浙江省北斗星盟2023-2024学年高三下学期适应性联考数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高三下·浙江模拟）已知集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由，即，解得，则集合，
由，解得，则集合，
所以，则.
故答案为：D.
【分析】先解对数不等式求出集合，再解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算即可.
2．（2024高三下·浙江模拟）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由，可得，
即，，则复数在复平面内对应的点为，位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】根据复数的除法运算化简求得复数，再求共轭复数，结合复数的几何意义判断即可.
3．（2024高三下·浙江模拟）已知向量，，若与垂直，则等于（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：易得，因为与垂直，所以，
解得，则.
故答案为：B.
【分析】根据与垂直，可得，求出的值，再根据向量模的坐标公式求解即可.
4．（2024高三下·浙江模拟）已知数列满足，则“为等比数列”是“（，）”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列概念与表示；等比数列的性质
【解析】【解答】解：若为等比数列，则，所以，，
当时，，即充分性不成立；
若（，），不妨令，则，又，
所以，即，所以为公比为的等比数列，即必要性成立；
故“为等比数列”是“（，）”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据等比数列的定义、通项公式及充分条件、必要条件的定义判断即可.
5．（2024高三下·浙江模拟）在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差不可能为（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
【答案】A
【知识点】分层抽样方法；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设男生体质健康状况的平均数为，女生的平均数为，总体的平均数为，方差为，
则，
.
故答案为：A.
【分析】设男生体质健康状况的平均数为，女生的平均数为，总体的平均数为，方差为，结合方差的公式求解判断即可.
6．（2024高三下·浙江模拟）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：，
则，
，
，
两边同除，可得，
则
故答案为：C.
【分析】由题意，利用正弦、余弦的两角和差公式展开化简，再两边同除，结合两角和的正切公式计算即可.
7．（2024高三下·浙江模拟）如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD做匀速运动，；点P沿线段AB（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离．令P与Q同时分别从A，C出发，定义x为y的纳皮尔对数，用现代数学符号表示x与y的对应关系就是，当点P从线段AB靠近A的三等分点移动到中点时，经过的时间为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意，点初始速度即为点的速度，
当在靠近点的三等分点时：，解得：，
当在中点时：，解得：，
所以经过的时间为：．
故答案为：D．
【分析】易知，它们的初速度相等，故点的速度为，然后可以根据，求出在中点、三等分点时的，则点移动的距离可求，结合速度、时间求解即可．
8．（2024高三下·浙江模拟）设双曲线：（，）的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；余弦定理
【解析】【解答】解：设双曲线的右焦点为，连接，，如图所示：
由双曲线的对称性可得：，，
则四边形是平行四边形，又因为，则，
设，由双曲线的定义可得：，
在中，由余弦定理可得：，
则，整理可得：，解得，
则，，
在中，由余弦定理可得：
则，
整理可得：，则.
故答案为：B.
【分析】设，结合已知条件以及双曲线的定义求得，再利用余弦定理列方程，求得，即可得双曲线的离心率.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高三下·浙江模拟）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于对称
C．在上单调递减 D．当时，
【答案】B,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、，则不是函数的最小正周期，故A错误；
B、，则函数的图象关于对称，故B正确；
C、设，则，
故，
当时，，则，
因为，
所以函数在上单调递减，又因为在上单调递增，
所以函数在上单调递减，故C正确；
D、当时，，则，
当，解得，则函数在上单调递减，
当时，即时，函数单调递增；
当时，即时，函数单调递减，
由复合函数的单调性，可得函数在单调递减，在上单调递增，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由即可判断A；由即可判断B；设，得到，利用导数求得函数的单调性和最值从而判断CD.
10．（2024高三下·浙江模拟）已知，，是一个随机试验中的三个事件，且，，下列说法正确的是（ ）
A．若与互斥，则与不相互独立
B．若与相互独立，则与不互斥
C．若，且，则与相互独立
D．若，则，，两两独立
【答案】A,B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：A、若与互斥，则与不能同时发生，即，
因为表示与都不发生，则的对立事件为与至少有一个发生，所以，
而，所以，
因为
所以，由此可知，与不相互独立，故A正确；
B、若与相互独立，则，因为，，
所以，则，所以与不互斥，故B正确；
C、若，因为，
因为，则有，所以与相互独立，故C正确；
D、抛掷一枚质地均均的骰子，事件表示出现点数为，
事件表示出现点数，事件表示出现点数，
事件表示出现点数为，，
满足，事件表示出现点数为，
但则，不相互独立，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由题意，根据互斥事件和相互独立事件的概念逐项分析判断即可.
