第 10 讲 完全平方公式（九大题型）
学习目标
1、会用图形证明完全平方公式；
2、学会用完全平方公式计算；
3、完全平方公式的应用。
一、知识引入
计算下列各题，并观察乘式与结果的特征：
(1)(a+b) = (2)(2a+3b) = (3)(x-y) = (4)(2x-3y) =
通过计算你发现什么规律
比较等号两边的代数式，可以看到
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的两倍，即
(a+b) =a +2ab+b ,
(a-b) =a -2ab+b .
这两个公式叫做完全平方公式.平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式.
思考：你能根据图（1） 和图（2）中的图形来说明完全平方公式吗
（1） （2）
二、完全平方公式
2
完全平方公式： a + b = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a 2 - 2ab + b2
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
【方法规律】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加
（或减）这两数之积的 2 倍.以下是常见的变形：
a2 + b2 = a + b 2 - 2ab = a - b 2 + 2ab
a + b 2 = a - b 2 + 4ab
三、补充公式
(x + p)(x + q) = x2 + ( p + q)x + pq； (a ± b)(a2 m ab + b2 ) = a3 ± b3；
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 ； (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc .
【即学即练 1】下列四个多项式是完全平方式的是（ ）
A． x2 +y2 B． x2 - 2xy - y2
1
C． 4m2 + 2mn + 4n2 D． a2 + ab + b24
【即学即练 2】计算：
(1) x + 7 y 2 ；
(2) -4a + 5b 2 ；
(3) 2m n 2- - ；
(4) 2x + 3y -2x - 3y ．
【即学即练 3】用简便方法计算：
2
(1) 20222021×2023 1 ；
(2)20232 4046 × 2022 + 20222．
【即学即练 4】如果 x2 + kxy + 9y2是一个完全平方式，那么 k 的值为 ．
【即学即练 5】已知mn = 4 ，m - n =1，则m2 + n2的值为（ ）
A．5 B．9 C．13 D．17
题型 1：利用完全平方公式计算
【典例 1】．计算：
(1) 2y + 3 2；
(2) 1
2
- a + 2b ÷ ；
è 3
(3) 2a + 3 2 + 3a - 2 2
【典例 2】．计算：
(1) x + 7 y 2 ；
(2) -4a + 5b 2 ；
(3) -2m 2- n ；
(4) 2x + 3y -2x - 3y ．
【典例 3】．计算：
(1)1982 ；
(2)912 -88 92；
(3) 0.2342 + 0.468 3.766 + 3.7662．
题型 2：利用乘法公式计算
【典例 4】．计算：
(1) 3x -1 2 - 2x + 5 2 ；
(2) m + n 2 m - n 2 ；
(3) a + b a - b a2 - b2 ；
(4) 2 a + 3 2 - 4 a + 3 a - 3 + 3 a - 2 2；
(5) 2a +1 2 - 1- 2a 2；
(6) a +1 2
2
a -1 2 a2 +1 ．
【典例 5】．计算：
(1) x +1 2 - x2 - x ；
(2) a +1 a -1 - a - 2 2 ；
(3) 2x + 3 2 - 2x + 3 2x - 3 ；
(4) x + 2 y 2 + x - 2 y x + 2 y + x x - 4 y ．
【典例 6】．综合运用乘法公式计算：
(1) (a - 2)(a + 2)(a2 + 4) ；
(2) (2x + y + z)(2x - y - z)．
题型 3：乘法公式的化简求值型
1 1
【典例 7 2】．先化简，再求值： x + y x - y + x + y - 2x ，其中 x = ， y = ．
2 3
【典例 8】．先化简，再求值： x - 2 3x +1 - 2 -1+ 3x 2 - 2x -1 -1- 2x ，其中 x = -2．
1
【典例 9】．先化简，再求值： (2a + 3b)2 - 3(2a - b)(2a + b) - 4a(-2a - b) 2，其中 | a + 2 | +(b - ) = 0．
2
题型 4：根据完全平方公式求参数的值
【典例 10】．若多项式 x2 -8x + k 是完全平方式，则 k = ．
【典例 11】．若 x2 + ax +144是完全平方式，则常数a = （ ）
A．12 B．24 C．±12 D．±24
2
【典例 12】．若 3x - a = 9x2 - bx +16，则 a + b 的值为（ ）
A．28 B．-28 C．24 或-24 D．28 或-28
【典例 13】．关于 x 的多项式9x2 + ax +1是完全平方式，则实数 a 的值是（ ）
A．3 B． ±3 C．±6 D．6
2 1
【典例 14】．如果 x + mx + k 是一个完全平方式，那么 k 等于 ．
2
15 x2【典例 】．如果 + 2 k -1 x +16是一个完全平方式，那么 k 的值是（ ）
A．5 B．-3 C．5 或-3 D．3 或 5
题型 5：根据完全平方公式求代数式的值
【典例 16】．已知：a + b = -1,ab = -6，求下列各式的值：
(1) a - b 2 ；
(2) a2 + b2 ．
【典例 17】．已知 x2 + y2 = 25， x - y =1，求 x + y 的值．
【典例 18】．已知实数m ， n满足m + n = 6，mn = -3．
(1)求 m - 2 n - 2 的值；
(2)求m2 + n2的值．
【典例 19】．若 x - y = 5， xy = -4 2 2，则 x +y 的值为（ ）
A．21 B．29 C．17 D．33
【典例 20】．已知 (x + y)2 =16 ，且 (x - y)2 = 100，则 2xy = ．
1 2 1
【典例 21】．例：已知 x - = 3，求 x + 的值．
x x2
2
解：因为 x
1
- = 3 1 ，所以 x - ÷ = 9，则 x
2 2 1- + 2 = 9，所以 x
2 1+ 2 =11．x è x x x
观察以上解答，解答以下问题：
1
已知 x + = 3，求下列各式的值．
x
1
(1) x4 + 4 ；x
(2) x3 - 2x2 - 2x + 3．
1
【典例 22】．已知 a2 - 5a +1= 0 a4，求 + 的值．
a4
【典例 23】．已知 a = 2019x + 2020，b = 2019x + 2021， c = 2019x + 2022，那么 a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca的
值等于（ ）
A．6 B．3 C．2 D．0
题型 6：完全平方公式的图形应用
【典例 24】．如图，长方形 ABCD的周长为 20cm ，面积为16cm2 ，以 AB、AD 为边向外作正方形 ABGH 和
ADEF ，求正方形 ABGH 和 ADEF 的面积之和．
【典例 25】．如图，将 4 个长为 a，宽为b 的长方形木条拼成一个正方形相框．
(1)若 a = 2，b =1，求正方形 ABCD和正方形EFGH 的面积；
(2)用两种不同的方法计算大正方形 ABCD的面积，你发现了什么代数结论？
【典例 26】．通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式，例如：如图①是一个
长为 2a，宽为 2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，
请解答下列问题：
(1)图②中阴影部分的正方形边长的是：______．
(2)用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法 1：______；方法 2：______．
(3) 2观察图②，请你写出 (a + b)2 ． a - b ， ab之间的等量关系______；
(4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若 x+y = 7 ， xy =12，则 x - y = ______．
【典例 27】．两个边长分别为 a 和 b 的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为 S1；若再在
图①中大正方形的右下角摆放一个边长为 b 的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为
S2 ．
(1)用含 a、b 的代数式分别表示 S1、 S2 ；
(2)若 a - b = 8， ab =13，求S1 +S2的值；
(3)用 a、b 的代数式表示 S3 ，并当 S1 + S2 = 36 时，求出图③中阴影部分的面积 S3 ．
【典例 28】．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一
2 2
个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图 1，可得等式： a + 2b a + b = a + 3ab + 2b ．
(1)如图 2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为 a + b + c 的正方形，试用不同的形式表示
这个大正方形的面积，你能发现什么结论？，请用等式表示出来．
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 a + b + c =10， ab + bc + ac = 30，求 a2 + b2 + c2 的
值．
【典例 29】．已知有若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片，其中A 型卡片是边长为 a的正方形， B 型
卡片是边长为b 的正方形，C 型卡片是长为b ，宽为 a的长方形．
(1)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个长为3a + b，宽为 2a + b 的长方形，求嘉嘉需要A ， B ，C 各多少
张？
(2)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取A 型卡片 4 张，再取 B 型卡片 1 张，还需取C 型卡
片多少张，并求所拼正方形的边长？
(3)若嘉嘉用这三种卡片紧密拼接成一个面积为 a2 + nab +12b2的长方形，则满足条件的 n的整数值_________
个．
【典例 30】．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为 a的正方形， B 种纸
片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为b 、宽为 a的长方形，并用A 种纸片一张， B 种纸片一张，C 种纸
片两张拼成如图 2的大正方形．
(1)观察图 2，请你写出下列三个代数式： (a + b)2 ， a2 + b2 ， ab之间的等量关系；
(2)若要拼出一个面积为 a + 2b a + b 的矩形，则需要A 号卡片1张， B 号卡片 2张，C 号卡片______张．
(3)根据 1 题中的等量关系，解决如下问题：
①已知： a + b = 5， a2 + b2 =11，求 ab的值；
②已知 (x - 2021)2 + (x - 2023)2 = 20，求 x - 2022的值．
题型 7：完全平方公式的代数应用
【典例 31】．已知实数 a，b 满足 a2 + ab + b2 =1，若 p = ab + 2a + 2b ，则 p 的最小值为 ．
【典例 32】．不论 a、b 为任意有理数，多项式 a2 + b2 - 4a + 2b + 7的值总是不小于 ．
【典例 33】．实数 a，b ， c满足a - 2b + c = 0，则b2 - ac 0．（填“ >”、“ <”、“ ”、“ ”、“ = ”）
【典例 34】．已知 a + 2b = 6 ， ab = 3，则 4(a + b)2 - 3a2的值为 ．
【典例 35】．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变
形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成 a + b （ a,b是整数）的形式，则
称这个数为“完美数”．例如，10 是“完美数”、理由：因为10 = 32 +12 ，所以 10 是“完美数”．
解决问题：
（1）下列各数中，“完美数”有________（填序号）．
①29； ②48： ③13： ④28．
探究问题：
（2 2）若 a - 4a + 8可配方成 a - m + n2 （m, n为常数），则mn 的值________；
（3）已知 S = a2 + 4ab + 5b2 -8b + k （ a,b是整数， k 是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个 k
值，并说明理由．
拓展应用：
（4）已知实数 a,b满足-a2 + 5a + b - 3 = 0，求 a + b 的最小值．
题型 8：“杨辉三角”
【典例 36】．观察下列各式及其展开式：
a + b 2 = a2 + 2ab + b2 ；
a + b 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ；
a + b 4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 ；
a + b 5 = a5 + 5a4b +10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 + b5 ；
××××××
8
请你猜想 x -1 的展开式中含 x2 项的系数是
【典例 37】．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了
a + b n n =1，2，3，4， 的展开式的系数规律（按 n的次数由大到小的顺序）：
x - 3 2021请依据上述规律，写出 展开式中含 x2020项的系数是 ．
题型 9：完全平方公式的图形应用难点
【典例 38】．阅读材料：
2
若 x 满足 9 - x x - 4 = 4，求 9 - x + x - 4 2 的值．
解：设9 - x = a， x - 4 = b，则 9 - x x - 4 = ab = 4 ， a + b = 9 - x x - 4 = 5，
∴ 9 - x 2 + x - 4 2 = a2 + b2 = a + b 2 - 2ab = 52 - 2 4 =17
请仿照上面的方法求解下列问题：
(1)若 x 满足 5 - x x - 2 = 2，求 5 - x 2 + x - 2 2 的值．
(2) n - 2023 2 + 2024 - n 2 =1，求 n - 2023 2024 - n ．
(3)已知正方形 ABCD的边长为 x ，E ，F 分别是 AD 、DC 上的点，且 AE =1，CF = 3，长方形EMFD 的
面积是 15，分别以MF ，DF 为边长作正方形，求阴影部分的面积．
【典例 39】．阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．
（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根据图②能得到的数
学公式是__________．
（2）如图③，请写出（a＋b）、（a﹣b）、ab 之间的等量关系是__________
（3）利用（2）的结论，解决问题：已知 x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
（4）根据图④，写出一个等式：__________．
（5）小明同学用图⑤中 x 张边长为 a 的正方形，y 张边长为 b 的正方形，z 张宽、长分别为 a、b 的长方形
纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b）长方形，请画出图形，并指出 x＋y＋z 的值．
类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．
（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．
一、单选题
1．下列式子满足完全平方公式的是（ ）
A．（3x﹣y）（﹣y﹣3x） B．（3x﹣y）（3x+y）
C．（﹣3x﹣y）（y﹣3x） D．（﹣3x﹣y）（y+3x）
2． -x - y 2展开后的结果是（ ）.
