1．（2024高二下·湖北月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故选：C.
【分析】解出二次不等式化简集合A，根据交集的定义（交集的定义是由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合， 记作）求解即可.
2．（2024高二下·湖北月考）已知为虚数单位，为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若的实部为0，则是纯虚数
C．若，则的虚部是 D．若，则
【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：对A：若，则，故A错误；
对B：实部为0的复数可能虚部也为0，从而是实数，故B错误；
对C：复数的虚部是1，故C错误；
对D：设，则，所以，即，所以，故D正确.
故选：D.
【分析】根据复数的概念（复数通常表示为的形式， 其中和是实数， 而是虚数单位， 满足，这里的称为复数的实部， 称为复数的虚部）即可求解.
3．（2024高二下·湖北月考）已知两个单位向量的夹角为，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：.
故选：A.
【分析】直接利用数量积的运算律和定义(分配率：当我们计算一个向量和另一个向量的和与第三个向量的数量积时， 可以分别计算每个向量与第三个向量的数量积， 然后将结果相加， 这与先计算和再计算数量积的结果相同)即可得到答案.
4．（2024高二下·湖北月考）已知函数（是的导函数），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，所以.
将代入导函数，可得，解得.
故选：D.
【分析】对函数求导，将代入导函数，解出即可求解.
5．（2024高二下·湖北月考）已知数列的前项和（为常数），则“”是“为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】充要条件；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由于，故，且对有
，所以.
一方面，若，则适合，所以对任意正整数都有，从而.
故是等比数列，从而条件是充分的；
另一方面，若是等比数列，则，所以，从而条件是必要的.
故选：C.
【分析】先利用的表达式求出的通项为，然后分别证明充分性和必要性（充分性指的是“如果A成立， 则B也一定成立”的关系；必要性指的是“只有当B成立时， A才能成立”的关系）即可得到答案.
6．（2024高二下·湖北月考）某陶瓷厂上釉车间有两条生产线，现随机对这两条生产线所生产的产品进行抽检，抽检生产线的产品的概率为，抽检生产线的产品的概率为.经过大量数据分析得生产线的次品率为，如果本次抽检得到的产品为次品的概率为，据此估计B生产线的次品率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件为“抽检得到的产品为次品”，事件分别表示抽检两条生产线的产品，
则，，设，
因此，解得，
所以估计B生产线的次品率为.
故选：D
【分析】根据给定条件，利用字母设出相关事件，根据题意写出各个事件的概率，然后根据全概率公式列出方程并求解即得.
7．（2024高二下·湖北月考）设函数，若，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的图象
【解析】【解答】解：的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，
其最小正周期，画出的图象.
令，得，
所以的图象离轴最近的一条对称轴为直线，
因为，令，
因为，考虑临界状态，而，
若，由对称性可知，离0最近的.
若满足题意，显然.
故选：B.
【分析】先利用三角函数的平移变换（左加右减）画出三角函数的图象，观察图象找到临界值，从而求出的取值范围.
8．（2024高二下·湖北月考）如图，已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与交于两点，在第一象限，延长交于多一点，若且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】解：设的左焦点为，连接，
则，因为，所以由双曲线的对称性知四边形为矩形.
在中，因为，所以，化简得.
在中，因为，所以，化简得，所以离心率.
故选：A.
【分析】设的左焦点为，连接，利用双曲线的定义结合勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）求解即可.
9．（2024高二下·湖北月考）下列函数中，在定义域内既为奇函数，又为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；复合函数的单调性；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于选项A，，则的定义域为，且在上既为奇函数，又为增函数，故A正确；
对于选项B，因为，所以不为奇函数，故B错误；
对于选项C，由于的定义域为，且，所以为奇函数，又，由复合函数的单调性知为增函数，故C正确；
对于选项D，由于，故在定义域上不可能为增函数，故D错误.
故选：AC.
【分析】直接通过奇函数和增函数的定义即可验证A和C正确；对于B，指出即可否定；对于D，指出即可否定.
奇函数的定义： 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键在于对函数奇偶性和单调性定义的熟练运用.
