1．（2024高二下·鹤山月考） 设等差数列的前项和为，且，则的值是（ ）
A．11 B．50 C．55 D．60
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由等差数列的性质，可得，
则.
故选：C
【分析】利用等差数列的性质可求出的值，利用等差数列的性质和等差数列的前项公式进行表示可得：，代入数据可求出答案.
2．（2024高二下·鹤山月考）已知为的导数，且，则（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：根据导数的定义，可得，
所以，.
故选：B.
【分析】利用已知条件结合导数的定义和函数的极限的关系，从而变形即可得出极限值.
3．（2024高二下·鹤山月考）已知的展开式中二项式系数和为128，则展开式中有理项的项数为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．5
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由题可知展开式中二项式系数的和为128，
所以，解得，所以二项式为，
则展开式的通项为，，1，2…，7，
所以，当，3，6时，为有理项，
所以展开式中有理项共3项.
故选：C.
【分析】先根据展开式中二项式系数的和的性质求出n的值，从而得出二项式，再结合二项式定理得出展开式中的通项，再根据有理项的定义得出展开式中有理项的项数.
4．（2024高二下·鹤山月考）甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A．20种 B．16种 C．12种 D．8种
【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由题意可知： 乙和丙在1、4位或在2、5位，且甲在乙和丙之间，
所以不同排法共有种.
故答案为：B.
【分析】根据题意可知乙和丙 在1、4位或在2、5位，且甲在乙和丙之间，结合排列数、组合数运算求解.
5．（2024高二下·鹤山月考）设数列满足，且，则（ ）
A．-2 B． C． D．3
【答案】A
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】解：因为，，
所以，，，，，
显然，数列的周期为4，而，因此.
故选：A.
【分析】利用已知条件结合递推公式得出数列前几项，再结合归纳推理的方法得出数列的第2023项的值.
6．（2024高二下·鹤山月考）设函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，
因为函数在上单调递减，
所以，导函数在小于等于零恒成立，
分离参数可得在恒成立，
设，
则，
令可得，所以在恒为增函数，
所以，，即，
所以，实数a的取值范围是.
故选：D.
【分析】利用已知条件结合函数的单调性，从而将问题转化为导函数在小于等于零恒成立，再利用分离参数的方法，从而构造函数，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
7．（2024高二下·鹤山月考）已知，则（ ）
A．722 B．729 C．-7 D．-729
【答案】A
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：设，
则，
所以，
又因为，所以，
所以.
故选：A.
【分析】利用已知条件结合求导的方法和赋值的方法，再由得出的值.
8．（2024高二下·鹤山月考）已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，，则，
所以，函数在单调递减，因为，所以，
当时，不等式化为，即，
即，所以，，
所以，不等式的解集为.
故选：C.
【分析】构造函数，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的值域，再结合函数的单调性，从而解不等式得出不等式的解集.
9．（2024高二下·鹤山月考）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（ ）
A．数列为递减数列 B．
C．的最大值为 D．
【答案】A,B,C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为，所以又因为则所以数列为递增数列，则A、B选项错误，
则且，则 的最小值为，故C选项错误，
又则D选项正确.
故答案为：A、B、C.
【分析】本题主要考查等差数列的基本性质，根据等差数列的性质可得：再结合已知条件可得：，所以数列为递增数列即可判定A、B选项，再根据可得的最小值为，可判定C选项，根据等差数列的求和公式即可判定D选项.
10．（2024高二下·鹤山月考）关于下列命题中，说法正确的是（ ）
A．已知，若，，则
B．数据91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的45%分位数为78
C．已知，若，则
D．某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人.
【答案】B,C,D
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】对于A，，，，解得：，A不符合题意；
对于B，将数据从小到大排序为64，72，75，76，78，79，85，86，91，92，
，分位数为第5个数，即78，B符合题意；
对于C，，，C符合题意；
对于D，抽样比为，高二应抽取人，则高三应抽取人，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】若则，求出p，可判断A；求n个从小到大排列的数据的第m百分位数，可判断B；由，可判断C；在分层抽样中按比例抽取，由高一学生抽取的人数求出抽取比例后，依次求出高二，高三年级抽取人数即可判断D.