A．-x2 - 2xy - y2 B． x2 + 2xy + y2
C．-x2 - 2xy + y2 D． x2 - 2xy + y2
3．若 x y ，下列等式：① (-x - y)2 = (y + x)2 ② (x - y)2 = -(y - x)2 ③ (y - x)3 = -(x - y)3 ④
(x - y)3 = (y - x)3 ⑤ (-x + y)(-x - y) = x2 - y2 ，其中错误的有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
4．如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为（ ）
A． (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab B． (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
C． a2 - b2 = (a + b)(a - b) D． (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
5．已知（a+b）2=7，（a﹣b）2=4，则 a2+b2的值为（ ）
3 11
A．11 B．3 C． D．
2 2
6．如果9x2 +kx+25是一个完全平方式，那么 k 的值是（ ）
A．±30 B．30 C．15 D．±5
7．若 a + b =10， a2 + b2 = 84，则 ab等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．如图所示，有三种卡片，其中边长为 a的正方形卡片有 1 张，长为 a、宽为b 的矩形卡片有 4 张，边长
为b 的正方形卡片有 4 张，用这 9 张卡片刚好能拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A．a + 2b B． 2a + 2b C． 2a + b D． a + b
9．不论 x，y 为何有理数，x2+y2﹣10x+8y+45 的值均为（ ）
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
10．已知 a = 2005x + 2004,b = 2005x + 2005,c = 2005x + 2006．则多项式 a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．（1） (x - y)(-x + y) = ；（2） (x - y)(-x - y) = ；
1 1 1 1
（3） - x +1÷ - x -1÷ = ；（4） - x -1÷ x +1÷ = ．
è 4 è 4 è 4 è 4
12．（1） (a + b)2 + = (a - b)2 + = a2 + b2 ；
（2） (a + b)2 = (a - b)2 + ；（3） a2 + b2 - ab = (a + b)2 - ；
（4） (a + b)2 + (a - b)2 = ；（5） (a + b)2 - (a - b)2 = ．
13．要使16x2 +1成为一个完全平方式，可以加上一个单项式 .
14．已知 x2 + 2x + 2y + y2 + 2 = 0，则 x2019 + y2020 = ．
15 2．如果 x - 2 k +1 xy + 25y2 是一个完全平方式，那么 k 的值为 ．
16．代数式 4 - a + b 2的最大值是 ，当取得最大值时， a与b 的关系是 .
17．两个边长分别为 a 和 b 的正方形如图放置（图 1），其未叠合部分（阴影）面积为 S1；若再在图 1 中大
正方形的右下角摆放一个边长为 b 的小正方形（如图 2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 S2 ．若
a + b = 8，ab =10 ，则 S1＋ S2 ＝ ；当 S1＋ S2 ＝40 时，则图 3 中阴影部分的面积 S3 = ．
18．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角” ( 如图 )，此图揭示了 a + b n (n 为
非负整数 )展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如： a + b 0 =1，它只有一项，系数为 1；系数和为 1；
a + b 1 = a + b，它有两项，系数分别为 1，1，系数和为 2；
a + b 2 = a2 + 2ab + b2 ，它有三项，系数分别为 1，2，1，系数和为 4；
a + b 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ，它有四项，系数分别为 1，3，3，1，系数和为 8；
L；
则 a + b n 的展开式共有 项，系数和为 ．
三、解答题
19．运用完全平方公式计算：
（1） (2a + 5b)2 ；（2） (4x - 3y)2；（3） (-2m -1)2 ；
2
（4） 1.5a
2
- b 2÷ ；（5）63 ；（6）982 ．
è 3
20．运用完全平方公式计算：
2
（1） (x + 6)2 ；（2） ( y - 5)2 ；（3 ( 3 2） -2x + 5)2 4 ；（ ） x - y
．
è 4 3 ÷
21．运用乘法公式计算：
（1） (3x - 5)2 - (2x + 7)2 ；（2） (x + y +1)(x + y -1) ；
（3） (2x - y - 3)2 ；（4）[(x + 2)(x - 2)]2．
22．计算：
（1） (x +1)2 + 2(1- x) - x2 ； （2） (a + 2)(a - 2) - (a - 2)2 ；
（3） (1- 3a)2 - 2(1- 3a)； （4） (m - n)(m + n) + (m + n)2 - 2m2 ；
（5） (2x +1)2 (2x -1)2； （6） (x - 2y)2 + 2(x + 2y)(x - 2y) + (x + 2y)2；
（7） (a + b + 2c)(a + b - 2c)； （8） (a + 2b - c)(a - 2b + c)．
23．（1）若 x2 - 2x +10 + y2 + 6y = 0，求 (2x - y)2 的值；
（2）若 a4 + b4 + a2b2 = 5， ab = 2，求 a2 + b2 的值．
24．甲、乙两人各持一张分别写有整式A 、 B 的卡片．已知整式C = a2 - 2a - 5，下面是甲、乙二人的对话：
甲：我的卡片上写着整式 A = a2 - 4a +10，加上整式C 后得到最简整式D；
乙：我用最简整式 B 加上整式C 后得到整式E = 6a2 - 2a + 8．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求整式D和 B ；
（2）请判断整式D和整式E 的大小，并说明理由．
25．阅读材料：若 x 满足 210 - x x - 200 = -204，试求 210 - x 2 + x - 200 2 的值．
解：设 210 - x = a ， x - 200 = b，
则 ab = -204，且 a + b = 210 - x + x - 200 =10．
∵ a + b 2 = a2 + 2ab + b2 ，
∴ a2 + b2 = a + b 2 - 2ab =102 - 2 -204 = 508，
210 - x 2即 + x - 200 2 的值为 508．
同学们，根据材料，请你完成下面这一题的解答过程：
若 x 满足 2020 - x 2 + 2018 - x 2 = 4042，试求 2020 - x 2018 - x 的值．
26．如图，在正方形 ABCD中放入两张边长分别为 a和b 的正方形纸片，已知HK = c ，正方形 ABCD的面
积记为S ，阴影部分面积分别记为 S1， S2 ．
(1)用含 a，b ， c的代数式分别表示KI，GD ；
(2)若 c = 2，且 S1 = S2 ，求 2a + 2b - ab 的值；
(3)若 a = b，试说明 S - 3 S1 - S2 是完全平方式．
27．例题：若m2 + 2mn + 2n2 - 6n + 9 = 0，求 m 和 n 的值．
解：∵ m2 + 2mn + 2n2 - 6n + 9 = 0，
∴ m2 + 2mn + n2 + n2 - 6n + 9 = 0，
∴ m + n 2 + n - 3 2 = 0，
∴ m + n = 0,n - 3 = 0，∴ m = -3,n = 3．
问题：若 x2 + 2xy + 2y2 - 4y + 4 = 0 ，求 xy的值．
28．数形结合是一种非常重要的数学思想，它包含两个方面，第一种是“以数解形”，第二种是“以形助数”，
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”．请你使用数形结合这种思想解决下面
问题：
图 1 是一个长为 2a，宽为 2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分为四块完成相同的小长方形，然后按照图 2
的形状拼成一个正方形．
(1) 2观察图 2，用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请使用代数式 a + b ， a - b 2 ，ab 写
出这个等式_____________．
(2) 2运用你所得到的公式，计算：若 m、n 为实数，且mn = -3，m - n = 4，试求 m + n 的值．
(3)如图 3，点 C 是线段 AB 上的一点，以 AC、BC 为边向两边作正方形，设 AB = 8，两正方形的面积和
S1 + S2 = 38，求图中阴影部分的面积．
29．综合与探究
【阅读理解】
图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中数的关系，而运用代数思想也能巧妙
地解决一些图形问题，“以数解形”“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法——数形结合．
某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图 1 所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲
种纸片是边长为 x 的正方形，乙种纸片是边长为 y 的正方形，丙种纸片是长为 y、宽为 x 的长方形，并用甲
种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图 2 所示的一个大正方形．
（1）观察图 2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：_______．
（2）利用（1）中的等式解决问题：若 x + y =10，xy =19，则 x + y 的值为_______．
【拓展探究】
该学习小组在研究过程中还发现一些较为复杂的式子也能用类似方法求解．
例：若 x 满足 20 - x x - 30 =10，求( 20 - x + x - 30 的值．
解：设 a = 20 - x，b = x - 30，
则 20 - x x - 30 = ab =10，a + b = 20 - x + x - 30 = 20 - 30 = -10．
∴ 20 - x 2 + x - 30 2 = a2 + b = a + b 2 - 2ab = -10 2 - 2 10 = 80．
（3）如图 3，将正方形EFGH 叠放在正方形 ABCD上，重叠部分 LFKD是一个长方形， AL = 2，CK = 6．沿
着 LD，KD所在直线将正方形EFGH 分割成四个部分，若四边形ELDN 和四边形DKGM 恰好为正方形，且
它们的面积之和为 38，求长方形 NDMH 的面积．第 10 讲 完全平方公式（九大题型）
学习目标
1、会用图形证明完全平方公式；
2、学会用完全平方公式计算；
3、完全平方公式的应用。
一、知识引入
计算下列各题，并观察乘式与结果的特征：
(1)(a+b) = (2)(2a+3b) = (3)(x-y) = (4)(2x-3y) =
通过计算你发现什么规律
比较等号两边的代数式，可以看到
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的两倍，即
(a+b) =a +2ab+b ,
(a-b) =a -2ab+b .
这两个公式叫做完全平方公式.平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式.
思考：你能根据图（1） 和图（2）中的图形来说明完全平方公式吗
（1） （2）
二、完全平方公式
2
2 2完全平方公式： a + b = a + 2ab + b
(a - b)2 = a 2 - 2ab + b2
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
【方法规律】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加
（或减）这两数之积的 2 倍.以下是常见的变形：
a2 + b2 = a + b 2 - 2ab = a - b 2 + 2ab
a + b 2 = a - b 2 + 4ab
三、补充公式
(x + p)(x + q) = x2 + ( p + q)x + pq； (a ± b)(a2 m ab + b2 ) = a3 ± b3；
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 ； (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc .
【即学即练 1】下列四个多项式是完全平方式的是（ ）
A x2． +y2 B． x2 - 2xy - y2
1
C． 4m2 + 2mn + 4n2 D a2 2． + ab + b4
【答案】D
【分析】本题考查了对完全平方式的运用，注意：完全平方式有 a2 + 2ab + b2 和 a2 - 2ab + b2 ．完全平方式有
a2 + 2ab + b2 和 a2 - 2ab + b2 ，根据式子的特点判断即可．
【解析】解：A、此式子不是完全平方式，故此选项不符合题意；
B、此式子不是完全平方式，故此选项不符合题意；
C、此式子不是完全平方式，故此选项不符合题意；
1 2D a2 + ab + b2 = 1 、 a + b÷ ，此式子是完全平方式，故此选项符合题意．4 è 2
故选：D．
【即学即练 2】计算：
(1) x + 7 y 2 ；
(2) -4a + 5b 2 ；
(3) 2m n 2- - ；
(4) 2x + 3y -2x - 3y ．
【答案】(1) x2 +14xy + 49y2
(2) 25b2 - 40ab +16a2
(3) 4m2 - 4mn + n2
(4) -4x2 -12xy - 9y2
【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；
（2）根据完全平方公式计算即可；
（3）根据完全平方公式计算即可；
（4）先提出负号，再完全平方公式计算即可；
2 2
【解析】（1）解： x + 7 y = x2 + 2 × x ×7y + 7 y = x2 +14xy + 49y2；
（2
2
）解： -4a + 5b = 5b - 4a 2 = 5b 2 - 2 ×5b ×4a + 4a 2 = 25b2 - 40ab +16a2 ；
3 -2m - n 2 = 2m + n 2 = 2m 2（ ）解： + 2 ×2m × n + n2 = 4m2 - 4mn + n2 ；
（4）解： 2x + 3y -2x - 3y
= - 2x + 3y 2
= - é 2x
2 + 2 × 2x3y + 3y 2 ù
= - 4x2 +12xy + 9y2
= -4x2 -12xy - 9y2．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握这一公式的特征是解题的关键．
【即学即练 3】用简便方法计算：
2
(1) 20222021×2023 1 ；
(2)20232 ― 4046 × 2022 + 20222．
【答案】(1)1
(2)1
【分析】（1）先对2021 × 2023变形使其变化为两数和与两数差的积的形式，然后运用平方差公式简化运
算；
（2）利用完全平方公式分解因式，简便计算即可．
20222
【解析】（1）解：原式 = (2022 1)×(2022 1) 1
= 2022
2
20222 12 1
20222
= 20222
= 1；
（2）解：原式 = 20232 ― 2 × 2023 × 2022 + 20222
= (2023 ― 2022)2
= 12
= 1．
【点睛】此题考查了利用平方差公式、完全平方公式分解因式进行简便计算，掌握公式是解题的关键．
【即学即练 4】如果 x2 + kxy + 9y2是一个完全平方式，那么 k 的值为 ．
【答案】±6
2
【分析】本题主要考查了完全平方公式等知识点，根据完全平方公式 a2 ± 2ab + b2 = a ± b 即可求出答案，
解题的关键是熟练运用完全平方公式．
2
【解析】∵ x ± 3y = x2 ± 6xy + 9y2，
∴ k = ±6 ，
故答案为：±6．
【即学即练 5】已知mn = 4 ，m - n =1，则m2 + n2的值为（ ）
A．5 B．9 C．13 D．17
【答案】B
【分析】此题主要考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式及公式的变形是解题关键．
利用完全平方公式得出m2 + n2 = (m - n)2 + 2mn，整体代入计算即可．
【解析】解：∵ m - n =1，mn = 4 ，
∴ m2 + n2 = (m - n)2 + 2mn =12 + 2 4 = 9 ，
故选：B．
题型 1：利用完全平方公式计算
【典例 1】．计算：
(1) 2y + 3 2；
2
(2) 1- a + 2b ÷ ；
è 3
(3) 2a + 3 2 + 3a - 2 2
【答案】(1) 4y2 +12y + 9
1 4
(2) a2 - ab + 4b2
9 3
(3)13a2 +13
【分析】（1）利用完全平方公式展开计算即可；
（2）利用完全平方公式展开计算即可；
（3）利用完全平方公式展开计算即可．
2
【解析】（1） 2y + 3
= 2y 2 + 2 2y 3+ 32
= 4y2 +12y + 9 .
