湖南省长沙市2023-2024学年高二下学期期末调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·长沙期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得，则集合，，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】解对数不等式求得集合，再根据集合的交并补混合运算求解即可.
2．（2024高二下·长沙期末）“”是“函数在上单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：二次函数的图象，开口向上，对称轴为，
因为函数在上单调递减，所以，
因为是的真子集，所以“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据二次函数性质分析可得，再根据区间的包含关系结合充分、必要条件分析判断即可.
3．（2024高二下·长沙期末）学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是（ ）
A．350 B．700 C．2100 D．4200
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：7门选修课中任意选择3门，有种不同的选择；
从5种课外活动小组中选择2种，有种不同的选法，
则不同的选法有种.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据组合数以及分步乘法计数原理求解即可.
4．（2024高二下·长沙期末）福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港如图，是港区某个泊位一天中时到时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深单位：的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图知函数的最小值为2，即-3+k=2，得k=5，故函数y的最大值为3+5=8.
故答案为：C.
【分析】图像展示了函数的整个周期，由函数图象可知最小值为2，可得k的值，即可得最大值.
5．（2024高二下·长沙期末）已知随机变量，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由正态分布知，而
得0.5-0.3=0.2.
故答案为：C.
【分析】由正态分布的性质可得结果.
6．（2024高二下·长沙期末）某企业生产线上生产的产品的某项指标，且. 现从该生产线上随机抽取个产品，记表示的产品个数，则（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【答案】B
【知识点】极差、方差与标准差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解： 由，且，
则，
则服从二项分布，故.
故答案为：B.
【分析】根据正态分布的性质求出，即可得，再根据二项分布的方差公式计算即可.
7．（2024高二下·长沙期末）若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
即在处取得最值，则，解得.
故答案为：C.
【分析】求导，利用导数研究函数单调性，并求函数取最值时x的值，根据题意列不等式求解即可.
8．（2024高二下·长沙期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】并（和）事件与交（积）事件；条件概率
【解析】【解答】解：A、因为，所以，即，
则，故A错误；
B、因为，，则，
又因为，即，
所以，故B错误；
C、，，∴，故C正确.
D、因为，
因为，所以，所以，
则，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式求解判断即可.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·长沙期末）已知a，b，c为实数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】A,C,D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】A、若，则，所以，A正确；
B、当时，若，则，B错误；
C、若，，则，C正确；
D、若，则，D正确.
故选：ACD.
【分析】本题考查不等式的性质.已知，则，根据不等式两边同时乘除一个正数，不等式的方向不改变可得：；已知，若，根据不等式两边同时乘除一个负数，不等式的方向要改变可得：；若，，根据同向不等式具有可加性可得：；若，根据不等式取倒法则可得：.
10．（2024高二下·长沙期末）已知，则下列选项正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：原式等价于，
则其展开式的通项为，
A、令，则，故A错误；
B、令，则，故B正确；
C、令，则，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】原式可化为，写出其展开式的通项，利用赋值法求解即可.
11．（2024高二下·长沙期末）已知正实数满足（是自然对数的底数，），则（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．方程无实数解
【答案】A,C,D
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、当时，，将代入原方程，
可得，故A正确；
B、当时，，将代入原方程，
得，则，而右边恒大于0，则等式不成立，故B错误；
C、令，则，
令，可得，
当时，，则单调递增，即，
当时，，则单调递减，即，
所以当时，，
在区间上的值域为，故C正确；
D、由上可知在区间上的值域为，则无实数解，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由已知可得，代入原方程即可判断A；由已知可得，代入原方程即可判断B；令，求导，可判断其单调性，进而可求其最大值与值域即可判断CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·长沙期末）曲线与直线平行的切线方程为 .
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：令定义域为，，且，
因为切线与直线平行，所以令，解得，
所以切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】对函数求导，建立方程求出切点，即可得切线方程.
13．（2024高二下·长沙期末）现安排高二年级甲，乙、丙、丁、戊五名同学去A、B两个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，每个工厂至少需要两名同学，若甲和乙不能去同一个工厂，则不同的安排方法种数为 ．（用数字作答）
【答案】12
【知识点】分类加法计数原理；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：甲和除乙外的1个人分为一组，再和工厂进行全排列，有种方法；
甲和除乙外的2个人分为一组，再和工厂进行全排列，有种方法，
综上，共有种方法.
故答案为：12.
