浙江省名校新高考研究联盟（Z20名校联盟）2024-2025学年高三上学期第一次联考（暑假返校考）数学试题（图片版，含答案）

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Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025 届高三第一次联考
数学参考答案
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．【答案】B
3 3
【解析】 A {x | 1 x 2}， B {x | x }，所以 A B {x | 1 x }，故选 B.
2 2
2．【答案】D
3 4 1 3 560
【解析】C7 (2x) ( ) 2 ，故选 D. x x2
3．【答案】D
13
(a1 a )S 1313 2 13a7 13 12 4
【解析】 ，故选 D.
S 99 9a 9 13 3(a1 a9 )
5
2
4．【答案】C
1 1 1 1 1 1 11
【解析】由分布列的 a 1，得a ，所以E(X ) 1 2 3 ,
3 6 2 3 2 6 6
14
所以E(2X 1) 2E(X ) 1 ，故选 C.
3
5．【答案】B
a
1
若函数 f (x) 在 (1, ) 上单调递增，则 2 ，得a 1，

1 a 0
所以“a 2 ”是“函数 f (x) 在 (1, ) 上单调递增”的必要不充分条件.
6．【答案】C

【解析】因为 x (0, 1) ，则，得 x ，
6 6 6
3 4
由题意得 ，得 ，故选 C.
2 6 2 3 3 S
7．【答案】A
【解析】将圆台母线延长交于点 S，得圆锥 SO1 ，
作圆锥 SO 的轴截面如右图，设底面直径 AB 2R ， 1
1
由条件知cos SAO ，得 SA 3R ， SO1 2 2R1 ， C O2 D3
设内切球半径为 r，则OT OO1 OO2 r ， T
所以 SO 3r ，那么 SO1 4r 2 2R ， O
则 R 2r ，O2 为 SO1 的中点，CD 为 SAB 的中位线，
A O B1
Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025 届高三第一次联考 数学参考答案 第 1 页 共 7 页
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4
于是内切球的体积V 3 ， 1 r
3
7 1 7 7
圆台的体积V2 R
2 SO1 2r
2 4r r3 ,
8 3 24 3
V2 7所以圆台与其内切球的体积比为 ，故选 A.
V1 4
8．【答案】C
【解析】令h(x) f (x) g(x) 0，
x
即 a(x 1)2 1=cos 2ax ，
2
整理得方程ax2
x
a 1 cos 在 ( 1, 1)上有解，
2 y
x
记 F(x) ax2 a 1, G(x) cos ，
2
即函数F(x), G(x) 图像有公共点，如图，0 G(x) 1，
当 a 0 时，F(x) ax2 a 1 1，
显然函数F(x), G(x) 图像无公共点，
-1 O 1 x
当 a 0时，由F(x), G(x) 图像的对称性，
F(0) G(0) a 1 1
得 ，即 ，
F(1) G(1) 2a 1 0
1
解得 a 2，故选 C.
2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．【答案】BCD
【解析】若 c 1， 2a 5b 10 ，则a log210, b log510，显然a log210 log510 1 b c，
故 A 不正确.
因为a, b, c 0 ，显然a b c，故 B 正确.
设 2a 5b 10c t ，得a log2 t, b log5 t, c log10 t ，
1 1 1 1 1 1
则 logt 2, logt 5, logt 10，所以 logt 2 logt 5 logt 10 ，故 C 正确.
a b c a b c
1 1 4b a
对于 D，a 4b c(a 4b)( ) c(1 4 ) 9c ，
a b a b
故 D 正确. y A
10．【答案】AC
|1 2 | 5 M
【解析】如图，选项 A，直线 y 2x ， d CM ，
5 5 C
B
1 4
| AB | 2 | AM | 2 r2 d 2 2 1 5 ，故 A 正确.
5 5 O x
uur uur
对于选项 B，CA CB | CA | | CB | cos ACB cos ACB
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因为点 A, B 不重合，所以cos ACB 1，故 B 不正确.
对于选项 C， | OA | | OB | (| OM | | MA |)(| OM | | MA |)
| OM |2 | MA |2 | OC |2 d2 (r2 d2)
| OC |2 r2 1，故 C 正确.
对于选项 D，如图线段 AB 中点 M 满足OM CM ，M 的轨迹是以 OC 为直径的圆（圆
1 2 2
C 内部部分），所以轨迹长为 2 ，故 D 不正确.
2 2 2
11．【答案】ACD
【解析】当n 2时， f (cos x) 1 cos2x 2sin2 x 2 2cos2 x，
那么 f (x) 2 2x2 2 ，故 A 正确.
对于 B，当n 3时， f ( cos x) f [cos( x)] 1 cos3( x)
1 cos(3 3x) 1 cos3x ,
于是 f cos x f cos x 2 0 ,
所以函数 f x 不是奇函数，故 B 错误.