10．（2024高二下·湖北月考）在平面直角坐标系中，为抛物线的焦点，，过的直线与在第一象限交于点A，则（ ）
A．到直线距离的最大值为
B．若到直线的距离相等，则的倾斜角为
C．的最小值是
D．当在直线的上方时，面积的最大值为
【答案】A,D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：对于选项A，当时，到直线的距离取得最大值，
其中，所以最大距离为，故正确；
对于选项B，设的方程为，若到直线的距离相等，
则，解得或，所以的倾斜角有两种可能，B错误；
对于选项C，由题意知，的准线为直线，焦点，
过点作的准线的垂线，垂足分别为，
则（当且仅当共线时取等号），
所以的最小值是点到的准线的距离，即为4，故C错误；
对于选项D，当点到直线的距离取得最大值时，的面积有最大值，
此时抛物线在处的切线与直线平行，其中.
由得，令，解得，
所以到直线的距离，
所以面积的最大值为，故D正确.
故选：AD.
【分析】对于A选项，当时，到直线的距离取得最大值，由两点间距离公式求出答案；对于B选项，设的方程为，根据点到直线距离公式得到方程，求出的值，从而得到直线的倾斜角；对于C选项，作出辅助线，结合焦半径公式得到的最小值是点到的准线的距离，即为4；对于D选项，当点到直线的距离取得最大值时，的面积有最大值，结合，利用导数的几何意义（某一点的导数表示该点处切线的斜率）求出点坐标，从而求出最大面积.
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
11．（2024高二下·湖北月考）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，是棱的中点，，过点作平面与直线垂直，过点作平面与平面平行，则（ ）
A．当时，截正三棱柱所得截面的面积为
B．当时，截正三棱柱所得截面的面积为
C．若截正三棱柱所得截面为三角形，则的取值范围为
D．若，则截正三棱柱所得截面为四边形
【答案】A,B,D
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：对于选项A，当时，为中点，取中点，连接，如图1所示，因为，所以，
，则.
在正三棱柱中，平面平面，平面平面，
平面，，，则平面，
因为平面，所以，
又因为平面，所以平面，
则为所求截面，，故选项A正确；
对于选项B，当时，与重合，
取的中点，的中点，连接，如图2，
由A选项知平面，平面，，
因为四边形为正方形，，所以，
平面，，则有平面，
则为所求截面，其面积为，故选项B正确；
对于选项C，取的中点，连接，当时，与重合，如图3，
由，，则四边形为平行四边形，有，
平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
平面，，所以平面平面，
故平面截正三棱柱所得截面为，故选项C错误；
对于选项D，若为中点，当在上（不含端点）时，即，
作出平面截正三棱柱所得截面如图4所示，
从下到上的过程中，截面为四边形，故选项D正确.
故选：ABD.
【分析】利用平面的基本性质（面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；线面垂直的判定：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直）画出不同对应的截面图形，结合已知判断图形形状或求它们的面积判断各选项正误.
12．（2024高二下·湖北月考）已知，，则 .
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，所以，解得或（舍）.
又因为，所以，所以.
故答案为：.
【分析】根据条件和同角三角函数关系式得出的值，再根据，进而得出答案.
13．（2024高二下·湖北月考）已知随机变量，则的展开式中含项的系数为 .
【答案】
【知识点】随机数的含义与应用；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为，且，所以，
则展开式中的第项为，，
令，解得，故的展开式中含项的系数为.
故答案为：.
【分析】由正态分布曲线的对称性求得，写出二项展开式的通项（二项式展开式的通项公式是 ，其中 表示二项展开式的第 ，表示从n个数中取r个数的组合数），根据题意，求得，代入通项计算即得.
14．（2024高二下·湖北月考）定义函数，已知函数，则的值域为
；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】；
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象
【解析】【解答】解：
根据已知条件的定义知，
的图象如图所示，
因为的值域为.
由，得，因为恰有3个零点，
所以的图象与直线恰有3个不同的交点，而且直线恒过点，
易求得图中所对应的值分别为，
联立两个方程得，
令，解得，
由图可知，
所以实数的取值范围为.
故填：；.
【分析】①根据已知条件得到的解析式，然后结合图象求出函数值域；②将已知条件恰有3个零点转化为的图象与直线恰有3个不同的交点，然后根据图象求的范围.
【点睛】
方法点睛：函数的零点问题：
①转化为方程，直接求解；
②转化为函数图象与轴交点的横坐标；
③转化为两个函数图象交点的横坐标.