11．（2024高三下·浙江模拟）已知正方体的棱长为1，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，则的最小值为
B．过点在平面内一定可以作无数条直线与垂直
C．若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线
D．当，时，正方体经过点、、的截面面积的取值范围为
【答案】A,C,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线间的夹角、距离；余弦定理
【解析】【解答】解：A、当时，因为点满足，所以，即点在线段上，将三角形与矩形沿展成平面图形，如图所示：
则线段即为的最小值，在中，
由余弦定理可得，
解得，则的最小值为，故A正确；
B、当在时，过点在平面内只可以作一条直线与垂直，故B错误；
C、以D为原点，分别以为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，得，
若与所成的角为，则，整理得，则点P的轨迹为双曲线，故C正确；
D、当时，，故点在线段上运动，
正方体经过点、、的截面为平行四边形，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，，
，，
点到直线的距离为，
当时，，面积取最小值，截面面积为；
当或时，，面积取最大值，截面面积为，
所以正方体经过点、、的截面面积的取值范围为，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】将平面展开到与同一平面，由两点间线段最短得解即可判断A；当在时，过点只能作一条直线与垂直即可判断B；以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，设出点P坐标，利用向量的坐标运算求解即可判断CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高三下·浙江模拟）若展开式的二项式系数之和为128，则展开式中的系数为 .
【答案】280
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：由展开式的二项式系数之和为128，则，解得，
则展开式的通项为，
令，解得：，则展开式中的系数为：.
故答案为：280.
【分析】由二项式系数和为128，求得，再写出展开式的通项，令，求解即可.
13．（2024高三下·浙江模拟）已知圆：和圆：，过圆上一动点作圆的切线，交圆于，两点，当（点为坐标原点）面积最大时，满足条件的切线方程为 .（写出一条即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：易知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径；
设到直线的距离为，则，，
则，
所以当时，的面积最大，当直线的斜率不存在时，满足题意；
当直线的斜率存在时，设：，则由题意可得①，
化简可得，即或，
代入①可解得或，
所以满足条件的切线方程为或或，
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】由圆的弦长公式求出，再利用三角形面积公式求出面积最大时的，然后由圆心到直线的距离分别等于半径列方程组求解即可.
14．（2024高三下·浙江模拟）已知函数，，对任意，存在使得不等式成立，则满足条件的的最大整数为 .
【答案】-4
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对任意，且时，，
因为存在使得不等式成立，所以存在使得，
即，
令，，，
令，，则在上单调递增，且，，
所以使得，即，，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
因为，所以，所以，
依题意，又为整数，所以，所以的最大值为.
故答案为：-4.
【分析】由题意存在使得，参变分离可得，令，，利用导数说明函数的单调性，求出，则，即可求出的最大整数.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高三下·浙江模拟）在直角坐标平面内有线段，已知点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，……，点是线段（，）上靠近的三等分点，设点的横坐标为.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，，求的通项公式.
【答案】（1）证明：由题意 所以，
所以，又，所以
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）解：因为，，所以.
因为数列是公比为的等比数列.
所以时，.
由累加法可得时，
.
所以，当时，，
经检验，满足上式，所以.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由题意，可得 ，化简整理可得，根据等比数列的定义证明数列是等比数列即可；
（2）根据题意，求得，求得，结合累加法，得到时，，求数列的通项公式即可.
16．（2024高三下·浙江模拟） 在四棱锥中，，，，，、分别为直线，上的动点.
（1）若异面直线与所成的角为45°，判断与是否具有垂直关系并说明理由；
（2）若，，求直线与平面所成角的最大值.
【答案】（1）解：取的中点，连接，，如图所示：
因为，所以（或其补角）为异面直线与所成的角，
①当时，在中，，，
由余弦定理可知，故，
，所以，又，
，，平面，
所以平面，.
②当，假设，则有平面，
因为平面，所以，，
这与相矛盾，故此时与不垂直.
