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专题04 因式分解
一．选择题（共3小题）
1．（2024 云南）分解因式：
A． B． C． D．
【答案】
【解析】原式，
故选．
2．（2024 台湾）下列何者为多项式的因式分解？
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】
．
故选．
3．（2024 广西）如果，，那么的值为
A．0 B．1 C．4 D．9
【答案】
【解析】，，
原式
，
故选．
二．填空题（共30小题）
4．（2024 福建）因式分解： ．
【答案】．
【解析】．
5．（2024 威海）因式分解： ．
【答案】．
【解析】原式
，
故答案为：．
6．（2024 山东）因式分解： ．
【答案】．
【解析】原式，
故答案为：．
7．（2024 无锡）分解因式： ．
【答案】．
【解析】．
故答案为：．
8．（2024 常州）分解因式： ．
【答案】．
【解析】
．
故答案为：．
9．（2024 广元）分解因式： ．
【答案】．
【解析】．
故答案为：．
10．（2024 通辽）分解因式： ．
【答案】
【解析】，
，
，
故答案为：．
11．（2024 东营）因式分解： ．
【答案】
【解析】，
，
．
12．（2024 达州）分解因式： ．
【答案】
【解析】，
，
．
故答案为：．
13．（2024 绥化）分解因式： ．
【答案】
【解析】原式
．
故答案为：．
14．（2024 镇江）分解因式： ．
【答案】．
【解析】．
15．（2024 陕西）分解因式： ．
【答案】．
【解析】．
16．（2024 吉林）因式分解： ．
【答案】．
【解析】．
故答案为：．
17．（2024 甘肃）因式分解： ．
【答案】．
【解析】．
18．（2024 江西）因式分解： ．
【答案】．
【解析】．
故答案为：．
19．（2024 兰州）因式分解： ．
【答案】．
【解析】，
故答案为：．
20．（2024 甘孜州）分解因式： ．
【答案】．
【解析】公有因式为，
原式，
故答案为：．
21．（2024 广安）分解因式： ．
【答案】．
【解析】．
22．（2024 内蒙古）分解因式： ．
【答案】．
【解析】原式，
故答案为：
23．（2024 赤峰）因式分解： ．
【答案】．
【解析】
，
故答案为：．
24．（2024 浙江）因式分解： ．
【答案】．
【解析】．
故答案为：．
25．（2024 盐城）分解因式： ．
【答案】
【解析】．
故答案为：．
26．（2024 北京）分解因式： ．
【答案】
【解析】，
，
．
27．（2024 临夏州）因式分解： ．
【答案】．
【解析】原式，
故答案为：
28．（2024 扬州）分解因式 ．
【答案】．
【解析】．
29．（2024 眉山）分解因式： ．
【答案】．
【解析】
．
故答案为：．
30．（2024 内江）分解因式： ．
【答案】．
【解析】原式，
故答案为：
31．（2024 宜宾）分解因式： ．
【答案】．
【解析】
，
故答案为：．
32．（2024 遂宁）分解因式： ．
【答案】．
【解析】，
故答案为：．
33．（2024 重庆）我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为8，则称为“方减数”，并把分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ．把一个“方减数” 进行“方减分解”，即，将放在的左边组成一个新的四位数，若除以19余数为1，且为整数），则满足条件的正整数为 ．
【答案】82，4564．
【解析】①设，则，
由题意得：，
，
要使“方减数”最小，需，
，，
，
当时， 最小为82；
②设，则，
，
除以19余数为1，
能被19整除，
为整数，
又 为整数），
是完全平方数，
，，
最小为49，最大为256，即，
设，为正整数，则，
（Ⅰ） 当时，，则，是完全平方数，
又，，此时无整数解，
（Ⅱ）当时，，则，是完全平方数，
又，，此时无整数解，
（Ⅲ）当时，，则， 是完全平方数，
若，，则，，
，，
此时，，
，
故答案为：82，4564．
三．解答题（共3小题）
34．（2024 齐齐哈尔）分解因式：．
【解析】（1）原式
．
35．（2024 福建）已知实数，，，，满足，．
（1）求证：为非负数；
（2）若，，均为奇数，，是否可以都为整数？说明你的理由．
【解析】（1）证明：，
，，
则
，
，，是实数，
，
为非负数．
（2），不可能都为整数．
理由如下：若，都为整数，其可能情况有：①，都为奇数；②，为整数，且其中至少有一个为偶数，
①当，都为奇数时，则必为偶数，
又，
，
为奇数，
必为偶数，这与为奇数矛盾；
②当，为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数，
又，
，
为奇数，
必为偶数，这与为奇数矛盾；
综上所述，，不可能都为整数．
36．（2024 安徽）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数能否表示为，均为自然数）”的问题．
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下为正整数）
奇数 4的倍数
表示结果
一般结论
按上表规律，完成下列问题：
（ⅰ） ；
（ⅱ） ；
