江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高三上学期学情调研测试数学试题（图片版，含答案）

江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高三上学期学情
调研测试数学试题
2024-2025学年第一学期六校联合体学情调研测试
高三数学
一 单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A {x | x2 2x 3 0},B N，则 A B （ ）
A. {0,1} B. {1,2，3} C. {0,1,2，3} D. { 1，0,1,2，3}
2．已知复数 z满足（ 3 i）z i 3，则复数 z （ ）
A 1 3 i B 1 3 3 1 3 1． ． i C． i D． i
2 2 2 2 2 2 2 2
3．已知 a,b R，则“ 2 a 2 b”是“ a2 b2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知定义在实数集 R 上的奇函数 f x ，当 x 0时， f (x) log2 x 1，则集合
{x | f ( x) f (x) 0}可表示为（ ）
A． 2, + ∞ B． ∞, 2
C． ∞, 2 ∪ 2, + ∞ D． 2,0 ∪ 2, + ∞
5．已知向量 a,b为单位向量， a 2b c 0且 | c | 7 ，则 a与b的夹角为（ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
6 4 3 3
6．已知sin(x y) cos(x y)， tan x tan y 3，则 tan(x y) （ ）
A． 3 B． 2 C. 3 D． 2
7．已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为 4的扇形，则此圆锥内切球的表面积为（ ）
12 52
A. B. C. 4 15 D. 52
5 81 25
8．若 2 = 2 ，则 的最小值为（ ）
4ln 2 4ln 2 3ln 2 5ln 2
A． B. C． D．
5 3 4 4
试卷共 4页 第 1页
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二 多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分.
9．抛物线C : x2 2py的焦点为 F ，P为抛物线上一动点，当 P运动到 (t,2)时，| PF | 4，
直线 l与抛物线相交于 A、B两点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为： x2 8y
B．抛物线的准线方程为： y 4
C．当直线 l过焦点 F 时，以 AF为直径的圆与 x轴相切
D．当直线 l过焦点 F 时，以 AB为直径的圆与准线相切
10．已知等差数列 an 的首项为 a1，公差为 d ，其前 n项和为 Sn，若 S8 S6 S7，则下列
说法正确的是（ ）
A．当 n 7时， Sn最大 B．使得 Sn 0成立的最小自然数 n 13
S
C． | a6 a7 | | a a |
S
8 9 D
8
．数列 n 中的最小项为
an a8
11．已知定义在实数集 R上的函数 f x ，其导函数为 f x ，且满足
f x y f x f y xy， f 1 0, f 1 1 ，则（ ）
2
A. f (1 x) f (1 x) 0 B. f (2) 1
2024
C. f 2024 1012 2023 D． f (k) 2023 2024
k 1
三 填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
1
12 n ．已知二项式 (3x ) (n N )的展开式中第 2项的二项式系数为 6，则展开式中常
x
数项为 ▲ .
f x sin 2x 0 2 0, π13 ．若函数 （ ）的图象向右平移 个单位后在区间 上单 2
调递减，则 = ▲ .
试卷共 4页 第 2页
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x2 y2
14．设双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的左右焦点分别为 F1,F2 ，离心率为 2, P为C上一点，a b
且 F1PF 120

