1．（2024高二下·东坡期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·东坡期末）图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）
图一 图二 图三
A． B． C． D．
3．（2024高二下·东坡期末）如图，圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长，过的中点B作的垂线交圆O于点C，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·东坡期末）“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024高二下·东坡期末）小王同学制作了一枚质地均匀的正十二面体骰子，并在十二个面上分别画了十二生肖的图案，且每个面上的生肖各不相同，如图所示．小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·东坡期末）已知圆：与圆：的公共弦所在直线与直线：垂直，则的值为（ ）
A．2 B． C．8 D．
7．（2024高二下·东坡期末）已知点，，，，则直线，的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．重合 D．异面
8．（2024高二下·东坡期末）已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·东坡期末）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，其中，，，，，则（ ）
A．事件A与B互斥 B．事件A与B相互独立
C．事件A与C互斥 D．事件A与C相互独立
10．（2024高二下·东坡期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积是
B．平面
C．平面与平面所成的二面角为
D．异面直线与所成角的范围是
11．（2024高二下·东坡期末）数列满足，则（ ）
A．数列的最大项为 B．数列的最大项为
C．数列的最小项为 D．数列的最小项为
12．（2024高二下·东坡期末）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，则（ ）
A．C的准线方程为
B．
C．若点，则
D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上
13．（2024高二下·东坡期末）抛物线上一点到焦点的距离为 ．
14．（2024高二下·东坡期末）已知满足对一切正整数n均有且恒成立，则实数的范围是
15．（2024高二下·东坡期末）已知圆C的方程为，过直线l：（）上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为，则直线l的斜率为 ．
16．（2024高二下·东坡期末）已知正方体中，O为正方形的中心．M为平面上的一个动点，则下列命题正确的
①若，则M的轨迹是圆；②若M到直线距离相等，则M的轨迹是双曲线；③若M到直线距离相等，则M的轨迹是抛物线
17．（2024高二下·东坡期末）已知直线；
（1）证明：直线l过定点；
（2）已知点，当点到直线l的距离最大时，求实数m的值．
18．（2024高二下·东坡期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程.
19．（2024高二下·东坡期末）已知过点的直线与抛物线（）交于，两点，且当的斜率为时，恰为中点．
（1）求的值；
（2）当经过抛物线的焦点时，求的面积．
20．（2024高二下·东坡期末）眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方.在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
（1）分别求甲队总得分为0分；2分的概率；
（2）求甲队得2分乙队得1分的概率.
21．（2024高二下·东坡期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，点O是的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在点M，使得平面 若存在，求的值；若不存在，说明理由．
22．（2024高二下·东坡期末）已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，
解得，则实数的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】根据给定的方程及椭圆焦点位置，列出不等式求解即可.
2．【答案】D
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：第1代“勾股树”中正方形的个数为，面积和为2；
第二代“勾股树”中正方形的个数为，面积和为3；
第三代“勾股树”中正方形的个数为，面积和为4；
…
第n代“勾股树”中正方形的个数为，面积和为，
故答案为：D.
【分析】根据“勾股树”的规律依次类推求解即可.
3．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：易知为直角梯形，因为B为的中点，且，所以，
连接，如图所示：
易证四边形为矩形，则，
即为异面直线与所成的角，
在中，，则，
连接，在中，由，，可得，
在中，，则，即异面直线与所成角的大小为.
故答案为：B.
【分析】连接，推得为异面直线与所成的角，求出即可.
4．【答案】C
【知识点】子集与真子集；必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：因为 直线和直线平行 ，
则，解得 或 ，
若，则两直线分别为，两直线平行，符合题意；
若，则两直线分别为，两直线平行，符合题意；
综上所述： 直线和直线平行 等价于 或 ，
且是的真子集，
所以“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件 .
故答案为：C.
【分析】根据直线平行求a的值，再利用包含关系结合充分、必要条件分析判断.
5．【答案】C
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】解：易知小王抛掷1次骰子现龙的图案朝上的概率为，
则小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为.
故答案为：C.
【分析】易知小王抛掷骰子1次，出现龙的图案朝上的概率，即可求出小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率 .
6．【答案】A
【知识点】用斜率判定两直线垂直；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：将两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为：，
因为直线与直线：垂直，所以，解得，
当时，圆：，即，
圆心为，半径，
圆：的圆心，半径，
，则圆与圆相交，符合题意，
故的值为2.