11．（2024高二下·鹤山月考）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B．第二次抽到3号球的概率为
C．如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大
D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种
【答案】A,B,C
【知识点】排列、组合的实际应用；全概率公式；条件概率；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：记第一次抽到第号球的事件分别为
则有
对于A，在第一次抽到2号球的条件下，将2号球放入2号盒子内，
因此第二次抽到1号球的概率为故选项A正确；
对于B，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，
和为，即第二次抽到3号球的事件为，，故选项B正确；
对于C，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，
和为，
记第二次抽到3号球的事件为，，
第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号码相同，
即如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大，故选项C正确；
对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，
将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同方法，
由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，
故选项D错误；
故选：ABC.
【分析】利用已知条件结合条件概率公式求解，从而判断出选项A；利用已知条件结合全概率公式求解，从而判断出选项B；利用已知条件结合贝叶斯公式求解，从而判断出选项C；利用已知条件结合分组的方法和排列数、组合数公式，再由分步乘法计数原理得出不同的放法种数，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
12．（2024高二下·鹤山月考）已知数列满足，，则的通项公式是 .
【答案】
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为①，所以，
当时，②，
①-②可得，，
所以，，
当n=1时，
所以，数列的通项公式是.
故答案为：.
【分析】根据所已知条件结合递推关系和作差法、检验法，从而得出数列的通项公式.
13．（2024高二下·鹤山月考） 有位大学生要分配到三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这位学生中的甲同学分配在单位实习，则这位学生实习的不同分配方案有 种．（用数字作答）
【答案】
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：当单位只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种；
当单位不只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种，
则这位学生实习的不同分配方案有种不同分配方案.
故答案为：50.
【分析】根据特殊元素进行分类计数即可.
14．（2024高二下·鹤山月考）已知函数与函数存在一条过原点的公共切线，则 .
【答案】2
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设该公切线过函数、函数的切点分别为，，
因为，所以，该公切线的方程为，
同理可得，该公切线的方程也可以表示为，
因为该公切线过原点，所以，解得.
故填：2.
【分析】由导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法得出切点坐标，从而由点斜式得出公切线方程，再由公切线过原点，从而得出的值.
15．（2024高二下·鹤山月考） 在数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）解：因为数列满足，且，
当时，可得，
即，
当时，适合上式，
所以数列的通项公式为．
（2）解：
由于，且，
则，
即，
设，
则，
两式相减得：，
所以，
所以.
【知识点】数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由的递推公式用累加法即可求出的通项公式；
（2）求数列的前项和，用错位相减法和分组求和法即可得解.
16．（2024高二下·鹤山月考）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，为等边三角形，，，，，M为的中点．
（1）证明：⊥平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：设中点为O，连接，三角形为等边三角形，故，
由题意知，平面⊥平面，平面平面，
平面，故平面，平面，
故，又因为，平面，
故平面，平面，故，
又因为M为的中点，三角形为等边三角形，则，
平面，所以⊥平面；
（2）解：由（1）知平面，平面，故，
连接，，则，
即四边形为平行四边形，故，
故以O为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，
设平面的一个法向量为，则，
即，令，则，
设直线与平面所成角为，
则.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）设中点为O，再利用等边三角形三线合一证出线线垂直，再结合线线垂直、线面垂直和面面垂直三者的推导关系，从而证出⊥平面.
（2）利用（1）结合线面垂直的定义和平行四边形的性质证出线线垂直，从而建立空间直角坐标系，求出相关点坐标和向量坐标，再结合数量积为0两向量垂直的坐标表示，从而求出平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式以及诱导公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值．
17．（2024高二下·鹤山月考）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的方程.
【答案】（1）解：因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，
且直线的斜率为，
双曲线的渐近线为，则，可得，
所以双曲线的渐近线方程为，即，
因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以，
解得，所以，所以双曲线的标准方程为.
（2）解：若直线轴，则、关于轴对称，
此时，线段的中点在轴上，不合乎题意，
设、，设直线的斜率为，则，
则，所以，
化简得，因为线段的中点为，
所以，，所以，解得，
双曲线渐近线为，直线斜率大于渐近线斜率，
故过点的直线与双曲线有两个交点，
所以，直线的方程为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据已知条件结合双曲线的标准方程得出渐近线方程，再结合两直线垂直斜率之积等于-1的等价关系和点到直线的距离公式，从而建立方程组得出a，b的值，进而得出双曲线的标准方程.