2 ，若△F1PF2的面积为 4 3，则 a ▲ .
四 解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数 f (x) (x 1) ln x ax 2 .
(1)当 a 1时，求 f (x)的图象在 (1，f (1))处的切线方程；
(2)若函数 f (x)在 1, +∞ 上单调递增，求实数 a的取值范围.
16．（15分）在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量
m (4sin A,sin( ))， n (cos( )cos A,2cos2A))， f A m n ， A [ , 5 ] .
3 3 4 6
(1)求函数 f A 的最小值；
(2)若 f (A) 0,a 3,sin B 6 sinC ，求 ABC的面积.
2
17．（15分）如图，在四棱锥 P ABCD中，四边形 ABCD是边长为 2的菱形， BAD 60 ，
PB PD， PA PC，点 E，F分别为棱 AD，PC的中点.
(1)求证：EF //平面 PAB；
(2)若直线PA 与平面 ABCD所成角的大小为60 ,
求二面角 P BC D的余弦值.
试卷共 4页 第 3页
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18．（17分）某社区服务中心为了提高员工技能水平，准备举行技能大赛活动．现有 4名男
员工，2名女员工报名，随机选取 2人参加．
(1)求在有女员工参加技能大赛的条件下，恰有一名女员工参加活动的概率；
(2)记参加活动的女员工人数为 X，求 X的分布列及期望 E X ；
(3)若本次活动有负重短跑、安全常识识记、消防操作三个可选项目，每名女员工至多从中
1
选择参加 2项活动，且选择参加 1项或 2项的可能性均为 ，每名男员工至少从中选择参
2
1
加 2项活动，且选择参加 2项或 3项的可能性也均为 ，每人每参加 1项活动可获得“社区
2
明星”积分 3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为 Y，求 Y
的期望 E Y ．
C : x
2 y2
19.（17分）已知椭圆 2 2 1(a b 0)，C的上顶点为 A，左、右焦点为 F1,F ，a b 2
1
离心率为 ， AF1F2的面积为 3，直线 l与椭圆C交于D,E两点.2
(1)求椭圆C的方程；
(2)当直线 l过点 F1且与直线 AF2垂直时，求 ADE的周长；
(3)若OD OE （O是坐标原点），求 DOE面积的取值范围.
试卷共 4页 第 4页
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2024-2025学年第一学期六校联合体学情调研测试
高三数学参考答案
一 单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1-4 CBDD 5-8 CAAD
二 多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分.
9． ACD 10． ACD 11． BC
三 填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
3
12. 135 13. 14. 2
2
四 解答题：本题共 5小题，共 77分.
15.【解】（1）当 = 1 时， = + 1 + 2， > 0 ，
' = + 1， ……………………2分

' 1 = 1， ………………………………3 分
1 = 1，切点为 1,1 ，
所以 的图象在 = 1 处的切线方程为： = . ………………………………6分
（2） ' = + 1 + 1 ，

若函数 在 1, + ∞ 上单调递增，则 ' ≥ 0对于 ∈ 1, + ∞ 恒成立，……………8分
≤ + 1即 + 1对于 ∈ 1, + ∞ 恒成立，令 = + 1 + 1, > 1 ，当 > 1 时，

' = 12 > 0，
则函数 在 1, + ∞ 上单调递增，……………………………11 分
所以 > 1 = 2，
故 ≤ 2. ……………………………13 分（没有等号扣 2分）
（其他方法参照给分）
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16．【解】（1） f (A) m n 4sin A cos( )cos A sin( ) 2cos2A
3 3
sin 2A 3 cos2A 2sin(2A ) ................4分
3
A [ 5 因为 , ]，所以 2A [ , 4 ]，
4 6 3 6 3
2A 4 A 5 所以当 ，即 时， f A 有最小值 3 ..............6分
3 3 6
f A 0 2sin(2A ) 0 2A （2）因为 ，所以 ，所以 k ,k Z，
3 3
5
因为 A [ , ]，所以 A 2 ..............8分
4 6 3
b c a 3
2 b c
由正弦定理， sin B sinC sin A 3 ，所以 sin B ， sinC ..............10分2 2
2
又因为 sin B sinC 6 b c 6，所以 ，得b c 6 ,
2 2 2 2
由余弦定理有： a2 b2 c2 2bc cos A，所以bc 3 ..............13分
1 1 3 3 3
所以 S ABC bc sin A 3 ..............15分2 2 2 4
17.【解】（1）如图：
取 PB中点M ，连接MF，MA .
1
因为 F 为PC中点，所以MF / /BC且MF BC，
2
1
又四边形 ABCD为菱形，且 E为 AD中点，所以 AE / /BC且 AE BC
2
所以MF / /AE且MF AE .
所以四边形 AMFE为平行四边形，..............3分
所以 EF / /AM，又 AM 平面 PAB， EF 平面 PAB，
所以 EF / /平面 PAB ...............6分
（若用其他方法，参照给分）
（2）如图：
连接 AC， BD，交于点O，
因为四边形 ABCD为菱形，所以 AC BD，且O为 AC， BD的中点，
又因为 PB PD，所以 PO BD， AC， PO 平面PAC，且 AC PO O，
所以 BD 平面PAC，........................................................8分
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BD 平面 ABCD，所以平面 ABCD 平面 PAC，
所以 AC是直线 PA在平面 ABCD内的射影
易得 PAO 为直线 PA 与平面 ABCD所成的角的平面角，则 PAO 60 ，................10分
又 AB 2， PA PC， BAD 60 ，
所以 AC 2 3， BD 2 , PA 3 , POA 60 ，
以O为原点，如图，直线 OB、OC所在直线分别为 x、y轴，过点 O垂直于平面 ABCD的直