2
（2 1） - a + 2b
÷
è 3
1
2
= - a + 2 1 ÷ - a
2
3 3 ÷
2b + 2b
è è
1
= a2 4- ab + 4b2
9 3
（3） 2a + 3 2 + 3a - 2 2
= 2a 2 + 2 2a 3+ 32 + 3a 2 - 2 3a 2 + 22
= 4a2 +12a + 9 + 9a2 -12a + 4
=13a2 +13
【典例 2】．计算：
(1) x + 7 y 2 ；
(2) -4a + 5b 2 ；
(3) -2m - n 2 ；
(4) 2x + 3y -2x - 3y ．
【答案】(1) x2 +14xy + 49y2
(2) 25b2 - 40ab +16a2
(3) 4m2 - 4mn + n2
(4) -4x2 -12xy - 9y2
【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；
（2）根据完全平方公式计算即可；
（3）根据完全平方公式计算即可；
（4）先提出负号，再完全平方公式计算即可；
2 2
【解析】（1）解： x + 7 y = x2 + 2 × x ×7y + 7 y = x2 +14xy + 49y2；
2 2 2 2 2（ ）解： -4a + 5b = 5b - 4a = 5b - 2 ×5b ×4a + 4a = 25b2 - 40ab +16a2 ；
（3）解： -2m - n 2 = 2m + n 2 = 2m 2 + 2 ×2m × n + n2 = 4m2 - 4mn + n2 ；
（4）解： 2x + 3y -2x - 3y
= - 2x + 3y 2
= - é 2x
2 + 2 × 2x3y + 3y 2 ù
= - 4x2 +12xy + 9y2
= -4x2 -12xy - 9y2．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握这一公式的特征是解题的关键．
【典例 3】．计算：
(1)1982 ；
(2) 912 -88 92；
(3) 0.2342 + 0.468 3.766 + 3.7662．
【答案】(1)39204
(2)185
(3)16
【分析】利用完全平方公式进行简便运算即可．
【解析】（1）解：原式= 200 - 2 2
= 2002 - 2 200 2 + 22
= 40000 -800 + 4
= 39204；
（2
2
）解：原式= 90 +1 - 90 - 2 90 + 2
= 902 + 2 90 1+1- 902 + 4
= 185；
（3）解：原式= 0.2342 + 2 0.234 3.766 + 3.7662
= 0.234 + 3.766 2
= 42
=16．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
题型 2：利用乘法公式计算
【典例 4】．计算：
(1) 3x -1 2 - 2x + 5 2 ；
(2) m + n 2 m - n 2 ；
(3) a + b a - b a2 - b2 ；
(4) 2 a + 3 2 - 4 a + 3 a - 3 + 3 a - 2 2；
(5) 2a +1 2 - 1- 2a 2；
(6) a +1 2
2
a -1 2 a2 +1 ．
【答案】(1) 5x2 - 26x - 24
(2) m4 - 2m2n2 + n4
(3) a4 - 2a2b2 + b4
(4) a2 + 66
(5)8a
(6) a8 - 2a4 +1
【分析】（1）先用平方差公式分解因式，合并后用多项式乘多项式计算； （2）先用积的乘方的逆运算，
再用平方差公式计算，最后用完全平方公式计算； （3）两次用平方差公式计算，最后用完全平方公式计
算； （4）用平方差公式、完全平方公式计算，最后合并同类项； （5）先用平方差公式分解因式，合并
后用单项式乘以单项式计算； （6）先用积的乘方的逆运算，再用平方差公式计算，最后用完全平方公式
计算；
1 3x -1 2 - 2x + 5 2【解析】（ ）
= 9x2 - 6x +1- 4x2 + 20x + 25
= 9x2 - 6x +1- 4x2 - 20x - 25
= 5x2 - 26x - 24 .
（2） m + n 2 m - n 2
2
= é m + n m - n ù
= m2 2- n2
= m4 - 2m2n2 + n4
3 a + b a - b a2 - b2（ ）
= a2 - b2 a2 - b2
= a4 -2a2b2 +b4
（4） 2 a + 3 2 - 4 a + 3 a - 3 + 3 a - 2 2
= 2 a2 + 6a + 9 - 4 a2 - 9 + 3 a2 - 4a + 4
= 2a2 +12a +18 - 4a2 + 36 + 3a2 -12a +12
= a2 + 66 .
（5） 2a +1 2 - 1- 2a 2
= é 2a +1 + 1- 2a ù é 2a +1 - 1- 2a ù
= 2 4a = 8a .
（6） a +1 2 a -1 2 a2 +1 2
2
= é a +1 a -1 a2 +1 ù
2
= é a2 -1 a2 +1 ù
= a4 -1 2
= a8 - 2a4 +1
【点睛】本题主要考查了平方差公式、完全平方公式，掌握这两种公式的熟练应用，在因式分解和计算中
的相互变换应用是解题关键
【典例 5】．计算：
2
(1) x +1 - x2 - x ；
(2) a +1 a -1 - a - 2 2 ；
(3) 2x + 3 2 - 2x + 3 2x - 3 ；
(4) x + 2 y 2 + x - 2 y x + 2 y + x x - 4 y ．
【答案】(1) 3x +1
(2) 4a - 5
(3)12x +18
(4) 3x2
【分析】（1）先利用完全平方公式计算，去括号，再合并同类项；
（2）先利用完全平方公式、平方差公式计算，去括号，再合并同类项；
（3）先利用完全平方公式、平方差公式计算，去括号，再合并同类项；
（4）先利用完全平方公式、平方差公式计算，去括号，再合并同类项．
2
【解析】（1）解：原式= x + 2x +1 - x2 - x
= x2 + 2x +1- x2 + x
= 3x +1．
（2）解：原式= a2 -1- a2 - 4a + 4
= a2 -1- a2 + 4a - 4
= 4a - 5．
3 = 4x2 +12x + 9 - 4x2（ ）解：原式 - 9
= 4x2 +12x + 9 - 4x2 + 9
=12x +18．
（4）解：原式= x2 + 4xy + 4y2 + x2 - 4y2 + x2 - 4xy
= 3x2 ．
【点睛】本题考查整式的加减和乘法运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
【典例 6】．综合运用乘法公式计算：
(1) (a - 2)(a + 2)(a2 + 4) ；
(2) (2x + y + z)(2x - y - z)．
【答案】(1) a4 -16
(2) 4x2 - y2 - 2yz - z2
2 2
【分析】（1）根据平方差公式 a + b a - b = a - b 进行化简即可；
（2）根据平方差公式将 y + z 当做整体进行计算，再利用完全平方公式化简．
【解析】（1）解： (a - 2)(a + 2)(a2 + 4)
= (a2 - 4)(a2 + 4)
= a2 - 42
= a2 -16；
（2）解： (2x + y + z)(2x - y - z)
= 2x + (y + z) 2x - (y + z)
= (2x)2 - (y + z)2
= 4x2 - y2 - 2yz - z2 ．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
题型 3：乘法公式的化简求值型
【典例 7 2】．先化简，再求值： x + y x - y + x + y - 2x ，其中 x 1 1= ， y = ．
2 3
【答案】2x2
1
+ 2xy - 2x，-
6
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【解析】解： x + y x - y + x + y 2 - 2x
= x2 - y2 + x2 + 2xy + y2 - 2x
= x2 - y2 + x2 + 2xy + y2 - 2x
= 2x2 + 2xy - 2x ，
x 1 y 1
2
= = 2 1 2 1 1 1 1 1 1当 ， 时，原式= ÷ + - 2 = + -1 = - ．2 3 è 2 2 3 2 2 3 6
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知乘法公式是解题的关键．
【典例 8】．先化简，再求值： x - 2 3x +1 - 2 -1+ 3x 2 - 2x -1 -1- 2x ，其中 x = -2．
【答案】-11x2 + 7x - 5，-63
【分析】先计算整式的乘法运算，再合并同类项，得到化简的结果，再把 x = -2代入化简后的代数式进行计
算即可．
【解析】解： x - 2 3x +1 - 2 -1+ 3x 2 - 2x -1 -1- 2x
= 3x2 - 5x - 2 - 2 1- 6x+9x2 - 1- 4x2
= 3x2 - 5x - 2 - 2 +12x -18x2 -1+ 4x2
= -11x2 + 7x - 5；
当 x = -2时，
原式= -11 (-2)2 -14 - 5 = -44 -14 - 5 = -63．
【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值，平方差公式与完全平方公式的应用，熟练的利用平方
差公式与完全平方公式进行简便运算是解本题的关键．
【典例 9】．先化简，再求值： (2a + 3b)2
1
- 3(2a - b)(2a + b) - 4a(-2a - b) 2，其中 | a + 2 | +(b - ) = 0．
2
【答案】16ab +12b2 ，-13
【分析】先利用整式的乘法，去括号，合并同类项得出最简结果，算出 a、b 的值，代入即可．
【解析】解：原式= 4a2 +12ab + 9b2 - 3(4a2 - b2 ) + 8a2 + 4ab
= 4a2 +12ab + 9b2 -12a2 + 3b2 + 8a2 + 4ab
=16ab +12b2 ，
Q a + 2 + (b 1- )2 = 0，
2
1
\a + 2 = 0，b - = 0，
2
1
\a = -2，b = ，
2
\ 1 1原式=16 (-2) +12 = -13．
2 4
【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题关键：掌握整式中的多项式乘以多项式、平方差公式以及完全
平方公式．
题型 4：根据完全平方公式求参数的值
【典例 10】．若多项式 x2 -8x + k 是完全平方式，则 k = ．
【答案】16
【分析】根据完全平方式的结构特点进行解答即可．
【解析】解：∵ x2 -8x +16 = (x - 4)2，
∴ k =16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．
【典例 11】．若 x2 + ax +144是完全平方式，则常数a = （ ）
A．12 B．24 C．±12 D．±24
【答案】D
【解析】根据完全平方公式 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 表示出各项即可．Q两平方项是 x2 和 144，∴这两个数是 x
和 12，\ax = ±2 12 × x ，解得a = ±24．
【典例 12】．若 3x - a 2 = 9x2 - bx +16，则 a + b 的值为（ ）
A．28 B．-28 C．24 或-24 D．28 或-28
【答案】D
【分析】根据完全平方公式计算即可．
【解析】因为 3x - a 2 = 9x2 - 6ax + a2 ，
所以9x2 - 6ax + a2 = 9x2 - bx +16，
所以6a = b， a 2 = 16 ，所以 a = ±4．当 a = 4时，b = 24 ；当 a = -4 时，b = -24．
所以 a + b = 28或-28．
故选 D．
【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式展开后对应系数相等是解题的关键．
【典例 13】．关于 x 的多项式9x2 + ax +1是完全平方式，则实数 a 的值是（ ）
A．3 B． ±3 C．±6 D．6
【答案】C
【分析】根据完全平方公式进行分析计算．
【解析】解：∵多项式9x2 + ax +1是完全平方式，
∴ a = ±2 3 1 = ±6．
故选：C．
2
【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式 a ± b = a2 ± 2ab + b2 是解题关键．
1
【典例 14 2】．如果 x + mx + k 是一个完全平方式，那么 k 等于 ．
2
1 m2【答案】
16
【分析】本题主要考查了完全平方式，根据已知平方项与乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键，
先根据已知平方项与乘积二倍项确定出这两个数，然后把另一个数平方，列式求出 k 的值，即可得解．
2 1
【解析】Q x + mx + k 是一个完全平方式，
2
2
\ x2 1 1 1+ mx + k = x2 + 2 mx + m
2 4 4 ÷
，
è
\ k 1= m2 ．
16
1 2
故答案为： m ．
16
【典例 15 2】．如果 x + 2 k -1 x +16是一个完全平方式，那么 k 的值是（ ）
A．5 B．-3 C．5 或-3 D．3 或 5
【答案】C
2 2
【分析】先将原式变形为 x + 2 k -1 x + 4 ，根据题意可得2 k -1 =2 (±4) ，解出 k ，即可求解．
2
【解析】解： x + 2 k -1 x +16 = x2 + 2 k -1 x + 42 ，
∵ x2 + 2 k -1 x +16是一个完全平方式，
∴ 2 k -1 =2 (±4) ，
∴ k -1 = ±4，
