1．（2024高二下·东莞期末）已知函数，则的导函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：定义域为，，
故答案为：B.
【分析】根据复合函数的求导法则以及余弦的二倍角公式求解即可.
2．（2024高二下·东莞期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正态分布定义
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，且，
所以，
又因为正态分布的对称轴为2，所以，
所以
则.
故答案为：C.
【分析】根据正态分布对称性求解即可.
3．（2024高二下·东莞期末）两个相关变量满足如下关系：
2 3 4 5 6
25 ● 46 58 65
根据表格已得经验回归方程为.若表格中有一数据模糊不清，则推算该数据是（ ）
A．35.5 B．36 C．36.5 D．37
【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：易知，因为回归方程必过样本点中心，所以将代入经验回归方程得，则.
故答案为：B.
【分析】根据回归方程必过样本点中心求解即可.
4．（2024高二下·东莞期末）在区间上，若，则下列四个图中，能表示函数的图像的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为在区间上，若， 所以函数在区间上，函数图象在任意一点处的切线斜率恒大于1，易知A选项中，函数在处的切线斜率等于1，且在上，切线斜率不断增大，则恒成立.
故答案为：A.
【分析】根据导数值与函数切线斜率的关系判断即可.
5．（2024高二下·东莞期末）某中学推出了篮球 足球 排球 羽毛球 乒乓球共5门球类体育选修课供同学们选择，其中羽毛球火爆，只剩下一个名额，其余4门球类课程名额充足.现有某宿舍的四位同学报名选课，每人只选择其中的1门课程，四位同学选完后，恰好选择了3门不同球类课程，则不同的选课情况总共有（ ）
A．316种 B．360种 C．216种 D．288种
【答案】D
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：当1人选羽毛球时，有种选法，再从其余4门球类课程选2门课程，有种选法，
其余3人中选1人选一门课程，其余2人选另1门课程，有种选法，则不痛的报名的情况有种选法；
当都不选羽毛球时，从其余4门球类课程中选3门，有种选法，
四人中有2人选择同1门课程，其余2人各自选1门课程，有种选法，
则报名的情况有种选法；
综上，他们报名的情况总共有种选法.
故答案为：D.
【分析】分选羽毛球和不选羽毛球两种情况讨论，再分别利用分步乘法原理计算报名情况，最后利用分类加法原理求解即可.
6．（2024高二下·东莞期末）袋中有5个白球，4个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色的球时停止取球，记X为取出球的总数，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：由题意，可知前4次取出的球的颜色有以下六种：白白黑白、白黑白白、黑白白白、黑黑白黑、黑白黑黑、白黑黑黑，每种事件相互互斥，由全概率公式得：
.
故答案为：A.
【分析】先确定所代表的意义，以及所包含的可能情况，再根据全概率公式求解即可.
7．（2024高二下·东莞期末）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：由题意，可知杨辉三角第20行共有21个数，
其中从左往右第4个数为，
从左往右第5个数为，
根据组合数的对称性得杨辉三角第20行的21个数里有个大于2024，
则从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为.
故答案为：D.
【分析】由题意，先确定杨辉三角第20行的数的个数，通过和结合组合数对称性质得出杨辉三角第20行中比2024大的数的个数求解即可.
8．（2024高二下·东莞期末）已知实数满足且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为实数，满足，所以，
由，可得，即，
又因为，所以，
又因为，所以，若，则，
又因为，所以，即，所以，即.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用对数运算法则将等式变形，再根据指数函数值域及对数不等式可得的范围即可.
9．（2024高二下·东莞期末）变量与的成对数据的散点图如下图所示，由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为；经过残差分析确定第二个点B为离群点（对应残差过大），把点B对应的数据去掉后，用剩下的7组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】散点图
【解析】【解答】解：由图可知，共8个数据点，且B为离群点，去掉离群点后回归方程的斜率更大，故C正确；
由图可知，变量与正相关，去掉离群点后相关性更强，拟合效果也更好，即，
故A正确，B错误.
