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苏科版九年级上册数学同步练习卷
2.5 直线与圆的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙0切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为 （ ）
A．2π B．4π C． D．4
2．有一道题目：“如图，是的直径，要使直线是的切线，需添加的条件是（写一个条件即可）．”下面是三位同学写的答案，则下列判断正确的是（ ）
甲：；乙：；丙：
A．只有甲同学的答案正确 B．只有乙同学的答案正确
C．只有甲、丙同学的答案正确 D．三位同学的答案都正确
3．已知和直线相交，圆心到直线的距离为，则的直径可能为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+ FB的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一圆环分别与夹角为的两墙面相切，圆环上图示位置固定一小球，并用细线将小球与两切点分别相连，两细线夹角为，则与之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，为的切线，切点为B，交于点C，连接，若，则等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
7．如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝55°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
8．如图，内接于是的直径，是的切线，点B为切点，与线段的延长线相交于点D，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．下列结论：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；④圆内接四边形对角互补；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑥直角三角形的内心在斜边的中点上．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（ ）
A．64° B．120° C．122° D．128°
二、填空题
11．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为4cm，则Rt△MBN的周长为 cm.
12．如图，是的两条切线，A、B是切点，若，，则的半径等于 ．
13．如图，是的内接三角形，过外一点作的两条切线和，点，为切点．点在上，点在上，点在上，且，．若，则 度．
14．若⊙O的半径是方程＝0的一个根，圆心O到直线l的距离为3，则直l与⊙O的位置关系是 ．
15．如图，已知⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，若∠A=50°，则∠EDF= ．
16．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，则的度数为 .
三、解答题
17．如图，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求BD的长；
（2）将△ADC绕D点顺时针方向旋转90°，请补充旋转后图形，并计算CD的长．
18．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
黄金三角形与五角星
当等腰三角形的顶角为36°（或108°）时，它的底与腰的比（或腰与底的比）为，我们把这样的三角形叫做黄金三角形．
按下面的步骤画一个五角星（如图）：
①作一个以AB为直径的圆，圆心为O；
②过圆心O作半径OC⊥AB；
③取OC的中点D，连接AD；
④以D为圆心OD为半径画弧交AD于点E；
⑤从点A开始以AE为半径顺时针依次画弧，
正好把⊙O十等分（其中点F，G，B，H，I为五等分点）；
⑥以点F，G，B，H，I为顶点画出五角星．
任务：
(1)求出的值为 ；
(2)如图，GH与BF，BI分别交于点M，N，求证：△BMN是黄金三角形．
19．如图，是的直径，点，在半圆上，，，垂足为．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求．
20．如图，为的直径，C为上一点，的切线交的延长线于点D．
(1)求证：；
(2)若，．求的长．
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苏科版九年级上册数学同步练习卷
2.5 直线与圆的位置关系
一、单选题
1．如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙0切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为 （ ）
A．2π B．4π C． D．4
【答案】C
【详解】当滚动到⊙O′与CA也相切时，切点为D，连接O′C，O′B，O′D，OO′，
∵O′D⊥AC，∴O′D=O′B．∵O′C平分∠ACB，∴∠O′CB=∠ACB=×60°=30°．
∵O′C=2O′B=2×2=4，∴BC=．故选C．
2．有一道题目：“如图，是的直径，要使直线是的切线，需添加的条件是（写一个条件即可）．”下面是三位同学写的答案，则下列判断正确的是（ ）
甲：；乙：；丙：
A．只有甲同学的答案正确 B．只有乙同学的答案正确
C．只有甲、丙同学的答案正确 D．三位同学的答案都正确
【答案】C
【详解】解：∵是的直径，，
∴直线是的切线，故甲同学的答案正确；
∵是的直径，
∴，
若，无法确定的度数，故乙同学的答案错误；
若，
∴，
即，
∴直线是的切线，故丙同学的答案正确；
3．已知和直线相交，圆心到直线的距离为，则的直径可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为，
和直线相交，
，
又 圆心到直线 的距离为 ，
，
直径大于 ．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+ FB的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4
∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4
∴△ABP是等边三角形
∴∠FBH＝30°
∴Rt△FHB中，FH＝FB
∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值
∵AE⊥CD于点G
∴∠AGC＝90°
∵O为AC中点
∴OA＝OC＝OG＝AC
∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动
∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值
∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，
sin∠P＝
∴OQ＝
∴GH最小值为
题关键是找到点G运动到什么位置时，GH最小，进而联想到找出点G运动路径再计算．
5．如图，一圆环分别与夹角为的两墙面相切，圆环上图示位置固定一小球，并用细线将小球与两切点分别相连，两细线夹角为，则与之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，
根据题意得，分别是的切线，点E，F分别是切点，
∴
∴
又
∴
∴
∵四边形EGFP是圆内接四边形
∴，即
又
∴，即
6．如图，为的切线，切点为B，交于点C，连接，若，则等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【详解】解：∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
7．如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝55°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【详解】解：连接IE、IF，如图，
∵内切圆I和边AC、AB分别相切于点E、F，
∴IE⊥AC，IF⊥AB，
∴∠AEI＝∠AFI＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠EIF，
∵∠EDF＝∠EIF，
∴∠EDF＝90°﹣∠A，
∵∠B＝55°，∠C＝75°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣55°﹣75°＝50°，
∴∠EDF＝90°﹣×50°＝65°．
8．如图，内接于是的直径，是的切线，点B为切点，与线段的延长线相交于点D，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵BD是圆的切线，
∴∠ABD=90°，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A+∠ABC=90°，∠A+∠D=90°，
∴∠D=∠ABC=65°，
9．下列结论：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；④圆内接四边形对角互补；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑥直角三角形的内心在斜边的中点上．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①当三点在一条直线上时，无法确定一个圆；故①结论错误；
②圆的大小不同，相等的圆心角所对的弧不相等；故②结论错误；
③经过半径的端点（不是圆心）并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故③结论错误；
④圆内接四边形对角互补；故④结论正确；
⑤三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离都相等；故⑤结论正确；
⑥直角三角形的外心在斜边的中点上；故⑥结论错误；
综上所述，正确的结论是④⑤，共2个，
10．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（ ）
A．64° B．120° C．122° D．128°
【答案】C
【详解】在⊙O中，
∵∠CBD=32°，
∴∠CAD=32°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC=64°，
∴∠EBC+∠ECB=(180°-64°)÷2=58°，
∴∠BEC=180°-58°=122°．
二、填空题
11．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为4cm，则Rt△MBN的周长为 cm.
