1．（2024高二下·滨州期末）已知全集，集合则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·滨州期末）若随机变量，且，则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
3．（2024高二下·滨州期末）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高二下·滨州期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·滨州期末）如图，等腰梯形ABCD 的上底CD=1，下底AB=3，高为1．记等腰梯形ABCD 位于直线x=t(0≤t≤3)左侧的图形的面积为 f(t)，则f(t)随t变化时的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·滨州期末）若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．2
7．（2024高二下·滨州期末）已知，小明在设置银行卡的数字密码时，打算将的前6位数字1，4，1，4，2，1进行某种排列得到密码．如果排列时要求三个1不相邻，两个4也不相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
8．（2024高二下·滨州期末）已知表示不超过实数的最大整数，例如：，，若函数其中，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·滨州期末）设函数则下列结论正确的是（ ）
A．在区间上为增函数
B．为偶函数
C．的值域为
D．不等式的解集为
10．（2024高二下·滨州期末）已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（ ）
A．n=6
B．展开式中含的项的系数是
C．展开式的各二项式系数和为64
D．展开式的各项系数和为729
11．（2024高二下·滨州期末）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称 B．是周期为 4 的周期函数
C． D．
12．（2024高二下·滨州期末）若则ab= ．
13．（2024高二下·滨州期末）在班级数学兴趣小组活动中，老师准备了2道导数题和6道建模题，某小组的8位同学从中不放回的每人随机抽取一题作答，记表示第位同学抽到导数题，，则
14．（2024高二下·滨州期末）设函数若关于的方程有5个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
15．（2024高二下·滨州期末）某景点在2024年2月10日至24日(正月初一至正月十五)期间，为吸引游客，共举行了15场精彩的烟花秀节目．前9场的观众人数(单位：万)与场次的统计数据如下表所示：
场次编号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
观众人数y(单位：万) 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07
经计算可得：，，．
（1）通过作散点图发现x与y之间具有较强的线性相关关系，试用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程(结果中的数值用分数表示)；
（2）若该烟花秀节目分A、B 两个等次的票价，该节目组织者随机调查了某场烟花秀节目100位观众购买A、B 两个等次票的情况，其中 60位男性观众中有 15 位观众购买了 B 等票；40位女性观众中有5位观众购买了 B 等票．请根据以上数据，将2×2列联表补充完整，并根据小概率值α=0.050的独立性检验，能否认为观众的性别与购票情况有关联？
性别 购买情况 合计
购买 A 等票 购买 B 等票
男性观众 60
女性观众 40
合计 100
附：
①对于一组数据((x1，y1)，(x2，y2)，…，(x ，y )，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，；
②
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16．（2024高二下·滨州期末）已知函数，其中．
（1）若时，有极小值，求的值；
（2）若在区间存在单调递减区间，求的取值范围．
17．（2024高二下·滨州期末）某环保机器制造商为响应“2030年前碳排放达峰行动”的号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后3年内的延保维修方案：
方案一：交纳延保金3000元，在延保的3年内可免费维修1次，超过1次每次收取维修费1000元；
方案二：交纳延保金4000元，在延保的3年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费 t 元；
制造商为制定t元的收取标准，为此搜集并整理了100台这种机器超过保修期后3年内维修的次数，统计得到下表：
维修次数 0 1 2
机器台数 10 40 50
以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记 X 表示 2 台机器超过保修期后 3年内共需维修的次数．
（1）求 X 的分布列；
（2）以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，求使客户选择方案二更合算时t 的取值范围．
18．（2024高二下·滨州期末）已知函数且曲线在处切线也是曲线的切线．
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）若直线与曲线有两个公共点，，与曲线有两个公共点，，求证：
19．（2024高二下·滨州期末）在数字通信中，信号是由0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为p和；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为q和．假设发送信号0和1是等可能的．
（1）若发送信号一次，求接收为正确信号的概率；
（2）若随机变量M的分布列为记事件发生后给我们的信息量为，则称X 的均值为M 的信息熵，记为
①设发送信号两次，接收为正确信号的次数为，若求的信息熵的值；
②设发送信号一次，接收为正确信号的次数为，求的信息熵取得最大值时的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：因为图中阴影部分表示的集合为，而且或，
所以.