故答案为：AC．
【分析】去掉离群点B，其它点的正线性关系更强即可判断AB；根据点B的特点即可判断CD．
10．（2024高二下·东莞期末）已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
因为函数在处取到极大值1，所以，故A正确；
由A可知①②两式相减可得，即，故B正确；
由②式可得，则，
由于函数在处取到极大值，则函数的附近单调性为左增右减，
则，当时，，
即，即，
即，即，则，故C正确，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】先求导，根据极值点导数意义即可判断AB；根据函数在处取到极大值，则函数在的附近单调性为“左增右减”，利用导数正负即可判断CD.
11．（2024高二下·东莞期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：由题意，可得，
因为，所以，所以，
A、因为，所以，故A正确；
B、，所以，故B错误；
C、，故C正确；
D、，则，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】，求出，利用即可判断A；由即可判断B；由条件概率公式即可判断D.
12．（2024高二下·东莞期末）的展开式中，的系数是80，则 .
【答案】2
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，
当时，，则，解得.
故答案为：2.
【分析】由题意，利用二项式展开式的通项求解即可.
13．（2024高二下·东莞期末）若甲筐中有5个苹果，3个梨子，2个橙子，乙筐中有个苹果 1个梨子 2个橙子，现从甲筐中随机取出一个水果放入乙筐，再从乙筐中随机取出一个水果，记“从乙筐中取出的水果是苹果”为事件，若，则整数的最小值为 .
【答案】3
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记、、分别表示从甲筐中随机取出一个水果为苹果、梨子、橙子的事件，则、、相互互斥，
由全概率公式得：，解得，故整数的最小值为3.
故答案为：3.
【分析】记、、分别表示从甲筐中随机取出一个水果为苹果、梨子、橙子，则利用全概率公式求解即可.
14．（2024高二下·东莞期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：曲线和定义域均为，求导可得和，
设直线与和的切点分别为，，
由点斜式可得切线方程分别为，，
化简得，，
因为两直线与是同一条直线，
所以，解得，
则.
故答案为：.
【分析】设直线与和的切点分别为，，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，求的值即可.
15．（2024高二下·东莞期末）已知函数的图象在点处的切线方程是.
（1）求实数的值；
（2）若，求证：.
【答案】（1）解：函数的定义域为，则，
因为函数在点的切线方程为，即切线的斜率为，
所以，解得；
（2）证明：由（1）可得函数，
因为，所以当时，恒成立；
令，则在上恒成立，当且仅当时，，
则函数在上单调递增，且，所以当时，，即恒成立，所以当时，，
综上可知：若，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导，根据导数几何意义以及切线方程列式求解即可；
（2）由（1）可得，再由解析式结构特征结合导数分和讨论函数的值，证明即可.
（1）解：函数的定义域为，，
因为函数在点的切线方程为，
所以，解得；
（2）证明：由（1）可得，
因为，所以当时，恒成立；
令，则在上恒成立，
当且仅当时，，
则函数在上单调递增，且，所以当时，，即恒成立，所以当时，，
综上可知：若，.
16．（2024高二下·东莞期末）某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了体育锻炼的宣传和调查.调查数据如下：共100份有效问卷，50名男性中有5名不经常体育锻炼，50名女性中有10名不经常体育锻炼.
（1）根据所给数据，完成下面的列联表：根据小概率值的独立性检验，分析性别因素是否会影响经常体育锻炼？
性别 经常体育锻炼与否 合计
经常体育锻炼 不经常体育锻炼
男
女
合计
（2）从不经常体育锻炼的15份调查问卷中得到不经常锻炼的原因：有3份身体原因；有2份不想锻炼；有4份没有时间；有6份没有运动伙伴.求从这15份问卷中随机选出2份，在已知其中一份是“没有时间”的条件下，另一份是“没有运动伙伴”的概率.
附：①，其中.