解得 k = 5或 k = -3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的特征，熟练掌握完全平方公式含有三项：首平方，尾平方，首尾
二倍在中央，首尾同号是解题的关键．
题型 5：根据完全平方公式求代数式的值
【典例 16】．已知：a + b = -1,ab = -6，求下列各式的值：
(1) a - b 2 ；
(2) a2 + b2 ．
【答案】(1)25
(2)13
【分析】（1）利用 a - b 2 = a + b 2 - 4ab ，进行计算即可；
（2）利用 a2 + b2 = a - b 2 + 2ab，进行计算即可．
2
【解析】（1）解： a - b = a + b 2 - 4ab ，
∵ a + b = -1,ab = -6，
∴原式= -1 2 - 4 -6 =1+ 24 = 25；
（2
2
）解：由（1）知： a - b = 25，
∴ a2 + b2 = a - b 2 + 2ab = 25 + 2 -6 =13．
【点睛】本题考查利用完全平方公式变形求值．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【典例 17】．已知 x2 + y2 = 25， x - y =1，求 x + y 的值．
【答案】±7
【分析】可求 x2 - 2xy + y2 =1．从而可求 2xy = 24 x + y 2，可得 = 49，即可求解．
【解析】解：Q x - y =1，
\ x - y 2 =1，
即 x2 - 2xy + y2 =1．
又Q x2 + y2 = 25，
\ 2xy = 24 ，
\ x2 + 2xy + y2 = 25 + 24 = 49，
x + y 2即 = 49，
\ x + y = ±7．
2
【点睛】本题考查了完全平方公式 a ± b = a2 ± 2ab + b2 的变式计算，掌握完全平方公式是解题的关键．
【典例 18】．已知实数m ， n满足m + n = 6，mn = -3．
(1)求 m - 2 n - 2 的值；
(2)求m2 + n2的值．
【答案】(1) -11
(2)42
【分析】（1）根据整式乘法运算法则，去括号之后整体代入求值即可得到答案；
（2）根据完全平方公式的变式m2 + n2 = m + n 2 - 2mn，即可解答．
【解析】（1）解：Q m + n = 6，mn = -3，
\ m - 2 n - 2 = mn - 2m - 2n + 4 = mn - 2 m + n + 4 = -3 - 2 6 + 4 = -11；
（2）解：Q m + n = 6，mn = -3，
\m2 + n2 = m + n 2 - 2mn = 62 - 2 -3 = 36 + 6 = 42．
【点睛】本题考查了整式乘法的计算法则和完全平方公式及其变形的运用，熟练掌握法则及公式是解答的
关键．
【典例 19】．若 x - y = 5， xy = -4 2 2，则 x +y 的值为（ ）
A．21 B．29 C．17 D．33
【答案】C
【分析】根据 x - y 2 = x2 - 2xy + y2 变形，然后将已知代入即可求．
2
【解析】解：∵ x - y = x2 - 2xy + y2 ，
∴ x2 + y2 = x - y 2 + 2xy = 52 + 2 -4 =17，
故选 C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握公式并进行恰当变形是解题的关键．
【典例 20】．已知 (x + y)2 =16 ，且 (x - y)2 = 100，则 2xy = ．
【答案】-42
【解析】Q(x + y)2 = 16,(x - y)2 = 100,\ x2 + 2xy + y2 = 16，① x2 - 2xy + y2 =100，②Q由①-②得
4xy = -84,\2xy = -42．
1 1
【典例 21】．例：已知 x - = 3 x2，求 + 的值．
x x2
x 1
2
- = 3 1 2 1 2 1解：因为 ，所以 x - ÷ = 9，则 x - 2 + 2 = 9，所以 x + 2 =11．x è x x x
观察以上解答，解答以下问题：
1
已知 x + = 3，求下列各式的值．
x
1
(1) x4 + ；
x4
(2) x3 - 2x2 - 2x + 3．
x4 1【答案】(1) + 4 = 47x
(2)2
1 2
【分析】（1 2 1 ）仿照题意根据完全平方公式先求出 x + = 7，再根据 x4 + = x2 1 2 4 + 2 ÷ - 2进行求解即可；x x è x
（2）先得到 x2 = 3x -1，再将所求式子变形为 x 3x -1 - 2x2 - 2x + 3，然后根据条件式进行转化求解即
可．
1
【解析】（1）解：Q x + = 3，
x
2
1\ x
1
+ ÷ = 9
2
，则 x + 2 + = 9，
è x x2
x2 1\ + = 7，
x2
x4 1 1
2
\ + 4 =
x2 + 2 ÷ - 2 = 7
2 - 2 = 47．
x è x
（2）解：Q x
1
+ = 3 x 0 ，
x
\ x2 +1 = 3x ，即： x2 = 3x -1，
\ x3 - 2x2 - 2x + 3 = x 3x -1 - 2x2 - 2x + 3
= 3x2 - x - 2x2 - 2x + 3
= x2 - 3x + 3
= 3x -1- 3x + 3
= 2．
【点睛】本题主要考查代数式的求值和完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式以及整体代入思
想方法，是解题的关键．
1
【典例 22】．已知 a2 - 5a +1= 0 a4，求 + 的值．
a4
【答案】527
1
【分析】先依据等式的基本性质将已知等式转化为含有 a + 的形式，再利用完全平方公式的变形把待求值
a
1
式子转化为含有 a + 的形式，然后整体代入求值即可得答案．
a
【解析】解：∵ a2 - 5a +1= 0，
∴ a 0 a 1， + = 5a ，
1
∴ a4 +
a4
2
= a2 1+ ÷ - 2
è a2
é(a 1
2
= ê + )
2 - 2ùú - 2 a
2
= 52 - 2 - 2
= 527．
【点睛】本题考查等式的性质及完全平方公式，熟练利用完全平方公式正确变形是解题关键．
【典例 23】．已知 a = 2019x + 2020，b = 2019x + 2021， c = 2019x + 2022，那么 a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca的
值等于（ ）
A．6 B．3 C．2 D．0
【答案】B
【分析】根据 a = 2019x + 2020，b = 2019x + 2021， c = 2019x + 2022，分别求出 a - b、 a - c、b - c的值，
然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可完成．
【解析】解：∵ a = 2019x + 2020，b = 2019x + 2021， c = 2019x + 2022，
∴ a - b = 2019x + 2020 - 2019x - 2021 = -1，
a - c = 2019x + 2020 - 2019x - 2022 = -2，
b - c = 2019x + 2021- 2019x - 2022 = -1，
∴ a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca
1
= (2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc)
2
1
= (a2 - 2ab + b2 + a2 - 2ac + c2 + b2 - 2bc + c2 )
2
1 (a b)2 1 (a c)2 1= - + - + (b - c)2
2 2 2
1
= (-1)2 1+ (-2)2 1+ (-1)2
2 2 2
1 1
= + 2 +
2 2
= 3，
故选：B．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求出 a - b、 a - c、b - c的值，然后利用完全平方公式将
a2
1 1 1
+ b2 + c2 - ab - bc - ca变形成 (a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2 是解题关键．2 2 2
题型 6：完全平方公式的图形应用
【典例 24】．如图，长方形 ABCD的周长为 20cm ，面积为16cm2 ，以 AB、AD 为边向外作正方形 ABGH
和 ADEF ，求正方形 ABGH 和 ADEF 的面积之和．
【答案】正方形 ABGH 和 ADEF 的面积之和为68cm2 ．
【分析】先根据题意列出长方形 ABCD关于周长和面积的代数式，再根据完全平方公式的变式应用即可求
出答案．
【解析】解：设长方形 ABCD的长为 acm ，则宽为bcm，
∵长方形 ABCD的周长为 20cm ，面积为16cm2 ，
∴ a + b =10，ab =16，
正方形 ABGH 和 ADEF 的面积之和为 a2 + b2 ，
∵ a2 + b2 = a + b 2 - 2ab =102 - 2 16 = 68 cm2 ．
∴正方形 ABGH 和 ADEF 的面积之和为68cm2 ．
【点睛】本题主要考查完全平方公式变式应用，根据题意列出等式是解决本题的关键．
【典例 25】．如图，将 4 个长为 a，宽为b 的长方形木条拼成一个正方形相框．
(1)若 a = 2，b =1，求正方形 ABCD和正方形EFGH 的面积；
(2)用两种不同的方法计算大正方形 ABCD的面积，你发现了什么代数结论？
【答案】(1)正方形 ABCD的面积为：9，正方形EFGH 的面积为：1
(2) 2面积计算见解析， a + b = a - b 2 + 4ab
【分析】（1）根据正方形面积计算公式求解即可；
（2）根据大长方形面积等于边长乘以边长，以及大正方形面积等于 4 个小长方形面积加上小正方形面积进
行求解即可．
2 2
【解析】（1）解：正方形 ABCD的面积为： a + b = 2 +1 = 9
正方形EFGH 的面积为： a - b 2 = 2 -1 2 =1；
（2）解：方法一：正方形 ABCD的面积为： a + b 2
方法二：正方形 ABCD的面积为： a - b 2 + 4ab
∵两种表示方法表示的面积相等，
∴ a + b 2 = a - b 2 + 4ab ．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，代数式求值，熟知完全平方公式是解题的关
键．
【典例 26】．通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式，例如：如图①是一个
长为 2a，宽为 2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，
请解答下列问题：
(1)图②中阴影部分的正方形边长的是：______．
(2)用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法 1：______；方法 2：______．
(3)观察图②，请你写出 (a + b)2 ． a - b 2 ， ab之间的等量关系______；
(4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若 x+y = 7 ， xy =12，则 x - y = ______．
【答案】(1) a - b
(2) (a - b)2 ， (a + b)2 - 4ab
(3) (a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
(4) ±1
【分析】（1）由拼图可直接得出答案；
（2）一方面阴影部分是边长为a -b的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长
为 a + b 的正方形面积中减去 4 个长为 a，宽为b 的长方形面积即可；
（3）由（2）两种方法所表示的面积相等可得答案；
（4）由（3）的结论代入计算即可．
【解析】（1）由拼图可得，图 2 中阴影部分的正方形的边长为 a - b，
故答案为： a - b；
（2）方法一：阴影部分是边长为 a - b的正方形，因此面积为 (a - b)2 ，
方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为 a + b 的正方形面积减去 4 个长 a，宽为b 的长方形面积，即
(a + b)2 - 4ab ；
故答案为： (a - b)2 ， (a + b)2 - 4ab ；
（3）由（2）得， (a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
故答案为： (a - b)2 = (a + b)2 - 4ab ；
（4）∵ x+y = 7 ， xy =12， (x - y)2 = (x + y)2 - 4xy，
∴ (x - y)2 = (x + y)2 - 4xy
= 49 - 48
= 1，
∴ x - y = ±1
故答案为： ±1．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式
表示各个部分的面积是解决问题的关键．
【典例 27】．两个边长分别为 a 和 b 的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为 S1；若
再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为 b 的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）
面积为 S2 ．
(1)用含 a、b 的代数式分别表示 S1、 S2 ；
(2)若 a - b = 8， ab =13，求S1 +S2的值；
(3)用 a、b 的代数式表示 S3 ，并当 S1 + S2 = 36 时，求出图③中阴影部分的面积 S3 ．
【答案】(1) S = a21 - b
2 , S2 = 2b2 - ab ；
(2) S1 +S2 =77；
(3) S3 =18.
