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苏科版九年级上册数学同步练习卷
2.3 确定圆的条件
一、单选题
1．下面命题中，正确的是（ ）．
A．三点确定一个圆 B．垂直于弦的直线平分弦
C．经过四点不能作一个圆 D．三角形有一个且只有一个外接圆
【答案】D
【详解】A：经过不在同一直线上的三点确定一个圆，故A错误；
B：垂直于弦的直线不一定平分弦，故B错误；
C：经过四点可能能作一个圆，也可能不能作圆，故C错误；
D：三角形有一个且只有一个外接圆，故D正确；
2．如图，分别为的垂心、外心，，若外接圆的半径为2，则（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【详解】连接BO并延长交于点D，连接HC，CD，DA．
∵点O是的外心，
∴BD是的直径，
∴DC⊥BC，DA⊥AB，
又∵点H是的垂心，
∴AH⊥BC，CH⊥AB，
∴AH∥DC，CH∥DA，
∴四边形AHCD是平行四边形，
∴AH=DC，
∵，外接圆的半径为2，
∴∠BDC=∠BAC=45°，BD=4，
∴AH=DC=BD÷=4÷=．
3．下列事件为随机事件的是（ ）
A．经过任意三点画一个圆 B．直径是圆中最长的弦
C．任意画一个三角形，其内角和为 D．一个图形旋转后所得的图形与原图形全等
【答案】A
【详解】解：A、经过任意三点画一个圆，是随机事件，故此选项符合题意；
B、直径是圆中最长的弦，是必然事件，故此选项不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和为，是不可能事件，故此选项不符合题意；
D、一个图形旋转后所得的图形与原图形全等，是必然事件，故此选项不符合题意．
4．下列命题中正确的有（ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弦相等
C．任意三点可以确定一个圆 D．等弧所对的弦相等
【答案】D
【详解】解：A、等弧是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧，故原命题为假命题，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故原命题为假命题，不符合题意；
C、不在同一直线上的任意三点确定一个圆，故原命题为假命题，不符合题意；
D、等弧所对的弦相等，故原命题为真命题，符合题意；
5．如图，半圆O的半径长为5，点P为直径AB上的一个动点，已知CP⊥AB，交半圆O于点C，若D为半圆O上的一动点，且CD=4，M是CD的中点，则PM的值有（ ）
A．最小值5 B．最小值4 C．最大值5 D．最大值4
【答案】C
【详解】解：连接OM，OC，
∵点M是CD的中点，
∴OM⊥CD，
∵CP⊥AB，
∴∠CPO=∠OMC=90°，
∴点P，O，M，C四点共圆，OC是圆的直径，设圆心为I
∴当点M，P，I三点共线时即PM是圆的直径时，即PM=OC=5时，PM的值最大．
6．在△ABC中，O为外心，∠A=92°，则∠BOC的度数为（ ）
A．88° B．92° C．184° D．176°
【答案】D
【详解】解：如图，
∵点O为△ABC的外心，∠A=92°，
∴360°-∠BOC=2∠A=184°．
∴∠BOC的度数为：176°．
7．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【详解】解：如图所示：点O为外接圆圆心，则为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．
8．正三角形的高、外接圆半径、内切圆半径之比为( )
A．3：2：1 B．4：3：2 C．4：2：1 D．6：4：3
【答案】A
【详解】解：连接OB，AO，延长AO交BC于D，如图所示：
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴AD⊥BC，∠OBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∴OD＝OB，OD为△ABC内切圆半径，
∵OB＝OA，
∴OD＝OA，
∴OD＝AD，
∴正三角形的高、外接圆半径、内切圆半径之比＝AD：OB：OD═3：2：1；
9．如图，在矩形中，为边的中点，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点的对应点为，过点作交于点，连接交于点，现有下列结论∶；；．点为的外心．其中正确的个数为（ ）
A．个 B．个
C．个 D．个
【答案】B
【详解】解：为边的中点，
，
又，，
，
，，
又，
垂直平分，
，
，故①正确；
如图，延长至，使得，
由，，可得，
可设，，则，
由，，可得，
，
，
，
由，可得，
而，
，
，
即，
不成立，故②错误；
，，
易得△MCE∽△ECF，
∴EC:CM=CF:EC，
，
又，，
，故③正确；
，
是的外接圆的直径，
，
当时，，
不是的中点，
点不是的外心，故④错误．
综上所述，正确的结论有①③，
10．已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离OP＝3 cm，Q为l上一点，且PQ＝4.2 cm，则点Q( )
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．以上情况都有可能
【答案】C
【详解】由垂径定理知，点P是圆截得的弦的中点，如图，
OP⊥PA，OP=3cm，OA=5cm，
∴PA==4（cm），
∵4cm＜4.2cm，
所以点Q在圆外．
二、填空题
11．将6×4的正方形网格如图所示放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，若点C在第一象限内，且在正方形网格的格点上，若P是钝角△ABC的外心，则C的坐标为 ．
【答案】（1,2）或（4,3）
【详解】解：由图可知P到AB的距离为
在第一象限找到P的距离为的点组成等腰三角形如图所示：
由于是钝角三角形，故舍去（5,2）.
