +L+ 52020 + 52021 -1 ，4
1
= é 5 -1 50 + 51 + 52 + 53 +L+ 52020 + 52021 - 4ù ,4
1
= 52022 -1- 4 ，4
52022 - 5
= ．
4
【点睛】此题考查了多项式的乘法、平方差公式以及探索数字规律，弄清题意，找出题目中因式多项式与
乘积多项式之间的特征关系律是解题的关键．
28．如图 1，把边长为b 的正方形放在长方形 ABCD中，其中正方形的两条边分别在 AD ，CD 上，已知
AB = a a < 2b ，BC = 4a ．
(1)请用含 a、b 的代数式表示阴影部分的面积： S阴 = ；
7
(2)将另一长方形 BEFG 放入图 1 中得到图 2，已知BE = a，BG = b；
2
①请用含 a、b 的代数式表示长方形 AGPH 的面积： S长方形AGPH = ；请用含 a、b 的代数式表示长方形ECNM
面积： S长方形ECNM = ；
②若长方形PQMF 的周长为 6，求阴影部分的面积（用含b 的代数式表示）．
【答案】(1) 4a2 - b2 ；
1 1
(2)① S 2 2 2 2长方形AGPH = 4a - 5ab + 4b ， S长方形ECNM = a - ab ；②2 2 8b - 25b +18
．
【分析】本题主要考查几何图形与多项式乘以多项式运算，掌握用整式表示阴影部分面积是解题的关键．
（1）用大长方形面积减去小正方形面积，即可；
（2）①用代数式表示出 AG = a - b ， AH = 4a - b，结合长方形的面积公式即可求解；
②由长方形PQMF 的周长为 6 可得 a = 2b - 2 ，结合 S阴 = S长方形AGPH + S长方形ECNM 即可得到答案．
【解析】（1）解： S阴影 = a ×4a - b
2 = 4a2 - b2 ；
（2）①根据题意得， AG = a - b ， AH = 4a - b，
∴ S长方形AGPH = a - b 4a - b = 4a2 - 5ab + 4b2 ，
S 长方形ECNM = 4a
7 1 1
- a ÷ a - b = a2 - ab；
è 2 2 2
② PQ = EF - ME = b - (a - b) = 2b - a ，
QM 7 1= QN - MN = b - (4a - a) = b - a，
2 2
2 2b - a + b
1
- a ÷ = 6 ，
è 2
a = 2b - 2 ，
S阴 = S长方形AGPH + S长方形ECNM
= a - b 4a - b + 4a 7 - a
2 ÷
a - b
è
= a - b é 4a 1- b + aùê 2 ú
= 2b - 2 - b 8b -8 - b + b -1
= b - 2 8b - 9
= 8b2 - 25b +18．
29．阅读以下材料，回答下列问题：
小明遇到这样一个问题：求计算 x + 2 2x + 3 3x + 4 所得多项式的一次项系数．小明想通过计算
x + 2 2x + 3 3x + 4 所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方
法．
他决定从简单情况开始，先找 x + 2 2x + 3 所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：
也就是说，只需用 x + 2 中的一次项系数 1 乘以 2x + 3中的常数项 3，再用 x + 2 中的常数项 2 乘以 2x + 3中的
一次项系数 2，两个积相加1 3 + 2 2 = 7 ，即可得到一次项系数．
延续．上面的方法，求计算 x + 2 2x + 3 3x + 4 所得多项式的一次项系数．可以先用 x + 2 的一次项系数 1，
2x + 3的常数项 3，3x + 4的常数项 4，相乘得到 12；再用 2x + 3的一次项系数 2， x + 2 的常数项 2，3x + 4
的常数项 4，相乘得到 16；然后用3x + 4的一次项系数 3， x + 2 的常数项 2， 2x + 3的常数项 3，相乘得到
18，最后将 12，16，18 相加，得到的一次项系数为 46．
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
(1)计算 2x+1 3x+2 所得多项式的一次项系数为______．
(2)计算 x+1 3x+2 4x-3 所得多项式的一次项系数为______．
(3) 2若计算 x - x +1 x2 - 3x + a 2x -1 所得多项式的一次项系数为 0，则a = ______．
(4)计算 x +1 5所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______．
(5) 5计算 2x -1 所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______．
【答案】(1)7
(2) -7
(3) -1
(4)5，10
(5)10，-40
【分析】（1）结合已知可得 (2x +1)(3x + 2) 所得多项式的一次项系数 = 2 2 +1 3，即可求解；