故选：C
【分析】由图可知，图中阴影部分表示的集合为，再根据交集和补集的定义（交集是指由属于两个或更多集合的公共元素组成的集合；补集则是指在一个给定集合中，不属于某个子集的所有元素组成的集合）求解即可.
2．【答案】D
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】解：因为，所以，所以.
故选：D
【分析】由正态分布的对称性（正态分布的对称性体现在其概率密度曲线呈钟形状， 以均值为中心对称）先得出，进而得出.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由得，
因为若，则，反之不成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
即“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而判断出“”是“”的必要不充分条件。
4．【答案】B
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：设，因为依题意可得，解得，所以，
所以的定义域为，值域为，且，
所以对于函数，则，解得，
所以函数的定义域是.
故选：B
【分析】设，先由幂函数的图象过点求出的值，进而求出的定义域，再由抽象函数的定义域（求解抽象函数的定义域，需要明确两点：一是定义域是自变量的取值范围，通常指的是单个的范围；二是相同对应规律的下括号内的整体范围相同，可以用于等量置换）计算规则得到，解方程组即可.
5．【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象
【解析】【解答】解：因为当时，，是过原点，且开口向上的抛物线的一部分，故排除选项D；
因为当时，，为单调递增的一次函数的一部分，故排除选项BC；
因为当时，，是开口向下的抛物线的一部分；故选项A正确
故选：A
【分析】利用面积公式得出每段的函数解析式，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：令，则，，
当且仅当，即时，取等号.
故选：C
【分析】利用换元法，令，结合基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数， 即，当且仅当时等号成立）得出答案.
7．【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：因为当2在两个4的左边时，两个4中间必有一个1，另外两个1可以插空，所以共有种可能；
由对称性可得，当2在两个4的右边时，共有3种可能；
因为当2在两个4的中间时，形成4个空，将3个1插入其中，所以共有种可能；
综上，共有10种可能；
故选：C
【分析】分类讨论2与两个4的位置，利用组合公式即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】解：因为，，
而且，，所以，
所以当，时，，
所以当，时，，
所以当，时，，
故的值域为.
故选：D
【分析】首先根据已知条件可得函数的的值域，再由的定义，即可得出答案.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解函数的新定义.
9．【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于选项B，因为函数的定义域为，，所以为偶函数，选项B正确；
对于选项A和C，当时，易知，函数在上单调递减，
由对称轴可知，函数在上单调递增，，且，
则的值域为，选项A错误，选项C正确；
对于选项D，不等式等价为，则，解得，
即不等式的解集为，选项D正确；
故选：BCD
【分析】由定义判断B；由单调性以及偶函数的性质逐一判断ACD.
10．【答案】A,C
【知识点】二项展开式；二项式系数
【解析】【解答】解：对于选项A，展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式共有7项，则，选项A正确；
对于选项B，展开式的通项为，
令，则展开式中含的项的系数是，选项B错误；
对于选项C，展开式的各二项式系数和为，选项C正确；
对于选项D，令，则展开式的各项系数和为，选项D错误；
故选：AC
【分析】由展开式共有7项判断选项A；由通项公式利用赋值法判断选项B；由性质判断选项C；由得出展开式的各项系数和判断选项D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为为奇函数，所以，
即，则的图象关于点对称，且，
令，则，故选项A正确，选项C错误；
又为偶函数，所以，则的图象关于直线对称，
因为，
所以函数是周期为 4 的周期函数，故选项B正确；
由对称性可知，所以，
则，故选项D正确；
故选：ABD
【分析】由奇偶性（奇函数是指对于一个定义域关于原点对称的函数， 在其定义域内任意一个， 都有， 那么函数就叫做奇函数）结合对称性判断AC；由对称性结合周期函数的定义判断B；由周期的性质结合判断D.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查了函数基本性质的综合应用，关键是理解奇偶函数的性质的外延，还要掌握一些常见的结论.
