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苏科版八年级上册数学同步练习卷
1.3 探索三角形全等的条件
一、单选题
1．根据下列条件能画出唯一的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【详解】解：A.当，，时，，则线段、、不能构成三角形，故选项不符合题意；
B. 边边角三角形不能唯一确定，如图1，故选项不符合题意；
C. 角角角三角形不能唯一确定，如图2所示，故选项不符合题意；
D.边角边可以画出唯一的三角形，故选项符合题意；
2．如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90 ，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD．下列结论：
BC+CE=AB;②BD=AE;③BD=CD;④∠ADC=45°；⑤AC+AB=2AM.
其中不正确的结论有()
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【详解】过E作EQ⊥AB于Q，
∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，
∴CE=EQ，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵EQ⊥AB，
∴∠EQA=∠EQB=90°，
由勾股定理得：AC=AQ，
∴∠QEB=45°=∠CBA，
∴EQ=BQ，AC=BC
∴AB=AQ+BQ=AC+CE=BC+CE，
∴①正确；
作∠ACN=∠BCD，交AD于N，
∵∠CAD=∠CAB=22.5°=∠BAD，
∴∠ABD=90° 22.5°=67.5°，
∴∠DBC=67.5° 45°=22.5°=∠CAD，
∴∠DBC=∠CAD，
∵AC=BC，∠ACN=∠DCB，
∴△ACN≌△BCD，
∴CN=CD，AN=BD，
∵∠ACN+∠NCE=90°，
∴∠NCB+∠BCD=90°，
∴∠CND=∠CDA=45°，
∴∠ACN=45° 22.5°=22.5°=∠CAN，
∴AN=CN，
∴∠NCE=∠AEC=67.5°，
∴CN=NE，
∴CD=AN=EN=AE，
∵AN=BD，
∴BD=AE，
∴②正确，④正确；
过D作DH⊥AB于H，
∵∠MCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，
∠DBA=90° ∠DAB=67.5°，
∴∠MCD=∠DBA，
∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB，
∴DM=DH，
在△DCM和△DBH中
∠M=∠DHB=90°，∠MCD=∠DBA，DM=DH，
∴△DCM≌△DBH，
∴BH=CM，BD=CD，
∴③正确；
由勾股定理得：AM=AH，
∴AC+AB=AC+AH+BH=AC+AM+CM=2AM，
∴⑤正确；
3．如图，已知△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝30°，则∠EAC的度数是( )
A．35° B．40° C．25° D．30°
【答案】B
【详解】分析：根据全等三角形的性质求出∠D、∠E，根据三角形内角和定理求出∠DAE，即可求出答案．
详解：∵△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∴∠D=∠B=80°，∠E=∠C=30°，
∴∠DAE=180°﹣∠D﹣∠E=70°．
∵∠DAC=30°，∴∠EAC=∠DAE﹣∠DAC=40°．
4．如图AD是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E，交AD于点F，∠1＝30°，∠BAD的度数（ ）
A．20° B．30° C．60° D．120°
【答案】B
【详解】∵EF∥AC，
∴
∵AD是∠BAC的平分线
∴，
5．如图，已知与相交于E，添加下列哪一个条件后，仍不能使的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由图可得，
，
，
．
添加时，，故选项A不符合题意；
添加时，，故选项B不符合题意；
添加时，不能证明，故选项C符合题意；
添加时，，故选项D不符合题意；
6．如图，在中，以为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接为边上的高线，延长交于点，下列结论①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】∵AD为BC边上的高，EAB=90°
∴∠EAN+∠BAD=90°，∠ABC+∠BAD=90°
∴∠EAN=∠ABC
故①正确；
如图所示，过E作EH⊥DN于点H，过F作FG⊥DN，交DN的延长线于点G，
∵△ABE为等腰直角三角形
∴AE=AB
在△AEH与△BAD中，
∵∠AHE=∠BDA=90°，∠EAH=∠ABD，AE=AB
∴△AEH≌△BAD（AAS）
显然△EAN与△BAD不全等，
故②错误；
同理可证△AFG≌△CAD（AAS）
∴FG=AD，
又∵△AEH≌△BAD
∴EH=AD
∴FG=EH
在△EHN和△FGN中，
∵∠ENH=∠FNG，∠EHN=∠FGN=90°，EH=FG
∴△EHN≌△FGN（AAS）
∴EN=FN
故④正确；
∵△AEH≌△BAD，△AFG≌△CAD，△EHN≌△FGN
∴S△AEF=S△AEH+S△EHN+S△AFN
=S△ABD+S△FGN+S△AFN
= S△ABD+S△AFG
=S△ABD+S△CAD
=S△ABC，
故③正确；
正确的有①③④共3个．
故选C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握K字型全等，作出辅助线是解题的关键．