【分析】（1）图①中阴影部分的面积是边长为 a、b 的正方形的面积差，图②中阴影部分的面积是边长为
b 的正方形面积减去边长为 b 和 a - b 的矩形面积的差；
（2）由（1）用 a、b 表示出S1 +S2，然后将其配方后把 a - b = 8， ab =13代入即可得解；
（3）由图形中面积之间的关系可以用含有 a、b 的代数式表示 S3 ，然后再代入计算即可．
【解析】（1）解：由题意可得：
S 2 21 = a - b ,
S 22 = b - a - b b
= b2 - ab + b2
= 2b2 - ab ；
（2）由（1）可得：
S1 +S2 = a2 - b2 + 2b2 - ab
= a2 + b2 - ab
= a - b 2 + ab ,
∴当 a - b = 8， ab =13时，S +S = 821 2 +13 = 77；
（3）由题意可得：
2 b a + b
S a 3 = a2 + b2 - -2 2
= a
2 + b2 - ab
，
2
当 S1 + S2 = 36 时， a2 + b2 - ab = 36，
2 2
∴ S a + b - ab3 = =18 .2
【点睛】本题考查整式运算在面积计算中的应用，熟练掌握整式的运算法则及完全平方公式的应用是解题
关键．
【典例 28】．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一
2 2
个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图 1，可得等式： a + 2b a + b = a + 3ab + 2b ．
(1)如图 2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为 a + b + c 的正方形，试用不同的形式表示
这个大正方形的面积，你能发现什么结论？，请用等式表示出来．
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 a + b + c =10， ab + bc + ac = 30，求 a2 + b2 + c2 的
值．
【答案】(1) a + b + c 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
(2) 40
【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是 3 个正方形的面积和 6
个矩形的面积，一种是大正方形的面积，可得等式 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac；
（2）利用（1）中的等式变形后，直接代入求得答案即可；
【解析】（1） (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac；
（2）∵ a + b + c =10， ab + bc + ac = 30，
∴ a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ac) =100 - 60 = 40；
【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示
同一图形的面积．
【典例 29】．已知有若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片，其中A 型卡片是边长为 a的正方形， B
型卡片是边长为b 的正方形，C 型卡片是长为b ，宽为 a的长方形．
(1)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个长为3a + b，宽为 2a + b 的长方形，求嘉嘉需要A ， B ，C 各多少
张？
(2)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取A 型卡片 4 张，再取 B 型卡片 1 张，还需取C 型卡
片多少张，并求所拼正方形的边长？
(3)若嘉嘉用这三种卡片紧密拼接成一个面积为 a2 + nab +12b2的长方形，则满足条件的 n的整数值_________
个．
【答案】(1)需要A 卡片6张， B 卡片1张，C 卡片5张
(2)要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，还需取C 型卡片 4张
(3) 3
【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，完全平方式：
（1）根据多项式乘以多项式结合长方形面积求出长为3a + b，宽为 2a + b 的长方形的面积即可得到答案；
（2）设还需取 C 型卡片 m 张，则所取卡片的面积之和为 4a2 + mab + b2，则多项式
4a2 + mab + b2 = 2a 2 + mab + b2是一个完全平方式，据此求解即可；
（3）根据题意， a + sb a + tb = a2 + s + t ab + stb2 ，可得 s + t = n, st =12 ，将12因式分解，即可求解．
2
【解析】（1）解：∵长方形的面积为： 3a + b 2a + b = 6a + 5ab + b2．
∴嘉嘉需要 A 卡片 6 张，B 卡片 1 张，C 卡片 5 张；
（2）解：设还需取 C 型卡片 m 张，则所取卡片的面积之和为 4a2 + mab + b2，
∵所有卡片可以紧密拼成一个正方形，
∴多项式 4a2 + mab + b2 = 2a 2 + mab + b2是一个完全平方式，
∴ mab = ±2 × 2a ×b，
∴ m = 4 或m = -4（舍去）
∴要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，还需取 C 型卡片 4 张；
（3）解：依题意，设长方形的边长为 a + sb , a + tb ，
∴ a + sb a + tb = a2 + s + t ab + stb2 = a2 + nab +12b2
依题意， s + t = n, st =12
∵12 =1 12 = 2 6 = 3 4，
∴ n =1+12 =13或 n = 2 + 6 = 8或 n = 3+ 4 = 7 ．
故答案为：3．
【典例 30】．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为 a的正方形， B 种纸
片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为b 、宽为 a的长方形，并用A 种纸片一张， B 种纸片一张，C 种纸
片两张拼成如图 2的大正方形．
(1)观察图 2，请你写出下列三个代数式： (a + b)2 ， a2 + b2 ， ab之间的等量关系；
(2)若要拼出一个面积为 a + 2b a + b 的矩形，则需要A 号卡片1张， B 号卡片 2张，C 号卡片______张．
(3)根据 1 题中的等量关系，解决如下问题：
①已知： a + b = 5， a2 + b2 =11，求 ab的值；
②已知 (x - 2021)2 + (x - 2023)2 = 20，求 x - 2022的值．
2 2 2
【答案】(1) (a+b) =a +b +2ab
(2)3
(3)① ab的值为 7 ；② x - 2022 = ±3
【分析】本题考查完全平方公式的意义和应用；
（1
2
）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出 a + b ， a2 + b2 ， ab三者的关系；
（2）计算 a + 2b a + b 的结果为 a2 + 3ab + 2b2 ，因此需要 A 号卡片 1 张，B 号卡片 2 张，C 号卡片 3 张；
（3）①根据题（1）公式计算即可；②令 a = x - 2022，从而得到 a +1 = x - 2021，代入计算即可．
【解析】（1）解：大正方形的面积可以表示为： (a + b)2 ，或表示为： a2 + b2 + 2ab ；
因此有 (a+b)2 =a2 +b2 +2ab；
2 Q a + 2b a + b = a2（ ）解： + ab + 2ab + b2 = a2 + 3ab + 2b2 ，
\需要 A 号卡片 1 张，B 号卡片 2 张，C 号卡片 3 张，
故答案为：3；
（3）解：①Q(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab， a + b = 5， a2 + b2 =11，
\25 =11+ 2ab，
\ab = 7，即 ab的值为 7 ；
②令 a = x - 2022，
\ x - 2021 .
= éx - 2022 -1 ù .
= x - 2022 +1.
= a +1，
x - 2023 .
= é x - 2022 +1 ù .
= x - 2022 -1 .
= a -1，
Q(x - 2021)2 + (x - 2023)2 = 20，
\(a +1)2 + (a -1)2 = 20，
解得 a2 = 9．
\(x - 2022)2 = 9．
\ x - 2022 = ±3．
题型 7：完全平方公式的代数应用
【典例 31】．已知实数 a，b 满足 a2 + ab + b2 =1，若 p = ab + 2a + 2b ，则 p 的最小值为 ．
【答案】-2
【分析】本题考查完全平方公式的运用、平方式的非负性，先利用完全平方公式将已知等式化为
ab = a + b 2 -1，再将 p = ab + 2a + 2b p = a + b +1 2配方为 - 2 ，利用平方式的非负性求解即可．
【解析】解：∵ a2 + ab + b2 =1，
∴ a + b 2 - ab =1 2，即 ab = a + b -1，
∴ p = ab + 2a + 2b
= a + b 2 -1+ 2 a + b
= a + b +1 2 - 2 -2，
当 a + b +1 = 0时取等号，
∴p 的最小值为-2，
故答案为：-2．
【典例 32】．不论 a、b 为任意有理数，多项式 a2 + b2 - 4a + 2b + 7的值总是不小于 ．
【答案】2
【分析】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；先利用完全平方公式得到
a - 2 2 + b +1 2 + 2，然后根据非负数的性质进行判断．
【解析】解： a2 + b2 - 4a + 2b + 7
= a2 - 4a + 4 + b + 2b +1+ 2
= a - 2 2 + b +1 2 + 2
∵ a - 2 2 0, b +1 2 0
∴ a - 2 2 + b +1 2 + 2 2
∴不论 a、b 为任意有理数，多项式 a2 + b2 - 4a + 2b + 7的值总是不小于 2．
故答案为：2．
【典例 33】．实数 a，b ， c满足a - 2b + c = 0，则b2 - ac 0．（填“ >”、“ <”、“ ”、“ ”、“ = ”）
【答案】
【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形进行求值，运用完全平方公式结合已知等式进行变形求解即
可，正确进行变形，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【解析】解：∵ a - 2b + c = 0，
∴ 2b = a + c，
∴ 2b 2 1= a + c 2 = a2 + 4ac + c2 ，即b2 =
4 a
2 + 4ac + c2 ，
∴ b2 ac
1 a2 4ac c2 1- = + + - ac = a2 + c2 0，4 4
故答案为： ．
【典例 34】．已知 a + 2b = 6 ， ab = 3，则 4(a + b)2 - 3a2的值为 ．
【答案】 48
2
【分析】本题考查了整式的运算和因式分解的应用，先将原式变形为 a + 2b + 4ab，再将 a + 2b = 6 ， ab = 3
代入原式计算即可，熟练掌握因式分解的方法及掌握运算法则是解题的关键．
【解析】解： 4(a + b)2 - 3a2
= 4 a2 + 2ab + b2 - 3a2
= a2 + 8ab + 4b2
= a + 2b 2 + 4ab，
∵ a + 2b = 6 ， ab = 3，
∴原式= 62 + 4 3 = 48，
故答案为： 48．
【典例 35】．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变
形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成 a + b （ a,b是整数）的形式，则
称这个数为“完美数”．例如，10 是“完美数”、理由：因为10 = 32 +12 ，所以 10 是“完美数”．
解决问题：
（1）下列各数中，“完美数”有________（填序号）．
①29； ②48： ③13： ④28．
探究问题：
（2）若 a - 4a + 8可配方成 a - m 2 + n2 （m, n为常数），则mn 的值________；
（3）已知 S = a2 + 4ab + 5b2 -8b + k （ a,b是整数， k 是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个
k 值，并说明理由．
拓展应用：
（4）已知实数 a,b满足-a2 + 5a + b - 3 = 0，求 a + b 的最小值．
【答案】（1）①③；（2）±4；（3）当 k =16时，S 是完美数，理由见详解；（4） a + b 的最小值为
-1．
【分析】（1）根据“完美数”的定义分别进行判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
（3）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论；
（4）利用配方法和非负数的性质求得 a + b 的最小值．
【解析】解：（1）根据题意，
∵ 29 = 25+ 4 = 52 + 22，13 = 9 + 4 = 32 + 22，48 和 28 不能拆解为两数的平方和，
∴“完美数”有 29 和 13；
故答案为：①③；
（2）∵ a - 4a + 8 = a2 - 4a + 4 + 4 = (a - 2)2 + 4，
∵ a - 4a + 8 = a - m 2又 + n2 ，
∴ m = 2 ， n = ±2，
∴ mn = ±4；
故答案为：±4；
（3）当 k =16时，S 是完美数；
理由如下：
S = a2 + 4ab + 5b2 -8b +16
= a2 + 4ab + 4b2 + b2 -8b +16
= (a + 2b)2 + (b - 4)2 ；
∵ a,b是整数，
∴ a + 2b和b - 4也是整数，
∴当 k =16时，S 是完美数；
（4）根据题意，
∵ -a2 + 5a + b - 3 = 0，
∴ a + b = a2 - 4a + 3，
∴ a + b = a2 - 4a + 4 -1，
∴ a + b = (a - 2)2 -1，
∵ (a - 2)2 0 ，
∴ (a - 2)2 -1 -1，
∴ a + b 的最小值为 -1．
【点睛】本题考查了新定义的运算法则，因式分解的应用，配方法的应用，完全平方公式，解题的关键是
仔细阅读材料理解分组分解的方法，难度不大．
题型 8：“杨辉三角”
【典例 36】．观察下列各式及其展开式：
a + b 2 = a2 + 2ab + b2 ；
a + b 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ；
a + b 4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 ；
a + b 5 = a5 + 5a4b +10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 + b5 ；
××××××
8
请你猜想 x -1 的展开式中含 x2 项的系数是
【答案】28
【分析】本题主要考查了完全平方公式，数字的规律变化，多项式．关键要能够写出 8 次方时候每一项的
系数，将 a、b 分别换成 x、 -1．按照题目所给规律依次写出 6，7，8 次方的等式，就可以发现系数之间的
规律，结合所要求的式子 a 换成 x，把 b 换成 -1．即可得到答案．
【解析】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分
别为：
1，6，15，20，15，6，1；
1，7，21，35，35，21，7，1；