(2)利用点与点关于直线对称的性质和已知条件，从而判断出直线l不垂直于x轴，再结合双曲线的标准方程和代入法以及点差法、中点坐标公式，从而对称直线的斜率，再结合比较法得出过点的直线与双曲线有两个交点，从而得出直线的方程.
18．（2024高二下·鹤山月考）某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表：
性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计
男生 7
女生 16 30
合计 21
注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．
（1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；
（2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望和方差；
（3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附：，
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）解：根据题意可得列联表如下：
性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计
男生 7 23 30
女生 14 16 30
合计 21 39 60
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算可得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．
（2）解：因为学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，
即可得，
故，．
（3）解：易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
所以Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布：
，
，
，
，
故所求随机变量Y的分布列为：
Y 0 1 2 3
P
可得.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题意完成列联表，再利用独立性检验的方法判断出性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．
（2）依题意可得随机变量X近似服从二项分布，再利用二项分布求数学期望和方差公式得出随机变量X的数学期望和方差.
（3）依题意可得随机变量Y的所有可能取值，再利用超几何分布公式求得对应的概率，进而得到随机变量Y的分布列，再由随机变量的分布列求数学期望公式得出随机变量Y的数学期望．
19．（2024高二下·鹤山月考）已知函数为其导函数．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若存在两个不同的正数，使得，证明：．
【答案】（1）解：因为函数所以，，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，
解得，即实数的取值范围为．
（2）证明：不妨设，则，要证，
即证，则证，则证，
所以只需证，即，
令，则，，
当时，，则，
所以，函数在上单调递减，
则，所以，
由（1）知在上单调递增，所以，
从而得出不等式成立．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）利用导数判断出函数的单调性，从而得出函数的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围.
（2）利用已知条件结合分析法，将不等式转化为证明，即证明，再构造函数，再结合（1）和求导的方法判断函数的单调性，从而证明不等式成立.
1 / 11．（2024高二下·鹤山月考） 设等差数列的前项和为，且，则的值是（ ）
A．11 B．50 C．55 D．60
2．（2024高二下·鹤山月考）已知为的导数，且，则（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
3．（2024高二下·鹤山月考）已知的展开式中二项式系数和为128，则展开式中有理项的项数为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．5
4．（2024高二下·鹤山月考）甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A．20种 B．16种 C．12种 D．8种
5．（2024高二下·鹤山月考）设数列满足，且，则（ ）
A．-2 B． C． D．3
6．（2024高二下·鹤山月考）设函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·鹤山月考）已知，则（ ）
A．722 B．729 C．-7 D．-729
8．（2024高二下·鹤山月考）已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·鹤山月考）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（ ）
A．数列为递减数列 B．
C．的最大值为 D．
10．（2024高二下·鹤山月考）关于下列命题中，说法正确的是（ ）
A．已知，若，，则
B．数据91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的45%分位数为78
C．已知，若，则
D．某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人.
11．（2024高二下·鹤山月考）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B．第二次抽到3号球的概率为
C．如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大
D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种
12．（2024高二下·鹤山月考）已知数列满足，，则的通项公式是 .
13．（2024高二下·鹤山月考） 有位大学生要分配到三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这位学生中的甲同学分配在单位实习，则这位学生实习的不同分配方案有 种．（用数字作答）
14．（2024高二下·鹤山月考）已知函数与函数存在一条过原点的公共切线，则 .
15．（2024高二下·鹤山月考） 在数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
16．（2024高二下·鹤山月考）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，为等边三角形，，，，，M为的中点．
（1）证明：⊥平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17．（2024高二下·鹤山月考）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的方程.
18．（2024高二下·鹤山月考）某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表：
性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计
男生 7
女生 16 30
合计 21
注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．
（1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；
（2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望和方差；
（3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附：，
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
19．（2024高二下·鹤山月考）已知函数为其导函数．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若存在两个不同的正数，使得，证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由等差数列的性质，可得，
则.