7．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④．其中结论正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：是的中线，
，
和面积相等，故①正确；
在与中，
，
，故②正确；
，，
，故③正确；
，
与，不一定相等，故④不正确，
综上所述，正确的有：①②③，共3个，
8．如图所示，且，为直角三角形，，已知，，则四边形的面积为（ ）
A． B．15 C． D．20
【答案】C
【详解】解：过A作，过D作，垂足为E，如图，
∴，
∵且，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴四边形的面积为
．
9．为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计了如下两种方案：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可．
乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可．
其中可行的测量方案是（ ）
A．只有方案甲可行 B．只有方案乙可行
C．方案甲和乙都可行 D．方案甲和乙都不可行
【答案】A
【详解】解：由题意得，
在与中，
，
，
，
故甲同学的方案可行．
乙同学方案：
在与中，
只能知道，不能判定与全等，故方案不可行．
10．数学综合与实践小组的同学想测量一个池塘两端A．B之间的距离，他门设计了如图所示的方案，在平地上选取能够直接到达点A和点B的一点C；连接并延长，使；连接并延长，使，连接并测量其长度，的长度就是A、B之间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，，
，
．
二、填空题
11．如图，根据SAS，如果AB＝AC， ，即可判定ABD≌ACE
【答案】AD=AE
【详解】∵AB=AC，∠A为两三角形公共角，
又AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
故答案为：AD=AE
12．如图，在中，平分，于点E，若的面积为，则阴影部分的面积为 ．
【答案】6
【详解】解：如图，平分，于点E，
∴，，
∵，
∴≌
∴，
∴S△ACE：S△ACD＝1：2，
同理可得，S△ABE：S△ABD＝1：2，
∵S△ABC＝12，
∴阴影部分的面积为S△ACE＋S△ABE＝S△ABC＝×12＝6．
13．一个三角形的两条边的长分别为和，则第三条边上的中线的取值范围是 ．
【答案】/
【详解】解：如图，延长到点E，使，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，且，
即，，
∴，
∴，即，
14．如图，AB＝CD，若要判定△ABD≌△CDB，则需要添加的一个条件是 ．
【答案】∠1=∠2（或填AD=CB）
【详解】解：∵在△ABD与△CDB中，AB=CD，BD=DB，
∴添加∠1=∠2时，可以根据SAS判定△ABD≌△CDB，
添加AD=CB时，可以根据SSS判定△ABD≌△CDB，，
15．如图，E是的中点，平分，，则 ．
【答案】
【详解】解：过点E作，垂足为F．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵平分，，
∴．
∵E是的中点，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴．
16．如图，在ABF和DEC中，∠A=∠D，AB=DE，若再添加条件 ，则可根据SAS证得ABF ≌DEC．
【答案】AF=DC
【详解】解：∵∠A=∠D，AB=DE，
若添加AF=DC，可利用SAS证得ABF ≌DEC
三、解答题
17．（1）先化简，再求值：[(3a＋b)2－(3a－b)(b＋3a)]÷2b，其中（3a+1）2＋|1－b|＝0.
（2）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE＝BF．
【答案】（1）0；（2）见详解.
【详解】解：（1）
代入原式得.
（2）CD平分∠ACB
DE⊥AC
在和中
BF∥DE
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°．
（1）请你用尺规作图，作AD平分∠BAC，交BC于点D（要求：保留作图痕迹）；
（2）∠ADC的度数．
【答案】（1）答案见解析；（2）65°．
【详解】（1）如图，AD为所作；
（2）∵∠C＝90°，∠B＝40°，∴∠BAC＝90°﹣40°＝50°．
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝25°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝40°+25°＝65°．
19．小丽与爸妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直并交于点M，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，求C处距离地面的高度．
【答案】C处距离地面的高度为
【详解】解：由题意可知，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
分别为和，
∴，
∵，
∴，
∴C处距离地面的高度为．
20．如图1，在△ABC中，点D、点E分别在边AB、BC上，DE=AE，且∠B=∠C=∠DEA=β．
（1）求证：△BDE≌△CEA
（2）当∠DEB=β 时，
①求 β 的值;
②若将△AEC绕点E顺时针旋转，使得∠DEA =90°，如图2所示，其余条件不变，连结AB交CE的延长线于F，求证：CF=CA .
【答案】（1）见解析；（2）①β=30°；②见解析.