1，8，28，56，70，56，28，8，1；
6
故含 x2 项的系数为： 28 -1 = 28．
故答案为：28．
【典例 37】．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出
n
了 a + b n =1，2，3，4， 的展开式的系数规律（按 n的次数由大到小的顺序）：
2021
请依据上述规律，写出 x - 3 展开式中含 x2020项的系数是 ．
【答案】-6063
【分析】本题考查了规律探索，读懂题意并根据所给的式子寻求规律是解题的关键．
首先确定含 x2020的项是展开式中的第几项，根据杨辉三角解决问题即可．
∵ x - 3 2021【解析】解： = x2021 - 2021x2020 3 + ...，
可知，展开式中第二项为-2021x2020 3 = -6063x2020 ，
∴ x - 3 2021展开式中含 x2020项的系数是-6063，
故答案为：-6063．
题型 9：完全平方公式的图形应用难点
【典例 38】．阅读材料：
若 x 满足 9 - x x - 4 = 4 9 - x 2，求 + x - 4 2 的值．
解：设9 - x = a， x - 4 = b，则 9 - x x - 4 = ab = 4 ， a + b = 9 - x x - 4 = 5，
∴ 9 - x 2 + x - 4 2 = a2 + b2 = a + b 2 - 2ab = 52 - 2 4 =17
请仿照上面的方法求解下列问题：
(1) x 5 - x x - 2 = 2 5 - x 2 2若 满足 ，求 + x - 2 的值．
(2) n - 2023 2 + 2024 - n 2 =1，求 n - 2023 2024 - n ．
(3)已知正方形 ABCD的边长为 x ，E ，F 分别是 AD 、DC 上的点，且 AE =1，CF = 3，长方形EMFD 的
面积是 15，分别以MF ，DF 为边长作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)5
(2)0
(3)16
【分析】（1）设5 - x = a ， x - 2 = b，则可得出5 - x + x - 2 = 3 = a + b，根据
(5 - x)2 + (x - 2)2 = a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab代入计算即可得出答案；
（2）设 n - 2023 = a， n - 2024 = b ，则可得出 (n - 2023) - (n - 2024) = a - b = 1，由 a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab，可计
算出 ab的值，则 (n - 2023)(2024 - n) = -ab 代入计算即可得出答案；
（3）根据题意可得，MF = x -1，DF = x - 3，由已知条件可得 S长EMFD = x -1 x - 3 = 15，阴影部分的面
2 2
积为大正方形面积减去小正方形的面积，可得 S阴 = S正MFRN - S正GFDH = (x -1) - (x - 3) ，设 x -1 = a ， x - 3 = b ，
则可得出 (x -1) - (x - 3) = a - b = 2，由 (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab = 22 + 4 15 = 64，即可算出 a + b 的值，由
S阴 = S正MFRN - S正GFDH = (x -1)
2 - (x - 3)2 = a2 - b2 = a + b a - b 代入计算即可得出答案．
【解析】（1）解：（1）设5 - x = a ， x - 2 = b，
则5 - x + x - 2 = 3 = a + b， 5 - x x - 2 = ab = 2
\(5 - x)2 + (x - 2)2
= a2 + b2
= (a + b)2 - 2ab
= 32 - 2 2
= 5；
（2）解：设 n - 2023 = a， n - 2024 = b ，
则 (n - 2023) - (n - 2024) = a - b = 1，
Qa2 + b2 = (a - b)2 + 2ab ，
\1 = 1+ 2ab，
\ab = 0 ，
Q(n - 2023)(2024 - n)
= -(n - 2023)(n - 2024)
= -ab = 0；
（3）解：根据题意可得，MF = x -1，DF = x - 3，
\S长EMFD = x -1 x - 3 =15，
S = S 2 2阴 正MFRN - S正GFDH = (x -1) - (x - 3) ，
设 x -1 = a ， x - 3 = b ，
则 (x -1) - (x - 3) = a - b = 2，
Q(a + b)2
= (a - b)2 + 4ab
= 22 + 4 15
= 64，
\a + b = 8，
\S阴 = S正MFRN - S正GFDH
= (x -1)2 - (x - 3)2
= a2 - b2
= (a + b)(a - b)
= 8 2
=16．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式，掌握完全平方公式的变式应用及多
项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键．
【典例 39】．阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．
（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根据图②能得到的数
学公式是__________．
（2）如图③，请写出（a＋b）、（a﹣b）、ab 之间的等量关系是__________
（3）利用（2）的结论，解决问题：已知 x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2 的值．
（4）根据图④，写出一个等式：__________．
（5）小明同学用图⑤中 x 张边长为 a 的正方形，y 张边长为 b 的正方形，z 张宽、长分别为 a、b 的长方形
纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b）长方形，请画出图形，并指出 x＋y＋z 的值．
类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．
（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．
【答案】（1）（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；（2）（a＋b）2＝（a﹣b）2＋4ab；（3）56；（4）（a＋b＋c）2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；（5）画图见解析，16；（6）（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2
【分析】(1)由图②中各个部分面积之间的关系可得答案；
(2)根据图③中，大正方形的面积为（a＋b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，每个长方形的面积为 ab，由
各个部分的面积之间的关系可得出答案；
(3) 2由公式变形 x - y = x + y 2 - 4xy ，再整体代入计算即可；
(4)大正方形的面积可表示为（a＋b＋c）2，在分别表示出大正方形中 9 块的面积，可得答案；
(5)根据拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b），即为 3a2＋3b2＋10ab，因此 x＝3，y＝3，z＝10，进而拼图即
可；
(6)根据大正方体的体积为（a＋b）3，以及 8 个“小块”的体积之间的关系得出结果即可．
【解析】（1）根据图②各个部分面积之间的关系可得：
（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，
故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；
（2）Q图③中，大正方形的面积为（a＋b）2，
小正方形的面积为（a﹣b）2，
每个长方形的面积为 ab，
\ a + b 2 = a - b 2 + 4ab，
2
故答案为： a + b = a - b 2 + 4ab ；
（3）利用（2）的结论，
2
可知 x - y = x + y 2 - 4xy ，
Q x＋y＝8，xy＝2，
\（x﹣y）2＝（x＋y）2﹣4xy＝64﹣8＝56；
（4）根据图④，
大正方形的面积可表示为（a＋b＋c）2，
Q内部 9 块的面积分别为：
a2 ,b2 ,c2 ,ab,ab,ac,ac,bc,bc，
\（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
故答案为：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
（5）Q（3a＋b）（a＋3b）＝3a2＋3b2＋10ab，
\ x = 3, y = 3, z =10，
即需要 3 张边长为 a 的正方形，3 张边长为 b 的正方形，10 张宽、长分别为 a、b 的长方形纸片，
画图如下：
∴x＋y＋z＝16；
（6）根据图⑥，
大正方体的体积为（a＋b）3，
分割成 8 个“小块”的体积分别为：
a3 ,b3 ,a2b,a2b,a2b,ab2 , ab2 ,ab2 ，
\（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2
故答案为：（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景、立方公式，表示各个部分的面积和体积，利用各个部分的面
积或体积与整体的关系得出答案．
一、单选题
1．下列式子满足完全平方公式的是（ ）
A．（3x﹣y）（﹣y﹣3x） B．（3x﹣y）（3x+y）
C．（﹣3x﹣y）（y﹣3x） D．（﹣3x﹣y）（y+3x）
【答案】D
【分析】首先将各式变形，再根据完全平方公式的知识求解即可求得答案．
【解析】解：A、∵（3x-y）（-y-3x）=-（3x-y）（y+3x），∴不是完全平方式，故本选项错误；
B、（3x-y）（3x+y），不是完全平方式，故本选项错误；
C、∵（-3x-y）（y-3x）=（3x+y）（3x-y），∴不是完全平方式，故本选项错误；
D、∵（-3x-y）（y+3x）=-（3x+y）（y+3x）=-（3x+y）2，∴是完全平方式，故本选项正确．
故选 D．
【点睛】此题考查了完全平方公式．解题的关键是注意符号的变化．
2． -x - y 2展开后的结果是（ ）.
A．-x2 - 2xy - y2 B． x2 + 2xy + y2
C．-x2 - 2xy + y2 D． x2 - 2xy + y2
【答案】B
2 2
【分析】先把 -x - y 变成 x + y ，然后根据完全平方公式展开即可.
【解析】 -x - y 2 = x+y 2 =x2 + 2xy + y2 ，故选 B.
【点睛】本题是对完全平方公式的考查，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键.
3．若 x y ，下列等式：① (-x - y)2 = (y + x)2 ② (x - y)2 = -(y - x)2 ③ (y - x)3 = -(x - y)3 ④
(x - y)3 = (y - x)3 ⑤ (-x + y)(-x - y) = x2 - y2 ，其中错误的有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】C
【分析】利用完全平方公式 以及平方差公式， 进行逐一判断即可．
【解析】解： (-x - y)2 = (y + x)2故①说法正确；
(x - y)2 = (y - x)2 故②说法错误；
(y - x)3 = -(x - y)3 故③说法正确，④说法错误；
(-x + y)(-x - y) = (x - y)(x + y) = x2 - y2 ，故⑤说法正确；
错误的有 2 个，
故选 C．
【点睛】本题主要考查了乘法公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
4．如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为（ ）
A． (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab B． (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
C． a2 - b2 = (a + b)(a - b) D． (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
【答案】A
【分析】我们通过观察可看出大正方形的面积等于小正方形的面积加上 4 个长方形的面积，从而得出结
论．
【解析】解：由图形可得：大正方形的边长为：a+b，则其面积为：（a+b）2，
小正方形的边长为：（a-b），则其面积为：（a-b）2，长方形面积为：ab，
大正方形的面积又可以表示为（a-b） 2+4ab，
故（a+b）2=（a-b）2+4ab．
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，认真观察，熟练掌握长方形、正方形、组合图形的面积计
算方法是正确解题的关键．
5．已知（a+b）2=7，（a﹣b）2=4，则 a2+b2 的值为（ ）
3 11
A．11 B．3 C． D．
2 2
【答案】D
【分析】直接利用完全平方公式把两个等式展开，然后相加化简求出答案即可
【解析】∵（a+b）2=7，（a﹣b）2=4，
∴a2+2ab+b2=7，a2﹣2ab+b2=4，
∴2（a2+b2）=11，
11
∴a2+b2= ．
2
故选 D．
【点睛】此题考查了完全平方式，牢记公式是解题的关键.
6．如果9x2 +kx+25是一个完全平方式，那么 k 的值是（ ）
A．±30 B．30 C．15 D．±5
【答案】A
【分析】本题考查了完全平方公式，关键在于熟知完全平方公式的特点进行求解．
利用完全平方公式的特点即“首平方，尾平方，二倍底数乘积放中间”可知 kx 为二倍底数乘积，进而可得到
答案．
【解析】解：∵ 9x2 + kx + 25 = 3x ± 5 2 = 9x2 ± 30x + 25，
∴ kx = ±30x，
∴ k = ±30 ，
故选：A．
7．若 a + b =10， a2 + b2 = 84，则 ab等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形进行求值，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键.
将 a + b =10两边同时平方，然后根据完全平方公式的变形进行求解即可.
【解析】解：∵ a + b =10， a2 + b2 = 84，
∴ a + b 2 = a2 + 2ab + b2 =100，
即84 + 2ab =100，
∴ ab = 8，
故选 B
8．如图所示，有三种卡片，其中边长为 a的正方形卡片有 1 张，长为 a、宽为b 的矩形卡片有 4 张，边长
为b 的正方形卡片有 4 张，用这 9 张卡片刚好能拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A．a + 2b B． 2a + 2b C． 2a + b D． a + b
【答案】A
【分析】可根据拼前与拼后面积不变，求出正方形的边长．
【解析】解：设拼成后大正方形的边长为 x，则 a2+4ab+4b2＝x2，
则（a+2b）2＝x2，
∴x＝a+2b，
故选 A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景以及整式的混合运算，解题的关键是依据面积相等列方程．
9．不论 x，y 为何有理数，x2+y2﹣10x+8y+45 的值均为（ ）
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
【答案】A
【解析】因为 x2+y2－10x+8y+45= x - 5 2 + y + 4 2 + 4 > 0 ,
所以 x2+y2－10x+8y+45 的值为正数,
故选 A.
