中小学教育资源及组卷应用平台
苏科版八年级上册数学同步练习卷
3.3 勾股定理的简单应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，小明有一个圆柱形饮水杯，底面半径是6，高是16，上底面贴着杯壁有一个小圆孔，则一条长24的直吸管露在杯外部分a的长度（杯壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面半径为，高为（π取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（ ）cm．
A．28 B．29 C．25 D．22
3．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且海里．那么该船要到达离灯塔距离最近的位置需继续航行（ ）
A．50海里 B．海里 C．65海里 D．75海里
4．如图，一根长5米的竹竿斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为4米．如果竹竿的顶端A沿墙下滑1米，竹竿底端B外移的距离BD（ ）
A．等于1米 B．大于1米 C．小于1米 D．以上都不对
5．如图所示，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点A爬到点处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，为线段上一动点，分别过、作，，连接、，已知，，，设．线段的长可表示为，当、、三点共线时，的值最小，根据上述方法，求代数式的最小值为（ ）
A．11 B．13 C． D．
7．如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4，和，和是这个台阶的两个相对的端点，点上有一只蚂蚁想到点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（ ）
A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5
8．《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ）尺．
A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺
9．一个圆桶，底面直径为24 cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为( ) ．
A．24cm B．32cm C．40 cm D．45
10．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点在棱上，且，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，是台阶的模型图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则等于 ．
12．如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE时，米，则BE＝ 米．
13．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则B处与灯塔A的距离是 海里．
14．（2019高桥期中考）如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，则EC长为 ．
15．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈＝10尺）答：原处的竹子还有 尺高．
16．已知一棵高的柳树在台风过后被折断，此时树木的顶端距离树根底部米处，这棵树折断后有 高．
三、解答题
17．如果蚂蚁处于的位置是一个长、宽、高分别为15、5、3的长方体的左下端A，它到右上端的最短路线该怎样选择呢．请计算最短路线．
18．如图，、两个村子在笔直河岸的同侧，、两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂向、两村输送自来水，要求、两村到水厂的距离相等.
（1）在图中作出水厂的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求水厂距离处多远？
19．如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站．
(1)若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？
(2)若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为 ．
20．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．
（）如图，四边形中，平分，．求证：四边形为等邻边四边形．
（）如图，中，，，，将沿的平分线的方向平移，得到，连接、，若平移后的四边形是等邻边四边形，求平移的距离．
（）如图，在等邻边四边形中，，，和为四边形对角线，为等边三角形，试探究和的数量关系．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
苏科版八年级上册数学同步练习卷
3.3 勾股定理的简单应用
一、单选题
1．如图，小明有一个圆柱形饮水杯，底面半径是6，高是16，上底面贴着杯壁有一个小圆孔，则一条长24的直吸管露在杯外部分a的长度（杯壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，①当吸管底部在点B时，吸管露在杯外部分a的长度最短，
此时，，
在中，，
或（不符合题意，舍去）；
②当吸管底部在点C时，吸管露在杯外部分a的长度最长，
此时，；
故直吸管露在杯外部分a的长度范围是：；
2．如图，一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面半径为，高为（π取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（ ）cm．
A．28 B．29 C．25 D．22
【答案】C
【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、B的最短距离为线段的长．
在中，，，为底面半圆弧长，，
所以
3．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且海里．那么该船要到达离灯塔距离最近的位置需继续航行（ ）
A．50海里 B．海里 C．65海里 D．75海里
【答案】B
【详解】解：如图所示，过点M作于N，则，
由题意得，
∴海里，
∴海里，
又∵垂线段最短，
∴该船要到达离灯塔距离最近的位置需继续航行海里，
4．如图，一根长5米的竹竿斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为4米．如果竹竿的顶端A沿墙下滑1米，竹竿底端B外移的距离BD（ ）
A．等于1米 B．大于1米 C．小于1米 D．以上都不对
【答案】A
【详解】解：由题意得：在Rt△AOB中，OA=4米，AB=5米，
∴OB= =3米，
在Rt△COD中，OC=3米，CD=5米，
∴OD==4米，
∴AC=OD-OB=1米．
5．如图所示，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点A爬到点处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：沿将圆柱体的侧面展开，如图：
∵底面半径是，
∴，
∴在中，，，
∴，
即蚂蚁从点A爬到点处吃食，要爬行的最短路程为，故B正确．
6．如图，为线段上一动点，分别过、作，，连接、，已知，，，设．线段的长可表示为，当、、三点共线时，的值最小，根据上述方法，求代数式的最小值为（ ）
A．11 B．13 C． D．
【答案】B
【详解】解：，令，
原式
如图，为线段上一动点，分别过、作，，连接、，
已知，，，设，线段的长可表示为
当、、三点共线时，的值最小；
过点作交的延长线于点，得矩形，
，，
，
所以，
即的最小值为，
7．如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4，和，和是这个台阶的两个相对的端点，点上有一只蚂蚁想到点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（ ）
A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】C
【详解】解：如下图，将台阶展开为矩形，线段恰好是直角三角形的斜边，
则，，
在中，，
所以蚂蚁所走的最短路线长度为5．
8．《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ）尺．
A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺
【答案】A
【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，
结合勾股定理可得出：，
解得：．
∴折断处离地面的高度为4.55尺．
9．一个圆桶，底面直径为24 cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为( ) ．
A．24cm B．32cm C．40 cm D．45
【答案】C
【详解】圆桶内最长对角线的长为：AB==40（cm），
则桶内能容下的最长的木棒为40cm．
10．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点在棱上，且，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图1中，把面与面沿展开，
点是的中点，
如图2，把面与面沿展开，
同理可得：
如图3，把面与面沿展开，
同理：
所以一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为
二、填空题
11．如图，是台阶的模型图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则等于 ．
【答案】
【分析】先根据图形求得，，然后再利用勾股定理求得斜边AB的长即可．
【详解】解：如图，由题意得：，，
所以．
12．如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE时，米，则BE＝ 米．
【答案】
【分析】勾股定理先求AC的长，继而得到CD的长，根据AB=DE，再次运用勾股定理计算CE的长，根据BE=CE-CB计算即可．
【详解】∵AB=5， BC=3，
∴AC=，
∵AD＝1，
∴CD=AC-AD=3，
∴CE=，
∴BE=CE-CB=米，
13．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则B处与灯塔A的距离是 海里．
【答案】
【详解】解：∵灯塔A在B处南偏东方向上，C处在B处南偏东方向上，
∴，B处在C处的北偏西方向上．
∴．
∴．
∴．
∴AC=BC．
∵轮船从B处以每小时50海里的速度航行半小时到达C处，
∴海里．
∴AC=25海里．
∴海里．
14．（2019高桥期中考）如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，则EC长为 ．
【答案】.
