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苏科版八年级上册数学同步练习卷
3.1 勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，AC=12，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点F，则线段BF的长为（）
A．5 B．4 C．3 D．2.8
2．如图所示，在中，，，，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，∠B=30°，线段BC=2，点E、F分别是线段BC和射线BA上的动点，设，则的最小值是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
4．如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧相交于点D和点E，直线交于点F，交于点G，连接，若，，则（ ）
A．5 B． C． D．
5．如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点F、点G，作直线FG分别交AB、AC于点D、E．若，，则BC的长是（ ）
A． B．3 C． D．4
7．在直角纸片中，已知，，，折叠纸片使边与边重合，点落在点上，折痕为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．下列四组数据中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．30，40，50
C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13
9．如图，长为8cm的橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B然后把中点C竖直向上拉升3cm至点D处，则拉长后橡皮筋的长为（ ）
A．8cm B．11cm C．18cm D．10cm
10．利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE
D．S四边形AECD＝S四边形DEBC
二、填空题
11．如图，在中，，，以点A为圆心长度2为半径作弧，分别交边于两点，再分别以点为圆心，长度r为半径作弧交于点F，连接并延长交边于点G，点分别在边上，且，．下列说法：①射线平分；②；③；④．正确的有： （填上所有符合要求的条件的序号）
12．如图，，在中，，点A，B分别在边上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 ．
13．在中，，，，则边的长为 ．
14．如图，一个蚂蚁要在一个长、宽、高分别为2、3、1分米的长方体的表面从A点爬到B点，那么最短的路径是 分米．（结果保留根号）
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是 ．
16．如图所示，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，，按照此规律继续下去，则的值为 ．
三、解答题
17．十一国庆节快到了，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：
①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD；
②如图，将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处．
请你根据①②步骤计算EC的长．
18．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1cm．请在网格内绘制一个三角形 ，三边长分别为cm，cm，cm，并求此三角形的面积.
19．图1是某超市购物车，图2为该购物车侧面示意图，测得，支架，．求两轮中心A、B之间的距离．
20．已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE．
①若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；
②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE．
①依题意补全图2；
②直接写出线段EA，EB和EC之间的数量关系．
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苏科版八年级上册数学同步练习卷
3.1 勾股定理
一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，AC=12，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点F，则线段BF的长为（）
A．5 B．4 C．3 D．2.8
【答案】A
【详解】解：过点F作FN⊥AB于N，
由作图可知：AM平分∠BAC，
∵∠C=90°，
∴FC⊥AC，
∵FN⊥AB，
∴FN=FC，
在Rt△ACF和Rt△ANF中，
，
∴Rt△ACF≌Rt△ANF(HL)，
∴AN=AC=12，
∴BN=AB-AN=15-12=3，
在Rt△ACB中，由勾股定理，得
BC==9，
设BF=x，则FN=CF=BC-BF=9-x，
在Rt△BNF中，由勾股定理，得
x2=32+(9-x)2，解得：x=5，
2．如图所示，在中，，，，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
3．如图，∠B=30°，线段BC=2，点E、F分别是线段BC和射线BA上的动点，设，则的最小值是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：作C关于直线AB的对称点D，过D作DE⊥BC交AB于F，则此时，CF+EF的值最小，且CF+EF的最小值=DE，
∵DG⊥AB，
∴∠CGB=90°，
∵BC=2，∠B=30°，
∴CG=BC=1，
∴CD=2，
∵∠DGF=∠BEF=90°，∠BFE=∠DFG，
∴∠D=∠B=30°，
∴
∴由勾股定理，DE=，
∴CF+EF的最小值是，
则=，
4．如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧相交于点D和点E，直线交于点F，交于点G，连接，若，，则（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由作图方法得垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴．
5．如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、C之间的最短距离为线段AC的长．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，
AD为底面半圆弧长，AD=π，
∴AC=，
6．如图，在中，，以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点F、点G，作直线FG分别交AB、AC于点D、E．若，，则BC的长是（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【详解】解：由题意可知：FG是AC的垂直平分线，
∴
∵，
∴，
7．在直角纸片中，已知，，，折叠纸片使边与边重合，点落在点上，折痕为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设，
在中，由勾股定理，得
．