②临界值表
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：由题可知：50名男性中有5名不经常体育锻炼，45名经常体育锻炼，50名女性中有10名不经常体育锻炼，40名经常体育锻炼；
列联表如下：
性别 经常体育锻炼与否 合计
经常体育锻炼 不经常体育锻炼
男 45 5 50
女 40 10 50
合计 85 15 100
所以，
因为，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别因素会影响经常体育锻炼；
（2）解：设事件为其中一份是“没有时间”，事件为另一份是“没有运动伙伴”，，，
则.
【知识点】独立性检验的应用；条件概率
【解析】【分析】（1）根据题意，补全列联表，计算的值，判断即可；
（2）由题意，根据条件概率公式求解即可.
（1）解：由题可知：50名男性中有5名不经常体育锻炼，45名经常体育锻炼，50名女性中有10名不经常体育锻炼，40名经常体育锻炼；
列联表如下：
性别 经常体育锻炼与否 合计
经常体育锻炼 不经常体育锻炼
男 45 5 50
女 40 10 50
合计 85 15 100
所以，
因为，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别因素会影响经常体育锻炼；
（2）解：设事件为其中一份是“没有时间”，事件为另一份是“没有运动伙伴”，
，，
则.
17．（2024高二下·东莞期末）某企业生产一种热销产品，产品日产量为吨，日销售额为万元（每日生产的产品当日可销售完毕），且产品价格随着产量变化而有所变化.经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量（单位：吨）和日销售额（单位：万元）的统计数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表：
15 73 4.8 10 161.2 1.6 39 15.9
其中，分别为数据的平均数.
（1）请从样本相关系数的角度，判断与哪一个模型更适合刻画日销售额关于日产量的关系？
（2）根据（1）的结果解决下列问题：
（i）建立关于的经验回归方程（斜率的结果四舍五入保留整数）；
（ii）如果日产量（单位：吨）与日生产总成本（单位：万元）满足关系，根据（i）中建立的经验回归方程估计日产量为何值时，日利润最大？
附：①相关系数；
②经验回归方程的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：.
③参考数据：.
【答案】（1）解：设模型的相关系数为，设模型的相关系数为，
所以，
，
由于，所以模型拟合更好，即模型更适合刻画日销售额关于日产量的关系；
（2）解：（i）由(1)知关于的经验回归方程为，
由题可得：，
，则；
（ii）由题可得，
所以，
令解得：，
当时，，即函数单调递增，当时，，即函数单调递减，
则的单调增区间为，单调减区间为，当时，日利润最大.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；最小二乘法；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）设模型的相关系数为，设模型的相关系数为，利用相关系数的公式求解分析判断即可；（2）（i）由（1）可得回归方程为，再根据公式求解，即可得回归方程；
（ii）求出的解析式，求导，利用导数研究函数的单调性求解即可.
（1）解：设模型的相关系数为，设模型的相关系数为，
所以，
，
由于，所以模型拟合更好，即模型更适合刻画日销售额关于日产量的关系；
（2）解：（i）由(1)知关于的经验回归方程为，
由题可得：，
，则；
（ii）由题可得，
所以，
令解得：，
当时，，即函数单调递增，当时，，即函数单调递减，
则的单调增区间为，单调减区间为，当时，日利润最大.
18．（2024高二下·东莞期末）已知函数.
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）若，求证：.
【答案】（1）解：函数定义域为，，
易知恒成立，
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即或时，
（i）当时，恒成立，函数在上单调递增；
（ii）当时，由，解得，，
易知，当时，或，当时，，
则函数在，上单调递增；在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增；在上单调递减；
（2）证明：由（1）得，当，在上单调递增，且，
则，因为，所以，
下面证，，即证在上恒成立，
，
令，
在恒成立，即在上单调递增，
则恒成立，在上单调递增，
恒成立，，即，，
则，即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）易得解析式，求导，对分类谈论，利用导数判断函数单调性即可；
（2）由（1）得，，因为，整理得，只需证即可，即证，对求导分析单调性，求出最小值证明即可.
