1．（2024高二下·南通期末）已知随机变量，且，则（ ）
A．0.02 B．0.03 C．0.07 D．0.08
2．（2024高二下·南通期末）已知一个圆锥底面半径为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·南通期末）已知函数，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
4．（2024高二下·南通期末）电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为（ ）
A．24 B．36 C．72 D．144
5．（2024高二下·南通期末）函数，的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·南通期末）在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二下·南通期末）已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·南通期末）甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·南通期末）若，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·南通期末）在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
11．（2024高二下·南通期末）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．曲线恒过定点
B．若，则的极小值为0
C．若，则
D．若，则的最大值大于
12．（2024高二下·南通期末）某小吃店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据：
0 1 2
百元 5 4 2 2 1
由表中数据可得回归方程中．试预测当天平均气温为时，小吃店的日盈利约为 百元．
13．（2024高二下·南通期末）设随机变量，且，则 ；若，则的方差为 ．
14．（2024高二下·南通期末）已知六棱锥的底面是边长为1正六边形，且顶点均在同一球面上，若该棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为 ．
15．（2024高二下·南通期末）如图，在直三棱柱中，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与所成角的余弦值．
16．（2024高二下·南通期末）为调查喜欢山地自行车项目是否和性别有关，某自行车店随机发放了30份问卷，并全部收回，经统计，得到如下列联表：
男性 女性
喜欢 12 4
不喜欢 6 8
（1）能否有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关
（2）在上述喜欢山地自行车项目的受访者中随机抽取3人，记其中男性的人数为，求的分布列．
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
17．（2024高二下·南通期末）已知函数，，，
（1）设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求；
（2）设函数，讨论的单调性．
18．（2024高二下·南通期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与，不重合，平面交棱于点．
（1）求证：；
（2）若为棱的中点，求二面角的正弦值；
（3）记点，到平面的距离分别为，，求的最小值．
19．（2024高二下·南通期末）箱子中有大小和质地相同的红球、白球和黑球共个，其中红球的个数为，现从箱子中不放回地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为1，2，3，……，，直到箱子中的球被摸完为止．
（1）求2号球为红球的概率（用与表示）；
（2）若，，记随机变量为最后一个红球被摸出时的编号，求；
（3）若箱子中白球、黑球的个数分别为，，求红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）的概率．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量，且，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据正态分布的性质求解即可.
2．【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设圆锥母线长为，扇形半径为R，则，，解得.
故答案为：D.
【分析】根据弧长等于圆锥底面周长，扇形半径为母线长，联立方程，求解即可．
3．【答案】C
【知识点】导数的概念；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由导数的定义可得，
函数定义域为，，则，即.
故答案为：C.
【分析】根据导数的定义结合基本初等函数的求导公式求解即可.
4．【答案】D
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：某电视剧和某专题报道必须在上午播出，上午播出3个节目，则电视剧和某专题报道有种排法，其他4个节目有种排法，则不同播出方案的种数为.
故答案为：D.
【分析】先安排上午的某电视剧和某专题报道，再结合全排列计算即可.
5．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
令，即，解得，则函数单调增区间为.
故答案为：A.
【分析】先求导函数，再令导函数大于等于0，求单调增区间即可.
6．【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
因为是线段的中点，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】连接，，利用空间向量的基本定理求解即可.
7．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，，假设，因为，
所以，即，
构造函数，易知单调递增，则恒成立，
即，解得.
故答案为：B.
【分析】先化简不等式求得函数单调性，再将问题转化为导数恒为正，即判别式求解m的最值即可.
8．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：A、甲箱中有2个红球和2个黑球，则，，，故A错误；
B、乙箱中有1个红球和3个黑球，则，，，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由题意，先求，，即可判断A；由条件概率公式和全概率公式求解即可判断BCD.
9．【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：A、令，则，即，故A正确；
B、的展开式中含的系数为，故B错误；
C、令，可得，
令，可得，
两式相加可得，故C正确；
D、是的各项系数和，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用赋值法即可判断ACD；根据二项式展开式即可判断B.
10．【答案】B,D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、 若，，则或者，故A错误；
B、，所在的方向取，的法向量，法向量垂直可推出面面垂直，故B正确；
C、 若，，，则或者相交，故C错误；
D、过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，
因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，
同理可得，则，因为平面，平面，则平面，
因为平面，，则，又因为，则，故D正确．
故答案为：BD.
【分析】根据线面平行垂直的性质和判定逐个分析即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、令，可得，则曲线恒过，故A正确；
B、当时，，则，
令，解得，当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减，则的极大值为，故B错误；
C、，当，则，即在上单调递增，
又，即，则，故C正确；
D、当时，由，解得：，
当时，，则在上单调递增，当，，
则在上单调递减，
所以，
令，则，
所以当时，，则在上单调递增，
所以，即的最大值大于，
而，故，即，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求出即可判断A；结合导数求出的极值即可判断B；利用导数求出的单调性，结合单调性比较和的大小即可判断C；结合导数求出的最大值为，令，利用导数的最值即可判断D.