综上所述，当时，；当时，与不垂直.
（2）解：由，可得，故，，
故可以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
故，，，，.
因为，设平面的法向量为，则有
设，则，又，所以有
令，则，故平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则
，
令，则
当时，；
当时，.
（当且仅当，时取“＝”）.又，所以.
综上所述，直线与平面所成角的最大值为60°.
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，即可说明，则（或其补角）为异面直线与所成的角，分和两种情况讨论，利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
17．（2024高三下·浙江模拟） 将除颜色外完全相同的红球2个、白球3个放入一盲盒（一种具有随机属性的玩具盒子），现从中不放回取球.
（1）若每次取一个球，求：
（ⅰ）前两次均取到红球的概率；
（ⅱ）第2次取到红球的概率；
（2）若从中取出两个球，已知其中一个球为红球，求：
（ⅰ）另一个也为红球的概率；
（ⅱ）若你现在可以选择从剩下的球中随机取一个球来替换另一个球，如果从提高取到红球的可能性出发，你是选择换还是不换？试说明理由.
【答案】（1）解：（ⅰ）前两次均取到红球即为事件，.
（ⅱ）
.
（2）解：（ⅰ）事件：其中有一个球为红球的“对立事件”为：两个球均为白球，
即为事件，，
所以在一个球为红球的前提下另一个球也为红球的概率.
（ⅱ）若不换：在取到的一个球为红球的前提下取到的另一个球也为红球的概率记为；
若换：换后取到红球的概率记为；
由于，所以交换后摸到红球的概率更大，选择交换.
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）不放回取球可以用条件概率公式的变式公式来计算，即：，第2次取到红球可由两互斥事件计算得到，即；
（2）条件概率公式：，其中有一个球为红球，又等价转化到对立事件来求概率，即可求出结果，对于是否交换，比较两种情形的概率判断即可.
18．（2024高三下·浙江模拟）在平面直角坐标系中，已知点，，，为动点，满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知过点的直线与曲线交于两点，，连接，.
（ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值；
（ⅱ）直线，与直线分别交于，两点，求的最小值.
【答案】（1）解：因为，
所以根据双曲线的定义可知点的轨迹为以，为焦点，实轴长为2的双曲线，
由，，得，，所以的方程为.
（2）解：（ⅰ）设直线：（）
因为直线过定点，所以.
变形可得，即
所以
整理得（*）
设，则（*）式除以得
此时，是方程的两根，所以，
所以.
（ⅱ）设直线：，由，可得；
设直线：，同理可得；1
.
由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，故的最小值为.
【知识点】双曲线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，利用双曲线的定义求解即可；
（2）（ⅰ）设直线：，变形可得，两式联立，设，可知，是方程的两根，由根与系数的关系求解即可；
（ⅱ）设直线：与联立求出，同理求出，由此表示出，由基本不等式求解即可.
19．（2024高三下·浙江模拟）莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，，），例如：，对应，，，，，，.现对任意，定义莫比乌斯函数.
（1）求，；
（2）已知，记（为的质因数个数，为质数，，）的所有因数从小到大依次为，，…，.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求的值（用（）表示）.
【答案】（1）解：因为，因为2的指数，所以；
又，易知，，，，，
所以；
（2）解：（ⅰ）（）的因数中如有平方数，根据莫比乌斯函数的定义，
因此的所有因数除1之外，只考虑，，…，中的若干个数的乘积构成的因数，
从个质数中任选（）个数的乘积一共有种结果，
所以
.
（ⅱ）由（ⅰ）分析可知，因此的所有因数除1之外，只考虑，，…，中的若干个数的乘积构成的因数，所以
，
令，
则（，），
所以.
所以，.
因为，所以.
【知识点】函数的表示方法；组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）由，，根据定义计算即可；
（2）（ⅰ）依题意只考虑，，…，中的若干个数的乘积构成的因数，从个质数中任选个数的乘积一共有种结果，再由组合数公式计算即可；
（ⅱ）由（ⅰ）分析可知，因此的所有因数除之外，只考虑，，…，中的若干个数的乘积构成的因数，即可推导出，最后利用累乘法计算可得.