12．【答案】2
【知识点】指数式与对数式的互化；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：因为所以，
所以.
故填：2
【分析】由指对互化，结合换底公式（换底公式是一种对数函数的恒等变形， 用于表示更换底数时同一真数的两个对数之间的关系）求解即可.
13．【答案】
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：因为表示第位同学抽到导数题目，表示第1位同学和第位同学同时抽到导数题目，所以。
故填：
【分析】利用条件概率公式，结合样本空间，即可求解.
14．【答案】
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的图象
【解析】【解答】解：令，则，即，即，解得或，则和共有5个不同的实数根.作出的图象，如图所示：
观察图象，由图可知，，即.
故填：.
【分析】令，代入方程解得或，则和共有5个不同的实数根.作出的图象，观察图象，利用数形结合的方法即可求解.
15．【答案】（1）解：由表格数据可得，
因为，，，
所以，则，
所以关于的线性回归方程为.
（2）解：由题意，得到的列联表，如下表：
性别 购买情况 合计
购买A等票 购买B等票
男性观众 45 15 60
女性观众 35 5 40
合计 80 20 100
零假设为：观众的性别与购票情况无关，
因为由列联表中的数据，经计算可得，
而且由小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
所以认为成立，即认为观众的性别与购票情况无关.
【知识点】分布的意义和作用；线性回归方程；回归分析
【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，求得，在根据参考数据和公式，求得，进而得到，即可得到线性回归方程；
（2）由题意，得到的列联表，求得，结合附表，即可得到结论.
（1）解：由表格中的数据可得，
因为，，，
所以，则，
所以关于的线性回归方程为.
（2）解：根据题意，得到的列联表，如下表所示：
性别 购买情况 合计
购买A等票 购买B等票
男性观众 45 15 60
女性观众 35 5 40
合计 80 20 100
零假设为：观众的性别与购票情况无关，
根据列联表中的数据，经计算可得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
所以认为成立，即认为观众的性别与购票情况无关.
16．【答案】（1）解：因为，所以，
因为函数在处取极小值，所以，解得或.
因为当时，，
所以当时，
所以函数在和上单调递增；
因为当时，，
函数在上单调递减；
所以时，有极小值，所以满足题意.
因为当时，，
所以当时，，
函数在区间和上单调递增；
因为当时，，函数在区间上单调递减，
所以时，有极大值，所以不满足题意.
综上所述，的值为2.
（2）解：因为，
当时，由，解得，所以函数的减区间为.
因为在区间存在单调递减区间，所以，
因为当时，，所以函数在单调递增，不存在减区间，
所以不符合题意.
因为当时，由，解得，所以函数单调递减区间为.
所以在区间不存在单调递减区间，所以不符合题意.
综上所述，故的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）对函数求导，由极值点的导数等于0，可得或，然后利用导数检验时，有极小值；
（2）分类讨论三种情况，结合导数正负与函数的关系得出其单调性，再由在区间存在单调递减区间，进一步确定的取值范围．
（1）由，可得，
因为函数在处取极小值，所以，解得或.
当时，，
所以当时，
函数在和上单调递增；
当时，，
函数在上单调递减；
所以时，有极小值，所以满足题意.
当时，，
所以当时，，
函数在区间和上单调递增；
当时，，函数在区间上单调递减，
所以时，有极大值，所以不满足题意.
综上所述，所求的值为2.
（2）因为，
当时，由，解得，所以函数的减区间为.
在区间存在单调递减区间，所以，
当时，，所以函数在单调递增，不存在减区间，
所以不符合题意.