12．【答案】6
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：易得，，
当时，，因为回归方程过样本点中心，所以将代入回归方程，
解得，则，令，则，即小吃店的日盈利约为6百元.
故答案为：6.
【分析】先求样本数据的平均值，即样本点中心，由回归方程过样本点中心，代入得到值，再令求解即可.
13．【答案】；
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：随机变量，则，解得，即，
则，因为，所以.
故答案为：；．
【分析】根据二项分布的概率公式求解即可；根据二项分布的方差性质求解即可.
14．【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：易知当六棱锥为正六棱锥时，体积最大，
因为底面正六边形的边长为，所以底面积，
且所以底面外接圆的半径为，设六棱锥的高为，则，
即，解得．
设外接球的半径为，则，解得，
则球的表面积为．
故答案为：．
【分析】易知当六棱锥为正六棱锥时，体积最大，根据题意即可求出棱锥的高，从而可得外接球的半径，代入球的表面积公式求解即可．
15．【答案】（1）证明：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，则，
则，
所以，
所以，
所以，即，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：由（1）知，，所以，
记直线与所成角为，则，
故直线与所成角的余弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可；
（2）由（1）的空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
16．【答案】（1）解：，
则没有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关；
（2）解：由题意，可得男性的人数可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
则的分布列为：
0 1 2 3
【知识点】独立性检验；离散型随机变量及其分布列；超几何分布
【解析】【分析】（1）根据独立性检验计算判断即可；（2）根据题意求出离散型随机变量可能取值以及对应的概率，列出分布列.
17．【答案】（1）解：函数定义域为，，则，，
即曲线在处的切线为，
联立，消元整理得，
因为与相切，所以，解得；
（2）解：函数的定义域为，
，
因为，令，得或，
当时，，则当和时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减增，
当时，，则当和时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减增，
当时，，当时取等号，函数在上单调递增，
综上所述，时，的单调增区间为，，单调减区间为，
时，的单调增区间为，没有单调递减区间，
时，的单调增区间为，，单调减区间为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出曲线在处的切线为，与联立方程组，由求解a的值即可；
（2）先求的定义域，再求其导函数，对进行分类讨论，求解即可.
18．【答案】（1）证明：因为，平面，平面，所以平面.
又因为平面，平面平面，
则；
（2）如图：
取中点，连接.
因为平面，平面，所以.
在四边形中，，且，
所以四边形为矩形.所以平面.
又在和中，，，.
所以（）.
所以，.
故，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系.
当为中点时，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，取，
设平面的法向量为，
则，取，
所以，
则二面角的正弦值为：；
（3）解：设，（） ，则，，，
设平面的法向量为，
则，取.
则到平面的距离为：，
到平面的距离为：，
所以
设，则，
，当且仅当，即时等号成立，
则.
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先证平面，再根据线面平行的性质定理证明即可；
（2）先证，，两两垂直，再以为原点，建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用空间向量法求二面角的三角函数值即可；
（3）设，求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量求法表示出，再结合不等式求其最小值即可.
19．【答案】（1）解：设事件：第号球为红球，
则；
（2）解：根据题意，随机变量的取值为，
从袋中个红球和个其他颜色球中，将红球全部摸出，共有种情况；
则，，，，
，，，
则的分布列为：
；
（3）解：根据题目本题主要关注的问题是最后一球是什么颜色的球.问题1：如果最后一球为红球，即红球摸完时，白球、黑求已经全部摸完，概率为，
同理可得，最后一球为白球的概率为，
最后一球为黑球的的概率为，
将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，，，
按照比例转化为，红球1个、白球1个、黑球2个进行考查，
问题2：发现最后一球是红的概率为，最后一球是白球的概率为，
最后一球是黑的概率为，所以问题1与问题2等价.
不妨令红球为a，白球为b，黑球为c，d，则全排列作为概率公式分母，即.
记“红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）”为事件A，
现在对事件A进行分析：
第一类：a在首位时，b，c，d全排列，有种可能；
第二类：a在第二位时，b必须在第三或第四位，c，d全排列，有种可能，则共种可能，
故.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；超几何分布；排列及排列数公式；全概率公式
【解析】【分析】（1）设事件：第号球为红球，利用全概率公式求即可；
（2）根据题意，先得出的可能取值为：，结合题意，求出对应的概率，进而可得出分布列，再由期望的计算公式求解即可；
（3）将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，，，按照比例转化为，红球1个、白球1个、黑球2个进行考察再进行全排列，利用概率公式求解即可.