故答案为：A.
【分析】先求圆与圆的公共弦所在直线方程，再由垂直关系求出得值，注意验证即可.
7．【答案】D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：易知，，，
因为不存在实数，使得，所以、不共线，
即直线，不平行，不重合，故A、D错误；
假设、、三个向量共面，设，则，此方程组无解，
则、、三个向量不共面，即直线，不相交，故直线，异面，
故B错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】由题意，先求、、的坐标，由空间向量共线定理即可判断A，C；再证明三个向量不共面即可求证直线，不相交，即可得直线，的位置关系.
8．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的值域与最值；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设，，，
因为，所以，
又因为，所以，由，
可得，
解得，由双曲线的定义可知：，
则，整理可得，
化简可得，由，且，
则，可得或，
解得或，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】由题意，可得夹角的取值范围，整理相关等式，进而可得离心率的函数表达式，利用不等式的性质求解即可.
9．【答案】A,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、因为，，，所以，，即事件A与B互斥，故A正确；
B、因为，，，，事件A与B不独立，故B错误；
C、因为，由已知得：，，即事件A与C不互斥，故C错误；
D、因为，，，所以，事件A与C相互独立，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据已知条件求出，即可判断AC；计算概率结合相互独立事件的意义即可判断BD.
10．【答案】A,B,D
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、，因为到面的距离不变，且△的面积不变，所以三棱锥的体积不变，当与重合时：，故A正确；B、连接，，，，如图所示：
易证平面平面，因为面，所以面，故B正确；
C、根据正方体的结构特征，有面，又面，则面面，故C错误；
D、由知：当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，当与线段的中点重合时，与所成角取最大值，故与所成角的范围，故D正确.
故答案为：ABD．
【分析】利用等体积法，根据特殊点：与重合时，求的体积即可判断A；根据面面平行的性质证面即可判断B；根据正方体的结构特征证面面即可判断C；由，根据在线段的位置，确定异面直线与所成角的范围即可判断D.
11．【答案】B,D
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：数列满足，
则，
令，解得，且易知当时，，当时，，
则
故数列的最大项为，最小项为.
故答案为：BD.
【分析】由，判断数列的单调性求解即可.
12．【答案】A,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、由抛物线，可得焦点，准线方程为，故A正确；
B、由抛物线的光学性质可知，直线经过焦点F，且斜率不为0，
设直线，联立方程组，整理得，
可得，所以，故B错误；
C、若点，则，所以，所以，，
所以，故C错误；
D、又由直线，联立方程组，解得，
由，得，所以，所以点N在直线上，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据抛物线的几何性质即可判断A；设直线，联立方程组，结合韦达定理即可判断B；根据，求得即可判断C；由，联立方程组得到，结合即可判断判定D.
13．【答案】3
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：因为点在抛物线上，所以点到焦点的距离等于起到准线的距离，又因为抛物线的准线方程为，所以点到焦点的距离为.
故答案为：3.
【分析】根据抛物线的定义求解即可.
14．【答案】
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：因为对一切正整数n均有且恒成立，
所以，即，
又因为，所以的最小值为3，即实数的范围为.
故答案为：.
【分析】问题转化为，计算的最小值，即可得实数的范围.
15．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设直线上任意点为，当时，切线长最小时，且，
因为切线长的最小值为，所以，解得，则直线的斜率为.
故答案为：.
【分析】设直线上任意点为，当时，切线长最小时，利用点到直线的距离公式计算的值结合已知条件，解方程求得的值，即可求直线的斜率.
16．【答案】②③
【知识点】轨迹方程；抛物线的定义；圆锥曲线的轨迹问题；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体棱长为，
① 、，，，则
因为，所以，即，
解得，则的轨迹是一个点，故①错误；
②、过向作垂线，垂足为，过向作垂线，垂足为，
过向作垂线，垂足为，由于，
又因为，，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
若到直线，距离相等，即，
因为，所以，
则，即，则的轨迹是双曲线，故②正确；
③、若到直线，距离相等，面，面，
所以，所以到直线的距离为到点的距离，
则到直线，点距离相等，由抛物线定义可知：的轨迹是抛物线，故③正确.
故答案为：②③.
【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标法或直接运用几何定义法来研究动点轨迹判断即可.
