第 13 讲 整式的乘除 单元综合检测（难点）
一、单选题
1．已知8.622 = 74.13，若 x2 = 0.7413，则 x 的值（ ）
A．86.2 B．0.862 C．±0.862 D．±86.2
【答案】C
8.622 74.13 2
【分析】由 = = 0.7413 8.62 ，可得 ± ÷ = 0.7413，然后判断作答即可．100 100 è 10
8.622 74.13
【解析】解：∵ = = 0.7413，
100 100
8.62 2∴ ± ÷ = 0.7413，，
è 10
x 8.62∴ = ± = ±0.862，
10
故选：C．
【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
2．下列各式计算正确的是（ ）
A． a b c 2 = a2 b2 c2 B． a b - c 2 = a2 b2 - c2
C 2 2 2 2． a b - c = -a - b c D． a b - c = a - b c
【答案】C
【分析】根据完全平方公式，逐项验证即可得到答案．
【解析】解：A、 2a b c 2 = é a b cù
= a b 2 2 a b c c2
= a2 2ab b2 2ac 2bc c2 a2 b2 c2，该选项计算错误，不符合题意；
B、 2a b - c 2 = é a b - c ù
= a b 2 - 2 a b c c2
= a2 2ab b2 - 2ac - 2bc c2 a2 b2 - c2 ，该选项计算错误，不符合题意；
C、 a b - c 2 = [- -a - b c ]2 = (-a - b c)2 ，该选项计算准确，符合题意；
D、 a b - c 2 = [- -a - b c ]2 = (-a - b c)2 a - b c 2 ，该选项计算错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的变式，熟记完全平方公式是解决问题的关键．
3．若 2a 3b = 3，则 4a ×8b 的值为（ ）
A 1
1
． 4 B．4 C． D．88
【答案】D
【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘，利用幂的乘方、同底数幂相乘法则把 4a ×8b 变形为 22a 3b，
然后把 2a 3b = 3整体代入计算即可．
【解析】解∶∵ 2a 3b = 3，
∴ 4a ×8b
2 a b= 2 × 23
= 22a × 23b
= 22a 3b
= 23
= 8，
故选∶D．
4．已知 a = 2255，b = 3344， c = 5533 ， d = 6622，则 a、b、c、d 的大小关系是（ ）
A． a > b > c > d B． a > b > d > c C．b > a > c > d D． a > d > b > c
【答案】A
【分析】先变形化简 a = 2255 =（225）11，b = 3344 =（334）11， c = 5533 =（553）11 ， d = 6622 =（662）11，比较 11 次
幂的底数大小即可．
【解析】因为 a = 2255 =（225）11，b = 3344 =（334）11， c = 5533 =（553）11 ， d = 6622 =（662）11，
553 552 5 25
因为 2 = 55 2 = 55 （ ）
2 = 55 ＞1，
66 66 6 36
所以553＞662 ，
所以 (553)11＞( 662 )11，
故5533＞6622 即 c > d ；
同理可证 a > b，b > c
所以 a > b > c > d ，
故选 A．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键．
5．按如图所示的程序输出的结果是（ ）
A．4m2 2m - 6 B． 4m2 - 9 C．8m2 6m - 9 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了列代数式与整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据运算程序进行列式
计算即可．
【解析】解∶根据题意，得 m 4 - 6 2 2m 3
= 2m - 3 2m 3
= 4m2 - 9，
故选∶B．
6 2 2．使 x 3x p x - qx 4 乘积中不含 x2 与 x3 项，则 p q 的值为（ ）
A．-8 B．-4 C．-2 D．8
【答案】D
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系
数为 0．先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把 p、q 看作常数，合并关于 x2 与 x3的
同类项，令其系数为 0，得出 p 与 q 的值，即可求出结果．
2
【解析】解： x 3x p x2 - qx 4
= x4 - qx3 4x2 3x3 - 3qx2 12x px2 - pqx 4 p
= x4 3 - q x3 4 - 3q p x2 12 - pq x 4 p
Q x2 3x p x2 - qx 4 乘积中不含 x2 与 x3 项，
\3 - q = 0,4 - 3q p = 0
\q = 3，则 p = 5
\ p q = 8，
故选：D．
7．已知多项式 ax3 bx2 cx d 除以 x -1时，所得的余数是 1，除以 x - 2时所得的余数是 3，那么多项式
ax3 bx2 cx d 除以 (x -1)(x - 2)时，所得的余式是（ ）
A． 2x -1 B． 2x 1 C． x 1 D． x -1
【答案】A
【分析】先设 y = ax3 bx2 cx d ，除以 (x -1)(x - 2)时所得的余式为mx n ，商式为 q x ，再分别令 y =1、
y = 2 即可求出 m、n 的值，代入余式mx n ，即可求解．
【解析】解：设 y = ax3 bx2 cx d ，除以 (x -1)(x - 2)时所得的余式为mx n ，商式为 q x ，
当 y =1时， x -1 ×q x m n = 1，
当 y = 2 时， x - 2 × q x 2m n = 3，
∴ m = 2 ， n = -1，
∴多项式 ax3 bx2 cx d 除以 (x -1)(x - 2)时，所得的余式为 2x -1，
故选：A．