【分析】分甲和除乙外的1个人分为一组和甲和除乙外的2个人分为一组，再进行全排列，结合分类加法计算原理即可求解.
14．（2024高二下·长沙期末）某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则某同学第2天去餐厅用餐的概率为 ；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值 .
【答案】；
【知识点】二项分布；全概率公式
【解析】【解答】解：设事件第一天去餐厅；事件第二天去餐厅；事件第一天去餐厅；
事件第二天去餐厅，
由题意，可知，，，
则，
所以第2天去餐厅的概率为；
由题意，可知每个人去餐厅的概率为，，则.
故答案为：；.
【分析】根据题意设出对应的事件，以及概率，再代入全概率公式求解即可；随机变量服从二项分布，代入二项分布的期望公式求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·长沙期末）已知集合，.
（1）求，；
（2）记关于x的不等式的解集为M，若，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：由，解得，则集合，
由，解得或，则集合，
，又因为，所以；
（2）解：不等式，转化为，
则集合，若，则，解得，
则实数m的取值范围是.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）解不等式求得集合，再根据集合的并、补交运算求解即可；
（2）由题意可得，再由，列出不等式求解即可.
16．（2024高二下·长沙期末）在的展开式中，
（1）求二项式系数最大的项；
（2）若第项是有理项，求的取值集合；
（3）系数最大的项是第几项.
【答案】（1）解：展开式有9项，二项式系数最大项为中间项，即第5项，
则；
（2）解：二项式展开式的通项为，
当为整数时为有理项，即，则的取值集合为；
（3）解：设第项的系数最大，则，即，解得，
故系数最大的项为第6项和第7项.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）由二项式系数的性质求解即可；
（2）由二项式展开式的通项公式代入计算求解即可；
（3）根据题意，由项的系数列出不等式，代入计算求解即可.
17．（2024高二下·长沙期末）为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量单位：亿元与研发人员增量人的组数据．现用模型，分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中．
（1）根据残差图，判断应选择哪个模型；无需说明理由
（2）根据中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过亿元，研发人员增量至少多少人？精确到
【答案】（1）选择模型，理由如下：
由于模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄，
所以模型的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以选模型比较合适；
（2）根据模型，令与可用线性回归来拟合，有，
则，
所以，
则关于的经验回归方程为．
所以关于的经验回归方程为，
由题意，，解得，又为整数，所以，
所以，要使年收益增量超过亿元，研发人员增量至少为人．
【知识点】回归分析；回归分析的初步应用
【解析】【分析】(1)直接由残差分布特征进行判断即可；
(2)求出模型②的回归方程，再求时的研发人员增量人数.
18．（2024高二下·长沙期末）无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．
附：其中
（1）消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关：
晴天 雨天
命中
不命中
（2）某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭．
求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
求起火点被无人机击中且被扑灭的概率．
【答案】（1）零假设消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候无关
晴天 雨天 合计
命中
不命中
合计
因为，
根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关．
（2）起火点被无人机击中次数的所有可能取值为
，
．
的分布列如下：
．
击中一次被扑灭的概率为
击中两次被火扑灭的概率为
击中三次被火扑灭的概率为
所求概率．
【知识点】独立性检验；概率分布列
【解析】【分析】(1)先求出，对照数据即可得出结论；
(2)(i)分别求出X=0，1，2，3对应的概率即可得分布列和期望；
（ii）分别求出击中一次、两次、三次被扑灭的概率，加总即为所求概率.
19．（2024高二下·长沙期末）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求的值；
（3）记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．
【答案】（1）因为，所以，则切线斜率为，
又，切点为，所以切线方程为；
（2），，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以的极小值为，，
在区间上存在一个零点，此时；
又，，
在区间上存在一个零点，此时，
综上，的值为或；
（3）函数，，
所以，
由得，依题意，方程有两不相等的正实根、，
则，所以，
，，，
又，，，解得，
，
构造函数，
所以，
在上单调递减，
所以当时，，
因为恒成立，
所以，则的最大值为．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)求导后求出x=1时的导数值，即可求出切线方程；
(2)根据函数的单调区间，求出零点所在区间，即可求出k的值；
(3)对函数g(x)求导，知有两正实数根，可得b>1，即可得x1和x2的范围，再构造函数，即可得k的最大值.
