1．（2024高二下·北京市月考）某选修课有10门体育课程和7门科学课程可供选择，甲从中选修一门课程，则甲不同的选择情况共有（ ）
A．17种 B．34种 C．35种 D．70种
2．（2024高二下·北京市月考）已知等比数列满足，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·北京市月考）已知离散型随机变量X的分布列如下：
X 1 3 5
P 0.5 m 0.2
则其数学期望E(X)等于（ ）
A．1 B．0.6 C．2＋3m D．2.4
4．（2024高二下·北京市月考）若随机变量，则（ ）
A．4.8 B．2.4 C．9.6 D．8.6
5．（2024高二下·北京市月考）假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为（ ）
A．84% B．85% C．86% D．87%
6．（2024高二下·北京市月考）若抛物线的焦点到直线的距离为4，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
7．（2024高二下·北京市月考）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（ ）
A．两人都成功破译的概率为 B．两人都成功破译的概率为
C．密码被成功破译的概率为 D．密码被成功破译的概率为
8．（2024高二下·北京市月考）已知正项等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2024高二下·北京市月考）有一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，平均分配到三家医院，每家医院分到医生1名和护士2名．其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（ ）种．
A．36 B．72 C．108 D．144
10．（2024高二下·北京市月考）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是瓶子的半径．已知每出售的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·北京市月考）若随机变量X服从二项分布，则 ．
12．（2024高二下·北京市月考）袋中装有 个黑球， 个白球，甲乙按先后顺序无放回地各摸取一球，在甲摸到了黑球的条件下，乙摸到白球的概率是 ．
13．（2024高二下·北京市月考）某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为 ，则由此估计甲获得冠军的概率为 .
14．（2024高二下·北京市月考）从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有 种不同的取法．
15．（2024高二下·北京市月考）已知数列满足，．给出下列四个结论：
①数列每一项都满足；
②数列是递减数列；
③数列的前n项和；
④数列每一项都满足成立．
其中，所有正确结论的序号是 ．
16．（2024高二下·北京市月考）某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：
时长t（小时）
人数 3 4 33 42 18
用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响，
（1）从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；
（2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望；
（3）从该校高二学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，人在3小时及以上完成各科作业，试写出数学期望，并比较其大小关系.
17．（2024高二下·北京市月考）已知函数在点处的切线方程为．
（1）求、的值：
（2）求函数的单调区间；
（3）令，若函数的极小值小于，求的取值范围．
18．（2024高二下·北京市月考）设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为.
（1）直接写出的所有自邻集；
（2）若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
（3）若，求证：.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：有10门体育课程和7门科学课程可供选择，甲从中选修一门课程，
则甲可以选择体育课程或者科学课程中任一门，共有种，故A正确.
故答案为：A
【分析】运用分类加法计数原理求解即可.
2．【答案】D
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，
则.
故答案为：D.
【分析】设等比数列的公比为，根据题意，结合等比数列的通项公式求解即可.
3．【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【解答】解：易知，解得，则.
故答案为：D.
【分析】根据分布列的性质先求m的值，再根据期望的公式计算即可.
4．【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据二项分布的可得，再结合方差的性质运算求解.
5．【答案】C
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：甲厂产品记为A，乙厂产品记为B，合格产品记为C，
由题意，可得，，，，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用全概率公式计算即可．
6．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点坐标为，
因为抛物线的焦点到直线的距离为4，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】先求抛物线的焦点坐标，再根据点到直线的距离计算即可.
7．【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：AB、两人都成功破译的概率为，故A、B错误；
CD、密码被成功破译分一人破译和两人都破译两种情况，
则密码被成功破译的概率为，故C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据独立事件乘方公式求两人都成功破译的概率，结合对立事件、互斥事件的概率求解即可.
8．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由题： ， ，
即 ，由于题目给定 各项为正，所以等价于公比为 .
故选：C
【分析】由题 ，变形得 即可选出选项
9．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：将3名医生平均分配到三家医院，有种不同的分配方法；
将6名护士按要求平均分配到三家医院，因为护士甲和护士乙必须分到同一家医院，
所以有不同的分配方法，根据分步乘法计数原理则不同的分配方法有种.
故答案为：C.
【分析】先将医生分配到三家医院，再将护士分组、分配到三家医院，再根据分步乘法计数原理求解即可.
10．【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设每瓶饮料获得的利润为，
由题意，可得，
，
当时，解得，即函数单调递减；
当时，解得，即函数单调递增，
即是极小值点，则时，最大.
故答案为：D.
【分析】设每瓶饮料获得的利润为，由题意，写出利润关于的函数，求导，利用导数判断函数的单调性并求最值即可.