（1）解：易知定义域为，，
①当，即时，恒成立，
在上单调递增；
②当，即或时，
（i）当时，恒成立，函数在上单调递增；
（ii）当时，由，解得，，经判断得，当时，或，当时，，
则函数在，上单调递增；在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增；在上单调递减，（其中，）；
（2）证明：由（1）得，当，在上单调递增，且，
则，因为，所以，
下面证，，即证在上恒成立，
，
令，
在恒成立，即在上单调递增，
则恒成立，在上单调递增，
恒成立，，即，，
则，即.
19．（2024高二下·东莞期末）设集合，且，记集合中的最小元素和最大元素分别为随机变量.
（1）若的概率为，求；
（2）若，求且的概率；
（3）记随机变量，证明：.
【答案】（1）解：非空集合B的个数为个.
所以
因为，解得，则；
（2）解：当非空集合B中最小元素和最大元素分别为时，集合B中元素一定有元素，
一定没有元素可有可无元素有
则集合B可能情况有个，若，非空集合B的个数为，
则；
（3）解：非空集合B的个数为个，
最小值的集合B的个数为个，
则.
最大值的集合B的个数为个，
则，
所以.
【知识点】集合中元素的个数问题；有理数指数幂的运算性质；离散型随机变量的期望与方差；有限集合的子集个数
【解析】【分析】（1）运用非空集合子集个数的结论，得到非空集合B的个数为个.运用对立事件概率求法，，解出即可.
（2）当非空集合B中的最小元素和最大元素分别为时，分析出集合B可能情况有个，若，非空集合B的个数为.古典概型相除求出概率即可.
（3）与上面方法一样，求出当最小值的概率.求出当最大值 的概率.则，运用求和规则，慢慢将式子展开，变形，得出结论即可.
（1）解：非空集合B的个数为个.
所以
因为，解得，则；
（2）解：当非空集合B中最小元素和最大元素分别为时，集合B中元素一定有元素，
一定没有元素可有可无元素有
则集合B可能情况有个，若，非空集合B的个数为，
则；
（3）解：非空集合B的个数为个，
最小值的集合B的个数为个，
则.
最大值的集合B的个数为个，
则，
所以.
1 / 11．（2024高二下·东莞期末）已知函数，则的导函数为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·东莞期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·东莞期末）两个相关变量满足如下关系：
2 3 4 5 6
25 ● 46 58 65
根据表格已得经验回归方程为.若表格中有一数据模糊不清，则推算该数据是（ ）
A．35.5 B．36 C．36.5 D．37
4．（2024高二下·东莞期末）在区间上，若，则下列四个图中，能表示函数的图像的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高二下·东莞期末）某中学推出了篮球 足球 排球 羽毛球 乒乓球共5门球类体育选修课供同学们选择，其中羽毛球火爆，只剩下一个名额，其余4门球类课程名额充足.现有某宿舍的四位同学报名选课，每人只选择其中的1门课程，四位同学选完后，恰好选择了3门不同球类课程，则不同的选课情况总共有（ ）
A．316种 B．360种 C．216种 D．288种
6．（2024高二下·东莞期末）袋中有5个白球，4个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色的球时停止取球，记X为取出球的总数，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·东莞期末）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·东莞期末）已知实数满足且，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·东莞期末）变量与的成对数据的散点图如下图所示，由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为；经过残差分析确定第二个点B为离群点（对应残差过大），把点B对应的数据去掉后，用剩下的7组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高二下·东莞期末）已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·东莞期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高二下·东莞期末）的展开式中，的系数是80，则 .
13．（2024高二下·东莞期末）若甲筐中有5个苹果，3个梨子，2个橙子，乙筐中有个苹果 1个梨子 2个橙子，现从甲筐中随机取出一个水果放入乙筐，再从乙筐中随机取出一个水果，记“从乙筐中取出的水果是苹果”为事件，若，则整数的最小值为 .
14．（2024高二下·东莞期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
15．（2024高二下·东莞期末）已知函数的图象在点处的切线方程是.
（1）求实数的值；
（2）若，求证：.
16．（2024高二下·东莞期末）某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了体育锻炼的宣传和调查.调查数据如下：共100份有效问卷，50名男性中有5名不经常体育锻炼，50名女性中有10名不经常体育锻炼.