17．【答案】（1）解：直线，变形可得，
由，解得，
则直线l过恒过定点；
（2）解：由题意可知，点到直线l的距离的最大值为点到定点的距离，
此时直线l与过点与定点的直线垂直，则过与定点的直线的斜率为，即，
则，解得．
【知识点】用斜率判定两直线垂直；恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）直线方程整理为关于的方程，即可证明直线过定点；
（2）利用过定点与的直线和直线垂直时，距离最大求解即可．
（1）由直线方程可得，，
，
直线l过恒过定点.
（2）由题意可知，点到直线l的距离的最大值为点到定点的距离，
此时直线l与过点与定点的直线垂直，
则过与定点的直线的斜率为，所以，
所以．
18．【答案】（1）解：设，由，得，
化简得，
所以动点P的轨迹C的方程为.
（2）解：由（1）知轨迹C：表示圆心为，半径为2的圆．
当直线l的斜率不存在时，方程为，此时直线l与圆C相切．
当直线l的斜率存在时，设，即，
于是有，解得，因此直线l的方程为，即，
所以直线l的方程为或．
【知识点】圆的切线方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点距离公式得出动点P的轨迹C的方程。
（2）由（1）得出点P的轨迹方程得出圆心坐标和半径长，再结合直线与圆相切位置关系判断方法，进而得出满足要求的直线l的方程。
19．【答案】（1）解：当斜率为时，因为直线过点，所以直线，且经过坐标原点，
不妨设，又因为恰为中点 ，所以点，
代入抛物线的方程得，解得；
（2）解：由（1）可知抛物线的焦点，当经过抛物线的焦点时，直线方程为，
联立，消元整理可得，
设，，由韦达定理可得，，
则的面积．
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，求出直线方程后，设出交点坐标，代入抛物线方程求解即可；
（2）由（1）可得直线方程，联立直线方程和抛物线方程，消元整理结合韦达定理、三角形面积公式求解即可.
20．【答案】解：（1）记“甲队总得分为0分”为事件，“甲队总得分为2分”为事件，
甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，；
甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，；
（2）记“乙队得1分”为事件，“甲队得2分乙队得1分”为事件；
事件即乙队三人中有2人答错，其余1人答对，
则，
甲队得2分乙队得1分即事件、同时发生，则．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【分析】（1）记“甲队总得分为0分”为事件，“甲队总得分为2分”为事件，分析可知A事件三人都没有答对，按相互独立事件同时发生计算概率，B事件即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，由n次独立事件恰有k次发生计算即可；
（2）记“乙队得1分”为事件，“甲队得2分乙队得1分”为事件，分别根据互斥事件概率加法公式及相互独立事件乘法公式计算即可.
21．【答案】（1）证明：因为，点O是的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，又因为平面，所以；
（2）解：设为的中点，连接，
因为，，所以，由（1）可知：平面，而平面，
所以，
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，因此平面的法向量为，
设平面的法向量为，，
则，即，，
则二面角的余弦值为；
（3）解：假设在棱上存在点M，使得平面，且，可得：，因此，
由（2）可知平面的法向量为，
因为平面，所以，
因此假设成立，.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合面面垂直的性质、线面垂直的性质进行证明即可；
（2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（3）根据线面平行的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.
（1）因为，点O是的中点，
所以，因为平面平面，平面平面，
所以平面，而平面，
所以；
（2）设为的中点，连接，
因为，，所以，由（1）可知：平面，而平面，所以，
因此建立如图所示的空间直角坐标系，
，
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，因此平面的法向量为，
设平面的法向量为，，
于是有，
二面角的余弦值为：；
（3）假设在棱上存在点M，使得平面，且，可得：，因此，
由（2）可知平面的法向量为，
因为平面，所以，
因此假设成立，.
22．【答案】（1）解：易知，，因为，所以，所以椭圆方程为；
（2）解：由题意，过点的直线为，设、，不妨令，
联立，消去整理得，
所以，解得，
由韦达定理可得：，，
直线的方程为，令，解得，
直线的方程为，令，解得，
所以
，
所以，
即，
即，
即，
整理得，解得.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得，求得，即可得椭圆方程；
（2）由题意，过点的直线为，设、，联立直线与椭圆方程，消元整理，由韦达定理以及直线、的方程，表示出、，根据得到方程，求解即可；
（1）解：依题意可得，，又，
所以，所以椭圆方程为；
（2）解：依题意过点的直线为，设、，不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直线的方程为，令，解得，
直线的方程为，令，解得，
所以
，
所以，
即
即
即
整理得，解得
1 / 11．（2024高二下·东坡期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，
解得，则实数的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】根据给定的方程及椭圆焦点位置，列出不等式求解即可.