对于 C，当 n 1时， f cos x 1 cos x，则 f x 1 x ，
此时 f sin x 1 sin x，故 C 正确.
对于 D，
n n
f sin x f cos x 1 cosn x 1 cos nx 1 cos nx
2 2 2 2
则
n
f sin x f cos x 1 cos nx 1 cosnx 2 ,
2
n n
得 cos(nx ) cosnx cos(nx 2k ) ，所以 2k ，
2 2
得 n 4k 2，故 D 正确.
三、填空题：本题共 3 小题，共 15 分.
1
12．【答案】
3
a b 1
【解析】由 (3a b) b，得3ab b2 1，则 cos a, b .
| a || b | 3
13．【答案】 10
【解析】设 z a bi，则 z z 2a 2，得 a 1， z z a2 b2 1 b2 2，
得b2 1， ，则 | z 2z | a2 9b2z 2z a 3bi 10 .
14．【答案】 11y x
5
【解析】设双曲线得右焦点为F ， BF m，则 AF 4m，
连结 AF '， BF '，则BF ' m 2a ， AF 4m 2a ,
在 BFF 中， BFF 60 ，
由余弦定理得 (m 2a)2 m2 4c2 2mc ，
整理得2c2 2a2 m(2a c) ①
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在 AFF 中， AFF 120 ，
由余弦定理得 (4m 2a)2 16m2 4c2 8mc ，
整理得c2 a2 m(4a 2c) ②
2a c
① ②两式相除得，2 ，得 6a 5c ，
4a 2c
所以渐近线方程为 11y x .
5
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分 13 分）
A
【解析】 z
（1）连结 AQ，因为PM //平面 ABC ，PM 平面 ADQ
又平面 ADQ 与平面 ABC 相交于 AQ，所以PM //AQ，
因为 P 是 AD 的中点，所以 M 是 DQ 中点. ┄┄6 P
（2）方法一，因为 AD 底面BCD， BC CD ，
如图建立坐标系， ┄┄7 y x
D(2, 0, 0)， B(0, 2, 0)， A(2, 0, 2)，Q(0,1, 0)， M D
uuur uur uur B
DQ ( 2,1,0)，CA (2,0,2) ，CB (0,2,0) , Q
则平面 ABC 的法向量为n ( 1, 0,1) ， ┄┄9 C
uuur
uuur DQ n 2 10
所以 cos DQ,n>= uuur ，┄┄12
DQ n 5 2 5
10
因此直线DQ 与平面 ABC 所成角的正弦值为 . ┄┄13
5
方法二，取 AC 中点 N，因为DA DC ，所以 DN AC ,
因为 AD 底面BCD，所以 AD BC ， A
又 BC CD ，则BC 平面 ACD， ┄┄7
所以 BC DN 所以DN 平面 ABC，
于是 DQN 即为所求， ┄┄9
P
DN 2，DQ 5 ┄┄11 N
DN 2 10
因此 sin DQN = = . ┄┄13
DQ 5 5
B M D
方法三，设 D 到平面 ABC 的距离为 d，
1 2 4 Q
VA BCD AD S BCD 2 ， ┄┄8
3 3 3 C
1
易知 S ABC BC AC 2 2， ┄┄9
2
1 2 4
所以VA BCD VD ABC d S ABC 2d ，得d 2 ，┄┄11
3 3 3
d 2 10
因此直线DQ 与平面 ABC 所成角的正弦值 = = ┄┄13
DQ 5 5
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16．（本小题满分 15 分）
【解析】
a c sin A sinC
（1）由cosB = , ┄┄2
2c 2sinC
则 2sinCcos B=sin A sinC sin(B C) sinC sin BcosC sinCcos B sinC
整理得sinC sin BcosC sinCcos B sin(B C) ,
则C B C ，即B 2C ， ┄┄5
2 2 4
由 A ，得B C 3C ，则C , B . ┄┄7
3 3 9 9

B 2C 2
（2）由 ABC 是锐角三角形知 ，得 C ， ┄┄9
6 4B C 3C
2
2 3
则 cosC ， ┄┄11
2 2
c b csin B 4sin2C
由正弦定理得 ，得b 8cosC , ┄┄13
sinC sin B sinC sinC
因此4 2 b 4 3 . ┄┄15
17．（本小题满分 15 分）
【解析】
c 1
（1）由条件得e ，即 a 2c，则b 3c， ┄┄2
a 2
1 1 3 3 3 3
所以 2OM a c， (S c 1 BMP )max b(a c) c ，得 ，┄┄4
2 2 2 2
x2 y2
因此椭圆 E 的方程为 1 . ┄┄6
4 3
（2）设直线 PQ： y k(x 1)， P(x1, y1), Q(x2, y )， 2
uur uuur