【点睛】本题考查带余数的除法，解题的关键是设出原式除以 (x -1)(x - 2)时所得的余式为mx n ，商式为
q x ，再用取特殊值法求解即可．
8．已知： a b c = 3， a2 b2 c2 = 3，则 a2011 b2011 c2011的值是（ ）
A．0 B．3 C． 22005 D．3 ×22005
【答案】B
2 2 2
【分析】根据已知，得到 a b c - 2 a b c 3 = 0，再利用完全平方公式，得出
a -1 2 b -1 2 c -1 2 = 0，然后根据平方的非负性，求得 a = b = c =1，代入计算即可求出 a2011 b2011 c2011
的值．
【解析】解：Qa b c = 3， a2 b2 c2 = 3，
\ a2 b2 c2 - 2 a b c 3 = 3 - 2 3 3 = 0 ，
\ a2 - 2a 1 b2 - 2b 1 c2 - 2c 1 = 0，
\ a -1 2 b -1 2 c -1 2 = 0，
\a -1 = 0，b -1 = 0 ， c -1 = 0 ，
\a = b = c =1，
\a2011 b2011 c2011 =12011 12011 12011 =1 1 1 = 3，
故选 B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，平方的非负性，代数式求值，有理数的乘方，根据已知得出
a -1 2 b -1 2 c -1 2 = 0是解题关键．
9．用边长分别为 a,b(a > b)的两种正方形A 和B，拼成如图所示的两个图形，若图中阴影部分面积分别记
为 S1, S2 ，下列关于 S1, S2 的大小关系表述正确的是（ ）
A． S1 > S2 B． S1 < S2 C． S1 S2 D． S1 = S2
【答案】B
【分析】本题考查了整式的混合运算：利用面积的和差分别表示出 S1和 S2，然后利用整式的混合运算计算
它们的差．
S = a 2b a b - a2 - 3b2【解析】解： 1
= a2 3ab 2b2 - a2 - 3b2
= 3ab - b2 ；
S2 = 3a a 2b - 3a2 - 3b2
= 3a2 6ab - 3a2 - 3b2
= 6ab - b2
∵ S2 - S1 = 6ab - b
2 - 3ab - b2 = 3ab > 0
∴ S1 < S2
故选：B．
10．设 x y z = 2020
x y z
，且 = = ，则 x2 y2 z2 - xy - xz - yz = （ ）
2019 2020 2021
2 1
A． B． C．674 D．673
3 3
【答案】B
【分析】本题考查了整式的化简求值，化简过程中用到了两个重要的公式：完全平方公式、平方差公式，
x y z
令 = = = a 求出 x, y, z之间的等式关系是解题关键．
2019 2020 2021
x y z
令 = = = a ，可将 x, z 的值用 y 与 a 表示，利用 x y z = 2020求出 a 的值，然后将所求的式
2019 2020 2021
子化简成只含有 y 与 a 的式子，再代入求解即可．
x y z
【解析】解：设 = = = a ，
2019 2020 2021
ìx = 2019a, y = 2020a, z = 2021a
则 íx = y - a ，
z = y a
将 x, y, z的值代入 x y z = 2020可得： 2019a 2020a 2021a = 2020，
1
解得： a = ，
3
Q x2 = (y - a)2 = y2 - 2ay a2 ， z2 = (y a)2 = y2 2ay a2 ，
\ x2 y2 z2 - xy - xz - yz
= y2 - 2ay a2 y2 y2 2ay a2 - y - a y - y - a y a - y y a
= y2 - 2ay a2 y2 y2 2ay a2 - y2 ay - y2 a2 - y2 - ay
= 3a2
1 2
= 3
è 3 ÷
1
=
3 ，
故选：B．
二、填空题
11．若3m n = 8，3m-n = 2，则3n = ．
【答案】2
ì3m ×3n = 8
【分析】本题主要考查了同底数幂运算的应用，根据题意可得出 í m 解方程即可得出答案．
3 3
n = 2
ì3m n = 8
【解析】解：由题意得： í3m-n
，
= 2
ì3m ×3n = 8
即 í
3
m 3n = 2
ì3m = 4
解得： í ，
3
n = 2
故答案为：2．
12．若 a2 a - 2024 2= 0 ，代数式 a - 2024 a 1 的值是 ．
【答案】-2024
【分析】此题考查了代数式的值，整体代入是解题的关键．首先根据 a2 a - 2024 = 0 ，可得 a2 - 2024 = -a ，
把 a2 - 2024 2= -a 代入 a - 2024 a 1 ，然后把 a2 a = 2024代入化简后的算式计算即可．
【解析】解：∵ a2 a - 2024 = 0 ，
∴ a2 - 2024 = -a ，
∴ a2 - 2024 a 1
= -a a 1
= - a2 a ．
∵ a2 a - 2024 = 0 ，
∴ a2 a = 2024，
∴ = - a2原式 a
= -2024 ．
故答案为：-2024．
13．若 x, y是正整数，且 x - 2 y -1 = 0，则 2x 4y 8等于 ．
【答案】16
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法运算；根据题意得出 x - 2y =1，代入代数式，即可求解．
【解析】解：∵ x - 2 y -1 = 0，则 x - 2y =1
∴ 2x 4y 8 = 2x-2 y 3 = 21 3 = 24 =16 ，
故答案为：16．
14．阅读理解：引入新数 i，新数 i满足分配律、结合律与交换律，已知 i2 = -1，则
i -1 i 1 i2 1 i4 1 i8 1 - i2 的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是根据平方差公式对所求式子进行化简．根据平方差
8
公式对所求式子进行化简得到 i2 -1- i2 ，再代入值计算即可．
【解析】解： i -1 i 1 i2 1 i4 1 i8 1 - i2 ，
= i2 -1 i2 1 i4 1 i8 1 - i2 ，
= i4 -1 i4 1 i8 1 - i2，
= i8 -1 i8 1 - i2 ，
= i16 -1- i2，
= i2 8 -1- i2，