（1）根据所给数据，完成下面的列联表：根据小概率值的独立性检验，分析性别因素是否会影响经常体育锻炼？
性别 经常体育锻炼与否 合计
经常体育锻炼 不经常体育锻炼
男
女
合计
（2）从不经常体育锻炼的15份调查问卷中得到不经常锻炼的原因：有3份身体原因；有2份不想锻炼；有4份没有时间；有6份没有运动伙伴.求从这15份问卷中随机选出2份，在已知其中一份是“没有时间”的条件下，另一份是“没有运动伙伴”的概率.
附：①，其中.
②临界值表
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．（2024高二下·东莞期末）某企业生产一种热销产品，产品日产量为吨，日销售额为万元（每日生产的产品当日可销售完毕），且产品价格随着产量变化而有所变化.经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量（单位：吨）和日销售额（单位：万元）的统计数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表：
15 73 4.8 10 161.2 1.6 39 15.9
其中，分别为数据的平均数.
（1）请从样本相关系数的角度，判断与哪一个模型更适合刻画日销售额关于日产量的关系？
（2）根据（1）的结果解决下列问题：
（i）建立关于的经验回归方程（斜率的结果四舍五入保留整数）；
（ii）如果日产量（单位：吨）与日生产总成本（单位：万元）满足关系，根据（i）中建立的经验回归方程估计日产量为何值时，日利润最大？
附：①相关系数；
②经验回归方程的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：.
③参考数据：.
18．（2024高二下·东莞期末）已知函数.
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）若，求证：.
19．（2024高二下·东莞期末）设集合，且，记集合中的最小元素和最大元素分别为随机变量.
（1）若的概率为，求；
（2）若，求且的概率；
（3）记随机变量，证明：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：定义域为，，
故答案为：B.
【分析】根据复合函数的求导法则以及余弦的二倍角公式求解即可.
2．【答案】C
【知识点】正态分布定义
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，且，
所以，
又因为正态分布的对称轴为2，所以，
所以
则.
故答案为：C.
【分析】根据正态分布对称性求解即可.
3．【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：易知，因为回归方程必过样本点中心，所以将代入经验回归方程得，则.
故答案为：B.
【分析】根据回归方程必过样本点中心求解即可.
4．【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为在区间上，若， 所以函数在区间上，函数图象在任意一点处的切线斜率恒大于1，易知A选项中，函数在处的切线斜率等于1，且在上，切线斜率不断增大，则恒成立.
故答案为：A.
【分析】根据导数值与函数切线斜率的关系判断即可.
5．【答案】D
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：当1人选羽毛球时，有种选法，再从其余4门球类课程选2门课程，有种选法，
其余3人中选1人选一门课程，其余2人选另1门课程，有种选法，则不痛的报名的情况有种选法；
当都不选羽毛球时，从其余4门球类课程中选3门，有种选法，
四人中有2人选择同1门课程，其余2人各自选1门课程，有种选法，
则报名的情况有种选法；
综上，他们报名的情况总共有种选法.
故答案为：D.
【分析】分选羽毛球和不选羽毛球两种情况讨论，再分别利用分步乘法原理计算报名情况，最后利用分类加法原理求解即可.
6．【答案】A
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：由题意，可知前4次取出的球的颜色有以下六种：白白黑白、白黑白白、黑白白白、黑黑白黑、黑白黑黑、白黑黑黑，每种事件相互互斥，由全概率公式得：
.
故答案为：A.
【分析】先确定所代表的意义，以及所包含的可能情况，再根据全概率公式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：由题意，可知杨辉三角第20行共有21个数，
其中从左往右第4个数为，
从左往右第5个数为，
根据组合数的对称性得杨辉三角第20行的21个数里有个大于2024，
则从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为.
故答案为：D.
【分析】由题意，先确定杨辉三角第20行的数的个数，通过和结合组合数对称性质得出杨辉三角第20行中比2024大的数的个数求解即可.