当时，由，解得，所以函数单调递减区间为.
所以在区间不存在单调递减区间，所以不符合题意.
综上所述，的取值范围为.
17．【答案】（1）解：由题意得的取值为.
所以的分布列为：
（2）解：记选择方案一所需费用为元
则当时，
当时，
当时，
当时，
则的分布列为
则
记选择方案二所需费用为元.
则时， ；
时，；
时，
则的分布列为
则
因为，所以，
解得，故的取值范围为.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先由题意得出的所有可能取值，再由概率公式计算取值为的概率，进而求解；
（2）分别计算出两种方案的分布列，分别求出各自的期望，通过期望的大小关系得出t 的取值范围．
（1）解：由题意得的取值为.
所以的分布列为：
（2）记选择方案一所需费用为元
则当时，
当时，
当时，
当时，
则的分布列为
记选择方案二所需费用为元.
则时， ；
时，；
时，
则的分布列为
因为，所以，
解得，所以的取值范围为.
18．【答案】（1）解：因为，，
所以在处切线方程为，
联立，得，
由，得；
（2）证明：设，则，
设，则，则单调递减，因为，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，取得最大值0，所以，当时等号成立，即，
，当时等号成立， 即，
综上可知，，即.
（3）证明：，对称轴方程为，由对称性可知，，
所以要证明，只需证明，
因为，所以，得，
当时，，单调递增，时，，单调递减，
当时，取得最大值，
当时，，当时，，，，
所以与的图象有两个公共点，，设，
则，，
设，
，
，
当时，，则，，
即时，，单调递增，，
所以当时，，即，
，所以，由，
即，在上单调递减，
所以，即，
综上可知，.
【知识点】导数的几何意义
【解析】【分析】（1）对函数求导，首先利用导数的几何意义（导数的几何意义是函数曲线在某一点的切线斜率）求切线方程，再联立切线方程与函数，利用，即可求解；
（2）由切线方程转化为证明和，即可证明不等式；
（3）由二次函数的对称性，转化为证明，再根据的范围，构造函数，利用导数判断函数的单调性与最值，再结合函数，即可证明不等式.
（1），，
所以在处切线方程为，
联立，得，
，得；
（2）设，，
设，，单调递减，且，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，取得最大值0，所以，当时等号成立，即，
，当时等号成立， 即，
综上可知，，即.
（3），对称轴方程为，由对称性可知，，
所以要证明，只需证明，
，，得，
当时，，单调递增，时，，单调递减，
当时，取得最大值，
当时，，当时，，，，
所以与的图象有两个公共点，，设，
则，，
设，
，
，
当时，，则，，
即时，，单调递增，，
所以当时，，即，
，所以，由，
即，在上单调递减，
所以，即，
综上可知，.
19．【答案】（1）解：记发送信号为事件.
接收为正确信号为事件.根据题设条件可
则发送信号一次，接收为正确信号的概率.
（2）解：①发送信号两次，接收为正确信号的次数为.
因为由（1）知发送信号一次，接收为正确信号的概率，
所以，所以
所以.
②发送信号一次，接收为正确信号的次数的分布列为
则
令，令
则，由解得，
所以当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.
所以当时，取最小值，
又因为，所以取得最大时，.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）首先设事件，设发送信号为事件，接收为正确信号为事件，根据题设条件得出，最后由全概率公式得出；
（2）①由发送信号一次，接收都为，可知，再由二项分布概率公式结合题设公式得出；
②先求出发送信号一次，接收为正确信号的次数的分布列，进而由题设公式得出，构造函数，利用导数得出最值.
（1）解：记发送信号为事件.
接收为正确信号为事件.
则
所以.
（2）①发送信号两次，接收为正确信号的次数为.
由（1）知发送信号一次，接收为正确信号的概率，
所以，所以
所以.
②发送信号一次，接收为正确信号的次数的分布列为
所以
令，令
所以，由解得，
所以当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.