Q i2 = -1，
\ 8原式= -1 -1- -1 =1-1 1 =1，
故答案为：1．
15．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字 1~9 填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈
上的四个数字的和都等于 23，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记 A、B、C，且 A B C = 529．如
果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为 x、y、 x y ，则 x y = ； xy = ．
【答案】 12 22
【分析】本题考查了整式的运算、完全平方公式以及有理数的乘方运算，由每个圆圈上的四个数字的和都
等于 23，可得出三个大圆圈上的数字之和为 63，结合 9 个小圆圈的数字之和为 45，可求出 x y =12，由
A B C = 529，结合 9 个小圆圈上的数字的平方和为 285 2 x y 2，可得出 - 2xy = 244 ，再代入
x y =12，即可求出 xy的值．
【解析】解：∵每个圆圈上的四个数字的和都等于 23，，
∴三个大圆圈上的数字之和为 23 3 = 69，
∵各小圆圈上的数字之和为
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 45，
∴ 45 x y x y = 69，
∴ x y =12；
∵ A B C = 529，12 22 32 42 52 62 72 82 92 = 285
∴ 285 x y 2 x2 y2 = 529 ，
∴ x y 2 x2 y2 = 244,
∴ 2 x y 2 - 2xy = 244 ，
∴ 2 122 - 2xy = 244,
∴ xy = 22．
故答案为∶12，22．
16．正整数 k 2022，那么 22k -1 -1- 2 -… - 2022 除以 3 的余数是 ．
【答案】2
【分析】先求出1 2 3 … 2022 除以 3 的余数是 0，再得到 k 2022时， 22k -1 除以 3 的余数是 2，依此即
可得到 22k -1 -1- 2 -… - 2022 除以 3 的余数．
【解析】解：∵1 2 3 … 2022
1
= 1 2022 2022 =1011 2023 = 3 337 2023，
2
∴1 2 3 … 2022 除以 3 的余数是 0，
2k -1 1
由 2 = 4k 知：
2
k 2022 22k -1
1
当 时， = 4k
1 1 1
= 4 4 4k -2 , 22k -1 = 4k = 4 4 4k -2除以 3 的余数是 2，
2 2 2 2
∴ 22k -1 - 1 2 3 … 2022 除以 3 的余数是 2，
即 22k -1 -1- 2 -… - 2022 除以 3 的余数是 2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了同余问题，解题的关键是 22k -1 -1- 2 -… - 2022 变形为
22k -1 - 1 2 3 … 2022 ．
1 1 1
17．已知 a = 2018，b = 2019， c = 2020，则代数式 a2 b2 c2 - ab - bc - ac 的值
2019 2019 2019
为 ．
【答案】3
1
【分析】把已知的式子化成 [(a - b)2 (a - c)2 (b - c)2 ]的形式，然后代入求解．
2
1
【解析】解：Q a = 2018 b
1
， = 2019
1
， c = 2020，
2019 2019 2019
\a - b = -1， a - c = -2 ，b - c = -1，
1 2 2 2
则原式= (2a 2b 2c - 2ab - 2ac - 2bc)
2
1
= [(a2 - 2ab b2 ) (a2 - 2ac c2 ) (b2 - 2bc c2 )]
2
1
= [(a - b)2 (a - c)2 (b - c)2 ]
2
1
= [1 4 1]
2
= 3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了代数式的求值，正确利用完全平方公式把所求的式子进行变形是关键．
18．如图，将两张边长分别为 a和b a > b 的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①
和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边
AB ， AD 的长度分别为m ， n ；设图①中阴影部分面积为 S1，图②中阴影部分面积为 S2，当m - n = 5时，
S1 - S2 的值为 ．
【答案】5b
【分析】本题考查了整式的混合运算，面积的定义，根据平移的知识和面积的定义，列出算式
S1 - S2 = n m - a a - b n - a - é m n - a a - b m - a ù ，再去括号，合并同类项即可求解．
【解析】解：图 1 中阴影部分的面积 S1 = n m - a a - b n - a ，
图 2 中阴影部分的面积 S2 = m n - a a - b m - a ，
S1 - S2 = n m - a a - b n - a - ém n - a a - b m - a ù
= nm - na n a - b - a a - b - mn am - m a - b a a - b
= b m - n
= 5b ．
故答案为：5b．
三、解答题
19．在等式的运算中规定：若 a x = a y (a > 0且 a 1， x ， y 是正整数），则 x = y ，利用上面结论解答下列
问题：
(1)若9x = 36 ，求 x 的值；
(2)若3x 2 - 3x 1 =18，求 x 的值；
(3)若m = 2x 1， n = 4x 2x ，用含m 的代数式表示 n ．
【答案】(1) x = 3；
(2) x =1；
(3) n = m2 - m
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算：
（1）根据幂的乘方的逆运算法则把两边底数为成一样，再根据题目规定解答即可；
（2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把变形为3 3x 1 - 3x 1 = 18，进而得到3x 1 = 9 = 32 ，据此即可解答；