8．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为实数，满足，所以，
由，可得，即，
又因为，所以，
又因为，所以，若，则，
又因为，所以，即，所以，即.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用对数运算法则将等式变形，再根据指数函数值域及对数不等式可得的范围即可.
9．【答案】A,C
【知识点】散点图
【解析】【解答】解：由图可知，共8个数据点，且B为离群点，去掉离群点后回归方程的斜率更大，故C正确；
由图可知，变量与正相关，去掉离群点后相关性更强，拟合效果也更好，即，
故A正确，B错误.
故答案为：AC．
【分析】去掉离群点B，其它点的正线性关系更强即可判断AB；根据点B的特点即可判断CD．
10．【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
因为函数在处取到极大值1，所以，故A正确；
由A可知①②两式相减可得，即，故B正确；
由②式可得，则，
由于函数在处取到极大值，则函数的附近单调性为左增右减，
则，当时，，
即，即，
即，即，则，故C正确，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】先求导，根据极值点导数意义即可判断AB；根据函数在处取到极大值，则函数在的附近单调性为“左增右减”，利用导数正负即可判断CD.
11．【答案】A,C,D
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：由题意，可得，
因为，所以，所以，
A、因为，所以，故A正确；
B、，所以，故B错误；
C、，故C正确；
D、，则，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】，求出，利用即可判断A；由即可判断B；由条件概率公式即可判断D.
12．【答案】2
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，
当时，，则，解得.
故答案为：2.
【分析】由题意，利用二项式展开式的通项求解即可.
13．【答案】3
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记、、分别表示从甲筐中随机取出一个水果为苹果、梨子、橙子的事件，则、、相互互斥，
由全概率公式得：，解得，故整数的最小值为3.
故答案为：3.
【分析】记、、分别表示从甲筐中随机取出一个水果为苹果、梨子、橙子，则利用全概率公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：曲线和定义域均为，求导可得和，
设直线与和的切点分别为，，
由点斜式可得切线方程分别为，，
化简得，，
因为两直线与是同一条直线，
所以，解得，
则.
故答案为：.
【分析】设直线与和的切点分别为，，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，求的值即可.
15．【答案】（1）解：函数的定义域为，则，
因为函数在点的切线方程为，即切线的斜率为，
所以，解得；
（2）证明：由（1）可得函数，
因为，所以当时，恒成立；
令，则在上恒成立，当且仅当时，，
则函数在上单调递增，且，所以当时，，即恒成立，所以当时，，
综上可知：若，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导，根据导数几何意义以及切线方程列式求解即可；
（2）由（1）可得，再由解析式结构特征结合导数分和讨论函数的值，证明即可.
（1）解：函数的定义域为，，
因为函数在点的切线方程为，
所以，解得；
（2）证明：由（1）可得，
因为，所以当时，恒成立；
令，则在上恒成立，
当且仅当时，，
则函数在上单调递增，且，所以当时，，即恒成立，所以当时，，
综上可知：若，.
16．【答案】（1）解：由题可知：50名男性中有5名不经常体育锻炼，45名经常体育锻炼，50名女性中有10名不经常体育锻炼，40名经常体育锻炼；
列联表如下：
性别 经常体育锻炼与否 合计
经常体育锻炼 不经常体育锻炼
男 45 5 50
女 40 10 50
合计 85 15 100
所以，
因为，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别因素会影响经常体育锻炼；
（2）解：设事件为其中一份是“没有时间”，事件为另一份是“没有运动伙伴”，，，
则.
【知识点】独立性检验的应用；条件概率
【解析】【分析】（1）根据题意，补全列联表，计算的值，判断即可；
（2）由题意，根据条件概率公式求解即可.
（1）解：由题可知：50名男性中有5名不经常体育锻炼，45名经常体育锻炼，50名女性中有10名不经常体育锻炼，40名经常体育锻炼；
列联表如下：
性别 经常体育锻炼与否 合计
经常体育锻炼 不经常体育锻炼
男 45 5 50
女 40 10 50
合计 85 15 100
所以，
因为，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别因素会影响经常体育锻炼；
（2）解：设事件为其中一份是“没有时间”，事件为另一份是“没有运动伙伴”，
，，
则.