1 / 1浙江省北斗星盟2023-2024学年高三下学期适应性联考数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高三下·浙江模拟）已知集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三下·浙江模拟）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024高三下·浙江模拟）已知向量，，若与垂直，则等于（ ）
A． B． C．3 D．6
4．（2024高三下·浙江模拟）已知数列满足，则“为等比数列”是“（，）”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
5．（2024高三下·浙江模拟）在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差不可能为（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
6．（2024高三下·浙江模拟）若，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高三下·浙江模拟）如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD做匀速运动，；点P沿线段AB（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离．令P与Q同时分别从A，C出发，定义x为y的纳皮尔对数，用现代数学符号表示x与y的对应关系就是，当点P从线段AB靠近A的三等分点移动到中点时，经过的时间为（ ）．
A． B． C． D．
8．（2024高三下·浙江模拟）设双曲线：（，）的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高三下·浙江模拟）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于对称
C．在上单调递减 D．当时，
10．（2024高三下·浙江模拟）已知，，是一个随机试验中的三个事件，且，，下列说法正确的是（ ）
A．若与互斥，则与不相互独立
B．若与相互独立，则与不互斥
C．若，且，则与相互独立
D．若，则，，两两独立
11．（2024高三下·浙江模拟）已知正方体的棱长为1，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，则的最小值为
B．过点在平面内一定可以作无数条直线与垂直
C．若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线
D．当，时，正方体经过点、、的截面面积的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高三下·浙江模拟）若展开式的二项式系数之和为128，则展开式中的系数为 .
13．（2024高三下·浙江模拟）已知圆：和圆：，过圆上一动点作圆的切线，交圆于，两点，当（点为坐标原点）面积最大时，满足条件的切线方程为 .（写出一条即可）
14．（2024高三下·浙江模拟）已知函数，，对任意，存在使得不等式成立，则满足条件的的最大整数为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高三下·浙江模拟）在直角坐标平面内有线段，已知点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，……，点是线段（，）上靠近的三等分点，设点的横坐标为.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，，求的通项公式.
16．（2024高三下·浙江模拟） 在四棱锥中，，，，，、分别为直线，上的动点.
（1）若异面直线与所成的角为45°，判断与是否具有垂直关系并说明理由；
（2）若，，求直线与平面所成角的最大值.
17．（2024高三下·浙江模拟） 将除颜色外完全相同的红球2个、白球3个放入一盲盒（一种具有随机属性的玩具盒子），现从中不放回取球.
（1）若每次取一个球，求：
（ⅰ）前两次均取到红球的概率；
（ⅱ）第2次取到红球的概率；
（2）若从中取出两个球，已知其中一个球为红球，求：
（ⅰ）另一个也为红球的概率；
（ⅱ）若你现在可以选择从剩下的球中随机取一个球来替换另一个球，如果从提高取到红球的可能性出发，你是选择换还是不换？试说明理由.
18．（2024高三下·浙江模拟）在平面直角坐标系中，已知点，，，为动点，满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知过点的直线与曲线交于两点，，连接，.
（ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值；
（ⅱ）直线，与直线分别交于，两点，求的最小值.
19．（2024高三下·浙江模拟）莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，，），例如：，对应，，，，，，.现对任意，定义莫比乌斯函数.
（1）求，；
（2）已知，记（为的质因数个数，为质数，，）的所有因数从小到大依次为，，…，.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求的值（用（）表示）.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由，即，解得，则集合，
由，解得，则集合，
所以，则.
故答案为：D.
【分析】先解对数不等式求出集合，再解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算即可.
2．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由，可得，
即，，则复数在复平面内对应的点为，位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】根据复数的除法运算化简求得复数，再求共轭复数，结合复数的几何意义判断即可.
3．【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：易得，因为与垂直，所以，
解得，则.
故答案为：B.
【分析】根据与垂直，可得，求出的值，再根据向量模的坐标公式求解即可.
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列概念与表示；等比数列的性质
【解析】【解答】解：若为等比数列，则，所以，，
当时，，即充分性不成立；
若（，），不妨令，则，又，
所以，即，所以为公比为的等比数列，即必要性成立；
故“为等比数列”是“（，）”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据等比数列的定义、通项公式及充分条件、必要条件的定义判断即可.