x 2
（3）先求出 2x = m -1，再根据 n = 4x 2x = 22 2x = 2x 2x 进行求解即可．
【解析】（1）解：∵ 9x = 36 ，
∴ 32 x = 36 ，
∴ 32x = 36，
∴ 2x = 6，
∴ x = 3；
（2）解：∵ 3x 2 - 3x 1 =18，
∴ 3 3x 1 - 3x 1 = 18，
∴ 2 3x 1 = 18，
∴ 3x 1 = 9 = 32 ，
∴ x 1 = 2，
∴ x =1；
（3）解：∵ m = 2x 1，
∴ 2x = m -1，
∵ n = 4x 2x ，
∴ n = 22 x 2x ，
x 2∴ n = 2 2x ，
∴ n = m -1 2 m -1 = m2 - 2m 1 m -1 = m2 - m．
20．阅读：在计算 x -1 xn xn-1 xn-2 L x 1 的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到
复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做
特殊到一般．如下所示：
【观察】① (x -1)(x 1) = x2 -1；
② (x -1) x2 x 1 = x3 -1；
③ (x -1) x3 x2 x 1 = x4 -1；
……
(1) n n-1 n-2【归纳】由此可得： x -1 x x x L x 1 = ________；
(2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算： 22023 22022 22021 L 22 2 1 = _______；
(3)计算： 220 - 219 218 - 217 L- 23 22 - 2 1 = ______；
(4)若 x5 x4 x3 x2 x 1 = 0，求 x2022的值．
【答案】(1) xn 1 -1
(2) 22024 -1
1 1
(3) 221
3 3
(4) x2022 =1．
【分析】（1）利用已知得出式子变化规律，进而得出答案；
（2）利用（2）中变化规律进而得出答案；
（3）将 220 - 219 218 - 217 L- 23 22 - 2 1转化为
-2 20 -2 19 -2 18 -2 17 L -2 3 -2 2 -2 1，再利用（2）中变化规律进而得出答案；
（4）利用（2）中变化规律得出 x 的值，进而得出答案．
【解析】（1）解：① (x -1)(x 1) = x2 -1；
② (x -1) x2 x 1 = x3 -1；
③ (x -1) x3 x2 x 1 = x4 -1；
……；
∴ x -1 xn xn-1 xn-2 L x 1 = xn 1 -1，
故答案为： xn 1 -1；
（2）解： 22023 22022 22021 L 22 2 1
= 2 -1 22023 22022 22021 L 22 2 1
= 22024 -1；
（3）解： 220 - 219 218 - 217 L- 23 22 - 2 1
= -2 20 -2 19 -2 18 -2 17 L -2 3 -2 2 -2 1
1
= - é -2 -1ù é -2 20 -2 19 -2 18 -2 17 L -2
3 -2 2 -2 1ù
3
1
= - é -2 21 ù
3
-1
1 221 1= ；
3 3
1 21 1
故答案为： 2 - ；
3 3
（4）解：∵ x -1 x5 x4 x3 x2 x 1 = x5 -1 = 0，
∴ x = ±1，
∵ x5 x4 x3 x2 x 1 = 0，
∴ x 1，x = -1，
∴ x2022 = -1 2022 =1．
【点睛】此题主要考查了平方差公式以及数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律是解题关键．
21．你能化简 (x -1)(x99 x98 x 1)吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，找出
规律，归纳出一些方法来解决问题．
(1)分别化简下列各式：
(x -1)(x 1) = ；
(x -1)(x2 x 1) = ；
(x -1)(x3 x2 x 1) = ；
(x -1)(x99 x98 x 1) = ．
(2)请你利用上面的结论计算： 299 298 … 2 1= ．
【答案】(1) x2 -1 ， x3 -1 ， x4 -1 ， x100 -1
(2) 2100 -1
【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）归纳总结得到规律，写出结果即可；
（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．
【解析】（1）解： (x -1)(x 1) = x2 -1；
(x -1)(x2 x 1) = x3 -1；
(x -1)(x3 x2 x 1) = x4 -1；
(x -1)(x99 x98 x 1) = x100 -1；
（2） 299 298 2 1 = (2 -1) (299 298 2 1) = 2100 -1．
22．已知，如图 1，我们在 2018 年某月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两
数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”)该十字星的十字差为
12 14 - 6 20 = 48，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为 48．
（1）如图 2，将正整数依次填入 5 列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十
字差”也是一个定值，则这个定值为 ．
（2）若将正整数依次填入 6 列的长方形数表中，不同位置十字星的“十字差”是一个定值吗 如果是，请求出
这个定值；如果不是，请说明理由．
（3）若将正整数依次填入 k 列的长方形数表中(k≥3)，继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数 k
有关的定值，请用 k 表示出这个定值，并证明你的结论．
【答案】（1）24；（2）是，这个定值是 35，理由见解析；（3）定值为 k 2 -1，证明见解析.