【详解】设
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得：，，
由勾股定理可得：
在中，由勾股定理可得：
解得：
15．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈＝10尺）答：原处的竹子还有 尺高．
【答案】
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：，
解得：．
16．已知一棵高的柳树在台风过后被折断，此时树木的顶端距离树根底部米处，这棵树折断后有 高．
【答案】8
【详解】解：如图：
∵AC＝6m，AB+BC＝18m，
∴设CB＝xm，则BA＝（18﹣x）m，
∵∠BCA＝90°，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴x2+62＝（18﹣x）2，
解得x＝8m，
∴CB＝8m，
∴这棵树折断后有8m高．
三、解答题
17．如果蚂蚁处于的位置是一个长、宽、高分别为15、5、3的长方体的左下端A，它到右上端的最短路线该怎样选择呢．请计算最短路线．
【答案】见解析．
【详解】分三种情况：
如图①，AB=15，，
∴
在Rt△中，
如图②，AB=15，，
∴
在Rt△中，
如图③，，，
∴
在Rt△中，
∵
∴沿第①种方式爬行路线最短．
18．如图，、两个村子在笔直河岸的同侧，、两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂向、两村输送自来水，要求、两村到水厂的距离相等.
（1）在图中作出水厂的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求水厂距离处多远？
【答案】（1）详见解析；（2）水厂距离处.
【详解】（1）如图，点E为所求的点.
（2）设CE=x，则DE=6-x
在中，
在中，
由（1）知，AE=BE
∴
解得
答：水厂距离处.
19．如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站．
(1)若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？
(2)若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为 ．
【答案】(1)
(2)图见解析，25
【详解】（1）解：（1）设，则，
在与中，由勾股定理得，
，，
∵，
∴，
∴，
解得，
即收购站应建在离点处；
（2）如图，作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值，
过点作交的延长线于点，
则．
20．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．
（）如图，四边形中，平分，．求证：四边形为等邻边四边形．
（）如图，中，，，，将沿的平分线的方向平移，得到，连接、，若平移后的四边形是等邻边四边形，求平移的距离．
（）如图，在等邻边四边形中，，，和为四边形对角线，为等边三角形，试探究和的数量关系．
【答案】（1）证明见解析；（2）平移距离可为、2、、；（3）.
【详解】试题分析：
（1）由已知条件通过证△ABC≌△ADC可得结论；
（2）由已知易得：平移距离，由，，，易得．再分以下四种情况讨论计算即可：①时；②；③时；④时；
（3）如图，把△ABC绕点逆时针转到△ADC′处，连接CC′，通过证△ACC′∽△ABD及证△C′CD是等腰直角三角形即可求得AC与AB间的数量关系.
试题解析：
（）∵平分，
∴，
∵，，
∴≌，
∴，，
∴是等邻边四边形．
（）由平移可知平移距离，
由，，，
∴由勾股定理可得：．
①时，
∴．
②时，
∴．
③时，如图1，延长C′B′交AB于点H，设B′H=x，
则在Rt△BC′H中，有，
易得，（舍），
∴．
④时，如图1，
则在Rt△BC′H中，有，
易得，（舍），
∴，
∴综上，平移距离可为、、、；
（），理由如下：
将绕旋转至处，连接，
则由旋转的性质和已知可得：∠C′AC=∠DAB，AC′=AC，AD=AB，C′D=BC=DC，
由此可得：，
∵，∠5=∠2，∠6=∠4，
∴∠1+∠5+∠3+∠6=90°，
∴∠ADC′+∠ADC=180°+180°-90°=270°，
∴∠C′DC=360°-270°=90°.
又∵C′D=BC=DC，
∴△C′DC是等腰直角三角形，
∴，
∴与的相似比为，
∴，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