【答案】8
【详解】解：连接OD、OE，
由切线性质可知OD⊥AB、OE⊥BC，再结合∠B=90°且OD=OE可知四边形ODBE为正方形，则BD=BE=OE=4cm.由切线长定理可知MD=MP，NP=NE，则：
Rt△MBN的周长=BM+MN+BN=BM+MD+BN+NE=BD+BE=4+4=8cm，
12．如图，是的两条切线，A、B是切点，若，，则的半径等于 ．
【答案】1
【详解】解：∵是的两条切线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
13．如图，是的内接三角形，过外一点作的两条切线和，点，为切点．点在上，点在上，点在上，且，．若，则 度．
【答案】
【详解】解：连接，，
∵，是的两条切线，
∴，，
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴
在和中，
∴（）
∴，
∴----，
14．若⊙O的半径是方程＝0的一个根，圆心O到直线l的距离为3，则直l与⊙O的位置关系是 ．
【答案】相交．
【详解】试题分析：∵（2x+1）（x﹣4）=0，∴2x+1=0或x﹣4=0，解得：（不合题意舍去），，∵⊙O的半径是方程（2x+1）（x﹣4）=0的一个根，∴该圆的半径是4，∵圆心O到直线l的距离为3，∴4＞3，∴直线l与圆相交．故答案为相交．
15．如图，已知⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，若∠A=50°，则∠EDF= ．
【答案】65°/65度
【详解】如图，连接OE、OF．
∵⊙O内切于△ABC，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
∴∠EOF=180°-∠A=130°，
由圆周角定理得，∠EDF=∠EOF=65°．
16．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，则的度数为 .
【答案】70°
【详解】解：连接OB：
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠BAC＝35°，OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA＝35°，
∴∠PAB＝∠PBA＝55°，
∴∠P＝180° ∠PAB ∠PBA＝70°，
即∠P的度数是70°，
故答案为：70°．
三、解答题
17．如图，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求BD的长；
（2）将△ADC绕D点顺时针方向旋转90°，请补充旋转后图形，并计算CD的长．
【答案】（1）；（2）4+.
【详解】解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠DCA=∠BCD，
∴
∴AD=BD，
∴在Rt△ABD中，AD=BD=AB=×6=3；
（2）延长CB到C′，使C′B=AC，连接C′D
在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，
∴BC=，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠CAD+∠DBC=180°，
∴△ADC绕D点顺时针方向旋转90°后，AD与BD重合，C点的对应点C′与B、C在同一直线上，且△C′DC为等腰直角三角形，
∵C′C=AC+BC=2+4，
∴在Rt△C′DC中，CD=C′D=C′C=4+．
18．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
黄金三角形与五角星
当等腰三角形的顶角为36°（或108°）时，它的底与腰的比（或腰与底的比）为，我们把这样的三角形叫做黄金三角形．
按下面的步骤画一个五角星（如图）：
①作一个以AB为直径的圆，圆心为O；
②过圆心O作半径OC⊥AB；
③取OC的中点D，连接AD；
④以D为圆心OD为半径画弧交AD于点E；
⑤从点A开始以AE为半径顺时针依次画弧，
正好把⊙O十等分（其中点F，G，B，H，I为五等分点）；
⑥以点F，G，B，H，I为顶点画出五角星．
任务：
(1)求出的值为 ；
(2)如图，GH与BF，BI分别交于点M，N，求证：△BMN是黄金三角形．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵点D为OC中点，
∴OD=OC=OA，
设OD=x，则OA=2x，
在中，由勾股定理可得
，
∴，
∴AD=x，
∴AE=AD-DE=x-x，
∴，
故答案为：；
（2）证明：连接OH，OI，
∵点F，G，B，H，I为五等分点，
∴∠HOI=360°=72°，
∴∠G=36°，
同理∠F=∠FBI=∠GHF=∠BIG=36°，
又∵∠BMN是△MHF的外角，
∴∠BMN=∠F+∠GHF=72°，
同理∠BNM=72°，
∴∠BMN=∠BNM，
∴BM=BN，
∵∠FBI=36°，
∴△BMN是黄金三角形.
19．如图，是的直径，点，在半圆上，，，垂足为．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，，，交于，
则．
又，
垂直平分，
．
是直径，
，
．
，
．
四边形是矩形
，即．
是的切线
（2）解：在中，，
由（）得垂直平分，
又，
，
，
．
在矩形中，，，
．
在中，，
．
20．如图，为的直径，C为上一点，的切线交的延长线于点D．
(1)求证：；
(2)若，．求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∴；
（2）解：在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴．
∴．
∴．
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