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苏科版九年级上册数学同步练习卷
1.3 一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题
1．已知方程的两根分别为和，则的值等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵方程的两根分别为和，
∴，
2．若关于x一元二次方程的根为，，则下面成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：根据题意可得：
，
故A正确，符合题意，B、C、D不正确，不符合题意；
3．已知关于x的方程有一根为-2，则方程的另一根为（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
【答案】C
【详解】解：设关于x的方程的另一个根为x＝t，
∴
解得，
4．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值是（ ）
A． B． C．6 D．2
【答案】C
【详解】解：∵的两个实数根分别为，，
∴，
5．设x1，x2是一元二次方程4x2+3x=1的两个根，则x1x2的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．﹣
【答案】D
【详解】解：∵由4x2+3x=1得到：4x2+3x-1=0，
∴a=4，c=-1，
∴x1 x2==-.
6．关于x的方程有两个解，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣9 B．k≤3 C．﹣9＜k＜6 D．k
【答案】A
【详解】解：∵
∴
∴
设t＝|x﹣3|，
则原方程变形为，
所以Δ＝1﹣4（﹣k﹣9）＞0，解得，
∵原方程有两个解，
∴方程有一正根和负根，
∴
解得k＞﹣9，
∴k的取值范围是k＞﹣9．
7．设|x2+ax|＝4只有3个不相等的实数根，则a的值和方程的某一个根可能是（ ）
A．a＝4，x＝2+2 B．a＝4，x＝2
C．a＝﹣4，x＝2﹣2 D．a＝﹣4，x＝﹣2
【答案】C
【详解】解：∵|x2+ax|＝4，
∴x2+ax﹣4＝0①或x2+ax+4＝0②，
方程①②不可能有相同的根，
而原方程有3个不相等的实数根，
∴方程①②中有一个有等根，
而Δ1＝a2+16＞0，
∴△2＝a2﹣16＝0，
∴a＝±4，
当a＝4时，原方程为x2+4x﹣4＝0或x2+4x+4＝0，
原方程的解为：x＝﹣2或﹣2±2；
当a＝﹣4时，原方程为x2﹣4x﹣4＝0或x2﹣4x+4＝0，
原方程的解为：x＝2或2±2；
8．已知关于的方程的两根分别为和，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵关于的方程的两根分别为和，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴．
9．已知m，n是方程x2﹣2018x+2019＝0的两个根，则（m2﹣2019m+2018）（n2﹣2019n+2018）的值是（ ）
A．1 B．2 C．4037 D．4038
【答案】D
【详解】∵m，n是方程x2-2018x+2019=0的两个根，
∴m+n=2018，mn=2019，m2-2018m+2019=0，n2-2018n+2019=0，
∴m2-2019m+2018=-m-1，n2-2019n=-n-1，
∴（m2-2019m+2018）（n2-2019n+2018）
=（-m-1）（-n-1）
=mn+m+n+1
=2019+2018+1
=4038，
10．若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵是方程的两个相等的实数根，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴不符合题意，
∴
∴符合题意，
二、填空题
11．已知是一元二次方程的一个根，那么该方程的另一个根是 ．
【答案】
【详解】解：设方程另一根为，
则，
解得：，
故方程的另一个根是，
．
12．若，是一元二次方程的两个根，则 ．
【答案】1
【详解】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
，
．
13．若，是一元二次方程的两个根，则 ， ．
【答案】
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
14．已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
【答案】4
【详解】因为、是方程的两个实数根，
所以；
所以
=
=
=
=
=4．
已经向邓老师汇报，等信息，请老师撤回吧！
15．已知，是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【详解】∵，是方程的两个实数根，
∴+=2，，即，
则
=
=
=
=2﹣1
=1.