15．（2024高二下·湖北月考）为了解甲 乙两所学校高二年级学生在学年度第二学期期末考试中的物理成绩情况，采用随机抽样方法从两所学校各抽取50名学生的物理成绩，并作出了频数分布统计表如下：
分组
甲校 频数 3 4 18 15 10
乙校 频数 2 6 12 18 12
（1）分别估计甲校物理成绩的分位数（精确到0.1）和乙校物理成绩的平均分（同一组中的数据用该区间的中点值代表）：
（2）根据以上统计数据完成列联表（成绩不低于60分的视为及格），并依据的独立性检验，判断两所学校的物理成绩的及格率是否存在差异.
甲校 乙校 合计
及格
不及格
合计
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）解：因为甲校物理成绩的前三组人数频率为，
甲校物理成绩的前四组人数频率为，
所以甲校物理成绩的分位数位于内，
所以甲校物理成绩的分位数为.
乙校物理成绩的平均分估计值为.
（2）解：由题意，频数分布统计表所给数据可得列联表如下：
甲校 乙校 合计
及格 25 30 55
不及格 25 20 45
合计 50 50 100
零假设：甲 乙两所学校的物理成绩的及格率没有差异，
因为，
依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
所以可以认为成立，即认为甲 乙两所学校的物理成绩的及格率没有差异.
【知识点】实际推断原理和假设检验
【解析】【分析】（1）先求出频率所在的区间范围即分位数所在的区间范围即可求解.
（2）利用题中所给数据完善列联表，进而计算出卡方值，再利用临界值表即可得解.
（1）甲校物理成绩的前三组人数频率为，
甲校物理成绩的前四组人数频率为，
所以甲校物理成绩的分位数位于内，
所以甲校物理成绩的分位数为.
乙校物理成绩的平均分估计值为.
（2）列联表如下：
甲校 乙校 合计
及格 25 30 55
不及格 25 20 45
合计 50 50 100
零假设：甲 乙两所学校的物理成绩的及格率没有差异，
，
依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为甲 乙两所学校的物理成绩的及格率没有差异.
16．（2024高二下·湖北月考）已知数列满足：.
（1）求；
（2）证明：.
【答案】（1）解：因为，所以数列为等差数列，
因为公差，
所以数列的通项公式为.
（2）证明：令，因为，且，
所以；
因为，
所以
，
因为，所以，故.
综上所述，可得.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的实际应用
【解析】【分析】（1）利用等差中项证明为等差数列，接着求出公差即可求出通项公式；
（2）令，先根据，可得，然后将进行放缩，接着再裂项，通过裂项相消求和，最后放缩证明不等式.
（1）因为，所以数列为等差数列，
公差，
所以.
（2）证明：令，因为，且，
所以；
因为，
所以
，
因为，所以，故.
综上，.
17．（2024高二下·湖北月考）如图，三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，点在底面内的射影为的垂心.
（1）证明：；
（2）设，若，则当取何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？
【答案】（1）证明：设点在底面内的射影为，连接并延长交于，
因为为等边三角形且为的重心，所以为的中点，且，
因为平面，平面，所以，
因为平面，所以平面，平面，
所以.
（2）解：连接，由平面，平面，则，又为的中点，则.
又，所以.
以所在直线为轴，过且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为是边长为的等边三角形，为重心，所以，
，，又，
所以，
所以，，
，
因为，所以，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
取，则得，
所以，
所以当时，，
故当时，直线与平面所成角的正弦值最大.
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）设点在底面内的射影为，连接并延长交于，根据平面几何的知识可得，再由线面垂直的性质（如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线）得到，再由线面垂直的判定定理（如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直）得到平面，即可得证；
（2）连接，即可说明，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦最大值.
（1）设点在底面内的射影为，连接并延长交于，
因为为等边三角形且为的重心，所以为的中点，且，
因为平面，平面，所以，
因为平面，所以平面，平面，
所以.
（2）连接，由平面，平面，则，又为的中点，则.
又，所以.
以所在直线为轴，过且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为是边长为的等边三角形，为重心，所以，
，，又，
所以，
所以，，
，
因为，所以，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
取，则得，
所以，
所以当时，，
故当时，直线与平面所成角的正弦值最大.
18．（2024高二下·湖北月考）已知函数在和处取得极值.
（1）求；
（2），求整数的最大值.
【答案】（1）解：因为函数，所以，
因为函数在和处取得极值，
所以化简得解得
当时，，
因为当时，；当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以和分别是的极大值点 极小值点，
故满足题意.
（2）解：由题意，恒成立.
设，则，
显然在上单调递增.