所以当时，取最小值，
又，所以取得最大时，.
1 / 11．（2024高二下·滨州期末）已知全集，集合则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：因为图中阴影部分表示的集合为，而且或，
所以.
故选：C
【分析】由图可知，图中阴影部分表示的集合为，再根据交集和补集的定义（交集是指由属于两个或更多集合的公共元素组成的集合；补集则是指在一个给定集合中，不属于某个子集的所有元素组成的集合）求解即可.
2．（2024高二下·滨州期末）若随机变量，且，则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【答案】D
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】解：因为，所以，所以.
故选：D
【分析】由正态分布的对称性（正态分布的对称性体现在其概率密度曲线呈钟形状， 以均值为中心对称）先得出，进而得出.
3．（2024高二下·滨州期末）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由得，
因为若，则，反之不成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
即“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而判断出“”是“”的必要不充分条件。
4．（2024高二下·滨州期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：设，因为依题意可得，解得，所以，
所以的定义域为，值域为，且，
所以对于函数，则，解得，
所以函数的定义域是.
故选：B
【分析】设，先由幂函数的图象过点求出的值，进而求出的定义域，再由抽象函数的定义域（求解抽象函数的定义域，需要明确两点：一是定义域是自变量的取值范围，通常指的是单个的范围；二是相同对应规律的下括号内的整体范围相同，可以用于等量置换）计算规则得到，解方程组即可.
5．（2024高二下·滨州期末）如图，等腰梯形ABCD 的上底CD=1，下底AB=3，高为1．记等腰梯形ABCD 位于直线x=t(0≤t≤3)左侧的图形的面积为 f(t)，则f(t)随t变化时的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象
【解析】【解答】解：因为当时，，是过原点，且开口向上的抛物线的一部分，故排除选项D；
因为当时，，为单调递增的一次函数的一部分，故排除选项BC；
因为当时，，是开口向下的抛物线的一部分；故选项A正确
故选：A
【分析】利用面积公式得出每段的函数解析式，即可求解.
6．（2024高二下·滨州期末）若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：令，则，，
当且仅当，即时，取等号.
故选：C
【分析】利用换元法，令，结合基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数， 即，当且仅当时等号成立）得出答案.
7．（2024高二下·滨州期末）已知，小明在设置银行卡的数字密码时，打算将的前6位数字1，4，1，4，2，1进行某种排列得到密码．如果排列时要求三个1不相邻，两个4也不相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：因为当2在两个4的左边时，两个4中间必有一个1，另外两个1可以插空，所以共有种可能；
由对称性可得，当2在两个4的右边时，共有3种可能；
因为当2在两个4的中间时，形成4个空，将3个1插入其中，所以共有种可能；
综上，共有10种可能；
故选：C
【分析】分类讨论2与两个4的位置，利用组合公式即可得出答案.
8．（2024高二下·滨州期末）已知表示不超过实数的最大整数，例如：，，若函数其中，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】解：因为，，
而且，，所以，
所以当，时，，
所以当，时，，
所以当，时，，
故的值域为.
故选：D
【分析】首先根据已知条件可得函数的的值域，再由的定义，即可得出答案.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解函数的新定义.
9．（2024高二下·滨州期末）设函数则下列结论正确的是（ ）
A．在区间上为增函数
B．为偶函数
C．的值域为
D．不等式的解集为
【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于选项B，因为函数的定义域为，，所以为偶函数，选项B正确；
对于选项A和C，当时，易知，函数在上单调递减，
由对称轴可知，函数在上单调递增，，且，
则的值域为，选项A错误，选项C正确；
对于选项D，不等式等价为，则，解得，
即不等式的解集为，选项D正确；
故选：BCD
【分析】由定义判断B；由单调性以及偶函数的性质逐一判断ACD.