17．【答案】（1）解：设模型的相关系数为，设模型的相关系数为，
所以，
，
由于，所以模型拟合更好，即模型更适合刻画日销售额关于日产量的关系；
（2）解：（i）由(1)知关于的经验回归方程为，
由题可得：，
，则；
（ii）由题可得，
所以，
令解得：，
当时，，即函数单调递增，当时，，即函数单调递减，
则的单调增区间为，单调减区间为，当时，日利润最大.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；最小二乘法；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）设模型的相关系数为，设模型的相关系数为，利用相关系数的公式求解分析判断即可；（2）（i）由（1）可得回归方程为，再根据公式求解，即可得回归方程；
（ii）求出的解析式，求导，利用导数研究函数的单调性求解即可.
（1）解：设模型的相关系数为，设模型的相关系数为，
所以，
，
由于，所以模型拟合更好，即模型更适合刻画日销售额关于日产量的关系；
（2）解：（i）由(1)知关于的经验回归方程为，
由题可得：，
，则；
（ii）由题可得，
所以，
令解得：，
当时，，即函数单调递增，当时，，即函数单调递减，
则的单调增区间为，单调减区间为，当时，日利润最大.
18．【答案】（1）解：函数定义域为，，
易知恒成立，
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即或时，
（i）当时，恒成立，函数在上单调递增；
（ii）当时，由，解得，，
易知，当时，或，当时，，
则函数在，上单调递增；在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增；在上单调递减；
（2）证明：由（1）得，当，在上单调递增，且，
则，因为，所以，
下面证，，即证在上恒成立，
，
令，
在恒成立，即在上单调递增，
则恒成立，在上单调递增，
恒成立，，即，，
则，即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）易得解析式，求导，对分类谈论，利用导数判断函数单调性即可；
（2）由（1）得，，因为，整理得，只需证即可，即证，对求导分析单调性，求出最小值证明即可.
（1）解：易知定义域为，，
①当，即时，恒成立，
在上单调递增；
②当，即或时，
（i）当时，恒成立，函数在上单调递增；
（ii）当时，由，解得，，经判断得，当时，或，当时，，
则函数在，上单调递增；在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增；在上单调递减，（其中，）；
（2）证明：由（1）得，当，在上单调递增，且，
则，因为，所以，
下面证，，即证在上恒成立，
，
令，
在恒成立，即在上单调递增，
则恒成立，在上单调递增，
恒成立，，即，，
则，即.
19．【答案】（1）解：非空集合B的个数为个.
所以
因为，解得，则；
（2）解：当非空集合B中最小元素和最大元素分别为时，集合B中元素一定有元素，
一定没有元素可有可无元素有
则集合B可能情况有个，若，非空集合B的个数为，
则；
（3）解：非空集合B的个数为个，
最小值的集合B的个数为个，
则.
最大值的集合B的个数为个，
则，
所以.
【知识点】集合中元素的个数问题；有理数指数幂的运算性质；离散型随机变量的期望与方差；有限集合的子集个数
【解析】【分析】（1）运用非空集合子集个数的结论，得到非空集合B的个数为个.运用对立事件概率求法，，解出即可.
（2）当非空集合B中的最小元素和最大元素分别为时，分析出集合B可能情况有个，若，非空集合B的个数为.古典概型相除求出概率即可.
（3）与上面方法一样，求出当最小值的概率.求出当最大值 的概率.则，运用求和规则，慢慢将式子展开，变形，得出结论即可.
（1）解：非空集合B的个数为个.
所以
因为，解得，则；
（2）解：当非空集合B中最小元素和最大元素分别为时，集合B中元素一定有元素，
一定没有元素可有可无元素有
则集合B可能情况有个，若，非空集合B的个数为，
则；
（3）解：非空集合B的个数为个，
最小值的集合B的个数为个，
则.
最大值的集合B的个数为个，
则，
所以.
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