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苏科版九年级上册数学同步练习卷
1.4 用一元二次方程解决问题
一、单选题
1．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ）.
A．； B．； C．； D．.
【答案】A
【详解】解：设降价的百分率为
根据题意可列方程为
解方程得，（舍）
∴每次降价得百分率为
2．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一季度投放1万辆单车，计划第三季度投放单车的数量比第一季度多4400辆，设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率均为，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率为x，根据题意可得：
（1+x）2=1.44．
3．由于新能源汽车的崛起和国家对新能源汽车销售公司减税政策的支持，原价23万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同费率后售价为16万元，求每次下调的百分率．设每次下调的百分率为x，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意得第一次下调后的售价为，
第二次下调费率后的售价为，
得到方程，
4．为执行“两免一补”政策，某地区2014年投入教育经费2500万元，预计到2016年，三年共投入8275万元．设投入教育经费的年平均增长率为x，那么下列方程正确的是( )
A．2500x28275 B．2500(1+x%)28275
C．2500(1+x)28275 D．2500+2500(1+x)+2500(1+x)28275
【答案】D
【详解】解：设投入教育经费的年平均增长率为x，
由题意得，
2500+2500×（1+x）+2500（1+x）2=8275．
5．某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展.某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：设月平均增长率是x，一月份的营业额是1000万元，
则二月份的营业额是万元，三月份的营业额是万元，
∴第一季度的总营业额是万元，
6．某公司2017年的营业额是万元，2019年的营业额为万元，设该公司年营业额的平均增长率为,根据题意可列方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：设年平均增长率为,
则2018的产值为: ,
2019的产值为:．
那么可得方程:．
7．一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了件小礼物，如果参加这次聚会的人数为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：设有人参加聚会，则每人送出件礼物，
由题意列方程得：．
8．2022年是中国共产主义青年团成立100周年，全国各地积极开展各类型专题展．据了解，某展览中心6月份的参观人数为100万人，8月份的参观人数增加到144万人．若参观人数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：依题意得：．
9．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染（225人可以理解为三轮感染的总人数），若设1人平均感染x人，依题意可列方程（ ）
A．1+x+x（1+x）＝225 B．1+x2＝225
C．2（1+x）＝225 D．1+（1+x2）＝225
【答案】A
【详解】第一轮传染以后会增加x人，共有1+x人感染，1+x人每人传染x人，第二轮会增加（1+x）x，所以两轮以后共有1+x+x(1+x)人，根据题意可列方程1+x+x(1+x)=225
10．一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为，按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设矩形的长为，宽为，
依题意，得：，
②①，得：，
③．
将③代入②，得：，
整理，得：，
解得：，（舍去），
．
按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为．
二、填空题
11．某工厂生产一款零件的成本为500元，经过两年的技术创新，现在生产这款零件的成本为405元，求该款零件成本平均每年的下降率是多少？设该款零件成本平均每年的下降率为，可列方程为 ．
【答案】
【详解】设该款零件成本平均每年的下降率为x，
经过第一年的技术创新后生产这款零件的成本为（元），
经过第二年的技术创新后生产这款零件的成本为（元），
所以可列方程为：．
12．某钢铁厂今年1月份钢产量为4万吨，第一季度共生产钢万吨，问2、3月份平均每月的增长率是 ．
【答案】
【详解】解：设二，三月份平均每月的增长率为．
根据题意，得．
解得，（不合题意，舍去）．
答：2，3月份平均每月的增长率为．
13．有一人患流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感，如果不及时控制（三轮传染速度相同），第三轮被传染的人数为 ．
【答案】294．
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，
1＋x＋x（x＋1）＝49
x＝6或x＝ 8（舍去）．
∴每轮传染中平均一个人传染了6个人，
第三轮被传染的人数为：49×6＝294（人）．
14．参加足球联赛的每两个队都进行2场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？设参加比赛的有x个队，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【详解】解：由题意得，
15．端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为 ．
【答案】
【详解】解：根据题意得：每袋粽子的销售利润为，每天可售出袋，
∴超市每天售出此种粽子的利润．
16．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自年起逐月增加，据统计，该商城月份销售自行车辆，月份销售了辆．若该商城前、月份自行车销量的月平均增长率相同，求该商城、月份的月平均增长率 ．
【答案】
【详解】解：设该商城2、3月份的月平均增长率为x，
根据题意列方程：64（1+x）2=100，
解得，x1=-225%（不合题意，舍去），x2=25%．
答：该商城2、3月份的月平均增长率为25%．
三、解答题
17．A市计划对本市215万人接种新冠疫苗，在前期完成5万人接种后，又花了100天时间接种了剩下的210万人．在这100天中，该市的接种时间和接种人数的关系如图所示．
（1）前40天中，每天接种的人数为 人．
（2）这100天中，B市的接种人数y（万人）与接种天数x（天）的关系为，
①请通过计算判断，第40天接种完成后，B市的接种人数是否超过A市？
②直接写出第几天接种完成后，A，B两市接种人数恰好相同？
【答案】（1）3万；（2）①第40天接种完成后，B市的接种人数没有超过A市；②52天接种完成后A，B两市接种人数恰好相同．
【详解】解：（1）（万人），
∴故答案为：3万；
（2）①把代入得：
答：第40天接种完成后，B市的接种人数没有超过A市．
②由题意前40天市接种人数少于A市，
设40天到100天这段时间A市的接种人数y（万人）与接种天数x（天）的关系为，
∴将（40，125）和（100，215）代入，
得：，解得：，
∴A市接种人数，，
（舍去），
答：52天接种完成后A，B两市接种人数恰好相同．
18．在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半，图a、图b分别是小明和小颖的设计方案．
（1）你认为小明的结果对吗？请说明理由．
（2）请你帮助小颖求出图中的x（精确到0．1m）．
（3）你还有其他的设计方案吗？请在下图中画出你的设计草图，并加以说明．
【答案】(1) 小明的结果不对，理由详见解析；(2)5.5m；（3）详见解析.