又因为，所以存在唯一的，使得，
即，所以.
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以，
当时，，所以，
由题意知，且，
所以整数的最大值为1.
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）由题意可得，进而列出关于参数的方程组，解出并检验即可；
（2）问题转化为恒成立，设，利用导数求最小值的范围，可求整数的最大值.
（1）函数，，
因为函数在和处取得极值，
所以即解得
而当时，，
当时，；当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以和分别是的极大值点 极小值点，
故满足题意.
（2）由题意，恒成立.
设，则，
显然在上单调递增.
又，所以存在唯一的，使得，
即，所以.
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以，
当时，，所以，
由题意知，且，
所以整数的最大值为1.
19．（2024高二下·湖北月考）已知椭圆的离心率为，左 右焦点分别为，直线是与圆的一条公切线.
（1）求的方程；
（2）已知过的直线交于两点，交轴于点，，若（分别表示的面积），，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为直线是圆的一条切线，
所以，解得，
因为的离心率，所以，
联立直线方程和椭圆方程可得，
因为直线是椭圆的一条切线，
所以，
将代入上式，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）解：设，由题意可知的斜率存在且不为0，
设的方程为，令，
则，则，
由得，
解得，同理.
联立方程，消去，可得，
则，
.
不妨设，
，
代入，有，
则，
由，得.
解得，
因为，所以.
设，则，令，
则，故在上单调递增，
则，则的值域为，
则的取值范围为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用直线是圆的一条切线，与椭圆相切，再结合离心率可得答案；
（2）设，的方程为，由向量共线得，，直线与椭圆方程联立，由韦达定理得，代入有，从而，设，利用导数可得答案.
（1）因为直线是圆的一条切线，
所以，解得，
因为的离心率，所以，
由可得，
因为直线是椭圆的一条切线，
所以，
结合，解得，
所以的方程为；
（2）设，显然的斜率存在且不为0，
设的方程为，令，
则，则，
由得，
解得，同理.
由得，则，
.
不妨设，
，
代入，有，
则，
由，得.
解得，
因为，所以.
设，则，令，
则，故在上单调递增，
则，则的值域为，
则的取值范围为.
1 / 11．（2024高二下·湖北月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·湖北月考）已知为虚数单位，为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若的实部为0，则是纯虚数
C．若，则的虚部是 D．若，则
3．（2024高二下·湖北月考）已知两个单位向量的夹角为，则（ ）
A． B．1 C． D．
4．（2024高二下·湖北月考）已知函数（是的导函数），则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·湖北月考）已知数列的前项和（为常数），则“”是“为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024高二下·湖北月考）某陶瓷厂上釉车间有两条生产线，现随机对这两条生产线所生产的产品进行抽检，抽检生产线的产品的概率为，抽检生产线的产品的概率为.经过大量数据分析得生产线的次品率为，如果本次抽检得到的产品为次品的概率为，据此估计B生产线的次品率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·湖北月考）设函数，若，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·湖北月考）如图，已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与交于两点，在第一象限，延长交于多一点，若且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·湖北月考）下列函数中，在定义域内既为奇函数，又为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高二下·湖北月考）在平面直角坐标系中，为抛物线的焦点，，过的直线与在第一象限交于点A，则（ ）
A．到直线距离的最大值为
B．若到直线的距离相等，则的倾斜角为
C．的最小值是
D．当在直线的上方时，面积的最大值为
11．（2024高二下·湖北月考）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，是棱的中点，，过点作平面与直线垂直，过点作平面与平面平行，则（ ）
A．当时，截正三棱柱所得截面的面积为
B．当时，截正三棱柱所得截面的面积为
C．若截正三棱柱所得截面为三角形，则的取值范围为
D．若，则截正三棱柱所得截面为四边形
12．（2024高二下·湖北月考）已知，，则 .
13．（2024高二下·湖北月考）已知随机变量，则的展开式中含项的系数为 .
14．（2024高二下·湖北月考）定义函数，已知函数，则的值域为
；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 .
15．（2024高二下·湖北月考）为了解甲 乙两所学校高二年级学生在学年度第二学期期末考试中的物理成绩情况，采用随机抽样方法从两所学校各抽取50名学生的物理成绩，并作出了频数分布统计表如下：
分组
甲校 频数 3 4 18 15 10
乙校 频数 2 6 12 18 12
（1）分别估计甲校物理成绩的分位数（精确到0.1）和乙校物理成绩的平均分（同一组中的数据用该区间的中点值代表）：
（2）根据以上统计数据完成列联表（成绩不低于60分的视为及格），并依据的独立性检验，判断两所学校的物理成绩的及格率是否存在差异.