1 / 1湖南省长沙市2023-2024学年高二下学期期末调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·长沙期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·长沙期末）“”是“函数在上单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高二下·长沙期末）学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是（ ）
A．350 B．700 C．2100 D．4200
4．（2024高二下·长沙期末）福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港如图，是港区某个泊位一天中时到时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深单位：的最大值为( )
A． B． C． D．
5．（2024高二下·长沙期末）已知随机变量，且，则( )
A． B． C． D．
6．（2024高二下·长沙期末）某企业生产线上生产的产品的某项指标，且. 现从该生产线上随机抽取个产品，记表示的产品个数，则（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
7．（2024高二下·长沙期末）若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
8．（2024高二下·长沙期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·长沙期末）已知a，b，c为实数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
10．（2024高二下·长沙期末）已知，则下列选项正确的有（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高二下·长沙期末）已知正实数满足（是自然对数的底数，），则（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．方程无实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·长沙期末）曲线与直线平行的切线方程为 .
13．（2024高二下·长沙期末）现安排高二年级甲，乙、丙、丁、戊五名同学去A、B两个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，每个工厂至少需要两名同学，若甲和乙不能去同一个工厂，则不同的安排方法种数为 ．（用数字作答）
14．（2024高二下·长沙期末）某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则某同学第2天去餐厅用餐的概率为 ；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值 .
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·长沙期末）已知集合，.
（1）求，；
（2）记关于x的不等式的解集为M，若，求实数m的取值范围.
16．（2024高二下·长沙期末）在的展开式中，
（1）求二项式系数最大的项；
（2）若第项是有理项，求的取值集合；
（3）系数最大的项是第几项.
17．（2024高二下·长沙期末）为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量单位：亿元与研发人员增量人的组数据．现用模型，分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中．
（1）根据残差图，判断应选择哪个模型；无需说明理由
（2）根据中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过亿元，研发人员增量至少多少人？精确到
18．（2024高二下·长沙期末）无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．
附：其中
（1）消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关：
晴天 雨天
命中
不命中
（2）某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭．
求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
求起火点被无人机击中且被扑灭的概率．
19．（2024高二下·长沙期末）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求的值；
（3）记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得，则集合，，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】解对数不等式求得集合，再根据集合的交并补混合运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：二次函数的图象，开口向上，对称轴为，
因为函数在上单调递减，所以，
因为是的真子集，所以“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据二次函数性质分析可得，再根据区间的包含关系结合充分、必要条件分析判断即可.
3．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：7门选修课中任意选择3门，有种不同的选择；
从5种课外活动小组中选择2种，有种不同的选法，
则不同的选法有种.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据组合数以及分步乘法计数原理求解即可.
4．【答案】C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图知函数的最小值为2，即-3+k=2，得k=5，故函数y的最大值为3+5=8.
故答案为：C.
【分析】图像展示了函数的整个周期，由函数图象可知最小值为2，可得k的值，即可得最大值.
5．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由正态分布知，而
得0.5-0.3=0.2.
故答案为：C.
【分析】由正态分布的性质可得结果.
6．【答案】B
【知识点】极差、方差与标准差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解： 由，且，
则，
则服从二项分布，故.
故答案为：B.
【分析】根据正态分布的性质求出，即可得，再根据二项分布的方差公式计算即可.
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
即在处取得最值，则，解得.
故答案为：C.
【分析】求导，利用导数研究函数单调性，并求函数取最值时x的值，根据题意列不等式求解即可.
8．【答案】C
【知识点】并（和）事件与交（积）事件；条件概率
【解析】【解答】解：A、因为，所以，即，
则，故A错误；
B、因为，，则，
又因为，即，
所以，故B错误；
C、，，∴，故C正确.
D、因为，
因为，所以，所以，
则，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式求解判断即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】A、若，则，所以，A正确；
B、当时，若，则，B错误；
C、若，，则，C正确；
D、若，则，D正确.
故选：ACD.
【分析】本题考查不等式的性质.已知，则，根据不等式两边同时乘除一个正数，不等式的方向不改变可得：；已知，若，根据不等式两边同时乘除一个负数，不等式的方向要改变可得：；若，，根据同向不等式具有可加性可得：；若，根据不等式取倒法则可得：.