11．【答案】
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：因为随机变量X服从二项分布，则.
故答案为：.
【分析】根据二项分布计算即可.
12．【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：设甲摸到黑球为事件 ，
则 ，
乙摸到白球为事件 ，
则 ，
设甲摸到黑球的条件下，
乙摸到球的概率为 ，故答案为 .
【分析】结合条件概率计算啊公式，代入，即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】概率的基本性质；概率的应用
【解析】【解答】因为甲获胜的方式有 和 两种，
所以甲获得冠军的概率 .
故答案为： .
【分析】分析甲获胜的方式：(1)前两局甲都获胜；(2)前两局甲获胜一局，第三局甲获胜，由此计算出甲获得冠军的概率.
14．【答案】130
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：当任取的4只鞋子，配成两双鞋子，则有种不同的取法；
当任取的4只鞋子，恰好有2只能配成一双，则有种不同的取法；
则有种不同的取法.
故答案为：.
【分析】分恰好有2只能配成一双和恰好有4只能配成两双两种情况讨论求解即可.
15．【答案】①②④
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；数学归纳法的应用；数列的前n项和
【解析】【解答】解：①、因为数列满足，，所以，
当时，，即，假设当时，；
则当时，，
综上，，故①正确；
②、因为，所以数列是递减数列，故②正确；
③、，，，，
，故③错误；
④、因为，所以，所以，
累加可得，则，，，
又因为，所以成立，故④正确．
故答案为：①②④.
【分析】由题意，利用数学归纳法即可判断①，通过递推公式，判断出数列单调性，根据取值范围即可判断②④；算出即可判断③．
16．【答案】（1） 解：从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的事件为A，则；
（2）解：由表可知：“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，则X的所有可能取值为0，1，2，3，，，
，，
X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
；
（3）解：由题意，可知，，
则，，
故．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）由题意，利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）由题意可知X的所有取值，再利用古典概型的概率公式求出相应概率，得出分布列，再结合期望公式求解即可；
（3）由题意可知，，再结合二项分布的数学期望求解判断即可.
17．【答案】（1）解：函数，，
因为函数在点处的切线方程为，所以，
即，解得，则，；
（2）解：由（1）可得函数定义域为，
，
当时，解得，当时，解得，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）解：易知函数定义域为，
，
当，即时，恒成立，则在定义域上单调递增，不符合题意；
对于方程，当，即时恒成立，
所以恒成立，所以在定义域上单调递增，不符合题意；
当，则时，方程有两个不相等的正实数根、，
不妨设，则，且，
当时，解得或时，当时，解得，
则函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，
此时在处取得极大值，在处取得极小值，
则，
令，，则，
所以在上单调递减，所以，
即，所以.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导，由题意可得，解方程即可得、的值；
（2）由（1）可得，求导，利用导数判断函数的单调性，即可求得函数的单调区间；
（3）易得，求其导函数，分、、三种情况讨论，得到函数的单调性，从而得到函数的极小值，再说明极小值恒小于求解即可.
18．【答案】（1）解：易知，则的所有自邻集有：；
（2）证明：对于的含5个元素的自邻集，
不妨设，
因为对于，都有或，，2，3，4，5，
所以，，或，
对于集合，，，，，
因为，所以，，2，3，4，5，
，所以，
因为，，或，
所以，，
或，
所以对于任意或，，2，3，4，5，
所以集合也是自邻集，
因为当为偶数时，，所以，
所以对于集合的含5个元素的自邻集，在上述对应方法下会存在一个不同的含有5个元素的自邻集与其对应.所以，的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
（3）证明：记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，，
当时，，，
显然，
下面证明：，
①自邻集含有，，这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素后的集合为，
因为，，所以仍是自邻集，且集合中的最大元素是，
所以含有，，这三个元素的自邻集的个数为，
②自邻集含有，这两个元素，不含，且不只有，这两个元素，
记自邻集除，之外最大元素为，则，每个自邻集去掉，这两个元素后，仍为自邻集，
此时的自邻集的最大元素为，可将此时的自邻集分为个；
其中含有最大数为2的集合个数为，
含有最大数为3的集合个数为，，
含有最大数为的集合个数为.
则这样的集合共有个，
③自邻集只含有，这两个元素，这样的自邻集只有1个，
综上可得，
所以，故时，得证.
【知识点】集合的含义；子集与真子集；集合中元素的个数问题
【解析】【分析】（1）根据自邻集的定义及子集的概念直接写结果即可；
（2）取的一个含5个元素的自邻集，
判定集合，再证明C也是自邻集且，证明即可；
（3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，，则当时有，再分类讨论证明即可.