故选：C
【分析】利用等差数列的性质可求出的值，利用等差数列的性质和等差数列的前项公式进行表示可得：，代入数据可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：根据导数的定义，可得，
所以，.
故选：B.
【分析】利用已知条件结合导数的定义和函数的极限的关系，从而变形即可得出极限值.
3．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由题可知展开式中二项式系数的和为128，
所以，解得，所以二项式为，
则展开式的通项为，，1，2…，7，
所以，当，3，6时，为有理项，
所以展开式中有理项共3项.
故选：C.
【分析】先根据展开式中二项式系数的和的性质求出n的值，从而得出二项式，再结合二项式定理得出展开式中的通项，再根据有理项的定义得出展开式中有理项的项数.
4．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由题意可知： 乙和丙在1、4位或在2、5位，且甲在乙和丙之间，
所以不同排法共有种.
故答案为：B.
【分析】根据题意可知乙和丙 在1、4位或在2、5位，且甲在乙和丙之间，结合排列数、组合数运算求解.
5．【答案】A
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】解：因为，，
所以，，，，，
显然，数列的周期为4，而，因此.
故选：A.
【分析】利用已知条件结合递推公式得出数列前几项，再结合归纳推理的方法得出数列的第2023项的值.
6．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，
因为函数在上单调递减，
所以，导函数在小于等于零恒成立，
分离参数可得在恒成立，
设，
则，
令可得，所以在恒为增函数，
所以，，即，
所以，实数a的取值范围是.
故选：D.
【分析】利用已知条件结合函数的单调性，从而将问题转化为导函数在小于等于零恒成立，再利用分离参数的方法，从而构造函数，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
7．【答案】A
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：设，
则，
所以，
又因为，所以，
所以.
故选：A.
【分析】利用已知条件结合求导的方法和赋值的方法，再由得出的值.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，，则，
所以，函数在单调递减，因为，所以，
当时，不等式化为，即，
即，所以，，
所以，不等式的解集为.
故选：C.
【分析】构造函数，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的值域，再结合函数的单调性，从而解不等式得出不等式的解集.
9．【答案】A,B,C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为，所以又因为则所以数列为递增数列，则A、B选项错误，
则且，则 的最小值为，故C选项错误，
又则D选项正确.
故答案为：A、B、C.
【分析】本题主要考查等差数列的基本性质，根据等差数列的性质可得：再结合已知条件可得：，所以数列为递增数列即可判定A、B选项，再根据可得的最小值为，可判定C选项，根据等差数列的求和公式即可判定D选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】对于A，，，，解得：，A不符合题意；
对于B，将数据从小到大排序为64，72，75，76，78，79，85，86，91，92，
，分位数为第5个数，即78，B符合题意；
对于C，，，C符合题意；
对于D，抽样比为，高二应抽取人，则高三应抽取人，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】若则，求出p，可判断A；求n个从小到大排列的数据的第m百分位数，可判断B；由，可判断C；在分层抽样中按比例抽取，由高一学生抽取的人数求出抽取比例后，依次求出高二，高三年级抽取人数即可判断D.
11．【答案】A,B,C
【知识点】排列、组合的实际应用；全概率公式；条件概率；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：记第一次抽到第号球的事件分别为
则有
对于A，在第一次抽到2号球的条件下，将2号球放入2号盒子内，
因此第二次抽到1号球的概率为故选项A正确；
对于B，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，
和为，即第二次抽到3号球的事件为，，故选项B正确；
对于C，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，
和为，
记第二次抽到3号球的事件为，，
第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号码相同，
即如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大，故选项C正确；
对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，
将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同方法，
由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，
故选项D错误；
故选：ABC.
【分析】利用已知条件结合条件概率公式求解，从而判断出选项A；利用已知条件结合全概率公式求解，从而判断出选项B；利用已知条件结合贝叶斯公式求解，从而判断出选项C；利用已知条件结合分组的方法和排列数、组合数公式，再由分步乘法计数原理得出不同的放法种数，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为①，所以，
当时，②，
①-②可得，，
所以，，
当n=1时，
所以，数列的通项公式是.
故答案为：.
【分析】根据所已知条件结合递推关系和作差法、检验法，从而得出数列的通项公式.
13．【答案】
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：当单位只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种；
当单位不只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种，
则这位学生实习的不同分配方案有种不同分配方案.