【详解】（1）小明的结果不对，设小路的宽为xm，
则得方程（16－2x）（12－2x）=×16×12，
解得x1=2，x2=12(不合题意，舍去)．
因荒地的宽为12m，若小路宽为12m，不符合实际情况，故x2=12m不符合题意，应舍去，故小明的结果不对.
（2）由题意得4×，∴x≈5.5m．
（3）方案不唯一，如图．
19．某商场今年1月份销售额为100万元,2月份销售额下降了10%, 该商场马上采取措施,改进经营管理,使月销售额大幅上升,4月份的销售额达到129.6万元,求3, 4月份平均每月销售额增长的百分率.
【答案】20%
【详解】本题主要考查了一元二次方程的应用. 设三、四月份平均每月销售额增长的百分率是x．由题意得二月份的销售额是100（1-10%），在此基础上连续两年增长，达到了129.6，列方程求解．
解：设三、四月份平均每月销售额增长的百分率是x．
100（1-10%）（1+x）2=129.6，
1+x=±
x==20%或x=-（负值舍去）．
20．如图，已知中，，把绕点沿顺时针方向旋转得到，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，当四边形是菱形时，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】解：（1）由旋转的性质得AE=AC，AD=AB，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，
又∵AB=AC
∴AE=AD=AB=AC
∴△AEC≌△ADB（SAS）；
（2）过点B作BM⊥EC于点M
∵∠BAC=30°AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=75°
∵当四边形ADFC是菱形时，AC∥DF
∴∠FBA=∠BAC=30°，AC=CF=AB=2
∵AB=AD
∴∠ADB=∠ABD=30°
∴∠ACE=∠ADB=30°
∴∠FCB=45°.
∵BM⊥EC
∴∠MBC=45°
∴BM=MC
∵∠ABC＝75°，∠ABD＝30°，∠FCB=45°
∴∠BFC＝180°-75°-45°-30°=30°
∴BF=2BM
设BM=CM=x，则BF=2x，FM=2-x
∵
∴
解得（舍去负值）
∴
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苏科版九年级上册数学同步练习卷
1.4 用一元二次方程解决问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ）.
A．； B．； C．； D．.
2．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一季度投放1万辆单车，计划第三季度投放单车的数量比第一季度多4400辆，设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率均为，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．由于新能源汽车的崛起和国家对新能源汽车销售公司减税政策的支持，原价23万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同费率后售价为16万元，求每次下调的百分率．设每次下调的百分率为x，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
4．为执行“两免一补”政策，某地区2014年投入教育经费2500万元，预计到2016年，三年共投入8275万元．设投入教育经费的年平均增长率为x，那么下列方程正确的是( )
A．2500x28275 B．2500(1+x%)28275
C．2500(1+x)28275 D．2500+2500(1+x)+2500(1+x)28275
5．某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展.某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．某公司2017年的营业额是万元，2019年的营业额为万元，设该公司年营业额的平均增长率为,根据题意可列方程为( )
A． B．
C． D．
7．一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了件小礼物，如果参加这次聚会的人数为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．2022年是中国共产主义青年团成立100周年，全国各地积极开展各类型专题展．据了解，某展览中心6月份的参观人数为100万人，8月份的参观人数增加到144万人．若参观人数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染（225人可以理解为三轮感染的总人数），若设1人平均感染x人，依题意可列方程（ ）
A．1+x+x（1+x）＝225 B．1+x2＝225
C．2（1+x）＝225 D．1+（1+x2）＝225
10．一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为，按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．某工厂生产一款零件的成本为500元，经过两年的技术创新，现在生产这款零件的成本为405元，求该款零件成本平均每年的下降率是多少？设该款零件成本平均每年的下降率为，可列方程为 ．
12．某钢铁厂今年1月份钢产量为4万吨，第一季度共生产钢万吨，问2、3月份平均每月的增长率是 ．
13．有一人患流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感，如果不及时控制（三轮传染速度相同），第三轮被传染的人数为 ．
14．参加足球联赛的每两个队都进行2场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？设参加比赛的有x个队，根据题意，可列方程为 ．
15．端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为 ．
16．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自年起逐月增加，据统计，该商城月份销售自行车辆，月份销售了辆．若该商城前、月份自行车销量的月平均增长率相同，求该商城、月份的月平均增长率 ．
三、解答题
17．A市计划对本市215万人接种新冠疫苗，在前期完成5万人接种后，又花了100天时间接种了剩下的210万人．在这100天中，该市的接种时间和接种人数的关系如图所示．
（1）前40天中，每天接种的人数为 人．
（2）这100天中，B市的接种人数y（万人）与接种天数x（天）的关系为，
①请通过计算判断，第40天接种完成后，B市的接种人数是否超过A市？
②直接写出第几天接种完成后，A，B两市接种人数恰好相同？
18．在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半，图a、图b分别是小明和小颖的设计方案．
（1）你认为小明的结果对吗？请说明理由．
（2）请你帮助小颖求出图中的x（精确到0．1m）．
（3）你还有其他的设计方案吗？请在下图中画出你的设计草图，并加以说明．
19．某商场今年1月份销售额为100万元,2月份销售额下降了10%, 该商场马上采取措施,改进经营管理,使月销售额大幅上升,4月份的销售额达到129.6万元,求3, 4月份平均每月销售额增长的百分率.
20．如图，已知中，，把绕点沿顺时针方向旋转得到，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，当四边形是菱形时，求的长．
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