【分析】（1）根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；
（2）设十字星中心的数为 x，则十字星左右两数分别为 x-1，x+1，上下两数分别为 x-6，x+6，进而表示出
十字差，化简即可得证；
（3）设十字星中心的数为 y，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证．
【解析】解：（1）根据题意得：6 8 - 2 12 = 48 - 24 = 24，
故答案为：24；
（2）是，这个定值是 35．理由如下：
设十字星中心的数为 x ，则十字星左右两数分别为 x -1， x 1，上下两数分别为 x - 6， x 6，
十字差为： x -1 x 1 - x - 6 x 6 = x2 -1- x2 36 = 35．
故不同位置十字星的“十字差”是一个定值，这个定值为 35；
(3)定值为 k 2 -1，证明如下：
设设十字星中心的数为 y，则十字星左右两数分别为 y -1， y 1，上下两数分别为 y - k ， y k(k 3) ，
十字差为： y -1 y 1 - y - k y k = y2 -1- y2 k 2 = k 2 -1，
故这个定值为 k 2 -1．
【点睛】此题考查了整式运算的实际应用，正确理解题意以及熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面
积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．
(1)如图 1 所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法
计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；
(2)如图 2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为 a b c 的大正方形，试用不同形
式表示这个大正方形的面积，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______；
(3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知 a b c = 5， ab bc ac = 2，求 a2 b2 c2 的值；
(4)如图 3，由两个边长分别为 m，n 的正方形拼在一起，点 B，C，E 在同一直线上，连接 BD、BF，若
m n =12，mn = 24，请利用（1）中的结论，求图 3 中阴影部分的面积．
【答案】(1) a2 b2 = a b 2 - 2ab
(2) a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc = a b c 2
(3)21
(4)36
【分析】（1）根据大正方形的边长为 a b ，而大正方形由两个边长为 a，b 的正方形和两个长为 b，宽为
a 的长方形组成即可得出答案；
（2）分别表示出大正方形中每一个小正方形的面积及长方形的面积，然后根据这些小正方形的面积及长方
形的面积等于大正方形的面积即可得出答案；
（3）由（2）得结论可得 a2 b2 c2 = a b c 2 - 2ab 2bc 2ac ，然后将 a b c = 5，ab bc ac = 2代
入进行计算即可得出结论；
1 2 2 1
（4）分别求出 S△BCD = m ， S正方形CEFG = n ， SVBEF = m n n，再根据又 S2 2 阴影
= S△BCD S正方形CEFG - S△BEF
得 S
1 2 2
阴影= m n - mn 2，然后由（1）可知：m2 n2 = m n - 2mn，从而得2
m2 n2 - mn = m n 2 - 3mn ，再将m n =12，mn = 24进行计算即可得出答案．
【解析】（1 2）依题意得： a2 b2 = a b - 2ab ；
故答案为： a2 b2 = a b 2 - 2ab ．
（2）依题意得： a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac = a b c 2；
故答案为： a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac = a b c 2．
（3）由（2）可知： a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac = a b c 2，
∴ a2 b2 c2 = a b c 2 - 2ab 2bc 2ac ，
即： a2 b2 c2 = a b c 2 - 2 ab bc ac ，
又∵ a b c = 5，ab bc ac = 2，
∴ a2 b2 c2 = 52 - 2 2 = 21；
（4） S阴影 = S△BCD S正方形CEFG - S△BEF
1
= m2 n2 1- m n n 1= m2 n2 1- mn 1- n2
2 2 2 2 2
1
= m2 1 n2 - mn = é m n
2 - 3mnù ．2 2
当m n =12，mn = 24时，
1
= é m n 2 1 1原式 ù - 3mn = 12
2 - 3 24
2 2 = 72 = 36．2
【点睛】此题主要考查了集合背景下的完全平方公式及其应用，理解题意，准确识图，熟练掌握完全平方
公式的结构特征是解答此题的关键．
24．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以
用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次
数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为 0 或余式的次数低于除式的次数.