（2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，这些形如为正整数）的正整数不能表示为，均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设，其中，均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若，均为偶数，设，，其中，均为自然数， 则为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾．故，不可能均为偶数． ②若，均为奇数，设，，其中，均为自然数， 则 为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾．故，不可能均为奇数． ③若，一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故，不可能一个是奇数一个是偶数． 由①②③可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．
【解析】（1），
，
，
，
，
．
．
故答案为：7，5；
由（1）推导的规律可知．
故答案为：．
（3）．
故答案为：．
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专题04 因式分解
一．选择题（共3小题）
1．（2024 云南）分解因式：
A． B． C． D．
2．（2024 台湾）下列何者为多项式的因式分解？
A． B．
C． D．
3．（2024 广西）如果，，那么的值为
A．0 B．1 C．4 D．9
二．填空题（共30小题）
4．（2024 福建）因式分解： ．
5．（2024 威海）因式分解： ．
6．（2024 山东）因式分解： ．
7．（2024 无锡）分解因式： ．
8．（2024 常州）分解因式： ．
9．（2024 广元）分解因式： ．
10．（2024 通辽）分解因式： ．
11．（2024 东营）因式分解： ．
12．（2024 达州）分解因式： ．
13．（2024 绥化）分解因式： ．
14．（2024 镇江）分解因式： ．
15．（2024 陕西）分解因式： ．
16．（2024 吉林）因式分解： ．
17．（2024 甘肃）因式分解： ．
18．（2024 江西）因式分解： ．
19．（2024 兰州）因式分解： ．
20．（2024 甘孜州）分解因式： ．
21．（2024 广安）分解因式： ．
22．（2024 内蒙古）分解因式： ．
23．（2024 赤峰）因式分解： ．
24．（2024 浙江）因式分解： ．
25．（2024 盐城）分解因式： ．
26．（2024 北京）分解因式： ．
27．（2024 临夏州）因式分解： ．
28．（2024 扬州）分解因式 ．
29．（2024 眉山）分解因式： ．
30．（2024 内江）分解因式： ．
31．（2024 宜宾）分解因式： ．
32．（2024 遂宁）分解因式： ．
33．（2024 重庆）我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为8，则称为“方减数”，并把分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ．把一个“方减数” 进行“方减分解”，即，将放在的左边组成一个新的四位数，若除以19余数为1，且为整数），则满足条件的正整数为 ．
三．解答题（共3小题）
34．（2024 齐齐哈尔）分解因式：．
35．（2024 福建）已知实数，，，，满足，．
（1）求证：为非负数；
（2）若，，均为奇数，，是否可以都为整数？说明你的理由．
36．（2024 安徽）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数能否表示为，均为自然数）”的问题．
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下为正整数）
奇数 4的倍数
表示结果
一般结论
按上表规律，完成下列问题：
（ⅰ） ；
（ⅱ） ；
（2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，这些形如为正整数）的正整数不能表示为，均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设，其中，均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若，均为偶数，设，，其中，均为自然数， 则为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾．故，不可能均为偶数． ②若，均为奇数，设，，其中，均为自然数， 则 为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾．故，不可能均为奇数． ③若，一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故，不可能一个是奇数一个是偶数． 由①②③可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．
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