12．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD＝2，则BC＝ ．
【答案】4.
【详解】∵OD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵BO＝CO，
∴AB＝2OD＝2×2＝4，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠BOE＝∠COE＝90°，
∴，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝×90°＝45°，
∵EA⊥BD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AD＝AB＝4，
∴DC＝AD＝4，
∴AC＝8，
∴BC＝＝＝4．
13．已知⊙O的半径为5，△ABC内接于⊙O，AB＝5，则∠ACB的度数为 ．
【答案】45°或135°．
【详解】解：当点C在优弧AB时，如图，∵⊙O的半径为5，
∴BC＝10，∠BAC＝90°，
∵AB＝5，
∴AC＝ ＝5，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C＝45°，
当点C在劣弧AB时，
∠C′＝180°﹣45°＝135°，
综上所述，∠ACB的度数为45°或135°，
14．如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是的中点，连接，若，则 ．
【答案】4
【详解】解：如图所示，连接，
∵O是的外心，，
∴，
∴是中位线，
∴，
∵M、N分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
15．如图，正方形的边长为6，点E，F分别在线段，上，且，，若点M，N分别在线段，上运动，P为线段上的点，在运动过程中，始终保持，则线段的最小值为 ．
【答案】/
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∵和为直角三角形，
取的中点为O，
∴，
∴C、E、P、F四点共圆，
∵，
∵为定值，
∴当最小，且O、P、N三点共线时，最小，
过O作于H，延长交于P’，交于，而，
∴，
∵，而，
∴ ，
∴，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
16．如图，在△BDE中，∠BDE = 90°，BD = 3，点D的坐标是（5，0），∠BDO = 15°，将△BDE旋转得到△ABC的位置，点C在BD上，则过A、B、D三点圆的圆心坐标为 ．
【答案】（，）
【详解】作线段AB与BD的垂直平分线，它们的交点即为过A，B，D三点圆的圆心P，连结PD，PB，PE，过P作PF轴于F，
旋转得到的位置，点C在BD上，
在和中，
而PB=PD
为等腰直角三角形，
，
三、解答题
17．为了确定大货车能否通过公路隧道，道路交通学习小组展开了以下研究．
材料收集
材料1 材料2 材料3
如图1某一公路单向隧道由一弧形拱与矩形组成，经测量得， 如图2，为了确定弧形拱的圆心与半径，学习小组找到一根长的笔直杆子，调整杆子位置直至点在上，点在圆弧上，，． 如图3，某一集装箱大货车宽为，高为，停在隧道口．
问题解决
任务1 确定圆心位置：利用直尺与图规确定圆心的位置（保留作图痕迹）
任务2 确定弧形拱半径：求出弧形拱的半径
任务3 确定车辆通过可能：通过计算说明该货车能否通过隧道．
【答案】任务1：图形见解析；任务2：；任务3：大货车能通过该隧道，理由见解析
【详解】（1）
在弧形拱上任取一点M，连接，分别作的垂直平分线，两直线的交点即为圆心O．
（2）过点作交于点，交于点
令，则，，
∵，，
∴，
∵
∴
解得：
∴
（3）构造，且
过点作于点
∴，
∵
∴大货车能通过该隧道
18．如图，点A、B、C三个点不在一条直线上．
(1)那么经过A、B、C三个点可以画个圆吗？如果能，请在图中画出来（要求尺规作图，保留作图痕迹）；如果不能，说明理由．
(2)分别连接、、，若是等边三角形，边长为6，求外接圆的半径．
【答案】(1)能，见解析
(2)
【详解】（1）如图所示，圆O为所求圆．
（2）连接，，于点D，
∵是等边三角形，
∴弧等于圆周长的三分之一，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
19．已知△ABC，请按以下要求完成本题：
（1）请作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=40°，⊙O的直径AD交CB于E，则∠DEC = ．
【答案】（1）见解析；（2）60°
【详解】解：（1）如图所示：
（2）连接BD．
∵AD是直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠DBC=∠ABD-∠ABC=90°-70°=20°，
又∵∠D=∠ACB=40°，
∴∠DEC=∠D+∠DBC=40°+20°=60°．
20．如图，，，点D在AC边上，．