BP (x 2, y )， BQ (x 2, y ) , 1 1 2 2
y k(x 1)
与椭圆联列方程得 ，得 (3 4k
2)x2 8k2x 4k2 12 0，
2
3x 4y
2 12
8k2 4k2 12
则 x1 x2 , x1x2 , ┄┄8
3 4k2 3 4k2
uur uuur
所以BP BQ (x1 2）(x2 2） y1y2 (x1 2）(x2 2） k
2(x1 1）(x2 1） ┄┄10
2 2
2 2 2 (1 k )(4k 12) 8k
2 (k2 2)
(1 k )x 21x2 (k 2)(x1 x2 ) 4 k 4 k
3 4k2 3 4k2
27k2
6 ， ┄┄13
3 4k2
得 k2 6， k 6 ，因此直线 PQ 的方程为 y 6(x 1) . ┄┄15
18．（本小题满分 17 分）
【解析】
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（1） g(x) f (x) f (1 x) x ln x (1 x)ln(1 x) ， 0 x 1 ,
令 g '(x) 1 ln x ln(1 x) 1 ln x ln(1 x)， ┄┄1
1
令 g '(x) 0，得 x ， ┄┄2
2
1 1
当 x (0, )时， g '(x) 0，当 x ( ,1) 时， g '(x) 0，
2 2
1
所以 g(x)有极小值 g( ) ln2，无极大值. ┄┄5
2
1
（2） f (x) 1 ln x 0，得 x ，
e
1 1
易知 f (x) 在 (0, )上递减，在 ( , )上递增，结合 f (x) 的图象，
e e
f (e) e ae b
由题意得 ，得b e ea 0，a 1 . ┄┄9
b 0
1 e e
于是ab ea(1 a) e(a )
2 ，故 (ab)max . ┄┄11
2 4 4
f (n) f (m) nlnn mlnm nlnm mlnm
（3）先证明左边：作差 lnm
n m n m
n
n(ln n ln m)
m
n
ln ┄┄12
n m n m
1
m
n(ln n ln m) t ln t
n ln t
令 t 1， n m t 1 1 ，
m 1
t
令 h(t) t ln t t 1，h '(t) 1 ln t 1 ln t ，
当 t 1时，h '(t) 0，函数h(t) 在 (1, )上是增函数，所以h(t) t ln t t 1 h(1) 0 ，
t ln t f (n) f (m) f (n) f (m)
因此 t ln t t 1，所以 1，即 lnm 1，故 lnm 1.
t 1 n m n m
1 ln t
（或者利用 ln t 1 ，得 1） ┄┄15
t 11
t
f (n) f (m) nlnn mlnm nlnn mlnn
对于右边 lnn
n m n m
m(ln n ln m) 1 n
ln
n m n m .
1
m
n m(lnn lnm) ln t
令 t 1， 1，
m n m t 1
ln t
（利用 ln t t 1，得 1）
t 1
f (n) f (m) f (n) f (m)
即 lnn 1，故 lnn 1 .
n m n m
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f (n) f (m)
综上得 lnm 1 lnn 1 . ┄┄17
n m
（证出任何一边得 4 分）
19．（本小题满分 17 分）
【解析】
（1）由于{xn}是等比数列，则 x
2 x x ，且 xn, xn 1, xn 2 0，a 0 , n 1 n n 2 ┄┄2
由条件得 x 2 2n 1 axn axn ，所以 xn 1(axn axn ) x
2
n (axn 1 axn 1)，
a 1
则 ax 2n a axn 1 a，即 xn xn axn axn ，得 xn x0 ┄┄4 1 a
a 1 1
所以0 1，即 1 0，得 a 1 . ┄┄6
a a
1 1 1 1
（2）①由 a 1知 x 2 = n 1 xn xn ， ， xn 1 x（n 1 xn） xn 1 xn
1 1 1
则 ， ┄┄8
xn 1 xn 1 xn
因为 xn 1 x x
2 {x }
n n 0，所以数列 n 是递减数列，
1 1 1 1
于是 x 2n x0 ， ； ┄┄10
2 xn 1 xn 1 xn
xn 1
又 1 xn 0，所以 xn , xn 1 同号，那么 xn 与 xx 0
同号，即 xn 0，
n
1 1 1 1 1
于是 1，因此1 2 . ┄┄12
xn 1 xn 1 xn xn 1 xn
n
2 1
②由 x2 x x ，得 xi x0 xn 1 xn n n 1 n 1 , ┄┄14
i 0 2
1 1 1 1 1
因为 2 ，所以 2(n 1) 2n 4，则 x ，┄┄16
xn 1 x x x
n 1
n n 1 0 2n 4
n
x2
1 1 1 n 1
所以 i xn 1 . ┄┄17
i 0 2 2 2n 4 2(n 2)
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