折叠纸片使边与边重合，点落在点上，
，，
．
由线段的和差，得
．
在中，由勾股定理，得
，
，
，
8．下列四组数据中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．30，40，50
C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13
【答案】C
【详解】A、32+42＝52，能构成直角三角形，是正整数，不符合题意；
B、302+402＝502，能构成直角三角形，是整数，不符合题意；
C、0.32+0.42＝0.52，但是三边不是整数，符合题意；
D、52+122＝132，能构成直角三角形，是正整数，不符合题意．
9．如图，长为8cm的橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B然后把中点C竖直向上拉升3cm至点D处，则拉长后橡皮筋的长为（ ）
A．8cm B．11cm C．18cm D．10cm
【答案】D
【详解】解：中，，；
根据勾股定理，得：；
同理可得，
；
故拉长后橡皮筋的长度为．
10．利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE
D．S四边形AECD＝S四边形DEBC
【答案】B
【详解】解：由题意可得：．
二、填空题
11．如图，在中，，，以点A为圆心长度2为半径作弧，分别交边于两点，再分别以点为圆心，长度r为半径作弧交于点F，连接并延长交边于点G，点分别在边上，且，．下列说法：①射线平分；②；③；④．正确的有： （填上所有符合要求的条件的序号）
【答案】①④/④①
【详解】解：①根据作图痕迹知射线平分，故①说法正确；
②因为平分，
∴，
，，
，，，
，故②说法错误；
③、，，
，，
，故③说法错误；
④、，，
∴为等边三角形，
，
，故④说法正确；
12．如图，，在中，，点A，B分别在边上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 ．
【答案】7
【详解】解：作，连接，如图，
∵，
∴，
在中，，
在中，，
∵（当点C、 O、H共线时取等号），
∴点C到点O的最小距离为，
故答案为：7．
13．在中，，，，则边的长为 ．
【答案】
【详解】∵，，，
∴AC=
=．
故答案为：．
14．如图，一个蚂蚁要在一个长、宽、高分别为2、3、1分米的长方体的表面从A点爬到B点，那么最短的路径是 分米．（结果保留根号）
【答案】
【详解】正面和右侧面展开如图（1）
根据勾股定理；
正面和上面展开如图（2）
根据勾股定理；
底面和右侧面展开如图（3）
根据勾股定理；
∵
∴最短的路径是分米
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是 ．
【答案】3
【详解】试题分析：根据△DAB的面积为10，AD=5可得：BC=4，根据Rt△BCD的勾股定理可得：CD=3．
16．如图所示，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，，按照此规律继续下去，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，
正方形的边长为1，
面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为，
则，
面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为，
则，
，
，
则的值为：，
故答案为：．
三、解答题
17．十一国庆节快到了，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：
①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD；
②如图，将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处．
请你根据①②步骤计算EC的长．
【答案】6cm
【详解】解：∵△ADE由△AFE关于AE对称，
∴△ADE≌△AFE，
∴DE=FE．AD=AF，
∵BC=20cm，AB=16cm，
∴CD=16cm，AD=AF=20cm，
在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF=12cm．
∴CF=20-12=8cm．
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠C=90°．
设CE=x，则DE=EF=16-x，
在Rt△CEF中，由勾股定理，得
（16-x）2=64+x2，
解得：x=6．
∴EC=6cm．
一道比较简单的中考常考题．
18．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1cm．请在网格内绘制一个三角形 ，三边长分别为cm，cm，cm，并求此三角形的面积.
【答案】3.5（cm）
【详解】如图所示．
如图△DEF为所求.
S△DEF==3.5（cm）．
19．图1是某超市购物车，图2为该购物车侧面示意图，测得，支架，．求两轮中心A、B之间的距离．
【答案】两轮中心A、B之间的距离为．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
答：两轮中心A、B之间的距离为．
20．已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE．
①若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；
②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE．
①依题意补全图2；
②直接写出线段EA，EB和EC之间的数量关系．
【答案】（1）①∠DBE＝45°﹣α；②AE﹣BEEC，证明见解析；（2）①补全图形见解析；②EB﹣EAEC．
【详解】解：（1）①如图1中，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝45°，
∵∠BAD＝α，
∴∠CAD＝45°﹣α．
∵∠ACB＝90°，BE⊥AD，∠ADC＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠CAD＝45°﹣α；
②结论：AE﹣BEEC．
理由：如图，过点C作CR⊥CE交AE于R．
∴∠ACB＝∠RCE＝90°，
∴∠ACR＝∠BCE，
∵∠CAR+∠ADC＝90°，∠CBE+∠BDE＝90°，∠ADC＝∠BDE，
∴∠CAR＝∠CBE，
在△ACR和△BCE中，
，
∴△ACR≌△BCE（ASA），
∴AR＝BE，CR＝CE，
∴△CER是等腰直角三角形，
∴ERCE，
∴AE﹣BE＝AE﹣AR＝ER EC．
（2）①补全图形，如图2所示：
②猜想：当D在BC边的延长线上时，EB﹣EAEC；理由如下：
过点C作CF⊥CE，交AD的延长线于点F，
如图3所示：则∠ECF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ECF+∠ACE＝∠ACB+∠ACE，
即∠ACF＝∠BCE，
∵∠CAF+∠ADB＝90°，∠CBE+∠ADB＝90°，
∴∠CAF＝∠CBE，
在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（ASA），
∴AF＝BE，CF＝CE．
∵∠ECF＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EFEC，
即AF﹣EAEC．
∴EB﹣EAEC．
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