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苏科版八年级上册数学同步练习卷
2.5 等腰三角形的轴对称性
一、单选题
1．如图，在△ABC中，，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，若，，则AC的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】B
【详解】解：在中，，，
∴∠A=30°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴，
∴，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=30°，
在中，，CD=1cm，
∴，
∴，
又∵，
∴cm，
2．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线，E是AB上一点，且AE＝AD，连接ED，作EF⊥BD于F，连接CF．则下面的结论：
①CD＝CF；
②∠EDF＝45°；
③∠BCF＝45°；
④若CD＝4，AD＝5，则S△ADE＝10．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵∠AED=∠ABD+∠BDE，
∴2∠ABD+2∠BDE+∠A=180°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∴2∠BDE=90°，
∴∠BDE=45°，
∵EF⊥DF，
∴∠EFD=90°，
∴∠EDF=∠FED=45°，故②正确，
延长EF交BC于H，连接CD．
∵∠FBE=∠FBH，BF=BF，∠BFE=∠BFH，
∴△BFE≌△BFH（ASA），
∴EF=FH，∵DF⊥EH，
∴DE=DH，
∴∠DEH=∠DHE=45°，
∵∠DFH+∠DCH=180°，
∴D，F，H，C四点共圆，
∴∠DCF=∠DHF=45°，
∴∠BCF=45°，故③正确，
作DM⊥AB于M，
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DM⊥AB，
∴DM=DC=4，
∵AE=AD=5，
∴S△ADE= AE DM=10，故④正确，
无法判断CF≠CD，故①错误，
3．如图，在中，是的两条中线，是线段上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
【答案】D
【详解】解：连接，如下图：
∵
∴为等腰三角形，
又∵为中线，
∴，即垂直平分，
∴，
则
由三角形三边关系可得，
当三点共线时，最小，为线段的长度，
4．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【详解】解：①∵CE平分∠ACE，
∴∠ACP=∠MCP，
∵AM⊥CE，
∴∠APC=∠MPC=90°，
∴∠CAM=∠CMA，
∴AC=CM，
∴AP=PM，①正确；
②同理得：BN=AB=6，
∵CM=AC=5，
∴BC=BN+CM-MN=6+5-2=9，②正确；
③∵∠BAC=∠MAC+∠BAN-∠MAN=110°，
由①知：∠CMA=∠CAM，∠BNA=∠BAN，
△AMN中，∠CMA+∠BNA=180°-∠MAN=∠BAN+∠MAC，
∴180°-∠MAN-∠MAN=110°，
∴∠MAN=35°，③正确；
④当∠AMN=∠ANM时，AM=AN，
∵AB=6≠AC=5
∴∠ABC≠∠ACB，
∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，④不正确；
5．如图，在中，，，E为线段的中点，点F在边上，连接，沿将折叠，使点B的对应点D落在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵E为线段的中点，
∴，
∵是沿折叠所得，
∴，，
∴，
∴，
∴，
6．如图，在等边三角形ABC中，，垂足为D，点E在线段AD上，，则等于（ ）
A．18° B．20° C．30° D．15°
【答案】D
【详解】解：∵三角形是等边三角形，
又∵，
∴，，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
又∵三角形是等边三角形，
∴，
∴．
7．在下列结论中：
（1）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形
（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形
（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形
（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【详解】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是，已知有一个外角是，即是有一个内角是，有一个内角为的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．
（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．
（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．
（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；
8．如图，点D在△ABC的边AC上，且AD=BD=CD．若∠A=40°，则∠C=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．45°
【答案】B
【详解】解：∵AD=BD=CD，
∴∠ABD=∠A，∠C=∠DBC，
∵∠A=40°，
∴∠C=（180°-40°×2）÷2=50°．
9．如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，且cm，则的长是（ ）
A．12cm B．6cm C．4cm D．
【答案】B
【详解】解：∵边的垂直平分线交于E，交于点D，
∴（线段垂直平分线的性质），
∴（等腰三角形的性质），
∴（外角的性质），
∵，
∴．
10．农村发展不仅是农自己的事情，更是国家大发展战略中不可或缺的一部分．在党的十九大报告中提出了乡村振兴的伟大战略．在之前我国对乡村实行了“五通”，即“通路、通水、通电、通电话、通广播电视”．而从乡村振兴开始，我们又提出了“新五通”，即村村通数字网络，实施数字乡村建设发展工程，推动农村千兆光网、第五代移动通信（5G）、移动物联网与城市同步规划建设．完善电信普遍服务补偿机制，支持农村及偏远地区信息通信基础设施建设．为了实现“村村通数字网络”，移动公司对相邻比较近的A、B、C、D四村进行了测量．如图所示，在中，，是边上的高，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：在中，，
是直角三角形，
，
，
是边上的高，
，
，
，
，．
二、填空题
11．如图，中，．在上截取，作的平分线与相交于点P，连接．若的面积为，则的面积为 ．
【答案】4
【详解】解：∵是的角平分线，
∴，
∴和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形，
∴．
∵，
∴．
12．将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= ．
【答案】25°
【详解】解：∵AB=AC，∠A=90°，
∴∠ACB=∠B=45°．
∵∠EDF=90°，∠E=30°，
∴∠F=90°﹣∠E=60°．
∵∠ACE=∠CDF+∠F，∠BCE=40°，
∴∠CDF=∠ACE﹣∠F=∠BCE+∠ACB﹣∠F=45°+40°﹣60°=25°．
13．等腰三角形的一腰上的高与底边夹角为12o，则顶角的度数为
【答案】∠A＝24°
【详解】试题解析：解：当等腰三角形的顶角是锐角时，如下图所示，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵∠DBC＝12°
，∴∠C＝78°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝78°，