2．（2024高二下·东坡期末）图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）
图一 图二 图三
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：第1代“勾股树”中正方形的个数为，面积和为2；
第二代“勾股树”中正方形的个数为，面积和为3；
第三代“勾股树”中正方形的个数为，面积和为4；
…
第n代“勾股树”中正方形的个数为，面积和为，
故答案为：D.
【分析】根据“勾股树”的规律依次类推求解即可.
3．（2024高二下·东坡期末）如图，圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长，过的中点B作的垂线交圆O于点C，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：易知为直角梯形，因为B为的中点，且，所以，
连接，如图所示：
易证四边形为矩形，则，
即为异面直线与所成的角，
在中，，则，
连接，在中，由，，可得，
在中，，则，即异面直线与所成角的大小为.
故答案为：B.
【分析】连接，推得为异面直线与所成的角，求出即可.
4．（2024高二下·东坡期末）“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】子集与真子集；必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：因为 直线和直线平行 ，
则，解得 或 ，
若，则两直线分别为，两直线平行，符合题意；
若，则两直线分别为，两直线平行，符合题意；
综上所述： 直线和直线平行 等价于 或 ，
且是的真子集，
所以“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件 .
故答案为：C.
【分析】根据直线平行求a的值，再利用包含关系结合充分、必要条件分析判断.
5．（2024高二下·东坡期末）小王同学制作了一枚质地均匀的正十二面体骰子，并在十二个面上分别画了十二生肖的图案，且每个面上的生肖各不相同，如图所示．小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】解：易知小王抛掷1次骰子现龙的图案朝上的概率为，
则小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为.
故答案为：C.
【分析】易知小王抛掷骰子1次，出现龙的图案朝上的概率，即可求出小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率 .
6．（2024高二下·东坡期末）已知圆：与圆：的公共弦所在直线与直线：垂直，则的值为（ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】A
【知识点】用斜率判定两直线垂直；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：将两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为：，
因为直线与直线：垂直，所以，解得，
当时，圆：，即，
圆心为，半径，
圆：的圆心，半径，
，则圆与圆相交，符合题意，
故的值为2.
故答案为：A.
【分析】先求圆与圆的公共弦所在直线方程，再由垂直关系求出得值，注意验证即可.
7．（2024高二下·东坡期末）已知点，，，，则直线，的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．重合 D．异面
【答案】D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：易知，，，
因为不存在实数，使得，所以、不共线，
即直线，不平行，不重合，故A、D错误；
假设、、三个向量共面，设，则，此方程组无解，
则、、三个向量不共面，即直线，不相交，故直线，异面，
故B错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】由题意，先求、、的坐标，由空间向量共线定理即可判断A，C；再证明三个向量不共面即可求证直线，不相交，即可得直线，的位置关系.
8．（2024高二下·东坡期末）已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的值域与最值；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设，，，
因为，所以，
又因为，所以，由，
可得，
解得，由双曲线的定义可知：，
则，整理可得，
化简可得，由，且，
则，可得或，
解得或，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】由题意，可得夹角的取值范围，整理相关等式，进而可得离心率的函数表达式，利用不等式的性质求解即可.
9．（2024高二下·东坡期末）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，其中，，，，，则（ ）
A．事件A与B互斥 B．事件A与B相互独立
C．事件A与C互斥 D．事件A与C相互独立
【答案】A,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、因为，，，所以，，即事件A与B互斥，故A正确；
B、因为，，，，事件A与B不独立，故B错误；
C、因为，由已知得：，，即事件A与C不互斥，故C错误；
D、因为，，，所以，事件A与C相互独立，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据已知条件求出，即可判断AC；计算概率结合相互独立事件的意义即可判断BD.
10．（2024高二下·东坡期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积是
B．平面
C．平面与平面所成的二面角为
D．异面直线与所成角的范围是
【答案】A,B,D
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、，因为到面的距离不变，且△的面积不变，所以三棱锥的体积不变，当与重合时：，故A正确；B、连接，，，，如图所示：
易证平面平面，因为面，所以面，故B正确；
C、根据正方体的结构特征，有面，又面，则面面，故C错误；
D、由知：当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，当与线段的中点重合时，与所成角取最大值，故与所成角的范围，故D正确.