【详解】（1）证明：∵∠DEC=∠B+∠BDE，∠B=∠DEA
∴∠BDE=∠AEC
在△BDE和△CEA中，
∴
（2）①∵
∴∠CAE=∠DEB=β，
在△ADE中，DE=AE，∠DEA=β
∴∠ADE=∠DAE=
在△ABC中∠B+∠C+∠DAE+∠CAE=180°
即
解得
② 由①得图1中∠C=∠B=∠DEA=，
∴∠ADE=∠DAE==75°
∵∠ADE=∠B+∠BED，∴∠BED=45°，
然后在图2中延长BE交AC于点G，过D作DH⊥BE于H，如下图所示，
则△DEH为等腰直角三角形，DH=HE，
∵旋转前∠DEA=30°，旋转后为90°，
∴△AEC绕点E顺时针旋转60°，
∴∠CEG=∠BEF=60°，
又∵∠C=30°，∴∠EGC=90°，∠CAE=∠BED=45°，
∴△AEG也为等腰直角三角形，
在△DEH和△AEG中，
∴
∴DH=HE=EG=AG
设DH=a，则HG=2a，
∵在RT△ADE中，DE=AE，∴∠ADE=45°=∠BED
∴AD∥BG，又∵DH⊥HG，AG⊥HG，
∴四边形ADHG为矩形，
∴AD=HG=2a，
在Rt△BDH中，∠DBH=30°，∴BD=2DH=2a，
∴AD=BD，
∴∠DBA=∠DAB，
又∵AD∥BG
∴∠DAB=∠ABH，
∴∠DBA=∠ABH=∠DBH=15°
∴∠AFC=∠ABH+∠BEF=15°+60°=75°，
在△ACF中，∠C=30°，∠AFC=75°，
∴∠CAF=
∴∠AFC=∠CAF
∴CF=CA
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苏科版八年级上册数学同步练习卷
1.3 探索三角形全等的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．根据下列条件能画出唯一的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90 ，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD．下列结论：
BC+CE=AB;②BD=AE;③BD=CD;④∠ADC=45°；⑤AC+AB=2AM.
其中不正确的结论有()
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图，已知△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝30°，则∠EAC的度数是( )
A．35° B．40° C．25° D．30°
4．如图AD是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E，交AD于点F，∠1＝30°，∠BAD的度数（ ）
A．20° B．30° C．60° D．120°
5．如图，已知与相交于E，添加下列哪一个条件后，仍不能使的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，以为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接为边上的高线，延长交于点，下列结论①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④．其中结论正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图所示，且，为直角三角形，，已知，，则四边形的面积为（ ）
A． B．15 C． D．20
9．为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计了如下两种方案：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可．
乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可．
其中可行的测量方案是（ ）
A．只有方案甲可行 B．只有方案乙可行
C．方案甲和乙都可行 D．方案甲和乙都不可行
10．数学综合与实践小组的同学想测量一个池塘两端A．B之间的距离，他门设计了如图所示的方案，在平地上选取能够直接到达点A和点B的一点C；连接并延长，使；连接并延长，使，连接并测量其长度，的长度就是A、B之间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，根据SAS，如果AB＝AC， ，即可判定ABD≌ACE
12．如图，在中，平分，于点E，若的面积为，则阴影部分的面积为 ．
13．一个三角形的两条边的长分别为和，则第三条边上的中线的取值范围是 ．
14．如图，AB＝CD，若要判定△ABD≌△CDB，则需要添加的一个条件是 ．
15．如图，E是的中点，平分，，则 ．
16．如图，在ABF和DEC中，∠A=∠D，AB=DE，若再添加条件 ，则可根据SAS证得ABF ≌DEC．
三、解答题
17．（1）先化简，再求值：[(3a＋b)2－(3a－b)(b＋3a)]÷2b，其中（3a+1）2＋|1－b|＝0.
（2）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE＝BF．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°．
（1）请你用尺规作图，作AD平分∠BAC，交BC于点D（要求：保留作图痕迹）；
（2）∠ADC的度数．
19．小丽与爸妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直并交于点M，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，求C处距离地面的高度．
20．如图1，在△ABC中，点D、点E分别在边AB、BC上，DE=AE，且∠B=∠C=∠DEA=β．
（1）求证：△BDE≌△CEA
（2）当∠DEB=β 时，
①求 β 的值;
②若将△AEC绕点E顺时针旋转，使得∠DEA =90°，如图2所示，其余条件不变，连结AB交CE的延长线于F，求证：CF=CA .
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