8x2例：计算 6x 1 2x 1 ，可依照672 21的计算方法用竖式进行计算.因此
8x2 6x 1 2x 1 = 4x 1 .
(1) x3 4x2 5x - 6 x 2 的商是______，余式是______.
(2)利用上述方法解决：若多项式2x4 4x3 ax2 8x - b能被 x2 - x 1整除，求ab值.
(3)已知一个长为 x 2 ，宽为 x - 2 的长方形 A，若将它的长增加 6，宽增加 a 就得到一个新长方形 B，此
时长方形 B 的周长是 A 周长的 2 倍（如图）.另有长方形 C 的一边长为 x 10 ，若长方形 B 的面积比 C 的
面积大 76，求长方形 C 的另一边长.
【答案】(1) x2 2x 1，-8．
(2)36
(3)3x -14
【分析】（1）根据多项式除以多项式的法则计算．
（2）根据多项式除以多项式的法则计算．
（2）通过面积关系求长方形的边长．
3 2
【解析】（1）解： x 4x 5x - 6 x 2 用竖式计算如下，
x2 2x 1
x 2 x3 4x2 5x - 6
x3 +2x2
2x2 5x - 6
2x2 4x
x - 6
x 2
-8
x3 4x2 5x - 6 x 2 的商是 x2 2x 1，余式是-8．
∴答案为： x2 2x 1，-8．
（2）多项式2x4 4x3 ax2 8x - b能被 x2 - x 1整除，则
2x2 6x - 2
x2 - x 1 2x4 4x3 ax2 8x - b
2x4 - 2x3 2x2
6x3 a - 2 x2 8x
6x3 - 6x2 6x
a 4 x2 2x - b
-2x2 2x - 2
0
∴a+4-（-2）=0，-b-（-2）=0．
∴a=-6，b=2．
∴ab=（-6）2=36．
（3）长方形 A 的周长为：2（x+2+x-2）=4x．
长方形 B 的周长为：2（x-2+a+x+2+6）=4x+2a+12．
∵长方形 B 的周长是 A 周长的 2 倍．
∴4x+2a+12=8x．
∴a=2x-6．
∴长方形 B 的面积为：（x+2+6）（x-2+2x-6）=（x+8）（3x-8）
=3x2+16x-64．
∴长方形 C 的面积为：3x2+16x-140．
∴长方形 C 的另一边长为：（3x2+16x-140）÷（x+10）=3x-14．
3x -14
x 10 3x2 16x -140
3x2 30x
-14x -140
-14x -140
0
∴长方形 C 的另一边长为：3x-14．
【点睛】本题考查多项式除以多项式，抓住整除的定义找到系数的关系是求解本题的关键．
25．【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构
2
造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式： a b = a2 2ab b2 （如图 1）．利用“数形结
合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图 2 可得等式：__________；由图 3 可得等式：__________；
(2)利用图 3 得到的结论，解决问题：若 a b c =15， ab ac bc = 35，则 a2 b2 c2 = __________；
(3)如图 4，若用其中 x 张边长为 a的正方形， y 张边长为b 的正方形， z 张边长分别为 a、b 的长方形纸片拼
出一个面积为 2a b a 2b 长方形（无空隙、无重叠地拼接），则 x y z = ______；
(4)如图 4，若有 3 张边长为 a的正方形纸片，4 张边长分别为 ab的长方形纸片，5 张边长为b 的正方形纸
片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地
拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______．
【方法拓展】
(5)已知正数 a，b ， c和m ， n ， l，满足 a m = b n = c l = k ．试通过构造边长为 k 的正方形，利用图形
面积来说明 al bm cn < k 2 ．
【答案】(1)（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
(2)155
(3)9
(4)a+2b；
(5)见解析
【分析】（1）大长方形的面积=长×宽，也等于 3 个小正方形和 3 个小长方形面积的和，两种方法求得的大
长方形的面积相等，即“等积法”得到等式．
（2）用（1）的结论变形后代入求值．
（3）观察（2a+b）（a+2b）长方形找到 x、y、z 对应的值，代入求值．
（4）通过分析，找到可以拼成正方形的可能的情况，然后找到正方形的边长最大，
（5）通过构造边长为 k 的正方形，用 3 个长方形的面积表示 al+bm+cn，用面积直观地说明 al+bm+cn【解析】（1）解：由图 2 知，大长方形的面积=（2a+b）（a+b），
大长方形的面积=3 个小正方形的面积+3 个小长方形的面积=a2+a2+b2+3ab=2a2+b2+3ab，
∴（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；
由图 3 知，大正方形的面积=（a+b+c）2，
大正方形的面积=3 个正方形的面积+2 个小长方形的面积+2 个小长方形的面积+2 个小长方形的面积
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
故答案为：（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab； =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）由图 3 得（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-（2ab+2ac+2bc）=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc），
当 a b c =15， ab ac bc = 35时，
a2+b2+c2=152-2×35=155；
故答案为：155
（3）解：∵（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，2，
∴长方形 2a b a 2b 可以看成 2 张边长为 a 的正方形，2 张边长为 b 的正方形，5 张边长分别为 a、b 的
长方形纸片拼成的大长方形，