∴∠A＝180°－∠ABC－∠C＝24°；
当等腰三角形的顶角是钝角时，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵∠DBC＝12°，
∴∠C＝78°
，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝78°，
故不成立．所以∠A＝24°．
14．如果等腰三角形的一个角的度数为 ，那么其余的两个角的度数是 ．
【答案】，或，
【详解】解：①当时顶角时，其余两个角是底角且相等，则有：；
②当时底角时，则有：顶角；
15．如图，点，分别为等边三角形的边，上一点，且，，则 度．
【答案】80
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵∠DPC=20°，
∴∠ADP=∠DPC+∠C=60°+20°=80°，
∵AD=AP，
∴∠APD=∠ADP=80°，
16．如图，在中，，以为边作等边三角形，连接，则的最大值与最小值的和为 ．
【答案】60
【详解】解：如图，以为边在其下方作等边，连接，
∴；
∵是等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
在中，，
∴，
即，
∴当三点共线时，取最大值与最小值分别为与，
而，
故答案为：60．
三、解答题
17．如图，已知在中，，点在外，且点在的垂直平分线上，连接，与相交于点，若，，求的度数．
【答案】
【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，于点，连接．
，
．
，
，
∵点在的垂直平分线上，
，
，
(HL)，
，
，
．
18．尺规作图．已知：线段，，求作等腰三角形，使其底边长为，底角为．（不写作图作图过程，保留作图痕迹）
【答案】图形见解析
【详解】解：如图，即为所求．
19．已知等腰三角形的周长为20，腰长为x．
(1)若腰长是底边长的2倍，求底边的长；
(2)求x的取值范围．
【答案】(1)底边的长为4
(2)x的取值范围为
【详解】（1）解：根据题意得腰长为x，则底边长为，
解得，则，
答：底边的长为4；
（2）解：根据题意得：
即
解得：，
答：x的取值范围为．
20．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：CE平分∠ACF；
（3）若AB=2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）1.
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE．
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠BCA=60°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠B=60°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠B=60°，
∴∠ECF=180﹣∠ACE﹣∠BCA=60°，
∴∠ACE=∠ECF，
∴CE平分∠ACF．
（3）解：∵△ABD≌△ACE，
∴CE=BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，
∴四边形ADCE的周长=CE+DC+AD+AE=BD+DC+2AD=2+2AD，
根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD值最小，四边形ADCE的周长取最小值，
∵AB=AC，
∴BD=BC=．
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2.5 等腰三角形的轴对称性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在△ABC中，，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，若，，则AC的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
2．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线，E是AB上一点，且AE＝AD，连接ED，作EF⊥BD于F，连接CF．则下面的结论：
①CD＝CF；
②∠EDF＝45°；
③∠BCF＝45°；
④若CD＝4，AD＝5，则S△ADE＝10．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在中，是的两条中线，是线段上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
4．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，在中，，，E为线段的中点，点F在边上，连接，沿将折叠，使点B的对应点D落在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在等边三角形ABC中，，垂足为D，点E在线段AD上，，则等于（ ）
A．18° B．20° C．30° D．15°
7．在下列结论中：
（1）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形
（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形
（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形
（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．如图，点D在△ABC的边AC上，且AD=BD=CD．若∠A=40°，则∠C=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．45°
9．如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，且cm，则的长是（ ）
A．12cm B．6cm C．4cm D．
10．农村发展不仅是农自己的事情，更是国家大发展战略中不可或缺的一部分．在党的十九大报告中提出了乡村振兴的伟大战略．在之前我国对乡村实行了“五通”，即“通路、通水、通电、通电话、通广播电视”．而从乡村振兴开始，我们又提出了“新五通”，即村村通数字网络，实施数字乡村建设发展工程，推动农村千兆光网、第五代移动通信（5G）、移动物联网与城市同步规划建设．完善电信普遍服务补偿机制，支持农村及偏远地区信息通信基础设施建设．为了实现“村村通数字网络”，移动公司对相邻比较近的A、B、C、D四村进行了测量．如图所示，在中，，是边上的高，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，中，．在上截取，作的平分线与相交于点P，连接．若的面积为，则的面积为 ．
12．将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= ．
13．等腰三角形的一腰上的高与底边夹角为12o，则顶角的度数为
14．如果等腰三角形的一个角的度数为 ，那么其余的两个角的度数是 ．
15．如图，点，分别为等边三角形的边，上一点，且，，则 度．
16．如图，在中，，以为边作等边三角形，连接，则的最大值与最小值的和为 ．
三、解答题
17．如图，已知在中，，点在外，且点在的垂直平分线上，连接，与相交于点，若，，求的度数．
18．尺规作图．已知：线段，，求作等腰三角形，使其底边长为，底角为．（不写作图作图过程，保留作图痕迹）
19．已知等腰三角形的周长为20，腰长为x．
(1)若腰长是底边长的2倍，求底边的长；
(2)求x的取值范围．
20．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：CE平分∠ACF；
（3）若AB=2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．
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