1 / 11．（2024高二下·北京市月考）某选修课有10门体育课程和7门科学课程可供选择，甲从中选修一门课程，则甲不同的选择情况共有（ ）
A．17种 B．34种 C．35种 D．70种
【答案】A
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：有10门体育课程和7门科学课程可供选择，甲从中选修一门课程，
则甲可以选择体育课程或者科学课程中任一门，共有种，故A正确.
故答案为：A
【分析】运用分类加法计数原理求解即可.
2．（2024高二下·北京市月考）已知等比数列满足，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，
则.
故答案为：D.
【分析】设等比数列的公比为，根据题意，结合等比数列的通项公式求解即可.
3．（2024高二下·北京市月考）已知离散型随机变量X的分布列如下：
X 1 3 5
P 0.5 m 0.2
则其数学期望E(X)等于（ ）
A．1 B．0.6 C．2＋3m D．2.4
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【解答】解：易知，解得，则.
故答案为：D.
【分析】根据分布列的性质先求m的值，再根据期望的公式计算即可.
4．（2024高二下·北京市月考）若随机变量，则（ ）
A．4.8 B．2.4 C．9.6 D．8.6
【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据二项分布的可得，再结合方差的性质运算求解.
5．（2024高二下·北京市月考）假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为（ ）
A．84% B．85% C．86% D．87%
【答案】C
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：甲厂产品记为A，乙厂产品记为B，合格产品记为C，
由题意，可得，，，，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用全概率公式计算即可．
6．（2024高二下·北京市月考）若抛物线的焦点到直线的距离为4，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点坐标为，
因为抛物线的焦点到直线的距离为4，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】先求抛物线的焦点坐标，再根据点到直线的距离计算即可.
7．（2024高二下·北京市月考）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（ ）
A．两人都成功破译的概率为 B．两人都成功破译的概率为
C．密码被成功破译的概率为 D．密码被成功破译的概率为
【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：AB、两人都成功破译的概率为，故A、B错误；
CD、密码被成功破译分一人破译和两人都破译两种情况，
则密码被成功破译的概率为，故C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据独立事件乘方公式求两人都成功破译的概率，结合对立事件、互斥事件的概率求解即可.
8．（2024高二下·北京市月考）已知正项等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由题： ， ，
即 ，由于题目给定 各项为正，所以等价于公比为 .
故选：C
【分析】由题 ，变形得 即可选出选项
9．（2024高二下·北京市月考）有一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，平均分配到三家医院，每家医院分到医生1名和护士2名．其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（ ）种．
A．36 B．72 C．108 D．144
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：将3名医生平均分配到三家医院，有种不同的分配方法；
将6名护士按要求平均分配到三家医院，因为护士甲和护士乙必须分到同一家医院，
所以有不同的分配方法，根据分步乘法计数原理则不同的分配方法有种.
故答案为：C.
【分析】先将医生分配到三家医院，再将护士分组、分配到三家医院，再根据分步乘法计数原理求解即可.
10．（2024高二下·北京市月考）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是瓶子的半径．已知每出售的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设每瓶饮料获得的利润为，
由题意，可得，
，
当时，解得，即函数单调递减；
当时，解得，即函数单调递增，
即是极小值点，则时，最大.
故答案为：D.
【分析】设每瓶饮料获得的利润为，由题意，写出利润关于的函数，求导，利用导数判断函数的单调性并求最值即可.
11．（2024高二下·北京市月考）若随机变量X服从二项分布，则 ．
【答案】
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：因为随机变量X服从二项分布，则.
故答案为：.
【分析】根据二项分布计算即可.
12．（2024高二下·北京市月考）袋中装有 个黑球， 个白球，甲乙按先后顺序无放回地各摸取一球，在甲摸到了黑球的条件下，乙摸到白球的概率是 ．
【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：设甲摸到黑球为事件 ，
则 ，
乙摸到白球为事件 ，
则 ，
设甲摸到黑球的条件下，
乙摸到球的概率为 ，故答案为 .
【分析】结合条件概率计算啊公式，代入，即可得出答案。
13．（2024高二下·北京市月考）某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为 ，则由此估计甲获得冠军的概率为 .
【答案】
【知识点】概率的基本性质；概率的应用
【解析】【解答】因为甲获胜的方式有 和 两种，
所以甲获得冠军的概率 .
故答案为： .
【分析】分析甲获胜的方式：(1)前两局甲都获胜；(2)前两局甲获胜一局，第三局甲获胜，由此计算出甲获得冠军的概率.