∴x=2，y=2，z=5，
∴x+y+z=9；
故答案为：9
（4）解：3 张边长为 a 的正方形纸片的面积为 3a2，4 张边长分别为 ab 的长方形纸片的面积为 4ab，5 张边
长为 b 的正方形纸片的面积为 5b2，
∵想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），
∴选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，
∴可以选取 1 张边长为 a 的正方形纸片、2 张边长分别为 ab 的长方形纸片、1 张边长为 b 的正方形纸片，
此时围成的正方形面积为 a2+2ab+b2=（a+b）2，
∴此时正方形的边长=a+b；
选取 1 张边长为 a 的正方形纸片、4 张边长分别为 ab 的长方形纸片、4 张边长为 b 的正方形纸片，
此时围成的正方形面积为 a2+4ab+4b2=（a+2b）2，
∴此时正方形的边长=a+2b，
∵a+b＜a+2b，
∴拼成的正方形的边长最长为 a+2b；
故答案为：a+2b；
（5）解：如图，
如图，构造了一个边长为 k 的正方形，AC=CE=EG=AG=k，
在正方形的 4 个边上分别截取 AB=a，CD=b，EF= HG=c，
∵a+m=b+n=c+l=k，
∴BC=m，DE=n，FG=l，AH=l，
∴3 个长方形的面积和为 al+bm+cn，大正方形的面积为 k2，
∴ al bm cn < k 2 ．
【点睛】本题用“等积法”解决多项式乘积的代数问题，渗透数形结合的思想，用代数角度解决图形问题，也
可以用图形关系解决代数问题．第 13 讲 整式的乘除 单元综合检测（难点）
一、单选题
1．已知8.622 = 74.13，若 x2 = 0.7413，则 x 的值（ ）
A．86.2 B．0.862 C．±0.862 D．±86.2
2．下列各式计算正确的是（ ）
A． a b c 2 = a2 b2 c2 B． a b - c 2 = a2 b2 - c2
C 2． a b - c = -a - b c 2 D． a b - c 2 = a - b c 2
3．若 2a 3b = 3，则 4a ×8b 的值为（ ）
A 1
1
． 4 B．4 C． D．88
4．已知 a = 2255，b = 3344， c = 5533 ， d = 6622，则 a、b、c、d 的大小关系是（ ）
A． a > b > c > d B． a > b > d > c C．b > a > c > d D． a > d > b > c
5．按如图所示的程序输出的结果是（ ）
A．4m2 2m - 6 B． 4m2 - 9 C．8m2 6m - 9 D．1
6．使 x2 3x p x2 - qx 4 乘积中不含 x2 与 x3 项，则 p q 的值为（ ）
A．-8 B．-4 C．-2 D．8
7．已知多项式 ax3 bx2 cx d 除以 x -1时，所得的余数是 1，除以 x - 2时所得的余数是 3，那么多项式
ax3 bx2 cx d 除以 (x -1)(x - 2)时，所得的余式是（ ）
A． 2x -1 B． 2x 1 C． x 1 D． x -1
8．已知： a b c = 3， a2 b2 c2 = 3，则 a2011 b2011 c2011的值是（ ）
A．0 B．3 C． 22005 D．3 ×22005
9．用边长分别为 a,b(a > b)的两种正方形A 和B，拼成如图所示的两个图形，若图中阴影部分面积分别记
为 S1, S2 ，下列关于 S1, S2 的大小关系表述正确的是（ ）
A． S1 > S2 B． S1 < S2 C． S1 S2 D． S1 = S2
10．设 x y z = 2020
x y z
，且 = = ，则 x2 y2 z2 - xy - xz - yz = （ ）
2019 2020 2021
2 1
A． B． C．674 D．673
3 3
二、填空题
11．若3m n = 8，3m-n = 2，则3n = ．
12．若 a2 a - 2024 = 0 ，代数式 a2 - 2024 a 1 的值是 ．
13．若 x, y是正整数，且 x - 2 y -1 = 0，则 2x 4y 8等于 ．
14．阅读理解：引入新数 i，新数 i满足分配律、结合律与交换律，已知 i2 = -1，则
i -1 i 1 i2 1 i4 1 i8 1 - i2 的值是 ．
15．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字 1~9 填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈
上的四个数字的和都等于 23，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记 A、B、C，且 A B C = 529．如
果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为 x、y、 x y ，则 x y = ； xy = ．
16．正整数 k 2022，那么 22k -1 -1- 2 -… - 2022 除以 3 的余数是 ．
a 117．已知 = 2018 b
1
， = 2019， c
1
= 2020，则代数式 a2 b2 c2 - ab - bc - ac 的值
2019 2019 2019
为 ．
18．如图，将两张边长分别为 a和b a > b 的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①
和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边
AB ， AD 的长度分别为m ， n ；设图①中阴影部分面积为 S1，图②中阴影部分面积为 S2，当m - n = 5时，
S1 - S2 的值为 ．
三、解答题
19．在等式的运算中规定：若 a x = a y (a > 0且 a 1， x ， y 是正整数），则 x = y ，利用上面结论解答下列问
题：
(1)若9x = 36 ，求 x 的值；
(2)若3x 2 - 3x 1 =18，求 x 的值；
(3)若m = 2x 1， n = 4x 2x ，用含m 的代数式表示 n ．
20 x -1 xn xn-1 xn-2．阅读：在计算 L x 1 的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到
复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做
