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苏科版八年级上册数学同步练习卷
第3章 单元测试
一、单选题
1．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
2．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，均为正数，且．则的最小值是（ ）
A． B．8 C．10 D．34
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点E为射线BC上一点，若△ABE是等腰三角形，则△ABE的面积不可能是（ ）
A．10 B．12 C． D．
4．在下列条件中，能确定是直角三角形的条件是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在等腰中，，，点是上一点，将沿折叠至△，连接且满足，则点到的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
6．下列叙述中，正确的是
A．直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
B．如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C．在中，，， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则
D．在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则
7．如图，在中，，垂足为点，是边上的中线，若，则的长为（ ）
A．13 B．12 C．8 D．5
8．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2，，若以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
9．下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．10，12，14
10．如图，在中，，点O是、平分线的交点，且，，则点O到边的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，，，，则阴影部分的面积是 ．
12．古希腊数学家希波克拉底研究过这样一个几何图形（如图）：分别以等腰Rt的边，，为直径画半圆，若斜边，则图中两个月形图案和（图中阴影部分）的面积之和为 ．
13．在中，两边满足，则第三边长等于 .
14．如图，在中，，，点是边上的动点，设，当为直角三角形时，的值是 .
15．已知：直角三角形的三边长分别是3，4，x，则 ．
16．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点，交射线于点，再分别以、为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线，若，，则点到的距离为 ．
17．如图，O为坐标原点，点A1坐标为（1，0），以OA1为直角边作等腰直角△OA1A2，以OA2为直角边作等腰直角△OA2A3，以OA3为直角边作等腰直角△OA3A4，……，依此法继续作下去，OA2021= ．
三、解答题
18．如图，某公路上A，B两点的正南方有D，C两村庄，现要在公路AB上建一个车站E，使C，D两村到E站的距离相等，已知AB=50 km，DA=20 km，CB=10 km，请你设计出E站的位置，并计算车站E距A点多远？
19．自2020年以来，安宁市建起了多个“口袋公园”，它们既美化了城市空间，又拓展了市民的公共活动场所，还体现着城市风貌和文化.如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中，，，，．
(1)如图，连接AC，试求AC的长；
(2)安宁市委市政府计划将其打造为“口袋公园”，经测算，每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成“口袋公园”需要多少钱？
20．如图，为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，试计算需要几天才能把隧道凿通？
21．在中，，，，求的长．
22．如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点．
(1)求的长度；
(2)求的面积．
23．如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道上铺地毯，已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？
24．我国古籍《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”，下面我们来探究两类特殊的勾股数，观察下面两个表格并解答下列问题．（以下a，b，c为Rt△ABC的三边，且a表一
a b c
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
表二
a b c
6 8 10
8 15 17
10 24 26
12 35 37
(1)表一中a为大于1的奇数，此时b，c的数量关系是 ，a，b，c之间除满足a2+b2=c2外还满足的数量关系是 ．
(2)表二中a为大于4的偶数，此时b，c的数量关系是 ，a，b，c之间除满足a2+b2=c2外还满足的数量关系是 ．
(3)我们还发现，表一中的三边长“3，4，5”与表二中的三边长“6，8，10”成倍数关系；表一中的三边长“5，12，13”与表二中的三边长“10，24，26”恰好也成倍数关系．请你直接利用这一规律计算：在Rt△ABC中，当a=，b=时，斜边c的长．
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第3章 单元测试
一、单选题
1．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【详解】解：∵ ，
∴这个三角形是直角三角形．
2．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，均为正数，且．则的最小值是（ ）
A． B．8 C．10 D．34
【答案】C
【详解】解：如图：可以可看作两直角边分别是和3的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接AB，则的最小值为AB，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为10，
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点E为射线BC上一点，若△ABE是等腰三角形，则△ABE的面积不可能是（ ）
A．10 B．12 C． D．
【答案】D
【详解】在中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴，
当时，
；
当时，
∵，
∴，
∴，
当时，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
，
综上所述：的面积是10或12或．
4．在下列条件中，能确定是直角三角形的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A. ∵设，则，
∴，
解得，
∴，
∴不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵,
∴设
∵
∴不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵
∴，
∴
∴是直角三角形，故本选项符合题意；
D.∵，
∴，
∴不是直角三角形，故本选项不符合题意；
5．如图，在等腰中，，，点是上一点，将沿折叠至△，连接且满足，则点到的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：过作于点，
设，则，
，，
，，
由折叠知，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
解得，，或（此时，舍去），
，
6．下列叙述中，正确的是
A．直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
B．如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C．在中，，， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则
D．在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则
【答案】B
【详解】解：A、因为直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，故错误；
B、命题为勾股定理的逆定理，故正确；
C、因为△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2+b2=c2，则∠C=90°，故错误；
D、因为△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90°，则c2+a2=b2，故错误．
7．如图，在中，，垂足为点，是边上的中线，若，则的长为（ ）
A．13 B．12 C．8 D．5
【答案】B
【详解】∵，是边上的中线，，
，
，
，
，
8．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2，，若以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据勾股定理得：，，
∴，
∴，
∴点表示的数为．
9．下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．10，12，14
【答案】D
【详解】解：A．，，
，
即3，4，5是勾股数，故本选项不符合题意；
B．，，
，
即7，24，25是勾股数，故本选项不符合题意；
C．，，
，
即8，15，17是勾股数，故本选项不符合题意；
D．，，
，
即10，12，14不是勾股数，故本选项符合题意；
10．如图，在中，，点O是、平分线的交点，且，，则点O到边的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵点O为与的平分线的交点，
∴点O在的角平分线上，
∴点O到的三边的距离相等，
过O作，，连接，
则
∴
，
又∵为直角三角形，
∴，
∴，
解得：．
二、填空题
11．如图，，，，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【详解】解：，，，
，
即半圆的半径为；
则阴影部分面积为：．
12．古希腊数学家希波克拉底研究过这样一个几何图形（如图）：分别以等腰Rt的边，，为直径画半圆，若斜边，则图中两个月形图案和（图中阴影部分）的面积之和为 ．
【答案】4
【详解】解：∵△ACD是等腰直角三角形，AD=4，
∴AC=CD，AC2+CD2=AD2，
∵以等腰Rt△ACD的边AD、AC、CD为直径画半圆，
∴S半圆ACD=，S半圆AEC=，S半圆CFD=，
∴S半圆ACD=S半圆AEC+S半圆CFD，
∴所得两个月型图案AGCE和DHCF的面积之和（图中阴影部分）
=Rt△ACD的面积
=××
=4；
13．在中，两边满足，则第三边长等于 .