10．已知 a = 2005x + 2004,b = 2005x + 2005,c = 2005x + 2006．则多项式 a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，观察知可先把多项式转化为完全平方形式，再代入值求解
即可，关键在于灵活思维，对多项式扩大 2 倍是利用完全平方公式的关键．
【解析】由题意可知 a - b = -1，b - c = -1， a - c = -2 ，
a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac
1
= 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca2
1
= é a2 - 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 + a2 - 2ac + c22 ù
1
= é a - b 2 + b - c 2 + a - c 2 ù
2
1
= é -1 2 + -1
2 + -2 2 ù
2
= 3，
故选：D．
二、填空题
11．（1） (x - y)(-x + y) = ；（2） (x - y)(-x - y) = ；
1
（3） - x +1
1 1 1
÷ - x -1
= ÷ ；（4） - x -14 4 4 ÷
x +1÷ = ．
è è è è 4
【答案】 -x2 + 2xy - y2 y2
1 1
- x2 x2 -1 - x2
1
- x -1
16 16 2
【分析】（1）先提取一个负号，然后利用完全平方公式求解即可；
（2）先提取一个负号，然后利用平方差公式求解即可；
（3）先提取一个负号，然后利用平方差公式求解即可；
（4）先提取一个负号，然后利用完全平方公式求解即可．
2
【解析】解：（1）原式＝-(x - y)(x - y) = - x -2xy + y2 = -x 2 +2xy - y2 ；
（2） (x - y)(-x - y) = -(x - y)(x + y) = - x2 - y2 = y2 - x2 ；
1
（3
） - x +1
1 1
÷ - x -1
÷ = -
- x +1
1 x +1 1= - 1- x2 1 2
4 4 4 ÷ 4 ÷ 16 ÷
= x -1；
è è è è è 16
1
4 - x -1
1 x +1 = - 1 x 1+1 x +1 = - 1 x2 1+ x +1 1 2 1（ ） ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = - x - x -1．
è 4 è 4 è 4 è 4 è16 2 16 2
2 2 2 2 1 x2 1 1 2 1故答案为：-x +2xy - y ； y - x ； - ；- x - x -1．
16 16 2
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握两个公式．
12．（1） (a + b)2 + = (a - b)2 + = a2 + b2 ；
（2） (a + b)2 = (a - b)2 + ；（3） a2 + b2 - ab = (a + b)2 - ；
（4） (a + b)2 + (a - b)2 = ；（5） (a + b)2 - (a - b)2 = ．
【答案】 -2ab 2ab 4ab 3ab 2a2 + 2b2 4ab
【分析】（1）根据 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ， (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 求解即可；
（2）根据 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ， (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 求解即可；
（3）根据 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ， (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 求解即可；
（4）根据 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ， (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 求解即可；
（5）根据 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ， (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 求解即可．
【解析】解：（1）∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ， (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)2 + -2ab = (a - b)2 + 2ab = a2 + b2 ；
（2）∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ， (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
∴ (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab；
（3）∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ， (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
∴ a2 + b2 - ab = (a + b)2 - 3ab ；
（4）∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ， (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
∴ (a + b)2 + (a - b)2 = 2a2 + 2b2 ；
（5）∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ， (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
∴ (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab．
故答案为：-2ab ， 2ab； 4ab ；3ab； 2a2 + 2b2 ； 4ab ．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式．
13．要使16x2 +1成为一个完全平方式，可以加上一个单项式 .
【答案】±8x或64x4
【分析】根据完全平方公式的特征即可得出答案.
【解析】①若把16x2 看成 a2 ，把 1 看成b2 ，则缺少了中间项，中间项为±8x；
②若把16x2 看成 2ab，把 1 看成b2 ，则缺少了 a2 项， a2 项为64x4 ；
故答案为±8x或64x4 .
【点睛】本题考查的是完全平方公式，需要熟练掌握完全平方公式的特征.
14．已知 x2 + 2x + 2y + y2 + 2 = 0，则 x2019 + y2020 = ．
【答案】0
【分析】将 x2 + 2x + 2y + y2 + 2 = 0变形得到 (x +1)2 + (y +1)2 = 0，从而利用完全平方式的非负性求得 x,y 的
值，代入求值即可
【解析】解： x2 + 2x + 2y + y2 + 2 = 0
x2 + 2x +1+ y2 + 2y +1 = 0
(x +1)2 + (y +1)2 = 0
∴ x = -1; y = -1
∴原式= (-1)2019 + (-1)2020 = -1+1 = 0
故答案为：0
【点睛】本题考查利用完全平方公式求值，掌握公式结果正确计算是本题的解题关键.
15 2 2．如果 x - 2 k +1 xy + 25y 是一个完全平方式，那么 k 的值为 ．
【答案】-6或 4
【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．根据完全平方公式
a2 ± 2ab + b2 = a ± b 2 即可求出答案．
【解析】∵ -2 k +1 xy = ±2x 5y ，
∴ k = -6 或 4，
故答案为：-6或 4．
16．代数式 4 - a + b 2的最大值是 ，当取得最大值时， a与b 的关系是 .
【答案】 4 a + b = 0
【分析】求代数式 4 - a + b 2的最大值，即求 a + b 2 的最小值，然后回答即可.
4 - a + b 2 2 2 2【解析】求代数式 的最大值，即求 a + b 的最小值， a + b 0 ，则代数式 4 - a + b 的最大值
4 a + b 2是 ，则 = 0，则 a + b = 0 .
【点睛】本题是对完全平方式的考查，熟练掌握完全平方式是解决本题的关键.
17．两个边长分别为 a 和 b 的正方形如图放置（图 1），其未叠合部分（阴影）面积为 S1；若再在图 1 中大
正方形的右下角摆放一个边长为 b 的小正方形（如图 2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 S2 ．若
a + b = 8，ab =10 ，则 S1＋ S2 ＝ ；当 S1＋ S2 ＝40 时，则图 3 中阴影部分的面积 S3 = ．
【答案】 34 20
【分析】①分别用代数式表示出 S1和 S2 ，利用完全平方公式的变形化简，即可求得；
②利用两个正方形的面积减去 2 个三角形的面积即得 S3 ,运用①中的结论，即可求得．
【解析】①Q S1 = a
2 - b2 ， S2 = (2b - a) ×b = 2b
2 - ab
\ S ＋ S ＝ a21 2 - b2 + 2b2 - ab = a2 + b2 - ab
= (a + b)2 - 3ab
Q a + b = 8，ab =10
\ S ＋ S 21 2 ＝8 - 3 10 = 34
S a2 b2 1② 3 = + - b (a + b)
1
- a a
2 2
1
= (a2 + b2 - ab)
2
Q S1＋ S ＝ a2 + b22 - ab =40
1
\S3 = 40 = 20，2
故答案为：34；20．
【点睛】本题考查了完全平方公式，几何图形的面积，整式的乘法，熟悉完全平方公式是解题的关键．
18 n．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角” ( 如图 )，此图揭示了 a + b (n 为
非负整数 )展开式的项数及各项系数的有关规律．
0
例如： a + b =1，它只有一项，系数为 1；系数和为 1；
a + b 1 = a + b，它有两项，系数分别为 1，1，系数和为 2；
a + b 2 = a2 + 2ab + b2 ，它有三项，系数分别为 1，2，1，系数和为 4；
a + b 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ，它有四项，系数分别为 1，3，3，1，系数和为 8；
L；
a + b n则 的展开式共有 项，系数和为 ．
【答案】 n +1/1+n 2n
【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n 为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾
两项系数都是 1，中间各项系数等于（a+b）n-1相邻两项的系数和．因此根据项数以及各项系数的和的变化
规律，得出（a+b）n 的项数以及各项系数的和即可．
【解析】根据规律可得，（a+b）n 共有（n+1）项，
∵1=20
1+1=21
1+2+1=22
1+3+3+1=23
∴（a+b）n 各项系数的和等于 2n
故答案为 n+1，2n
【点睛】本题主要考查了完全平方式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键．在应用完全平方
公式时，要注意：①公式中的 a，b 可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计
算，都可以用这个公式．
三、解答题
19．运用完全平方公式计算：
（1） (2a + 5b)2 ；（2） (4x - 3y)2；（3） (-2m -1)2 ；
2
4 （ ） 1.5a
2
- b ÷ ；（5）632 ；（6）982 ．
è 3
9 4
【答案】（1）4a2 + 20ab + 25b2；（2）16x2 - 24xy + 9y2 ；（3） 4m2 + 4m +1 2；（4） a - 2ab + b2 ；4 9
（5）3969；（6）9604．
【分析】利用完全平方公式 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 直接求解即可．
【解析】解：（1） (2a + 5b)2
= (2a)2 + 2 ×2a ×5b + (5b)2
= 4a2 + 20ab + 25b2，
（2） (4x - 3y)2
= (4x)2 - 2 ×4x ×3y + (3y)2
=16x2 - 24xy + 9y2 ，
（3） (-2m -1)2
= (-2m)2 - 2 × (-2m) ×1+12
= 4m2 + 4m +1，
2
（4 ） 1.5a
2
- b
è 3 ÷
3
= ( a)2 - 2 3 2× a × b (2+ b)2
2 2 3 3
9
= a2 2ab 4- + b2 ，
4 9
（5）632
= (60 + 3)2
= 602 + 2 60 3+ 32，
= 3600 + 360 + 9，
= 3969，
（6）982
= (100 - 2)2
=1002 - 2 100 2 + 22，
= 10000 - 400 + 4，
= 9604．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ．
20．运用完全平方公式计算：
2
（1） (x + 6)2 ；（2） ( y - 5)2 ；（3） (-2x + 5)2 3 x 2；（4） - y
4 3 ÷
．
è
9 4
【答案】（1） x2 +12x + 36；（2） y2 -10y + 25；（3） 4x2 - 20x + 25；（4） x2 - xy + y216 9
【分析】（1）根据完全平方公式直接进行计算；
（2）根据完全平方公式直接进行计算；
（3）根据完全平方公式直接进行计算；
（4）根据完全平方公式直接进行计算．
【解析】解：（1） x + 6 2 = x2 +12x + 36；
（2） y - 5 2 = y2 -10y + 25；
（3） -2x + 5 2 = 4x2 - 20x + 25；
3 2 24 x - y 9 x2 xy 4（ ） ÷ = - + y
2 ．
è 4 3 16 9
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的运算是解答此题的关键．
21．运用乘法公式计算：
（1） (3x - 5)2 - (2x + 7)2 ；（2） (x + y +1)(x + y -1) ；
（3） (2x - y - 3)2 ；（4）[(x + 2)(x - 2)]2．
【答案】（1）5x2 - 58x - 24 ；（2） x2 + 2xy + y2 -1；（3）4x2 + y2 - 4xy -12x + 6y + 9 ；（4）
x4 -8x2 +16 ．
【分析】（1）根据平方差公式，可得答案；
（2）根据平方差公式，再根据完全平方公式，可得答案；
（3）根据完全平方公式，可得答案；
（4）根据平方差公式，再根据完全平方公式，可得答案．
【解析】解：（1）原式＝[（3x 5）＋（2x＋7）][（3x 5） （2x＋7）]
＝（3x 5＋2x＋7）（3x 5 2x 7）
＝（5x＋2）（x 12）
＝5x2 - 58x - 24 ；
（2）原式＝[（x＋y）＋1][（x＋y） 1]
＝ x + y 2 1
＝ x2 + 2xy + y2 -1；
2
（3）原式＝ é 2x - y - 3ù
2x - y 2＝ 6（2x y）＋9
＝4x2 + y2 - 4xy -12x + 6y + 9 ；
2
（4）原式＝ x2 - 4
＝ x4 -8x2 +16 ．
【点睛】本题考查了完全平方公式，利用了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式及完全平方
公式是解题关键．
22．计算：
（1） (x +1)2 + 2(1- x) - x2 ； （2） (a + 2)(a - 2) - (a - 2)2 ；
（3） (1- 3a)2 - 2(1- 3a)； （4） (m - n)(m + n) + (m + n)2 - 2m2 ；
（5） (2x +1)2 (2x -1)2； （6） (x - 2y)2 + 2(x + 2y)(x - 2y) + (x + 2y)2；
（7） (a + b + 2c)(a + b - 2c)； （8） (a + 2b - c)(a - 2b + c)．