5．【答案】A
【知识点】分层抽样方法；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设男生体质健康状况的平均数为，女生的平均数为，总体的平均数为，方差为，
则，
.
故答案为：A.
【分析】设男生体质健康状况的平均数为，女生的平均数为，总体的平均数为，方差为，结合方差的公式求解判断即可.
6．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：，
则，
，
，
两边同除，可得，
则
故答案为：C.
【分析】由题意，利用正弦、余弦的两角和差公式展开化简，再两边同除，结合两角和的正切公式计算即可.
7．【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意，点初始速度即为点的速度，
当在靠近点的三等分点时：，解得：，
当在中点时：，解得：，
所以经过的时间为：．
故答案为：D．
【分析】易知，它们的初速度相等，故点的速度为，然后可以根据，求出在中点、三等分点时的，则点移动的距离可求，结合速度、时间求解即可．
8．【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；余弦定理
【解析】【解答】解：设双曲线的右焦点为，连接，，如图所示：
由双曲线的对称性可得：，，
则四边形是平行四边形，又因为，则，
设，由双曲线的定义可得：，
在中，由余弦定理可得：，
则，整理可得：，解得，
则，，
在中，由余弦定理可得：
则，
整理可得：，则.
故答案为：B.
【分析】设，结合已知条件以及双曲线的定义求得，再利用余弦定理列方程，求得，即可得双曲线的离心率.
9．【答案】B,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、，则不是函数的最小正周期，故A错误；
B、，则函数的图象关于对称，故B正确；
C、设，则，
故，
当时，，则，
因为，
所以函数在上单调递减，又因为在上单调递增，
所以函数在上单调递减，故C正确；
D、当时，，则，
当，解得，则函数在上单调递减，
当时，即时，函数单调递增；
当时，即时，函数单调递减，
由复合函数的单调性，可得函数在单调递减，在上单调递增，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由即可判断A；由即可判断B；设，得到，利用导数求得函数的单调性和最值从而判断CD.
10．【答案】A,B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：A、若与互斥，则与不能同时发生，即，
因为表示与都不发生，则的对立事件为与至少有一个发生，所以，
而，所以，
因为
所以，由此可知，与不相互独立，故A正确；
B、若与相互独立，则，因为，，
所以，则，所以与不互斥，故B正确；
C、若，因为，
因为，则有，所以与相互独立，故C正确；
D、抛掷一枚质地均均的骰子，事件表示出现点数为，
事件表示出现点数，事件表示出现点数，
事件表示出现点数为，，
满足，事件表示出现点数为，
但则，不相互独立，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由题意，根据互斥事件和相互独立事件的概念逐项分析判断即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线间的夹角、距离；余弦定理
【解析】【解答】解：A、当时，因为点满足，所以，即点在线段上，将三角形与矩形沿展成平面图形，如图所示：
则线段即为的最小值，在中，
由余弦定理可得，
解得，则的最小值为，故A正确；
B、当在时，过点在平面内只可以作一条直线与垂直，故B错误；
C、以D为原点，分别以为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，得，
若与所成的角为，则，整理得，则点P的轨迹为双曲线，故C正确；
D、当时，，故点在线段上运动，
正方体经过点、、的截面为平行四边形，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，，
，，
点到直线的距离为，
当时，，面积取最小值，截面面积为；
当或时，，面积取最大值，截面面积为，
所以正方体经过点、、的截面面积的取值范围为，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】将平面展开到与同一平面，由两点间线段最短得解即可判断A；当在时，过点只能作一条直线与垂直即可判断B；以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，设出点P坐标，利用向量的坐标运算求解即可判断CD.
12．【答案】280
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：由展开式的二项式系数之和为128，则，解得，
则展开式的通项为，
令，解得：，则展开式中的系数为：.
故答案为：280.
【分析】由二项式系数和为128，求得，再写出展开式的通项，令，求解即可.
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：易知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径；
设到直线的距离为，则，，
则，
所以当时，的面积最大，当直线的斜率不存在时，满足题意；
当直线的斜率存在时，设：，则由题意可得①，
化简可得，即或，
代入①可解得或，
所以满足条件的切线方程为或或，
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】由圆的弦长公式求出，再利用三角形面积公式求出面积最大时的，然后由圆心到直线的距离分别等于半径列方程组求解即可.
