1．（2024高二下·南平期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·南平期末）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·南平期末）“在上单调递增”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高二下·南平期末）若，，则（ ）
A．10 B．20 C．50 D．100
5．（2024高二下·南平期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，设，则（ ）
X 0 1
P n
A．5 B． C． D．
6．（2024高二下·南平期末）将函数图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·南平期末）将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A，B，C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球．若标有数字1和2的小球不放入同一个盒子，则不同方法有（ ）
A．72种 B．42种 C．114种 D．36种
8．（2024高二下·南平期末）以max M表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．3 D．2
9．（2024高二下·南平期末）若，则n的值可能为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
10．（2024高二下·南平期末）已知函数（且）在R上为单调函数，，则（ ）
A．实数a的取值范围为
B．当时，的取值范围为
C．函数是周期函数
D．函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对
11．（2024高二下·南平期末）A是轮子（半径为0.5m）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为x m（）时，点A距离地面的高度为，则（ ）
A．当时，点A恰好位于轮子的最高点
B．
C．当时，点A距离地面的高度在下降
D．若，，则的最小值为
12．（2024高二下·南平期末）已知随机变量，若，则 ．
13．（2024高二下·南平期末）若，则 ．
14．（2024高二下·南平期末）若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为 ．
（2024高二下·南平期末）已知的展开式中，二项式系数和为64．
15．求展开式中各项系数的和；
16．求展开式中含的项．
17．（2024高二下·南平期末）某企业拥有甲、乙两种生产工艺，用这两种生产工艺共生产40件同一类型产品，所得合格品情况如表1，该企业对甲生产工艺研发投入x（亿元）与总收益y（亿元）的数据统计如表2.
表1：
工艺 合格情况 合计
合格品 不合格品
甲 18 20
乙 8
合计 40
表2：
研发投入x（亿元） 1 2 3 4
收益y（亿元） 6.5 7 8 8.5
（1）完成列联表，并根据的独立性检验，能否认为产品合格率与生产工艺有关？
（2）用线性回归方程预估当对甲生产工艺研发投入10亿元时，总收益将达到多少亿元？
附：①，.
②临界值表：
α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
③参考公式：，.
18．（2024高二下·南平期末）已知函数，为偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）写出的单调区间（不需要说明理由）；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
19．（2024高二下·南平期末）已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盒中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．
（1）若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用X表示摸出的4个球中白球的个数，求X的分布列和数学期望．
（2）若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球．
（ⅰ）计算在乙盒中摸出的是黑球的概率；
（ⅱ）如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率．
20．（2024高二下·南平期末）函数的定义域为R，若存在非零实数T，对，都有，则称函数关于T可线性分解，已知（，）．
（1）若关于T可线性分解，求，；
（2）若，关于3可线性分解．
（ⅰ）求函数的零点；
（ⅱ）对，，求m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由已知可得.
故选：C.
【分析】应用交集定义（交集的定义是由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合， 记作， 读作A交B）计算即可.
2．【答案】B
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：随机变量，由，得，解得，
所以.
故选：B
【分析】利用二项分布的期望公式求出，再利用独立重复试验的概率公式（在次独立重复的伯努利试验中，事件发生的次数的期望值等于试验次数乘以每次试验中事件发生的概率）计算得解.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，求导得，
由，得或，即函数在上单调递增，
因为在上单调递增，于是，显然真包含于，
所以“在上单调递增”是”“的充分不必要条件.
故选：A
【分析】利用导数求出函数的单调递增区间，进而求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义(充分条件是指通过某一个条件可以推出某个结论，但没有这个条件也存在可以满足这个结论的其他条件；必要条件是指某个结论必须通过这个条件推出，没有它就不行)判断即得.
4．【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：因为，又因为可得，
所以.
故选：B.
【分析】先根据指对数转化，再应用指数运算律（幂的乘方：底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法：底数不变，指数相加）计算即可.
5．【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由分布列的性质可得，，解得，，
，而，
所以.
故选：A
【分析】利用概率分布列的性质（所有可能取值的概率之和必须等于1）求出，再求出X的期望和方差，然后利用方差的性质计算即得.
6．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；辅助角公式
【解析】【解答】解：依题意，因为，所以.
故选：C
【分析】根据两角差的余弦公式（）化简函数，再利用三角函数图象的平移变换（左加右减）求出.