故答案为：50.
【分析】根据特殊元素进行分类计数即可.
14．【答案】2
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设该公切线过函数、函数的切点分别为，，
因为，所以，该公切线的方程为，
同理可得，该公切线的方程也可以表示为，
因为该公切线过原点，所以，解得.
故填：2.
【分析】由导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法得出切点坐标，从而由点斜式得出公切线方程，再由公切线过原点，从而得出的值.
15．【答案】（1）解：因为数列满足，且，
当时，可得，
即，
当时，适合上式，
所以数列的通项公式为．
（2）解：
由于，且，
则，
即，
设，
则，
两式相减得：，
所以，
所以.
【知识点】数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由的递推公式用累加法即可求出的通项公式；
（2）求数列的前项和，用错位相减法和分组求和法即可得解.
16．【答案】（1）证明：设中点为O，连接，三角形为等边三角形，故，
由题意知，平面⊥平面，平面平面，
平面，故平面，平面，
故，又因为，平面，
故平面，平面，故，
又因为M为的中点，三角形为等边三角形，则，
平面，所以⊥平面；
（2）解：由（1）知平面，平面，故，
连接，，则，
即四边形为平行四边形，故，
故以O为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，
设平面的一个法向量为，则，
即，令，则，
设直线与平面所成角为，
则.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）设中点为O，再利用等边三角形三线合一证出线线垂直，再结合线线垂直、线面垂直和面面垂直三者的推导关系，从而证出⊥平面.
（2）利用（1）结合线面垂直的定义和平行四边形的性质证出线线垂直，从而建立空间直角坐标系，求出相关点坐标和向量坐标，再结合数量积为0两向量垂直的坐标表示，从而求出平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式以及诱导公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值．
17．【答案】（1）解：因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，
且直线的斜率为，
双曲线的渐近线为，则，可得，
所以双曲线的渐近线方程为，即，
因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以，
解得，所以，所以双曲线的标准方程为.
（2）解：若直线轴，则、关于轴对称，
此时，线段的中点在轴上，不合乎题意，
设、，设直线的斜率为，则，
则，所以，
化简得，因为线段的中点为，
所以，，所以，解得，
双曲线渐近线为，直线斜率大于渐近线斜率，
故过点的直线与双曲线有两个交点，
所以，直线的方程为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据已知条件结合双曲线的标准方程得出渐近线方程，再结合两直线垂直斜率之积等于-1的等价关系和点到直线的距离公式，从而建立方程组得出a，b的值，进而得出双曲线的标准方程.
(2)利用点与点关于直线对称的性质和已知条件，从而判断出直线l不垂直于x轴，再结合双曲线的标准方程和代入法以及点差法、中点坐标公式，从而对称直线的斜率，再结合比较法得出过点的直线与双曲线有两个交点，从而得出直线的方程.
18．【答案】（1）解：根据题意可得列联表如下：
性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计
男生 7 23 30
女生 14 16 30
合计 21 39 60
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算可得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．
（2）解：因为学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，
即可得，
故，．
（3）解：易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
所以Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布：
，
，
，
，
故所求随机变量Y的分布列为：
Y 0 1 2 3
P
可得.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题意完成列联表，再利用独立性检验的方法判断出性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．
（2）依题意可得随机变量X近似服从二项分布，再利用二项分布求数学期望和方差公式得出随机变量X的数学期望和方差.
（3）依题意可得随机变量Y的所有可能取值，再利用超几何分布公式求得对应的概率，进而得到随机变量Y的分布列，再由随机变量的分布列求数学期望公式得出随机变量Y的数学期望．
19．【答案】（1）解：因为函数所以，，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，
解得，即实数的取值范围为．
（2）证明：不妨设，则，要证，
即证，则证，则证，
所以只需证，即，
令，则，，
当时，，则，
所以，函数在上单调递减，
则，所以，
由（1）知在上单调递增，所以，
从而得出不等式成立．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）利用导数判断出函数的单调性，从而得出函数的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围.
（2）利用已知条件结合分析法，将不等式转化为证明，即证明，再构造函数，再结合（1）和求导的方法判断函数的单调性，从而证明不等式成立.
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