14．（2024高二下·北京市月考）从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有 种不同的取法．
【答案】130
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：当任取的4只鞋子，配成两双鞋子，则有种不同的取法；
当任取的4只鞋子，恰好有2只能配成一双，则有种不同的取法；
则有种不同的取法.
故答案为：.
【分析】分恰好有2只能配成一双和恰好有4只能配成两双两种情况讨论求解即可.
15．（2024高二下·北京市月考）已知数列满足，．给出下列四个结论：
①数列每一项都满足；
②数列是递减数列；
③数列的前n项和；
④数列每一项都满足成立．
其中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；数学归纳法的应用；数列的前n项和
【解析】【解答】解：①、因为数列满足，，所以，
当时，，即，假设当时，；
则当时，，
综上，，故①正确；
②、因为，所以数列是递减数列，故②正确；
③、，，，，
，故③错误；
④、因为，所以，所以，
累加可得，则，，，
又因为，所以成立，故④正确．
故答案为：①②④.
【分析】由题意，利用数学归纳法即可判断①，通过递推公式，判断出数列单调性，根据取值范围即可判断②④；算出即可判断③．
16．（2024高二下·北京市月考）某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：
时长t（小时）
人数 3 4 33 42 18
用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响，
（1）从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；
（2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望；
（3）从该校高二学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，人在3小时及以上完成各科作业，试写出数学期望，并比较其大小关系.
【答案】（1） 解：从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的事件为A，则；
（2）解：由表可知：“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，则X的所有可能取值为0，1，2，3，，，
，，
X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
；
（3）解：由题意，可知，，
则，，
故．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）由题意，利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）由题意可知X的所有取值，再利用古典概型的概率公式求出相应概率，得出分布列，再结合期望公式求解即可；
（3）由题意可知，，再结合二项分布的数学期望求解判断即可.
17．（2024高二下·北京市月考）已知函数在点处的切线方程为．
（1）求、的值：
（2）求函数的单调区间；
（3）令，若函数的极小值小于，求的取值范围．
【答案】（1）解：函数，，
因为函数在点处的切线方程为，所以，
即，解得，则，；
（2）解：由（1）可得函数定义域为，
，
当时，解得，当时，解得，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）解：易知函数定义域为，
，
当，即时，恒成立，则在定义域上单调递增，不符合题意；
对于方程，当，即时恒成立，
所以恒成立，所以在定义域上单调递增，不符合题意；
当，则时，方程有两个不相等的正实数根、，
不妨设，则，且，
当时，解得或时，当时，解得，
则函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，
此时在处取得极大值，在处取得极小值，
则，
令，，则，
所以在上单调递减，所以，
即，所以.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导，由题意可得，解方程即可得、的值；
（2）由（1）可得，求导，利用导数判断函数的单调性，即可求得函数的单调区间；
（3）易得，求其导函数，分、、三种情况讨论，得到函数的单调性，从而得到函数的极小值，再说明极小值恒小于求解即可.
18．（2024高二下·北京市月考）设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为.
（1）直接写出的所有自邻集；
（2）若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
（3）若，求证：.
【答案】（1）解：易知，则的所有自邻集有：；
（2）证明：对于的含5个元素的自邻集，
不妨设，
因为对于，都有或，，2，3，4，5，
所以，，或，
对于集合，，，，，
因为，所以，，2，3，4，5，
，所以，
因为，，或，
所以，，
或，
所以对于任意或，，2，3，4，5，
所以集合也是自邻集，
因为当为偶数时，，所以，
所以对于集合的含5个元素的自邻集，在上述对应方法下会存在一个不同的含有5个元素的自邻集与其对应.所以，的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
（3）证明：记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，，
当时，，，
显然，
下面证明：，
①自邻集含有，，这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素后的集合为，
因为，，所以仍是自邻集，且集合中的最大元素是，
所以含有，，这三个元素的自邻集的个数为，
②自邻集含有，这两个元素，不含，且不只有，这两个元素，
记自邻集除，之外最大元素为，则，每个自邻集去掉，这两个元素后，仍为自邻集，
此时的自邻集的最大元素为，可将此时的自邻集分为个；
其中含有最大数为2的集合个数为，
含有最大数为3的集合个数为，，
含有最大数为的集合个数为.
则这样的集合共有个，
③自邻集只含有，这两个元素，这样的自邻集只有1个，
综上可得，
所以，故时，得证.
【知识点】集合的含义；子集与真子集；集合中元素的个数问题
【解析】【分析】（1）根据自邻集的定义及子集的概念直接写结果即可；
（2）取的一个含5个元素的自邻集，
判定集合，再证明C也是自邻集且，证明即可；
（3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，，则当时有，再分类讨论证明即可.
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