14．【答案】-4
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对任意，且时，，
因为存在使得不等式成立，所以存在使得，
即，
令，，，
令，，则在上单调递增，且，，
所以使得，即，，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
因为，所以，所以，
依题意，又为整数，所以，所以的最大值为.
故答案为：-4.
【分析】由题意存在使得，参变分离可得，令，，利用导数说明函数的单调性，求出，则，即可求出的最大整数.
15．【答案】（1）证明：由题意 所以，
所以，又，所以
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）解：因为，，所以.
因为数列是公比为的等比数列.
所以时，.
由累加法可得时，
.
所以，当时，，
经检验，满足上式，所以.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由题意，可得 ，化简整理可得，根据等比数列的定义证明数列是等比数列即可；
（2）根据题意，求得，求得，结合累加法，得到时，，求数列的通项公式即可.
16．【答案】（1）解：取的中点，连接，，如图所示：
因为，所以（或其补角）为异面直线与所成的角，
①当时，在中，，，
由余弦定理可知，故，
，所以，又，
，，平面，
所以平面，.
②当，假设，则有平面，
因为平面，所以，，
这与相矛盾，故此时与不垂直.
综上所述，当时，；当时，与不垂直.
（2）解：由，可得，故，，
故可以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
故，，，，.
因为，设平面的法向量为，则有
设，则，又，所以有
令，则，故平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则
，
令，则
当时，；
当时，.
（当且仅当，时取“＝”）.又，所以.
综上所述，直线与平面所成角的最大值为60°.
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，即可说明，则（或其补角）为异面直线与所成的角，分和两种情况讨论，利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
17．【答案】（1）解：（ⅰ）前两次均取到红球即为事件，.
（ⅱ）
.
（2）解：（ⅰ）事件：其中有一个球为红球的“对立事件”为：两个球均为白球，
即为事件，，
所以在一个球为红球的前提下另一个球也为红球的概率.
（ⅱ）若不换：在取到的一个球为红球的前提下取到的另一个球也为红球的概率记为；
若换：换后取到红球的概率记为；
由于，所以交换后摸到红球的概率更大，选择交换.
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）不放回取球可以用条件概率公式的变式公式来计算，即：，第2次取到红球可由两互斥事件计算得到，即；
（2）条件概率公式：，其中有一个球为红球，又等价转化到对立事件来求概率，即可求出结果，对于是否交换，比较两种情形的概率判断即可.
18．【答案】（1）解：因为，
所以根据双曲线的定义可知点的轨迹为以，为焦点，实轴长为2的双曲线，
由，，得，，所以的方程为.
（2）解：（ⅰ）设直线：（）
因为直线过定点，所以.
变形可得，即
所以
整理得（*）
设，则（*）式除以得
此时，是方程的两根，所以，
所以.
（ⅱ）设直线：，由，可得；
设直线：，同理可得；1
.
由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，故的最小值为.
【知识点】双曲线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，利用双曲线的定义求解即可；
（2）（ⅰ）设直线：，变形可得，两式联立，设，可知，是方程的两根，由根与系数的关系求解即可；
（ⅱ）设直线：与联立求出，同理求出，由此表示出，由基本不等式求解即可.
19．【答案】（1）解：因为，因为2的指数，所以；
又，易知，，，，，
所以；
（2）解：（ⅰ）（）的因数中如有平方数，根据莫比乌斯函数的定义，
因此的所有因数除1之外，只考虑，，…，中的若干个数的乘积构成的因数，
从个质数中任选（）个数的乘积一共有种结果，
所以
.
（ⅱ）由（ⅰ）分析可知，因此的所有因数除1之外，只考虑，，…，中的若干个数的乘积构成的因数，所以
，
令，
则（，），
所以.
所以，.
因为，所以.
【知识点】函数的表示方法；组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）由，，根据定义计算即可；
（2）（ⅰ）依题意只考虑，，…，中的若干个数的乘积构成的因数，从个质数中任选个数的乘积一共有种结果，再由组合数公式计算即可；
（ⅱ）由（ⅰ）分析可知，因此的所有因数除之外，只考虑，，…，中的若干个数的乘积构成的因数，即可推导出，最后利用累乘法计算可得.
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