特殊到一般．如下所示：
【观察】① (x -1)(x 1) = x2 -1；
② (x -1) x2 x 1 = x3 -1；
③ (x -1) x3 x2 x 1 = x4 -1；
……
(1) n n-1 n-2【归纳】由此可得： x -1 x x x L x 1 = ________；
(2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算： 22023 22022 22021 L 22 2 1 = _______；
(3)计算： 220 - 219 218 - 217 L- 23 22 - 2 1 = ______；
(4)若 x5 x4 x3 x2 x 1 = 0，求 x2022的值．
21．你能化简 (x -1)(x99 x98 x 1)吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，找出
规律，归纳出一些方法来解决问题．
(1)分别化简下列各式：
(x -1)(x 1) = ；
(x -1)(x2 x 1) = ；
(x -1)(x3 x2 x 1) = ；
(x -1)(x99 x98 x 1) = ．
(2)请你利用上面的结论计算： 299 298 … 2 1= ．
22．已知，如图 1，我们在 2018 年某月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两
数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”)该十字星的十字差为
12 14 - 6 20 = 48，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为 48．
（1）如图 2，将正整数依次填入 5 列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十
字差”也是一个定值，则这个定值为 ．
（2）若将正整数依次填入 6 列的长方形数表中，不同位置十字星的“十字差”是一个定值吗 如果是，请求出
这个定值；如果不是，请说明理由．
（3）若将正整数依次填入 k 列的长方形数表中(k≥3)，继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数 k
有关的定值，请用 k 表示出这个定值，并证明你的结论．
23．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面
积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．
(1)如图 1 所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法
计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；
(2)如图 2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为 a b c 的大正方形，试用不同形
式表示这个大正方形的面积，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______；
(3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知 a b c = 5， ab bc ac = 2，求 a2 b2 c2 的值；
(4)如图 3，由两个边长分别为 m，n 的正方形拼在一起，点 B，C，E 在同一直线上，连接 BD、BF，若
m n =12，mn = 24，请利用（1）中的结论，求图 3 中阴影部分的面积．
24．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以
用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次
数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为 0 或余式的次数低于除式的次数.
例：计算 8x2 6x 1 2x 1 ，可依照672 21的计算方法用竖式进行计算.因此
8x2 6x 1 2x 1 = 4x 1 .
(1) x3 4x2 5x - 6 x 2 的商是______，余式是______.
(2)利用上述方法解决：若多项式2x4 4x3 ax2 8x - b能被 x2 - x 1整除，求ab值.
(3)已知一个长为 x 2 ，宽为 x - 2 的长方形 A，若将它的长增加 6，宽增加 a 就得到一个新长方形 B，此
时长方形 B 的周长是 A 周长的 2 倍（如图）.另有长方形 C 的一边长为 x 10 ，若长方形 B 的面积比 C 的
面积大 76，求长方形 C 的另一边长.
25．【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构
造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式： a b 2 = a2 2ab b2 （如图 1）．利用“数形结
合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图 2 可得等式：__________；由图 3 可得等式：__________；
(2)利用图 3 得到的结论，解决问题：若 a b c =15， ab ac bc = 35，则 a2 b2 c2 = __________；
(3)如图 4，若用其中 x 张边长为 a的正方形， y 张边长为b 的正方形， z 张边长分别为 a、b 的长方形纸片拼
出一个面积为 2a b a 2b 长方形（无空隙、无重叠地拼接），则 x y z = ______；
(4)如图 4，若有 3 张边长为 a的正方形纸片，4 张边长分别为 ab的长方形纸片，5 张边长为b 的正方形纸
片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地
拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______．
【方法拓展】
(5)已知正数 a，b ， c和m ， n ， l，满足 a m = b n = c l = k ．试通过构造边长为 k 的正方形，利用图形
面积来说明 al bm cn < k 2 ．