甲校 乙校 合计
及格
不及格
合计
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
16．（2024高二下·湖北月考）已知数列满足：.
（1）求；
（2）证明：.
17．（2024高二下·湖北月考）如图，三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，点在底面内的射影为的垂心.
（1）证明：；
（2）设，若，则当取何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？
18．（2024高二下·湖北月考）已知函数在和处取得极值.
（1）求；
（2），求整数的最大值.
19．（2024高二下·湖北月考）已知椭圆的离心率为，左 右焦点分别为，直线是与圆的一条公切线.
（1）求的方程；
（2）已知过的直线交于两点，交轴于点，，若（分别表示的面积），，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故选：C.
【分析】解出二次不等式化简集合A，根据交集的定义（交集的定义是由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合， 记作）求解即可.
2．【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：对A：若，则，故A错误；
对B：实部为0的复数可能虚部也为0，从而是实数，故B错误；
对C：复数的虚部是1，故C错误；
对D：设，则，所以，即，所以，故D正确.
故选：D.
【分析】根据复数的概念（复数通常表示为的形式， 其中和是实数， 而是虚数单位， 满足，这里的称为复数的实部， 称为复数的虚部）即可求解.
3．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：.
故选：A.
【分析】直接利用数量积的运算律和定义(分配率：当我们计算一个向量和另一个向量的和与第三个向量的数量积时， 可以分别计算每个向量与第三个向量的数量积， 然后将结果相加， 这与先计算和再计算数量积的结果相同)即可得到答案.
4．【答案】D
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，所以.
将代入导函数，可得，解得.
故选：D.
【分析】对函数求导，将代入导函数，解出即可求解.
5．【答案】C
【知识点】充要条件；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由于，故，且对有
，所以.
一方面，若，则适合，所以对任意正整数都有，从而.
故是等比数列，从而条件是充分的；
另一方面，若是等比数列，则，所以，从而条件是必要的.
故选：C.
【分析】先利用的表达式求出的通项为，然后分别证明充分性和必要性（充分性指的是“如果A成立， 则B也一定成立”的关系；必要性指的是“只有当B成立时， A才能成立”的关系）即可得到答案.
6．【答案】D
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件为“抽检得到的产品为次品”，事件分别表示抽检两条生产线的产品，
则，，设，
因此，解得，
所以估计B生产线的次品率为.
故选：D
【分析】根据给定条件，利用字母设出相关事件，根据题意写出各个事件的概率，然后根据全概率公式列出方程并求解即得.
7．【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的图象
【解析】【解答】解：的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，
其最小正周期，画出的图象.
令，得，
所以的图象离轴最近的一条对称轴为直线，
因为，令，
因为，考虑临界状态，而，
若，由对称性可知，离0最近的.
若满足题意，显然.
故选：B.
【分析】先利用三角函数的平移变换（左加右减）画出三角函数的图象，观察图象找到临界值，从而求出的取值范围.
8．【答案】A
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】解：设的左焦点为，连接，
则，因为，所以由双曲线的对称性知四边形为矩形.
在中，因为，所以，化简得.
在中，因为，所以，化简得，所以离心率.
故选：A.
【分析】设的左焦点为，连接，利用双曲线的定义结合勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；复合函数的单调性；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于选项A，，则的定义域为，且在上既为奇函数，又为增函数，故A正确；
对于选项B，因为，所以不为奇函数，故B错误；
对于选项C，由于的定义域为，且，所以为奇函数，又，由复合函数的单调性知为增函数，故C正确；
对于选项D，由于，故在定义域上不可能为增函数，故D错误.
故选：AC.
【分析】直接通过奇函数和增函数的定义即可验证A和C正确；对于B，指出即可否定；对于D，指出即可否定.
奇函数的定义： 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键在于对函数奇偶性和单调性定义的熟练运用.
10．【答案】A,D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：对于选项A，当时，到直线的距离取得最大值，
其中，所以最大距离为，故正确；
对于选项B，设的方程为，若到直线的距离相等，
则，解得或，所以的倾斜角有两种可能，B错误；
对于选项C，由题意知，的准线为直线，焦点，
过点作的准线的垂线，垂足分别为，
则（当且仅当共线时取等号），
所以的最小值是点到的准线的距离，即为4，故C错误；
对于选项D，当点到直线的距离取得最大值时，的面积有最大值，
此时抛物线在处的切线与直线平行，其中.