故答案为：ABD．
【分析】利用等体积法，根据特殊点：与重合时，求的体积即可判断A；根据面面平行的性质证面即可判断B；根据正方体的结构特征证面面即可判断C；由，根据在线段的位置，确定异面直线与所成角的范围即可判断D.
11．（2024高二下·东坡期末）数列满足，则（ ）
A．数列的最大项为 B．数列的最大项为
C．数列的最小项为 D．数列的最小项为
【答案】B,D
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：数列满足，
则，
令，解得，且易知当时，，当时，，
则
故数列的最大项为，最小项为.
故答案为：BD.
【分析】由，判断数列的单调性求解即可.
12．（2024高二下·东坡期末）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，则（ ）
A．C的准线方程为
B．
C．若点，则
D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上
【答案】A,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、由抛物线，可得焦点，准线方程为，故A正确；
B、由抛物线的光学性质可知，直线经过焦点F，且斜率不为0，
设直线，联立方程组，整理得，
可得，所以，故B错误；
C、若点，则，所以，所以，，
所以，故C错误；
D、又由直线，联立方程组，解得，
由，得，所以，所以点N在直线上，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据抛物线的几何性质即可判断A；设直线，联立方程组，结合韦达定理即可判断B；根据，求得即可判断C；由，联立方程组得到，结合即可判断判定D.
13．（2024高二下·东坡期末）抛物线上一点到焦点的距离为 ．
【答案】3
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：因为点在抛物线上，所以点到焦点的距离等于起到准线的距离，又因为抛物线的准线方程为，所以点到焦点的距离为.
故答案为：3.
【分析】根据抛物线的定义求解即可.
14．（2024高二下·东坡期末）已知满足对一切正整数n均有且恒成立，则实数的范围是
【答案】
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：因为对一切正整数n均有且恒成立，
所以，即，
又因为，所以的最小值为3，即实数的范围为.
故答案为：.
【分析】问题转化为，计算的最小值，即可得实数的范围.
15．（2024高二下·东坡期末）已知圆C的方程为，过直线l：（）上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为，则直线l的斜率为 ．
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设直线上任意点为，当时，切线长最小时，且，
因为切线长的最小值为，所以，解得，则直线的斜率为.
故答案为：.
【分析】设直线上任意点为，当时，切线长最小时，利用点到直线的距离公式计算的值结合已知条件，解方程求得的值，即可求直线的斜率.
16．（2024高二下·东坡期末）已知正方体中，O为正方形的中心．M为平面上的一个动点，则下列命题正确的
①若，则M的轨迹是圆；②若M到直线距离相等，则M的轨迹是双曲线；③若M到直线距离相等，则M的轨迹是抛物线
【答案】②③
【知识点】轨迹方程；抛物线的定义；圆锥曲线的轨迹问题；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体棱长为，
① 、，，，则
因为，所以，即，
解得，则的轨迹是一个点，故①错误；
②、过向作垂线，垂足为，过向作垂线，垂足为，
过向作垂线，垂足为，由于，
又因为，，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
若到直线，距离相等，即，
因为，所以，
则，即，则的轨迹是双曲线，故②正确；
③、若到直线，距离相等，面，面，
所以，所以到直线的距离为到点的距离，
则到直线，点距离相等，由抛物线定义可知：的轨迹是抛物线，故③正确.
故答案为：②③.
【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标法或直接运用几何定义法来研究动点轨迹判断即可.
17．（2024高二下·东坡期末）已知直线；
（1）证明：直线l过定点；
（2）已知点，当点到直线l的距离最大时，求实数m的值．
【答案】（1）解：直线，变形可得，
由，解得，
则直线l过恒过定点；
（2）解：由题意可知，点到直线l的距离的最大值为点到定点的距离，
此时直线l与过点与定点的直线垂直，则过与定点的直线的斜率为，即，
则，解得．
【知识点】用斜率判定两直线垂直；恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）直线方程整理为关于的方程，即可证明直线过定点；
（2）利用过定点与的直线和直线垂直时，距离最大求解即可．
（1）由直线方程可得，，
，
直线l过恒过定点.
（2）由题意可知，点到直线l的距离的最大值为点到定点的距离，
此时直线l与过点与定点的直线垂直，
则过与定点的直线的斜率为，所以，
所以．
18．（2024高二下·东坡期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程.
