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苏科版九年级上册数学同步练习卷
2.7 弧长及扇形的面积
一、单选题
1．正方形的边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由图像可知：
4个阴影部分的面积等于四个半圆的面积减去正方形的面积，
，
，
2．如图，等边△ABC的边长是2，分别以它的三个顶点为圆心，以2为半径画弧，得到的封闭图形（阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝1，AD＝，
∴△ABC的面积为×BC×AD＝×2×＝，
S扇形BAC＝，
∴阴影部分的面积S＝3× 2×=，
3．如图，把直角△ABC的斜边AC放在定直线上，按顺时针的方向在直线上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置，设AB=，BC=1，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=1，所以AC=2，∠ACB=60°，所以∠ACA1=120°，所以点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线长=，故选B．
4．已知扇形的半径为6，圆心角为10°，则扇形的面积为（ ）
A． B． C．π D．2π
【答案】C
【详解】解：∵扇形的半径为6，圆心角为10°，
∴S=．
5．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（图1）．它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆．
下列说法中错误的是（ ）
A．勒洛三角形是轴对称图形
B．图1中，点A到弧BC上任意一点的距离都相等
C．图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心的距离都相等
D．图2中，等宽的勒洛三角形和圆，它们的周长相等
【答案】C
【详解】勒洛三角形有三条对称轴，就是等边三角形的各边中线所在的直线，故正确；
点A到上任意一点的距离都是DE，故正确;
勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心的距离不一定相等，到顶点的距离是到边的中点的距离的2倍，故错误；
勒洛三角形的周长=3× ,圆的周长= ,故说法正确.
故选C.
【点睛】主要考查了轴对称图形，弧长的求法以及对于新概念的理解．
6．已知边长为4的等边，，分别是、的中点，将绕点顺时针旋转，与交于．当时，点运动的路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，作△ABC的外接圆O，OM⊥BC于M交O于N，连接OB，PB，
∵△ABC和△EBF是等边三角形，
∴AB＝BC，BE＝BF，∠ABC＝∠BAC＝∠EBF＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△ABE和△CBF中， AB＝ BC，∠ABE＝∠CBF， BE＝ BF，
∴△ABE≌△CBF，
∴∠BAE＝∠BCP，
∴A、B、P、C四点共圆，
∴∠BPC＋∠BAC＝180°，
∴∠BPC＝120°，
∴点P的运动轨迹是，
∵等边三角形的边长为4，
∴OB＝，
∴的长为：，
7．如图，△ABC内接于⊙O，若，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∴阴影部分的面积．
8．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π
【答案】B
【详解】解：由题意可得，
阴影部分的面积是： π×22﹣﹣2（1×1﹣ π×12）＝π﹣2，
9．在半径为12的中，的圆心角所对的弧长等于
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用弧长公式解题即可.
【详解】,
10．如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ）
A．2017π B．2034π C．3024π D．3026π
【答案】D
【详解】解：∵AB=4，BC=3，
∴AC=BD=5．
转动一次A的路线长是： =2π，
转动第二次的路线长是： =π，
转动第三次的路线长是： =π，
转动第四次的路线长是：0，
以此类推，每四次循环．
故顶点A转动四次经过的路线长为：π+π+2π=6π．
∵2017÷4=504…1，
∴顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504+2π=3026π，
二、填空题
11．如图，扇形的半径为6，圆心角为，则它的弧长为 ，面积为 ．
【答案】
【详解】解：根据题意可得：
弧长，
扇形面积，
12．如图，半圆O中，直径AB＝30，弦CD∥AB，长为6π，则由与AC，AD围成的阴影部分面积为 ．
【答案】45
【详解】解：连接OC，OD，
∵直径AB=30，
∴OC=OD=，
∴CD∥AB，
∴S△ACD=S△OCD，
∵长为6π，
∴阴影部分的面积为S阴影=S扇形OCD=，
13．如图，等边的边长为1，以为圆心，为半径画弧，交的延长线于，再以为圆心，为半径画弧，交的延长线于，再以为圆心，为半径画强，交的延长线于，则由弧，弧，优弧及线段围成的图形（）的周长为 ．
【答案】
【详解】为等边三角形
∴优弧EF对应的角度
周长为
14．如图，在正方形中，分别以、为圆心，为半径面弧，分别交对角线于点、，连接、．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【详解】根据题意结合正方形的性质可知：，，．
如图作于点G．
∵正方形对角线，
∴．
根据作图可知为等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵，