10．（2024高二下·滨州期末）已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（ ）
A．n=6
B．展开式中含的项的系数是
C．展开式的各二项式系数和为64
D．展开式的各项系数和为729
【答案】A,C
【知识点】二项展开式；二项式系数
【解析】【解答】解：对于选项A，展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式共有7项，则，选项A正确；
对于选项B，展开式的通项为，
令，则展开式中含的项的系数是，选项B错误；
对于选项C，展开式的各二项式系数和为，选项C正确；
对于选项D，令，则展开式的各项系数和为，选项D错误；
故选：AC
【分析】由展开式共有7项判断选项A；由通项公式利用赋值法判断选项B；由性质判断选项C；由得出展开式的各项系数和判断选项D.
11．（2024高二下·滨州期末）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称 B．是周期为 4 的周期函数
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为为奇函数，所以，
即，则的图象关于点对称，且，
令，则，故选项A正确，选项C错误；
又为偶函数，所以，则的图象关于直线对称，
因为，
所以函数是周期为 4 的周期函数，故选项B正确；
由对称性可知，所以，
则，故选项D正确；
故选：ABD
【分析】由奇偶性（奇函数是指对于一个定义域关于原点对称的函数， 在其定义域内任意一个， 都有， 那么函数就叫做奇函数）结合对称性判断AC；由对称性结合周期函数的定义判断B；由周期的性质结合判断D.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查了函数基本性质的综合应用，关键是理解奇偶函数的性质的外延，还要掌握一些常见的结论.
12．（2024高二下·滨州期末）若则ab= ．
【答案】2
【知识点】指数式与对数式的互化；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：因为所以，
所以.
故填：2
【分析】由指对互化，结合换底公式（换底公式是一种对数函数的恒等变形， 用于表示更换底数时同一真数的两个对数之间的关系）求解即可.
13．（2024高二下·滨州期末）在班级数学兴趣小组活动中，老师准备了2道导数题和6道建模题，某小组的8位同学从中不放回的每人随机抽取一题作答，记表示第位同学抽到导数题，，则
【答案】
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：因为表示第位同学抽到导数题目，表示第1位同学和第位同学同时抽到导数题目，所以。
故填：
【分析】利用条件概率公式，结合样本空间，即可求解.
14．（2024高二下·滨州期末）设函数若关于的方程有5个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的图象
【解析】【解答】解：令，则，即，即，解得或，则和共有5个不同的实数根.作出的图象，如图所示：
观察图象，由图可知，，即.
故填：.
【分析】令，代入方程解得或，则和共有5个不同的实数根.作出的图象，观察图象，利用数形结合的方法即可求解.
15．（2024高二下·滨州期末）某景点在2024年2月10日至24日(正月初一至正月十五)期间，为吸引游客，共举行了15场精彩的烟花秀节目．前9场的观众人数(单位：万)与场次的统计数据如下表所示：
场次编号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
观众人数y(单位：万) 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07
经计算可得：，，．
（1）通过作散点图发现x与y之间具有较强的线性相关关系，试用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程(结果中的数值用分数表示)；
（2）若该烟花秀节目分A、B 两个等次的票价，该节目组织者随机调查了某场烟花秀节目100位观众购买A、B 两个等次票的情况，其中 60位男性观众中有 15 位观众购买了 B 等票；40位女性观众中有5位观众购买了 B 等票．请根据以上数据，将2×2列联表补充完整，并根据小概率值α=0.050的独立性检验，能否认为观众的性别与购票情况有关联？
性别 购买情况 合计
购买 A 等票 购买 B 等票
男性观众 60
女性观众 40
合计 100
附：
①对于一组数据((x1，y1)，(x2，y2)，…，(x ，y )，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，；
②
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：由表格数据可得，
因为，，，
所以，则，
所以关于的线性回归方程为.
（2）解：由题意，得到的列联表，如下表：
性别 购买情况 合计
购买A等票 购买B等票
男性观众 45 15 60
女性观众 35 5 40
合计 80 20 100
零假设为：观众的性别与购票情况无关，
因为由列联表中的数据，经计算可得，
而且由小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
所以认为成立，即认为观众的性别与购票情况无关.