10．【答案】B,D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：原式等价于，
则其展开式的通项为，
A、令，则，故A错误；
B、令，则，故B正确；
C、令，则，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】原式可化为，写出其展开式的通项，利用赋值法求解即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、当时，，将代入原方程，
可得，故A正确；
B、当时，，将代入原方程，
得，则，而右边恒大于0，则等式不成立，故B错误；
C、令，则，
令，可得，
当时，，则单调递增，即，
当时，，则单调递减，即，
所以当时，，
在区间上的值域为，故C正确；
D、由上可知在区间上的值域为，则无实数解，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由已知可得，代入原方程即可判断A；由已知可得，代入原方程即可判断B；令，求导，可判断其单调性，进而可求其最大值与值域即可判断CD.
12．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：令定义域为，，且，
因为切线与直线平行，所以令，解得，
所以切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】对函数求导，建立方程求出切点，即可得切线方程.
13．【答案】12
【知识点】分类加法计数原理；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：甲和除乙外的1个人分为一组，再和工厂进行全排列，有种方法；
甲和除乙外的2个人分为一组，再和工厂进行全排列，有种方法，
综上，共有种方法.
故答案为：12.
【分析】分甲和除乙外的1个人分为一组和甲和除乙外的2个人分为一组，再进行全排列，结合分类加法计算原理即可求解.
14．【答案】；
【知识点】二项分布；全概率公式
【解析】【解答】解：设事件第一天去餐厅；事件第二天去餐厅；事件第一天去餐厅；
事件第二天去餐厅，
由题意，可知，，，
则，
所以第2天去餐厅的概率为；
由题意，可知每个人去餐厅的概率为，，则.
故答案为：；.
【分析】根据题意设出对应的事件，以及概率，再代入全概率公式求解即可；随机变量服从二项分布，代入二项分布的期望公式求解即可.
15．【答案】（1）解：由，解得，则集合，
由，解得或，则集合，
，又因为，所以；
（2）解：不等式，转化为，
则集合，若，则，解得，
则实数m的取值范围是.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）解不等式求得集合，再根据集合的并、补交运算求解即可；
（2）由题意可得，再由，列出不等式求解即可.
16．【答案】（1）解：展开式有9项，二项式系数最大项为中间项，即第5项，
则；
（2）解：二项式展开式的通项为，
当为整数时为有理项，即，则的取值集合为；
（3）解：设第项的系数最大，则，即，解得，
故系数最大的项为第6项和第7项.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）由二项式系数的性质求解即可；
（2）由二项式展开式的通项公式代入计算求解即可；
（3）根据题意，由项的系数列出不等式，代入计算求解即可.
17．【答案】（1）选择模型，理由如下：
由于模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄，
所以模型的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以选模型比较合适；
（2）根据模型，令与可用线性回归来拟合，有，
则，
所以，
则关于的经验回归方程为．
所以关于的经验回归方程为，
由题意，，解得，又为整数，所以，
所以，要使年收益增量超过亿元，研发人员增量至少为人．
【知识点】回归分析；回归分析的初步应用
【解析】【分析】(1)直接由残差分布特征进行判断即可；
(2)求出模型②的回归方程，再求时的研发人员增量人数.
18．【答案】（1）零假设消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候无关
晴天 雨天 合计
命中
不命中
合计
因为，
根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关．
（2）起火点被无人机击中次数的所有可能取值为
，
．
的分布列如下：
．
击中一次被扑灭的概率为
击中两次被火扑灭的概率为
击中三次被火扑灭的概率为
所求概率．
【知识点】独立性检验；概率分布列
【解析】【分析】(1)先求出，对照数据即可得出结论；
(2)(i)分别求出X=0，1，2，3对应的概率即可得分布列和期望；
（ii）分别求出击中一次、两次、三次被扑灭的概率，加总即为所求概率.
19．【答案】（1）因为，所以，则切线斜率为，
又，切点为，所以切线方程为；
（2），，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以的极小值为，，
在区间上存在一个零点，此时；
又，，
在区间上存在一个零点，此时，
综上，的值为或；
（3）函数，，
所以，
由得，依题意，方程有两不相等的正实根、，
则，所以，
，，，
又，，，解得，
，
构造函数，
所以，
在上单调递减，
所以当时，，
因为恒成立，
所以，则的最大值为．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)求导后求出x=1时的导数值，即可求出切线方程；
(2)根据函数的单调区间，求出零点所在区间，即可求出k的值；
(3)对函数g(x)求导，知有两正实数根，可得b>1，即可得x1和x2的范围，再构造函数，即可得k的最大值.
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