16．、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵是方程的根
∴，
∴
∴k=-4
三、解答题
17．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根，，且，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【详解】（1）证明：，
，
，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）由题意得，，
∵，
∴，
∴，解得：．
18．下面是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务．
一元二次方程根与系数的关系 通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系． 从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程的两个实数根分别记为，则有恒等式，即．比较两边系数可得：________，________．
任务：
(1)填空：__________，__________．
(2)小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系．下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，
并补全推理过程．
解：对于一元二次方程，
当时，有两个实数根________，________．
……
(3)方程的两根之和为__________，两根之积为__________．
【答案】(1)，
(2)，，补全推理过程见解析
(3)，
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，．
故答案为：，；
（2）解：对于一元二次方程，
当时，有两个实数根，，
∴，
．
故答案为：，；
（3）解：∵，
∴，
∴两根之和为，两根之积为．
故答案为：，．
19．阅读理解：
材料1：若代数式在实数范围内可因式分解为.
令我们可以得到该方程的两个解为，，则我们也可以得到关于的方程的两个解也为，，那么我们称这两个解为“共生根”，由得到两个“共生根”与各项系数之间的关系为：，．
材料2：已知实数，满足，，且，根据材料1求的值．
解：由题知，是方程足的两个不相等的“共生根”，
根据材料1得：，，
．
解决以下问题：
(1)方程的两个“共生根”为，，则_______，_______；
(2)已知实数，满足，，且，求的值；
(3)已知实数，满足，，且，求．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）解：根据题意得：，，
故答案为：，；
（2），，且，
，可看作方程的两个不相等的“共生根”，
，，
，
；
（3），
，
，
，即，且，
，可看作方程的两个不相等的“共生根”，
，，
．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣(k+3）x+2k+2＝0有实数根．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若x1+x2-3x1x2=2，求k的值．
【答案】（1）证明见详解；（2）-1．
【详解】解：（1），
∴，
∴方程总有两个实数根；
（2）由题意得， ，
∵x1+x2-3x1x2=2，
∴ ，
解得．
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1.3 一元二次方程的根与系数的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知方程的两根分别为和，则的值等于（ ）
A．2 B． C． D．
2．若关于x一元二次方程的根为，，则下面成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于x的方程有一根为-2，则方程的另一根为（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
4．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值是（ ）
A． B． C．6 D．2
5．设x1，x2是一元二次方程4x2+3x=1的两个根，则x1x2的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．﹣
6．关于x的方程有两个解，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣9 B．k≤3 C．﹣9＜k＜6 D．k
7．设|x2+ax|＝4只有3个不相等的实数根，则a的值和方程的某一个根可能是（ ）
A．a＝4，x＝2+2 B．a＝4，x＝2
C．a＝﹣4，x＝2﹣2 D．a＝﹣4，x＝﹣2
8．已知关于的方程的两根分别为和，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知m，n是方程x2﹣2018x+2019＝0的两个根，则（m2﹣2019m+2018）（n2﹣2019n+2018）的值是（ ）
A．1 B．2 C．4037 D．4038
10．若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（ ）
A．0 B． C． D．
二、填空题
11．已知是一元二次方程的一个根，那么该方程的另一个根是 ．
12．若，是一元二次方程的两个根，则 ．
13．若，是一元二次方程的两个根，则 ， ．
14．已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
15．已知，是方程的两个实数根，则的值为 ．
16．、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ．
三、解答题
17．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根，，且，求的值．
18．下面是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务．
一元二次方程根与系数的关系 通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系． 从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程的两个实数根分别记为，则有恒等式，即．比较两边系数可得：________，________．
任务：
(1)填空：__________，__________．
(2)小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系．下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，
并补全推理过程．
解：对于一元二次方程，
当时，有两个实数根________，________．
……
(3)方程的两根之和为__________，两根之积为__________．
19．阅读理解：
材料1：若代数式在实数范围内可因式分解为.
令我们可以得到该方程的两个解为，，则我们也可以得到关于的方程的两个解也为，，那么我们称这两个解为“共生根”，由得到两个“共生根”与各项系数之间的关系为：，．
材料2：已知实数，满足，，且，根据材料1求的值．
解：由题知，是方程足的两个不相等的“共生根”，
根据材料1得：，，
．
解决以下问题：
(1)方程的两个“共生根”为，，则_______，_______；
(2)已知实数，满足，，且，求的值；
(3)已知实数，满足，，且，求．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣(k+3）x+2k+2＝0有实数根．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若x1+x2-3x1x2=2，求k的值．
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