【知识点】分布的意义和作用；线性回归方程；回归分析
【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，求得，在根据参考数据和公式，求得，进而得到，即可得到线性回归方程；
（2）由题意，得到的列联表，求得，结合附表，即可得到结论.
（1）解：由表格中的数据可得，
因为，，，
所以，则，
所以关于的线性回归方程为.
（2）解：根据题意，得到的列联表，如下表所示：
性别 购买情况 合计
购买A等票 购买B等票
男性观众 45 15 60
女性观众 35 5 40
合计 80 20 100
零假设为：观众的性别与购票情况无关，
根据列联表中的数据，经计算可得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
所以认为成立，即认为观众的性别与购票情况无关.
16．（2024高二下·滨州期末）已知函数，其中．
（1）若时，有极小值，求的值；
（2）若在区间存在单调递减区间，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为，所以，
因为函数在处取极小值，所以，解得或.
因为当时，，
所以当时，
所以函数在和上单调递增；
因为当时，，
函数在上单调递减；
所以时，有极小值，所以满足题意.
因为当时，，
所以当时，，
函数在区间和上单调递增；
因为当时，，函数在区间上单调递减，
所以时，有极大值，所以不满足题意.
综上所述，的值为2.
（2）解：因为，
当时，由，解得，所以函数的减区间为.
因为在区间存在单调递减区间，所以，
因为当时，，所以函数在单调递增，不存在减区间，
所以不符合题意.
因为当时，由，解得，所以函数单调递减区间为.
所以在区间不存在单调递减区间，所以不符合题意.
综上所述，故的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）对函数求导，由极值点的导数等于0，可得或，然后利用导数检验时，有极小值；
（2）分类讨论三种情况，结合导数正负与函数的关系得出其单调性，再由在区间存在单调递减区间，进一步确定的取值范围．
（1）由，可得，
因为函数在处取极小值，所以，解得或.
当时，，
所以当时，
函数在和上单调递增；
当时，，
函数在上单调递减；
所以时，有极小值，所以满足题意.
当时，，
所以当时，，
函数在区间和上单调递增；
当时，，函数在区间上单调递减，
所以时，有极大值，所以不满足题意.
综上所述，所求的值为2.
（2）因为，
当时，由，解得，所以函数的减区间为.
在区间存在单调递减区间，所以，
当时，，所以函数在单调递增，不存在减区间，
所以不符合题意.
当时，由，解得，所以函数单调递减区间为.
所以在区间不存在单调递减区间，所以不符合题意.
综上所述，的取值范围为.
17．（2024高二下·滨州期末）某环保机器制造商为响应“2030年前碳排放达峰行动”的号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后3年内的延保维修方案：
方案一：交纳延保金3000元，在延保的3年内可免费维修1次，超过1次每次收取维修费1000元；
方案二：交纳延保金4000元，在延保的3年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费 t 元；
制造商为制定t元的收取标准，为此搜集并整理了100台这种机器超过保修期后3年内维修的次数，统计得到下表：
维修次数 0 1 2
机器台数 10 40 50
以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记 X 表示 2 台机器超过保修期后 3年内共需维修的次数．
（1）求 X 的分布列；
（2）以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，求使客户选择方案二更合算时t 的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得的取值为.
所以的分布列为：
（2）解：记选择方案一所需费用为元
则当时，
当时，
当时，
当时，
则的分布列为
则
记选择方案二所需费用为元.
则时， ；
时，；
时，
则的分布列为
则
因为，所以，
解得，故的取值范围为.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先由题意得出的所有可能取值，再由概率公式计算取值为的概率，进而求解；
（2）分别计算出两种方案的分布列，分别求出各自的期望，通过期望的大小关系得出t 的取值范围．
（1）解：由题意得的取值为.