【答案】（1）解：设，由，得，
化简得，
所以动点P的轨迹C的方程为.
（2）解：由（1）知轨迹C：表示圆心为，半径为2的圆．
当直线l的斜率不存在时，方程为，此时直线l与圆C相切．
当直线l的斜率存在时，设，即，
于是有，解得，因此直线l的方程为，即，
所以直线l的方程为或．
【知识点】圆的切线方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点距离公式得出动点P的轨迹C的方程。
（2）由（1）得出点P的轨迹方程得出圆心坐标和半径长，再结合直线与圆相切位置关系判断方法，进而得出满足要求的直线l的方程。
19．（2024高二下·东坡期末）已知过点的直线与抛物线（）交于，两点，且当的斜率为时，恰为中点．
（1）求的值；
（2）当经过抛物线的焦点时，求的面积．
【答案】（1）解：当斜率为时，因为直线过点，所以直线，且经过坐标原点，
不妨设，又因为恰为中点 ，所以点，
代入抛物线的方程得，解得；
（2）解：由（1）可知抛物线的焦点，当经过抛物线的焦点时，直线方程为，
联立，消元整理可得，
设，，由韦达定理可得，，
则的面积．
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，求出直线方程后，设出交点坐标，代入抛物线方程求解即可；
（2）由（1）可得直线方程，联立直线方程和抛物线方程，消元整理结合韦达定理、三角形面积公式求解即可.
20．（2024高二下·东坡期末）眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方.在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
（1）分别求甲队总得分为0分；2分的概率；
（2）求甲队得2分乙队得1分的概率.
【答案】解：（1）记“甲队总得分为0分”为事件，“甲队总得分为2分”为事件，
甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，；
甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，；
（2）记“乙队得1分”为事件，“甲队得2分乙队得1分”为事件；
事件即乙队三人中有2人答错，其余1人答对，
则，
甲队得2分乙队得1分即事件、同时发生，则．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【分析】（1）记“甲队总得分为0分”为事件，“甲队总得分为2分”为事件，分析可知A事件三人都没有答对，按相互独立事件同时发生计算概率，B事件即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，由n次独立事件恰有k次发生计算即可；
（2）记“乙队得1分”为事件，“甲队得2分乙队得1分”为事件，分别根据互斥事件概率加法公式及相互独立事件乘法公式计算即可.
21．（2024高二下·东坡期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，点O是的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在点M，使得平面 若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明：因为，点O是的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，又因为平面，所以；
（2）解：设为的中点，连接，
因为，，所以，由（1）可知：平面，而平面，
所以，
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，因此平面的法向量为，
设平面的法向量为，，
则，即，，
则二面角的余弦值为；
（3）解：假设在棱上存在点M，使得平面，且，可得：，因此，
由（2）可知平面的法向量为，
因为平面，所以，
因此假设成立，.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合面面垂直的性质、线面垂直的性质进行证明即可；
（2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（3）根据线面平行的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.
（1）因为，点O是的中点，
所以，因为平面平面，平面平面，
所以平面，而平面，
所以；
（2）设为的中点，连接，
因为，，所以，由（1）可知：平面，而平面，所以，
因此建立如图所示的空间直角坐标系，
，
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，因此平面的法向量为，
设平面的法向量为，，
于是有，
二面角的余弦值为：；
（3）假设在棱上存在点M，使得平面，且，可得：，因此，
由（2）可知平面的法向量为，
因为平面，所以，
因此假设成立，.
22．（2024高二下·东坡期末）已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
【答案】（1）解：易知，，因为，所以，所以椭圆方程为；
（2）解：由题意，过点的直线为，设、，不妨令，
联立，消去整理得，
所以，解得，
由韦达定理可得：，，
直线的方程为，令，解得，
直线的方程为，令，解得，
所以
，
所以，
即，
即，
即，
整理得，解得.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得，求得，即可得椭圆方程；
（2）由题意，过点的直线为，设、，联立直线与椭圆方程，消元整理，由韦达定理以及直线、的方程，表示出、，根据得到方程，求解即可；
（1）解：依题意可得，，又，
所以，所以椭圆方程为；
（2）解：依题意过点的直线为，设、，不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直线的方程为，令，解得，
直线的方程为，令，解得，
所以
，
所以，
即
即
即
整理得，解得
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