（2）结合已知可得 (x +1)(3x + 2)(4x - 3) 所得多项式的一次项系数 = 1 (-3) 2 + 3 1 (-3) + 4 1 2，即可求解；
（3）由 (x2 + x +1)(x2 - 3x + a)(2x -1)所得多项式中不含一次项，可得 -1 a -1 + -3 1 -1 + 2 1 a = 0，
即可求解；
（4）（5）根据题目中提供的计算方法进行计算即可．
【解析】（1）解： 2 2 +1 3 = 7 ，
故答案为：7；
（2）1 (-3) 2 + 3 1 (-3) + 4 1 2 = -6 - 9 + 8 = -7，
故答案为： -7 ；
（3）由题意得， -1 a -1 + -3 1 -1 + 2 1 a = 0，
也就是， a + 3+ 2a = 0，
所以， a = -1；
故答案为：-1；
（4）Q(x +1)5
= (x +1)(x +1)(x +1)(x +1)(x +1)
= (x2 + 2x +1)(x2 + 2x +1)(x +1)
\一次项系数为： 2 1 1+ 2 1 1+1 1 1 = 5；
二次项系数为：1+1+ 2 2 + 2 1+ 2 1 = 10．
故答案为：5，10；
（5）Q(2x -1)5 = (2x -1)(2x -1)(2x -1)(2x -1)(2x -1) ．
= (4x2 - 4x +1)(4x2 - 4x +1)(2x -1)．
\一次项系数为： -4 1 (-1) + (-4) 1 (-1) + 2 1 1 = 10，
二次项系数为： 2 (-4) 1+ (-4) (-4)(-1) 2 = -40 ．
故答案为：10；-40．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数是解决问题的关
键．
30．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图 1 所示的三种纸片，A 种纸片是边长为 a 的正方形，B 种纸片是边长
为 b 的正方形，C 种纸片是长为 b，宽为 a 的长方形，并用 A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼
成了如图 2 所示的大正方形．
(1)①观察图 2，请你写出代数式 a + b 2 ， a2 + b2 ， ab之间的等量关系式______．
②图 3 是由图 1 提供的几何图形拼接而得，可以得到 a + b 3a + b = ______．
(2)请利用图 1 所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为 2a + b a + 2b ，（在图 4 的方框内
进行作图），进而可以得到等式：______；
1
(3)利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若 4a2 +10ab + 4b2 = 5， a + 2b = ，求 2a + b 的值．2
【答案】(1)① a + b 2 = a2 + b2 + 2ab ② 3a2 + 4ab + b2
(2) 2 2图见详解， 2a + b a + 2b = 2a + 5ab + 2b
(3)5
【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何中的应用，面积法；
（1 2）分别用两种方法表示出面积为 a + b 和 a2 + b2 + 2ab ，即可求解；
（2）分别用两种方法表示出面积为 a + b 3a + b 和3a2 + 4ab + b2 ，即可求解；
（3）将 4a2 +10ab + 4b2 2 2a2 + 5ab + 2b2化为 ，由（2）可得 2a + b = 2a2 + 5ab + b2 a + 2b ，即可求解；
掌握面积的两种表示方法：整体法、部分法，会用整体代换法求整式的值是解题的关键．
2
【解析】（1）解：①方法一：图 2 的面积可表示为 a + b ，
方法二：图 2 的面积可表示为：
a2 + b2 + ab + ab
= a2 + b2 + 2ab，
\ a + b 2 = a2 + b2 + 2ab，
2
故答案： a + b = a2 + b2 + 2ab；
②方法一：图 3 的面积可表示为 a + b 3a + b ，
方法二：图 3 的面积可表示为：
3a2 + 4ab + b2 ，
\ a + b 3a + b
= 3a2 + 4ab + b2 ；
故答案：3a2 + 4ab + b2 ；
（2）解：如图，
\ 2a + b a + 2b = 2a2 + 5ab + 2b2；
故答案： 2a2 + 5ab + 2b2 ；
（3）解： 4a2 +10ab + 4b2
= 2 2a2 + 5ab + 2b2
由（2）可得： 2a + b a + 2b = 2a2 + 5ab + 2b2，
\ 4a2 +10ab + 4b2
= 2 2a + b a + 2b ，
\ 2a + b a + 2b
5
= 2a2 + 5ab + 2b2 = ，2
∴ 2a + b = 2a2 + 5ab + b2 a + 2b ．
a 2b 1∴当 + = 时，
2
\ 2a + b = 2a2 + 5ab + 2b2 a + 2b
5 1
=
2 2
= 5．