所以的分布列为：
（2）记选择方案一所需费用为元
则当时，
当时，
当时，
当时，
则的分布列为
记选择方案二所需费用为元.
则时， ；
时，；
时，
则的分布列为
因为，所以，
解得，所以的取值范围为.
18．（2024高二下·滨州期末）已知函数且曲线在处切线也是曲线的切线．
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）若直线与曲线有两个公共点，，与曲线有两个公共点，，求证：
【答案】（1）解：因为，，
所以在处切线方程为，
联立，得，
由，得；
（2）证明：设，则，
设，则，则单调递减，因为，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，取得最大值0，所以，当时等号成立，即，
，当时等号成立， 即，
综上可知，，即.
（3）证明：，对称轴方程为，由对称性可知，，
所以要证明，只需证明，
因为，所以，得，
当时，，单调递增，时，，单调递减，
当时，取得最大值，
当时，，当时，，，，
所以与的图象有两个公共点，，设，
则，，
设，
，
，
当时，，则，，
即时，，单调递增，，
所以当时，，即，
，所以，由，
即，在上单调递减，
所以，即，
综上可知，.
【知识点】导数的几何意义
【解析】【分析】（1）对函数求导，首先利用导数的几何意义（导数的几何意义是函数曲线在某一点的切线斜率）求切线方程，再联立切线方程与函数，利用，即可求解；
（2）由切线方程转化为证明和，即可证明不等式；
（3）由二次函数的对称性，转化为证明，再根据的范围，构造函数，利用导数判断函数的单调性与最值，再结合函数，即可证明不等式.
（1），，
所以在处切线方程为，
联立，得，
，得；
（2）设，，
设，，单调递减，且，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，取得最大值0，所以，当时等号成立，即，
，当时等号成立， 即，
综上可知，，即.
（3），对称轴方程为，由对称性可知，，
所以要证明，只需证明，
，，得，
当时，，单调递增，时，，单调递减，
当时，取得最大值，
当时，，当时，，，，
所以与的图象有两个公共点，，设，
则，，
设，
，
，
当时，，则，，
即时，，单调递增，，
所以当时，，即，
，所以，由，
即，在上单调递减，
所以，即，
综上可知，.
19．（2024高二下·滨州期末）在数字通信中，信号是由0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为p和；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为q和．假设发送信号0和1是等可能的．
（1）若发送信号一次，求接收为正确信号的概率；
（2）若随机变量M的分布列为记事件发生后给我们的信息量为，则称X 的均值为M 的信息熵，记为
①设发送信号两次，接收为正确信号的次数为，若求的信息熵的值；
②设发送信号一次，接收为正确信号的次数为，求的信息熵取得最大值时的值．
【答案】（1）解：记发送信号为事件.
接收为正确信号为事件.根据题设条件可
则发送信号一次，接收为正确信号的概率.
（2）解：①发送信号两次，接收为正确信号的次数为.
因为由（1）知发送信号一次，接收为正确信号的概率，
所以，所以
所以.
②发送信号一次，接收为正确信号的次数的分布列为
则
令，令
则，由解得，
所以当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.
所以当时，取最小值，
又因为，所以取得最大时，.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）首先设事件，设发送信号为事件，接收为正确信号为事件，根据题设条件得出，最后由全概率公式得出；
（2）①由发送信号一次，接收都为，可知，再由二项分布概率公式结合题设公式得出；
②先求出发送信号一次，接收为正确信号的次数的分布列，进而由题设公式得出，构造函数，利用导数得出最值.
（1）解：记发送信号为事件.
接收为正确信号为事件.
则
所以.
（2）①发送信号两次，接收为正确信号的次数为.
由（1）知发送信号一次，接收为正确信号的概率，
所以，所以
所以.
②发送信号一次，接收为正确信号的次数的分布列为
所以
令，令
所以，由解得，
所以当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.
所以当时，取最小值，
又，所以取得最大时，.
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