【答案】或
【详解】
∴a=3,b=4.
当a,b为直角边时,第三边长=.
当b为斜边时,第三边长=.
14．如图，在中，，，点是边上的动点，设，当为直角三角形时，的值是 .
【答案】或
【分析】分两种情况讨论：①∠APB=90°，②∠BAP=90°，分别作图利用勾股定理即可解出．
【详解】①当∠APB=90°时，如图所示，
在Rt△ABP中，AB=3，∠B=30°，
∴AP=AB=
∴BP=
②当∠BAP=90°时，如图所示，
在Rt△ABP中，AB=3，∠B=30°，
∴，
即
解得
综上所述，的值为或．
15．已知：直角三角形的三边长分别是3，4，x，则 ．
【答案】或
【分析】分为直角边和斜边两种情况，进行求解即可．
【详解】解：①当为直角边时，由勾股定理得：；
②当为斜边时，由勾股定理得：；
综上：；
16．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点，交射线于点，再分别以、为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线，若，，则点到的距离为 ．
【答案】
【详解】由题意可得，为的角平分线，
，平分，
，
设与交于点，作于点，连接
，，，，
，，，
，
由三角形面积计算可得，．
∴，
解得，，
17．如图，O为坐标原点，点A1坐标为（1，0），以OA1为直角边作等腰直角△OA1A2，以OA2为直角边作等腰直角△OA2A3，以OA3为直角边作等腰直角△OA3A4，……，依此法继续作下去，OA2021= ．
【答案】21010
【详解】解：如图，由题意可得：
，
，
，
，
……
由此可发现：，
∴，
三、解答题
18．如图，某公路上A，B两点的正南方有D，C两村庄，现要在公路AB上建一个车站E，使C，D两村到E站的距离相等，已知AB=50 km，DA=20 km，CB=10 km，请你设计出E站的位置，并计算车站E距A点多远？
【答案】E点应建在距A站22千米处.
【详解】设AE=xkm，
∵C、D两村到E站的距离相等，
∴DE=CE，即DE2=CE2，
由勾股定理，得202+x2=102+(50-x)2，解得x=22,
∴E点应建在距A站22千米处.
19．自2020年以来，安宁市建起了多个“口袋公园”，它们既美化了城市空间，又拓展了市民的公共活动场所，还体现着城市风貌和文化.如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中，，，，．
(1)如图，连接AC，试求AC的长；
(2)安宁市委市政府计划将其打造为“口袋公园”，经测算，每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成“口袋公园”需要多少钱？
【答案】(1)25m
(2)468000元
【详解】（1）∵在中，，，
∴
（2）∵在中，，，
∴
∵
∴
∴为直角三角形，且
∴
∴所需费用为：（元）
答：将这块地打造成“口袋公园”需要468000元．
20．如图，为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，试计算需要几天才能把隧道凿通？
【答案】需要10天才能把隧道凿通．
【详解】解：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
则需要的时间（天）．
21．在中，，，，求的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．根据题意勾股定理可得，结合，，即可获得答案．
【详解】解：由勾股定理，得，
∵，，
∴，
∴．
22．如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点．
(1)求的长度；
(2)求的面积．
【答案】(1)3
(2)15
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
设，由折叠可得，，，，
∴，，，
在中，可有，
即，解得，
∴，
故的长度为3；
（2）解：结合（1），可知，，，
∴，
故的面积为15．
23．如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道上铺地毯，已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？
【答案】612元
【详解】解：如图，
由题意得，，
则地毯总长为，
则地毯的总面积为，
所以铺完这个楼道至少需要元．
24．我国古籍《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”，下面我们来探究两类特殊的勾股数，观察下面两个表格并解答下列问题．（以下a，b，c为Rt△ABC的三边，且a表一
a b c
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
表二
a b c
6 8 10
8 15 17
10 24 26
12 35 37
(1)表一中a为大于1的奇数，此时b，c的数量关系是 ，a，b，c之间除满足a2+b2=c2外还满足的数量关系是 ．
(2)表二中a为大于4的偶数，此时b，c的数量关系是 ，a，b，c之间除满足a2+b2=c2外还满足的数量关系是 ．
(3)我们还发现，表一中的三边长“3，4，5”与表二中的三边长“6，8，10”成倍数关系；表一中的三边长“5，12，13”与表二中的三边长“10，24，26”恰好也成倍数关系．请你直接利用这一规律计算：在Rt△ABC中，当a=，b=时，斜边c的长．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【详解】（1）当a为大于1的奇数，b、c的数量关系b+1=c，a、b、c之间的数量关系是，
故答案为b+1=c，；
（2）当a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是b+2=c，a、b、c之间的数量关系是，
故答案为b+2=c，；
（3）∵，
∴，
∴c=1．
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