由得，令，解得，
所以到直线的距离，
所以面积的最大值为，故D正确.
故选：AD.
【分析】对于A选项，当时，到直线的距离取得最大值，由两点间距离公式求出答案；对于B选项，设的方程为，根据点到直线距离公式得到方程，求出的值，从而得到直线的倾斜角；对于C选项，作出辅助线，结合焦半径公式得到的最小值是点到的准线的距离，即为4；对于D选项，当点到直线的距离取得最大值时，的面积有最大值，结合，利用导数的几何意义（某一点的导数表示该点处切线的斜率）求出点坐标，从而求出最大面积.
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
11．【答案】A,B,D
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：对于选项A，当时，为中点，取中点，连接，如图1所示，因为，所以，
，则.
在正三棱柱中，平面平面，平面平面，
平面，，，则平面，
因为平面，所以，
又因为平面，所以平面，
则为所求截面，，故选项A正确；
对于选项B，当时，与重合，
取的中点，的中点，连接，如图2，
由A选项知平面，平面，，
因为四边形为正方形，，所以，
平面，，则有平面，
则为所求截面，其面积为，故选项B正确；
对于选项C，取的中点，连接，当时，与重合，如图3，
由，，则四边形为平行四边形，有，
平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
平面，，所以平面平面，
故平面截正三棱柱所得截面为，故选项C错误；
对于选项D，若为中点，当在上（不含端点）时，即，
作出平面截正三棱柱所得截面如图4所示，
从下到上的过程中，截面为四边形，故选项D正确.
故选：ABD.
【分析】利用平面的基本性质（面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；线面垂直的判定：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直）画出不同对应的截面图形，结合已知判断图形形状或求它们的面积判断各选项正误.
12．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，所以，解得或（舍）.
又因为，所以，所以.
故答案为：.
【分析】根据条件和同角三角函数关系式得出的值，再根据，进而得出答案.
13．【答案】
【知识点】随机数的含义与应用；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为，且，所以，
则展开式中的第项为，，
令，解得，故的展开式中含项的系数为.
故答案为：.
【分析】由正态分布曲线的对称性求得，写出二项展开式的通项（二项式展开式的通项公式是 ，其中 表示二项展开式的第 ，表示从n个数中取r个数的组合数），根据题意，求得，代入通项计算即得.
14．【答案】；
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象
【解析】【解答】解：
根据已知条件的定义知，
的图象如图所示，
因为的值域为.
由，得，因为恰有3个零点，
所以的图象与直线恰有3个不同的交点，而且直线恒过点，
易求得图中所对应的值分别为，
联立两个方程得，
令，解得，
由图可知，
所以实数的取值范围为.
故填：；.
【分析】①根据已知条件得到的解析式，然后结合图象求出函数值域；②将已知条件恰有3个零点转化为的图象与直线恰有3个不同的交点，然后根据图象求的范围.
【点睛】
方法点睛：函数的零点问题：
①转化为方程，直接求解；
②转化为函数图象与轴交点的横坐标；
③转化为两个函数图象交点的横坐标.
15．【答案】（1）解：因为甲校物理成绩的前三组人数频率为，
甲校物理成绩的前四组人数频率为，
所以甲校物理成绩的分位数位于内，
所以甲校物理成绩的分位数为.
乙校物理成绩的平均分估计值为.
（2）解：由题意，频数分布统计表所给数据可得列联表如下：
甲校 乙校 合计
及格 25 30 55
不及格 25 20 45
合计 50 50 100
零假设：甲 乙两所学校的物理成绩的及格率没有差异，
因为，
依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
所以可以认为成立，即认为甲 乙两所学校的物理成绩的及格率没有差异.
【知识点】实际推断原理和假设检验
【解析】【分析】（1）先求出频率所在的区间范围即分位数所在的区间范围即可求解.
（2）利用题中所给数据完善列联表，进而计算出卡方值，再利用临界值表即可得解.
（1）甲校物理成绩的前三组人数频率为，
甲校物理成绩的前四组人数频率为，
所以甲校物理成绩的分位数位于内，
所以甲校物理成绩的分位数为.
乙校物理成绩的平均分估计值为.