【答案】（1）3；（2） 4a - 8；（3）9a2 -1；（4）2mn ；（5）16x4 -8x2 +1；（6） 4x2 ；（7）
a2 + 2ab + b2 - 4c2 ；（8）b2 + 4bc - c2 ．
【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可；
（2）利用平方差和完全平方公式先去括号，然后合并同类项即可；
（3）先提取公因式 (1- 3a)，然后利用平方差公式求解即可；
（4）利用平方差和完全平方公式先去括号，然后合并同类项即可；
（5）利用平方差和完全平方公式求解即可；
（6）利用完全平方公式求解即可；
（7）利用平方差公式求解即可；
（8）利用平方差公式求解即可．
【解析】解：（1） (x +1)2 + 2(1- x) - x2
= x2 + 2x +1+ 2 - 2x - x2
= 3；
（2） (a + 2)(a - 2) - (a - 2)2
= a2 - 4 - a2 - 4a + 4
= a2 - 4 - a2 + 4a - 4
= 4a - 8；
（3） (1- 3a)2 - 2(1- 3a)
= 1- 3a 1- 3a - 2
= -(1- 3a) 1+ 3a
= 9a2 -1；
（4） (m - n)(m + n) + (m + n)2 - 2m2
= m2 - n2 + m2 + 2mn + n2 - 2m2
= 2mn；
（5） (2x +1)2 (2x -1)2
= (2x +1)(2x -1) 2
= 24x2 -1
= 16x4 - 8x2 +1；
（6） (x - 2y)2 + 2(x + 2y)(x - 2y) + (x + 2y)2
= x - 2 y + x + 2 y 2
= 4x2 ；
（7） (a + b + 2c)(a + b - 2c)
= a + b 2 - 4c2
= a 2 +2ab + b2 - 4c2；
（8） (a + 2b - c)(a - 2b + c)
= éa + 2b - c ù éa - 2b - c ù
= a2 - 2b - c 2
= a2 - 4b2 + 4bc - c2 ．
【点睛】本题主要考查了乘法公式和整式的运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23．（1）若 x2 - 2x +10 + y2 + 6y = 0，求 (2x - y)2 的值；
（2）若 a4 + b4 + a2b2 = 5， ab = 2，求 a2 + b2 的值．
【答案】（1）25；（2）3
【分析】（1）先根据 x2 - 2x +10 + y2 + 6y = 0，得到 x -1 2 + y + 3 2 = 0 求出 x、y 的值，然后代值计算即可；
2 2
（2）只需要得到a4 + b4 + a2b2 = a2 + b2 - a2b2 即 a2 + b2 = a4 + b4 + 2a2b2 ，由此求解即可．
【解析】解：（1）∵ x2 - 2x +10 + y2 + 6y = 0，
∴ x2 - 2x +1+ y2 + 6y + 9 = 0，
∴ x -1 2 + y + 3 2 = 0 ，
∴ x -1 = 0， y + 3 = 0，
∴ x =1， y=- 3，
2 2∴ 2x - y = é2 - -3 ù = 25，；
（2）∵ ab = 2，
∴ ab 2 = a2b2 = 4
∵ a2 + b2 2 = a4 + 2a2b2 + b4 ，
∴ a4 + b4 + a2b2 = a2 2+ b2 - a2b2
∴ a2 + b2 2 = a4 + b4 + 2a2b2 ，
∵ a4 + b4 + a2b2 = 5
∴ a2 + b2 2 = a4 + b4 + 2a2b2 = 9 ，
∴ a2 + b2 = 3．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式．
24．甲、乙两人各持一张分别写有整式A 、 B 的卡片．已知整式C = a2 - 2a - 5，下面是甲、乙二人的对话：
甲：我的卡片上写着整式 A = a2 - 4a +10，加上整式C 后得到最简整式D；
乙：我用最简整式 B 加上整式C 后得到整式E = 6a2 - 2a + 8．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求整式D和 B ；
（2）请判断整式D和整式E 的大小，并说明理由．
【答案】（1） 2a2 - 6a + 5；5a2 +13；（2）E > D ；答案见解析．
【分析】（1）依题意可得D = A + C ，B + C = E 代入各式即可求解；
（2）化简E - D = 4a2 + 4a + 3，根据配方法的应用即可求解．
【解析】解：（1）D = A + C
= a2 - 4a +10 + a2 - 2a - 5
= 2a2 - 6a + 5．
∵ B + C = E ，
∴ B = 6a2 - 2a + 8 - a2 - 2a - 5
= 5a2 +13．
（2）E > D ．理由：E - D = 6a2 - 2a + 8 - 2a2 - 6a + 5
= 4a2 + 4a + 3
= 2a +1 2 + 2．
∵ 2a +1 2 + 2 > 0 ，
∴ E > D ．
【点睛】此题主要考查整式的加减及配方法的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的应用．
25．阅读材料：若 x 满足 210 - x x - 200 = -204，试求 210 - x 2 + x - 200 2 的值．
解：设 210 - x = a ， x - 200 = b，
则 ab = -204，且 a + b = 210 - x + x - 200 =10．
∵ a + b 2 = a2 + 2ab + b2 ，
∴ a2 + b2 = a + b 2 - 2ab =102 - 2 -204 = 508，
即 210 - x 2 + x - 200 2 的值为 508．
同学们，根据材料，请你完成下面这一题的解答过程：
若 x 满足 2020 - x 2 + 2018 - x 2 = 4042，试求 2020 - x 2018 - x 的值．
【答案】2019
【分析】本题考查了完全平方公式变形应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
结合阅读材料中的方法将原式变形，求出值即可．
【解析】解：设 2020 - x = a， 2018 - x = b ，
则 a2 + b2 = 4042，且 a - b = 2020 - x - 2018 - x = 2，
∵ a - b 2 = a2 - 2ab + b2 ，即 22 = 4042 - 2ab ，
∴ ab = 2019，
∴ 2020 - x 2018 - x = 2019 ．
26．如图，在正方形 ABCD中放入两张边长分别为 a和b 的正方形纸片，已知HK = c ，正方形 ABCD的面
积记为S ，阴影部分面积分别记为 S1， S2 ．
(1)用含 a，b ， c的代数式分别表示KI，GD ；
(2)若 c = 2，且 S1 = S2 ，求 2a + 2b - ab 的值；
(3)若 a = b，试说明 S - 3 S1 - S2 是完全平方式．
【答案】(1) KI = b - c，GD = b - c ；
(2) 2a + 2b - ab = 0；
(3)说明见解析
【分析】（1）通过 KI = HI - HK ，GD = AD - AG 计算；
（ 2）先找到 a，b 的关系，再计算；
（3）根据完全平方公式的特征判断；
本题考查了完全平方公式的几何背景，正确表示线段的长度是解题的关键．
【解析】（1）解：由题意得：四边形EBIK 、 DGLJ 为长方形，四边形HKFL、AEFG、HICJ、ABCD为正方
形，
∴ KI = HI - HK = b - c ，GD = AD - AG = a + b - c - a = b - c ；
2 2 2（ ）解： S1 = GD GL = a - c b - c = ab - ac - bc + c ， S2 = c ，
∵ S1 = S2 ，
∴ ab - bc - ac = 0 ，
∴ ab = c a + b ，
∴ 2a + 2b - ab = 2 a + b - c a + b = 2 a + b - 2 a + b = 0；
（3）解：当 a = b时， S1 - S2 = ab - ac - bc = a
2 - 2ac ，
S = AD2 = a + b - c 2 = 2a - c 2 ，
∴ S - 3 S 2 21 - S2 = 2a - c - 3a + 6ac ，
= 4a2 - 4ac + c2 - 3a2 + 6ac
= a + c 2 ，
∴ S - 3 S1 - S2 是完全平方式．
27．例题：若m2 + 2mn + 2n2 - 6n + 9 = 0，求 m 和 n 的值．
解：∵ m2 + 2mn + 2n2 - 6n + 9 = 0，
∴ m2 + 2mn + n2 + n2 - 6n + 9 = 0，
∴ m + n 2 + n - 3 2 = 0，
∴ m + n = 0,n - 3 = 0，∴ m = -3,n = 3．
问题：若 x2 + 2xy + 2y2 - 4y + 4 = 0 ，求 xy的值．
【答案】-4
【分析】此题考查完全平方公式的应用，仿照例题将2 y2 化为 y2 + y2，利用完全平方公式计算可得
x = -2, y = 2，代入计算即可，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【解析】解：∵ x2 + 2xy + 2y2 - 4y + 4 = 0 ，
∴ x2 + 2xy + y2 + y2 - 4y + 4 = 0，
∴ x + y 2 + y - 2 2 = 0，
∴ x + y = 0, y - 2 = 0，
∴ x = -2, y = 2，
∴ xy = -2 2 = -4．
28．数形结合是一种非常重要的数学思想，它包含两个方面，第一种是“以数解形”，第二种是“以形助数”，
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”．请你使用数形结合这种思想解决下面
问题：
图 1 是一个长为 2a，宽为 2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分为四块完成相同的小长方形，然后按照图 2
的形状拼成一个正方形．
(1) 2 a + b 2 a - b 2观察图 ，用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请使用代数式 ， ，ab 写
出这个等式_____________．
(2) 2运用你所得到的公式，计算：若 m、n 为实数，且mn = -3，m - n = 4，试求 m + n 的值．
(3)如图 3，点 C 是线段 AB 上的一点，以 AC、BC 为边向两边作正方形，设 AB = 8，两正方形的面积和
S1 + S2 = 38，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1) a+b 2 = a-b 2 +4ab
(2)4
13
(3)
2
【分析】（1）根据图 2 中，各个部分面积与大正方形面积之间的关系可得答案；
（2）由（1）的结论，进行计算即可；
（3）设两个正方形的边长为 a，b ，得出 a + b = 8， a2 + b2 = 38，根据完全平方公式计算出 ab的值即可．
【解析】（1）解：如图 2，大正方形的边长为 a + b ，因此面积为 (a + b)2 ，
小正方形的边长为 a - b，因此面积为 (a - b)2 ，
每个长方形的长为 a，宽为b ，因此面积为 ab，
由面积之间的关系可得：
(a + b)2 = (a - b)2 + 4ab，
故答案为： (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab（答案不唯一）；
（2）解：由（1）得 (m + n)2 = (m - n)2 + 4mn，
Qmn = -3，m - n = 4，
\(m + n)2 = 42 + 4 (-3)
= 16 -12
= 4；
即 (m + n)2的值是 4；
（3 2）解：设正方形 ACDE 的边长为 a，正方形BCFG 的边长为b ，则 S1 = a ， S2 = b
2
，
Q AB = 8，两正方形的面积和 S1 + S2 = 38，
\a + b = 8， a2 + b2 = 38，
Q(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ，
\64 = 38 + 2ab，
\ab = 13，
\ 1 13阴影部分的面积为 ab = ．
2 2
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征以及图形中面积
之间的关系．
29．综合与探究
【阅读理解】
图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中数的关系，而运用代数思想也能巧妙
地解决一些图形问题，“以数解形”“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法——数形结合．
某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图 1 所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲
种纸片是边长为 x 的正方形，乙种纸片是边长为 y 的正方形，丙种纸片是长为 y、宽为 x 的长方形，并用甲
种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图 2 所示的一个大正方形．
（1）观察图 2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：_______．
（2）利用（1）中的等式解决问题：若 x + y =10，xy =19，则 x + y 的值为_______．
【拓展探究】
该学习小组在研究过程中还发现一些较为复杂的式子也能用类似方法求解．
例：若 x 满足 20 - x x - 30 =10，求( 20 - x + x - 30 的值．
解：设 a = 20 - x，b = x - 30，
则 20 - x x - 30 = ab =10，a + b = 20 - x + x - 30 = 20 - 30 = -10．
∴ 20 - x 2 + x - 30 2 = a2 + b = a + b 2 - 2ab = -10 2 - 2 10 = 80．
（3）如图 3，将正方形EFGH 叠放在正方形 ABCD上，重叠部分 LFKD是一个长方形， AL = 2，CK = 6．沿
着 LD，KD所在直线将正方形EFGH 分割成四个部分，若四边形ELDN 和四边形DKGM 恰好为正方形，且
它们的面积之和为 38，求长方形 NDMH 的面积．
【答案】（1） x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy；（2）62；（3）11
【分析】本题考查完全平方公式，多项式乘多项式，解题的关键是利用图形面积之间的关系求解，熟练进
行公式之间的转化变形．
（1）第一种：阴影部分为一个边长为 y 的正方形和一个边长为 x 的正方形，利用正方形面积公式即可得出，
第二种：用大正方形面积减去两个长方形的面积即可得出；
（2）将 x + y =10，xy =19代入①中等式即可求解；
（3）利用正方形和长方形的性质，将 LD 与DK 的关系表示出来，再利用阴影部分面积为 38 即可求出
\ x2 + y2 = 38，再变形求解即可．
【解析】解：（1）第一种：
Q阴影部分为一个边长为 y 的正方形和一个边长为 x 的正方形，
\S 2 2阴影部分 = x + y ；
第二种：
Q阴影部分面积等于大正方形面积减去两个长方形的面积，
\S = (x + y)2阴影部分 - 2xy ；
\ x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy ，
故答案为： x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy；
（2）将 x + y =10，xy =19代入①中等式，得：
x2 + y2 = 102 - 2 19 = 62，
故答案为：62
（3）设 LD = x，DK = y ，
Q四边形ELDN 和四边形DKGM 为正方形，
\DN = LD = x，DM = DK = y ，
Q四边形 ABCD为正方形，
\ AD = CD，
Q AD = AL + LD ，CD = CK + DK ，
\ AL + LD = CK + DK ，
Q AL = 2，CK = 6 ，
\2 + x = 6 + y ，
\ x - y = 4，
\ x - y 2 =16，
\ x2 - 2xy + y2 = 16，
Q正方形ELDN 和正方形DKGM 的面积之和为 38，
\ x2 + y2 = 38，
\38 - 2xy = 16 ，
\ xy = 11，
\S长方形NDMH = DN × DM = DL × DK = xy = 11．