1 / 11．（2024高二下·南通期末）已知随机变量，且，则（ ）
A．0.02 B．0.03 C．0.07 D．0.08
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量，且，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据正态分布的性质求解即可.
2．（2024高二下·南通期末）已知一个圆锥底面半径为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设圆锥母线长为，扇形半径为R，则，，解得.
故答案为：D.
【分析】根据弧长等于圆锥底面周长，扇形半径为母线长，联立方程，求解即可．
3．（2024高二下·南通期末）已知函数，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】导数的概念；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由导数的定义可得，
函数定义域为，，则，即.
故答案为：C.
【分析】根据导数的定义结合基本初等函数的求导公式求解即可.
4．（2024高二下·南通期末）电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为（ ）
A．24 B．36 C．72 D．144
【答案】D
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：某电视剧和某专题报道必须在上午播出，上午播出3个节目，则电视剧和某专题报道有种排法，其他4个节目有种排法，则不同播出方案的种数为.
故答案为：D.
【分析】先安排上午的某电视剧和某专题报道，再结合全排列计算即可.
5．（2024高二下·南通期末）函数，的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
令，即，解得，则函数单调增区间为.
故答案为：A.
【分析】先求导函数，再令导函数大于等于0，求单调增区间即可.
6．（2024高二下·南通期末）在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
因为是线段的中点，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】连接，，利用空间向量的基本定理求解即可.
7．（2024高二下·南通期末）已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，，假设，因为，
所以，即，
构造函数，易知单调递增，则恒成立，
即，解得.
故答案为：B.
【分析】先化简不等式求得函数单调性，再将问题转化为导数恒为正，即判别式求解m的最值即可.
8．（2024高二下·南通期末）甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：A、甲箱中有2个红球和2个黑球，则，，，故A错误；
B、乙箱中有1个红球和3个黑球，则，，，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由题意，先求，，即可判断A；由条件概率公式和全概率公式求解即可判断BCD.
9．（2024高二下·南通期末）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：A、令，则，即，故A正确；
B、的展开式中含的系数为，故B错误；
C、令，可得，
令，可得，
两式相加可得，故C正确；
D、是的各项系数和，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用赋值法即可判断ACD；根据二项式展开式即可判断B.
10．（2024高二下·南通期末）在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】B,D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、 若，，则或者，故A错误；
B、，所在的方向取，的法向量，法向量垂直可推出面面垂直，故B正确；
C、 若，，，则或者相交，故C错误；
D、过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，
因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，
同理可得，则，因为平面，平面，则平面，
因为平面，，则，又因为，则，故D正确．
故答案为：BD.
【分析】根据线面平行垂直的性质和判定逐个分析即可.
11．（2024高二下·南通期末）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．曲线恒过定点
B．若，则的极小值为0
C．若，则
D．若，则的最大值大于
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、令，可得，则曲线恒过，故A正确；
B、当时，，则，
令，解得，当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减，则的极大值为，故B错误；
C、，当，则，即在上单调递增，
又，即，则，故C正确；
D、当时，由，解得：，
当时，，则在上单调递增，当，，
则在上单调递减，
所以，
令，则，
所以当时，，则在上单调递增，
所以，即的最大值大于，
而，故，即，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求出即可判断A；结合导数求出的极值即可判断B；利用导数求出的单调性，结合单调性比较和的大小即可判断C；结合导数求出的最大值为，令，利用导数的最值即可判断D.
12．（2024高二下·南通期末）某小吃店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据：
0 1 2
百元 5 4 2 2 1
由表中数据可得回归方程中．试预测当天平均气温为时，小吃店的日盈利约为 百元．
【答案】6
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：易得，，
当时，，因为回归方程过样本点中心，所以将代入回归方程，
解得，则，令，则，即小吃店的日盈利约为6百元.
故答案为：6.
【分析】先求样本数据的平均值，即样本点中心，由回归方程过样本点中心，代入得到值，再令求解即可.
13．（2024高二下·南通期末）设随机变量，且，则 ；若，则的方差为 ．
【答案】；
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：随机变量，则，解得，即，
则，因为，所以.
故答案为：；．
【分析】根据二项分布的概率公式求解即可；根据二项分布的方差性质求解即可.