求证：≌；
若，求的度数；
若，当的外心在直线DE上时，，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】证明：，且，
，
，，
≌
≌，
，，
，
，
，
；
，
的外心是斜边AC的中点，
的外心在直线DE上，
点D是AC的中点，
，
又，
，
是等边三角形，
，
．
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2.3 确定圆的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下面命题中，正确的是（ ）．
A．三点确定一个圆 B．垂直于弦的直线平分弦
C．经过四点不能作一个圆 D．三角形有一个且只有一个外接圆
2．如图，分别为的垂心、外心，，若外接圆的半径为2，则（ ）
A． B． C．4 D．
3．下列事件为随机事件的是（ ）
A．经过任意三点画一个圆 B．直径是圆中最长的弦
C．任意画一个三角形，其内角和为 D．一个图形旋转后所得的图形与原图形全等
4．下列命题中正确的有（ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弦相等
C．任意三点可以确定一个圆 D．等弧所对的弦相等
5．如图，半圆O的半径长为5，点P为直径AB上的一个动点，已知CP⊥AB，交半圆O于点C，若D为半圆O上的一动点，且CD=4，M是CD的中点，则PM的值有（ ）
A．最小值5 B．最小值4 C．最大值5 D．最大值4
6．在△ABC中，O为外心，∠A=92°，则∠BOC的度数为（ ）
A．88° B．92° C．184° D．176°
7．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（ ）
A． B． C．2 D．
8．正三角形的高、外接圆半径、内切圆半径之比为( )
A．3：2：1 B．4：3：2 C．4：2：1 D．6：4：3
9．如图，在矩形中，为边的中点，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点的对应点为，过点作交于点，连接交于点，现有下列结论∶；；．点为的外心．其中正确的个数为（ ）
A．个 B．个
C．个 D．个
10．已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离OP＝3 cm，Q为l上一点，且PQ＝4.2 cm，则点Q( )
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．以上情况都有可能
二、填空题
11．将6×4的正方形网格如图所示放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，若点C在第一象限内，且在正方形网格的格点上，若P是钝角△ABC的外心，则C的坐标为 ．
12．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD＝2，则BC＝ ．
13．已知⊙O的半径为5，△ABC内接于⊙O，AB＝5，则∠ACB的度数为 ．
14．如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是的中点，连接，若，则 ．
15．如图，正方形的边长为6，点E，F分别在线段，上，且，，若点M，N分别在线段，上运动，P为线段上的点，在运动过程中，始终保持，则线段的最小值为 ．
16．如图，在△BDE中，∠BDE = 90°，BD = 3，点D的坐标是（5，0），∠BDO = 15°，将△BDE旋转得到△ABC的位置，点C在BD上，则过A、B、D三点圆的圆心坐标为 ．
三、解答题
17．为了确定大货车能否通过公路隧道，道路交通学习小组展开了以下研究．
材料收集
材料1 材料2 材料3
如图1某一公路单向隧道由一弧形拱与矩形组成，经测量得， 如图2，为了确定弧形拱的圆心与半径，学习小组找到一根长的笔直杆子，调整杆子位置直至点在上，点在圆弧上，，． 如图3，某一集装箱大货车宽为，高为，停在隧道口．
问题解决
任务1 确定圆心位置：利用直尺与图规确定圆心的位置（保留作图痕迹）
任务2 确定弧形拱半径：求出弧形拱的半径
任务3 确定车辆通过可能：通过计算说明该货车能否通过隧道．
18．如图，点A、B、C三个点不在一条直线上．
(1)那么经过A、B、C三个点可以画个圆吗？如果能，请在图中画出来（要求尺规作图，保留作图痕迹）；如果不能，说明理由．
(2)分别连接、、，若是等边三角形，边长为6，求外接圆的半径．
19．已知△ABC，请按以下要求完成本题：
（1）请作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=40°，⊙O的直径AD交CB于E，则∠DEC = ．
20．如图，，，点D在AC边上，．
求证：≌；
若，求的度数；
若，当的外心在直线DE上时，，求AE的长．
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