线为 z轴，建立空间直角坐标系，则O 0,0,0 B 1,0,0 C 0, 3,0 P 0, 3 , 3， ， ， ，.
2 2
3 3
所以 PB (1, , ), BC ( 1, 3,0) .
2 2
平面 ABCD一个法向量为 n (0,0，1)，
设平面 PBC 的法向量为m (x, y, z)，
3 3
m PB 0 x y z 0
则 2 2 ，取m (3, 3,3) ...............13分
m BC 0 x 3y 0
cos m n 21 m,n
|m | | n | 7
所以二面角 P BC D 21的余弦值为： ..............15分
7
（其他方法参照给分）
18．【解】（1）设“有女员工参加活动”为事件A，“恰有一名女员工参加活动”为事件 B，
C1C1 8 C1P AB C
1 C2
则 4 2 ， P A 4 2 2 3
C2
……………………………3 分
6 15 C
2
6 5
8
P

AB
P B | A 15 8所以 3
.……………………………5 分
P A 9
5
CkC2 k
（2）依题意知 X 服从超几何分布，且P X k 2 42 k 0,1,2 C6
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C2 2 C1 1 2P X C 0 4 ， P X 1 4 2 82 2 ， P X 2
C2 1 2 ，………………8 分C6 5 C6 15 C6 15
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2
2 8 1
P
5 15 15
E X 0 2 1 8 2 1 2 ……………………………11 分
5 15 15 3
（3）设一名女员工参加活动可获得分数为 X1，一名男员工参加活动可获得分数为 X 2，则 X1
的所有可能取值为 3,6， X 2的所有可能取值为 6,9，
P X 3 P X 6 1 1 1 91 1 ， E X1 3 6 ，2 2 2 2
P X 2 6 P X
1
2 9 ， E X 2 6
1 1 15
9 ……………………………14 分
2 2 2 2
9 15
有 X 名女员工参加活动，则男员工有2 X名参加活动，Y X 2 X 15 3X ，所
2 2
E Y E 15 3X 15 3E X 15 3 2以 13 .
3
即两个员工得分之和的期望为13分.……………………………17 分
（其他方法参照给分）
c 1 2 2
19.【解】（1）由 e ，得：a 2c,b 3c x y，即椭圆方程为 1…......2分
a 2 4c2 3c2
2 2
又由 S AF F bc 3c
2 3 2 x y ，得： c 1，故椭圆方程为 1………4分
1 2 4 3
1
（2）由 e ，知： AF1F2为正三角形，故由DE AF2 ，知：直线DE为线段 AF2的垂2
直平分线，故有：DA DF2且 EA EF2 ………6分
从而: ADE的周长为 AD AE DE DF2 EF2 DE DF2 EF2 (DF1 F1E)
(DF1 DF2 ) (EF1 EF2 ) 4a 8 ………9分
（3）①当直线 OD,OE 的斜率一条为零，另一条不存在时， DOE 的面积为
1 ab 3； ………11分
2
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②当直线OD,OE 的斜率存在且不为零时，设直线OD : y kx，与椭圆联立消去
12 12 12k 2 12(k 2y 2 1)，得：3x 4(kx)2 12 x2 2，即
4k 2
OD
3 4k 2

3 4k 2

3 4k 2 3
………13分
OE 2 12(k
2 1) 1 6(k 2 1)
同理可知： 2 ，故 DOE 的面积 OD OE 3k 4 2 4k 2 3 3k 2 4
6(k 2 1) 6(k 2 1) 6

12k 4 25k 2 12 12(k 4 2k 2 1) k 2 12(k 4 2k 2 1) k 2
k 4 2k 2 1
6 6 12
[ , 3)，当且仅当 k 1时取最小值 .
2 7
12 k 12
1

k 4 2k 2 1 k 2 1 2 2k
12
综上， DOE的面积的取值范围为[ , 3] ………17分
7
（其他方法参照给分）
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