14．（2024高二下·南通期末）已知六棱锥的底面是边长为1正六边形，且顶点均在同一球面上，若该棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为 ．
【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：易知当六棱锥为正六棱锥时，体积最大，
因为底面正六边形的边长为，所以底面积，
且所以底面外接圆的半径为，设六棱锥的高为，则，
即，解得．
设外接球的半径为，则，解得，
则球的表面积为．
故答案为：．
【分析】易知当六棱锥为正六棱锥时，体积最大，根据题意即可求出棱锥的高，从而可得外接球的半径，代入球的表面积公式求解即可．
15．（2024高二下·南通期末）如图，在直三棱柱中，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，则，
则，
所以，
所以，
所以，即，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：由（1）知，，所以，
记直线与所成角为，则，
故直线与所成角的余弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可；
（2）由（1）的空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
16．（2024高二下·南通期末）为调查喜欢山地自行车项目是否和性别有关，某自行车店随机发放了30份问卷，并全部收回，经统计，得到如下列联表：
男性 女性
喜欢 12 4
不喜欢 6 8
（1）能否有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关
（2）在上述喜欢山地自行车项目的受访者中随机抽取3人，记其中男性的人数为，求的分布列．
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：，
则没有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关；
（2）解：由题意，可得男性的人数可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
则的分布列为：
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【知识点】独立性检验；离散型随机变量及其分布列；超几何分布
【解析】【分析】（1）根据独立性检验计算判断即可；（2）根据题意求出离散型随机变量可能取值以及对应的概率，列出分布列.
17．（2024高二下·南通期末）已知函数，，，
（1）设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求；
（2）设函数，讨论的单调性．
【答案】（1）解：函数定义域为，，则，，
即曲线在处的切线为，
联立，消元整理得，
因为与相切，所以，解得；
（2）解：函数的定义域为，
，
因为，令，得或，
当时，，则当和时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减增，
当时，，则当和时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减增，
当时，，当时取等号，函数在上单调递增，
综上所述，时，的单调增区间为，，单调减区间为，
时，的单调增区间为，没有单调递减区间，
时，的单调增区间为，，单调减区间为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出曲线在处的切线为，与联立方程组，由求解a的值即可；
（2）先求的定义域，再求其导函数，对进行分类讨论，求解即可.
18．（2024高二下·南通期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与，不重合，平面交棱于点．
（1）求证：；
（2）若为棱的中点，求二面角的正弦值；
（3）记点，到平面的距离分别为，，求的最小值．
【答案】（1）证明：因为，平面，平面，所以平面.
又因为平面，平面平面，
则；
（2）如图：
取中点，连接.
因为平面，平面，所以.
在四边形中，，且，
所以四边形为矩形.所以平面.
又在和中，，，.
所以（）.
所以，.
故，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系.
当为中点时，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，取，
设平面的法向量为，
则，取，
所以，
则二面角的正弦值为：；
（3）解：设，（） ，则，，，
设平面的法向量为，
则，取.
则到平面的距离为：，
到平面的距离为：，
所以
设，则，
，当且仅当，即时等号成立，
则.
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先证平面，再根据线面平行的性质定理证明即可；
（2）先证，，两两垂直，再以为原点，建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用空间向量法求二面角的三角函数值即可；
（3）设，求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量求法表示出，再结合不等式求其最小值即可.
19．（2024高二下·南通期末）箱子中有大小和质地相同的红球、白球和黑球共个，其中红球的个数为，现从箱子中不放回地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为1，2，3，……，，直到箱子中的球被摸完为止．
（1）求2号球为红球的概率（用与表示）；
（2）若，，记随机变量为最后一个红球被摸出时的编号，求；
（3）若箱子中白球、黑球的个数分别为，，求红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）的概率．
【答案】（1）解：设事件：第号球为红球，
则；
（2）解：根据题意，随机变量的取值为，
从袋中个红球和个其他颜色球中，将红球全部摸出，共有种情况；
则，，，，
，，，
则的分布列为：
；
（3）解：根据题目本题主要关注的问题是最后一球是什么颜色的球.问题1：如果最后一球为红球，即红球摸完时，白球、黑求已经全部摸完，概率为，
同理可得，最后一球为白球的概率为，
最后一球为黑球的的概率为，
将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，，，
按照比例转化为，红球1个、白球1个、黑球2个进行考查，
问题2：发现最后一球是红的概率为，最后一球是白球的概率为，
最后一球是黑的概率为，所以问题1与问题2等价.
不妨令红球为a，白球为b，黑球为c，d，则全排列作为概率公式分母，即.
记“红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）”为事件A，
现在对事件A进行分析：
第一类：a在首位时，b，c，d全排列，有种可能；
第二类：a在第二位时，b必须在第三或第四位，c，d全排列，有种可能，则共种可能，
故.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；超几何分布；排列及排列数公式；全概率公式
【解析】【分析】（1）设事件：第号球为红球，利用全概率公式求即可；
（2）根据题意，先得出的可能取值为：，结合题意，求出对应的概率，进而可得出分布列，再由期望的计算公式求解即可；
（3）将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，，，按照比例转化为，红球1个、白球1个、黑球2个进行考察再进行全排列，利用概率公式求解即可.
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