（2）列联表如下：
甲校 乙校 合计
及格 25 30 55
不及格 25 20 45
合计 50 50 100
零假设：甲 乙两所学校的物理成绩的及格率没有差异，
，
依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为甲 乙两所学校的物理成绩的及格率没有差异.
16．【答案】（1）解：因为，所以数列为等差数列，
因为公差，
所以数列的通项公式为.
（2）证明：令，因为，且，
所以；
因为，
所以
，
因为，所以，故.
综上所述，可得.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的实际应用
【解析】【分析】（1）利用等差中项证明为等差数列，接着求出公差即可求出通项公式；
（2）令，先根据，可得，然后将进行放缩，接着再裂项，通过裂项相消求和，最后放缩证明不等式.
（1）因为，所以数列为等差数列，
公差，
所以.
（2）证明：令，因为，且，
所以；
因为，
所以
，
因为，所以，故.
综上，.
17．【答案】（1）证明：设点在底面内的射影为，连接并延长交于，
因为为等边三角形且为的重心，所以为的中点，且，
因为平面，平面，所以，
因为平面，所以平面，平面，
所以.
（2）解：连接，由平面，平面，则，又为的中点，则.
又，所以.
以所在直线为轴，过且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为是边长为的等边三角形，为重心，所以，
，，又，
所以，
所以，，
，
因为，所以，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
取，则得，
所以，
所以当时，，
故当时，直线与平面所成角的正弦值最大.
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）设点在底面内的射影为，连接并延长交于，根据平面几何的知识可得，再由线面垂直的性质（如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线）得到，再由线面垂直的判定定理（如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直）得到平面，即可得证；
（2）连接，即可说明，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦最大值.
（1）设点在底面内的射影为，连接并延长交于，
因为为等边三角形且为的重心，所以为的中点，且，
因为平面，平面，所以，
因为平面，所以平面，平面，
所以.
（2）连接，由平面，平面，则，又为的中点，则.
又，所以.
以所在直线为轴，过且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为是边长为的等边三角形，为重心，所以，
，，又，
所以，
所以，，
，
因为，所以，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
取，则得，
所以，
所以当时，，
故当时，直线与平面所成角的正弦值最大.
18．【答案】（1）解：因为函数，所以，
因为函数在和处取得极值，
所以化简得解得
当时，，
因为当时，；当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以和分别是的极大值点 极小值点，
故满足题意.
（2）解：由题意，恒成立.
设，则，
显然在上单调递增.
又因为，所以存在唯一的，使得，
即，所以.
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以，
当时，，所以，
由题意知，且，
所以整数的最大值为1.
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）由题意可得，进而列出关于参数的方程组，解出并检验即可；
（2）问题转化为恒成立，设，利用导数求最小值的范围，可求整数的最大值.
（1）函数，，
因为函数在和处取得极值，
所以即解得
而当时，，
当时，；当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以和分别是的极大值点 极小值点，
故满足题意.
（2）由题意，恒成立.
设，则，
显然在上单调递增.
又，所以存在唯一的，使得，
即，所以.
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以，
当时，，所以，
由题意知，且，
所以整数的最大值为1.
19．【答案】（1）解：因为直线是圆的一条切线，
所以，解得，
因为的离心率，所以，
联立直线方程和椭圆方程可得，
因为直线是椭圆的一条切线，
所以，
将代入上式，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）解：设，由题意可知的斜率存在且不为0，
设的方程为，令，
则，则，
由得，
解得，同理.
联立方程，消去，可得，
则，
.
不妨设，
，
代入，有，
则，
由，得.
解得，
因为，所以.
设，则，令，
则，故在上单调递增，
则，则的值域为，
则的取值范围为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用直线是圆的一条切线，与椭圆相切，再结合离心率可得答案；
（2）设，的方程为，由向量共线得，，直线与椭圆方程联立，由韦达定理得，代入有，从而，设，利用导数可得答案.
（1）因为直线是圆的一条切线，
所以，解得，
因为的离心率，所以，
由可得，
因为直线是椭圆的一条切线，
所以，
结合，解得，
所以的方程为；
（2）设，显然的斜率存在且不为0，
设的方程为，令，
则，则，
由得，
解得，同理.
由得，则，
.
不妨设，
，
代入，有，
则，
由，得.
解得，
因为，所以.
设，则，令，
则，故在上单调递增，
则，则的值域为，
则的取值范围为.
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