．
∴，
∴．
15．如图，在边长为的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【详解】解：如图所示：
16．如图，为的直径，，点C为上一点，，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）
【答案】
【详解】解：过点O作于点D，
∵为的直径，，，
∴，，，
∴，，
∴图中阴影部分的面积为，
三、解答题
17．翻转类的计算问题在全国各地的中考试卷中出现的频率很大，因此初三（5）班聪慧的小菲同学结合2011年苏州市数学中考卷的倒数第二题对这类问题进行了专门的研究．你能和小菲一起解决下列各问题吗？（以下各问只要求写出必要的计算过程和简洁的文字说明即可．）
（1）如图①，小菲同学把一个边长为1的正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片向右翻转一周回到初始位置，求顶点O所经过的路程；并求顶点O所经过的路线；
图①
（2）小菲进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片向右翻转若干次．她提出了如下问题：
图②
问题①：若正方形纸片OABC接上述方法翻转一周回到初始位置，求顶点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是．
（3）①小菲又进行了进一步的拓展研究，若把这个正三角形的一边OA与这个正方形的一边OA重合（如图3），然后让这个正三角形在正方形上翻转，直到正三角形第一次回到初始位置（即OAB的相对位置和初始时一样），求顶点O所经过的总路程．
图③
②若把边长为1的正方形OABC放在边长为1的正五边形OABCD上翻转（如图④），直到正方形第一次回到初始位置，求顶点O所经过的总路程．
图④
（4）规律总结，边长相等的两个正多边形，其中一个在另一个上翻转，当翻转后第一次回到初始位置时，该正多边形翻转的次数一定是两正多边形边数的___________．
【答案】(1)；（2），81；（3），；（4）最小公倍数.
【详解】试题分析：（1）根据正三角形的性质及弧长公式求出点A绕点B、点C旋转的两段弧长相加即可．
(2)①根据正方形旋转一周的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可，
②再利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出 ，即可得出旋转次数．
(3)方法同（2）；
（4）边长相等的两个正多边形，其中一个在另一个上翻转，当翻转后第一次回到初始位置时，该正多边形翻转的次数一定是两正多边形边数的最小公倍数.
试题解析：（1）∵点A所经过的这两段弧所在圆的半径为1，所对圆心角均为120度
∴点A所经过的路线长为.
（2）①顶点O经过的总路线长为：
②由①：每翻转一周顶点O经过的总路线长为：
即翻转20周后再翻一次，共翻81次.
（3）①每翻三次翻一周，顶点O所经过的总路线长为：
共翻四周回到初始位置，所以顶点O所经过的总路线长为:.
②每翻四次翻一周，顶点O所经过的总路线长为:
共翻5周回到初始位置，所以顶点O所经过的总路线长为：
（4）最小公倍数
考点: 1.旋转的性质；2.等边三角形的性质；3.正方形的性质；4.弧长的计算；
18．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为， ，，将向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到．
(1)画出，并写出点的坐标；
(2)画出将绕点O按逆时针方向旋转后的图形；
(3)求在旋转过程中扫过的面积．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析
(3)在旋转过程中扫过的面积为
【详解】（1）解：如图1，即为所求；
由平移可知点的坐标为．
（2）解：如图1，即为所求；
（3）解：由题意知，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
由平移与旋转的性质可得，均为等腰直角三角形，，，
∵，
∴在旋转过程中扫过的面积为．
19．在一空旷场地上设计一个落地为长方形的小屋，边长边长，拴住小狗的绳子长，其中一端固定在点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，设小狗活动的区域面积为．（结果保留π）
(1)如图1，若，求此时S的值．
(2)如图2，现考虑在图1中的矩形小屋的右侧以为边拓展一个正三角形区域，使之变成一个落地为五边形的小屋，其他条件不变．在（1）的条件下，求此时S的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）拴住小狗的长的绳子一端固定在点处，小狗可以活动的区域如图所示：
由图可知，小狗活动的区域面积为以为圆心、10为半径的圆，以为圆心、6为半径的圆和以为圆心、4为半径的圆的面积和，
；
（2）如图2，
由图可知，小狗活动的区域面积为以为圆心、10为半径的圆，以为圆心、6为半径、圆心角为的扇形，以为圆心、4为半径的圆的面积和，
，则，
．
20．如图，在中，弦于点，弦于点，直线与直线相交于点．连接．
（1）如图，求证：；
（2）若，的半径为6，直接写出弧的长度．
（3）在图中，按题目要求画出图形，并直接回答（1）中的结论是否正确．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析，正确
【详解】解：（1）如图，连接AD，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴E是DM的中点，即；
（2）连接，，
由（1）得，
∴，
由弧长公式得 ；
（3）正确，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴E是DM的中点，即．
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2.7 弧长及扇形的面积
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．正方形的边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，等边△ABC的边长是2，分别以它的三个顶点为圆心，以2为半径画弧，得到的封闭图形（阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，把直角△ABC的斜边AC放在定直线上，按顺时针的方向在直线上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置，设AB=，BC=1，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线为（ ）
A． B． C． D．
4．已知扇形的半径为6，圆心角为10°，则扇形的面积为（ ）
A． B． C．π D．2π
5．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（图1）．它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆．
下列说法中错误的是（ ）
A．勒洛三角形是轴对称图形
B．图1中，点A到弧BC上任意一点的距离都相等
C．图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心的距离都相等
D．图2中，等宽的勒洛三角形和圆，它们的周长相等
6．已知边长为4的等边，，分别是、的中点，将绕点顺时针旋转，与交于．当时，点运动的路径长是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，△ABC内接于⊙O，若，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π
9．在半径为12的中，的圆心角所对的弧长等于
A． B． C． D．
10．如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ）
A．2017π B．2034π C．3024π D．3026π
二、填空题
11．如图，扇形的半径为6，圆心角为，则它的弧长为 ，面积为 ．
12．如图，半圆O中，直径AB＝30，弦CD∥AB，长为6π，则由与AC，AD围成的阴影部分面积为 ．
13．如图，等边的边长为1，以为圆心，为半径画弧，交的延长线于，再以为圆心，为半径画弧，交的延长线于，再以为圆心，为半径画强，交的延长线于，则由弧，弧，优弧及线段围成的图形（）的周长为 ．
14．如图，在正方形中，分别以、为圆心，为半径面弧，分别交对角线于点、，连接、．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
15．如图，在边长为的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是 ．
16．如图，为的直径，，点C为上一点，，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）
三、解答题
17．翻转类的计算问题在全国各地的中考试卷中出现的频率很大，因此初三（5）班聪慧的小菲同学结合2011年苏州市数学中考卷的倒数第二题对这类问题进行了专门的研究．你能和小菲一起解决下列各问题吗？（以下各问只要求写出必要的计算过程和简洁的文字说明即可．）
（1）如图①，小菲同学把一个边长为1的正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片向右翻转一周回到初始位置，求顶点O所经过的路程；并求顶点O所经过的路线；
图①
（2）小菲进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片向右翻转若干次．她提出了如下问题：
图②
问题①：若正方形纸片OABC接上述方法翻转一周回到初始位置，求顶点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是．
（3）①小菲又进行了进一步的拓展研究，若把这个正三角形的一边OA与这个正方形的一边OA重合（如图3），然后让这个正三角形在正方形上翻转，直到正三角形第一次回到初始位置（即OAB的相对位置和初始时一样），求顶点O所经过的总路程．
图③
②若把边长为1的正方形OABC放在边长为1的正五边形OABCD上翻转（如图④），直到正方形第一次回到初始位置，求顶点O所经过的总路程．
图④
（4）规律总结，边长相等的两个正多边形，其中一个在另一个上翻转，当翻转后第一次回到初始位置时，该正多边形翻转的次数一定是两正多边形边数的___________．
18．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为， ，，将向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到．
(1)画出，并写出点的坐标；
(2)画出将绕点O按逆时针方向旋转后的图形；
(3)求在旋转过程中扫过的面积．
19．在一空旷场地上设计一个落地为长方形的小屋，边长边长，拴住小狗的绳子长，其中一端固定在点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，设小狗活动的区域面积为．（结果保留π）
(1)如图1，若，求此时S的值．
(2)如图2，现考虑在图1中的矩形小屋的右侧以为边拓展一个正三角形区域，使之变成一个落地为五边形的小屋，其他条件不变．在（1）的条件下，求此时S的值．
20．如图，在中，弦于点，弦于点，直线与直线相交于点．连接．
（1）如图，求证：；
（2）若，的半径为6，直接写出弧的长度．
（3）在图中，按题目要求画出图形，并直接回答（1）中的结论是否正确．
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