7．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：因为5个不同的小球，先分成3组，可分为1，1，3，或者是1，2，2，
所以共种可能，
因为将每一种分法放到3个盒子中，共有种不同方法，
所有根据分步乘法计数原理得：种可能.
故选：C.
【分析】可先将小球分组去掉1和2在一组的分法，再将三组小球放入三个盒子中，根据分步乘法计数原理即可求解.
8．【答案】D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：设，则.显然．
因为，当且仅当时取等号.
，当且仅当时取等号.
所以两式相乘，即，则.
此时，前面都要成立，则，，解得.
的最小值为2，当且仅当取得最小值.
故选：D.
【分析】设，根据定义，得到，两次运用基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当时等号成立），再运用不等式性质，得到，开方即可.
9．【答案】B,C
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：依题意，，因此，
所以或.
故选：BC
【分析】利用组合数公式化简，再利用组合数性质（从个不同元素中取出个元素的组合数等于从个不同元素中取出个元素的组合数）求出n的值.
10．【答案】A,C,D
【知识点】函数的周期性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于选项A，因为函数在R上为单调函数，而且在上为增函数，
所以，解得，故选项A正确；
对于选项B，当时，，故选项B错误；
对于选项C，显然，函数是周期函数，故选项C正确；
对于选项D，函数的图象关于对称的图象对应解析式，
由，得，即，
由，，得，又，
因此函数的图象与函数的图象有无数个交点，
所以函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对，故选项D正确.
故选：ACD
【分析】由单调性求出a的范围判断A；求出函数值域判断B；由周期函数的定义判断C；由函数的图象关于直线的图象与函数的图象交点个数判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】余弦函数的性质；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意知，因为轮子的半径为，所以轮子滚动一周的水平距离为，
如图所示，设轮子滚动了后到达了点，即，则
过点作垂直地面，过点作，
则，即，
对于选项A，当时，，故A不正确；
对于选项B，可得，故B正确；
对于选项C，当时，可得，
由余弦型函数的性质，可得在上单调递减，故C正确；
对于选项D，由，可得，
可得，所以，
令且，且，
则，且，
当时，可得的最小值为，故D正确.
故选：BCD.
【分析】设轮子滚动了后到达了点，过点作垂直地面，过点作，求得函数的解析式为，利用余弦型函数的性质，逐个选项判断，即可求解.
12．【答案】0.2
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】解：如下图所示，画出正态分布的曲线图，因为，所以，所以阴影区域面积为.
根据正态分布的对称性，可得，所以
故填：0.2.
【分析】根据正态分布概率曲线图，结合对称性可解.
13．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，解得，
所以.
故答案为：
【分析】根据已知条件，利用两角和的正切公式求出，再利用正余弦齐次式法和同角三角函数的关系式以及二倍角公式求值.
14．【答案】1
【知识点】函数的最大（小）值；对数的性质与运算法则；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，，
令，
因为存在使得不等式成立，
所以，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
即，
，
解得：，
，
所以实数的最大值为1，
故填：1．
【分析】令，转化问题为，进而根据函数的单调性求出，转化问题为，即可求解．
【答案】15．解：因为由的展开式中，二项式系数和为64，得，解得，
所以展开式中各项系数的和为.
16．解：展开式的通项公式，
令，得，所以展开式中含的项为.
【知识点】二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【分析】（1）先由二项式系数的性质（的展开式的各个二项式系数的和等于）求出，再由赋值法得出各项系数和.
（2）先求出展开式的通项公式，再求出指定项.
15．先由二项式系数的性质（的展开式的各个二项式系数的和等于）求出，再由赋值法得出各项系数和.
16．先求出展开式的通项公式，再求出指定项.
17．【答案】（1）解：列联表为：
工艺 合格情况 合计
合格品 不合格品
甲 18 2 20
乙 12 8 20
合计 30 10 40
零假设：两种工艺生产的配件与合格率无关，
因为由列联表中数据得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
所以认为产品合格率与生产工艺有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）解：因为，
，，
所以，，
故关于的线性回归方程为，
令，得，
所以预估研发投入10亿元，收益将达到12.75亿元.
【知识点】最小二乘法；线性回归方程；回归分析；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）首先完善列联表，然后计算的观测值，与临界值对比即可得到答案.
（2）先根据最小二乘法公式求出回归直线方程，再代入计算即可求解.
（1）首先完善列联表，然后计算的观测值，与临界值对比即可得到答案.
（2）先根据最小二乘法公式求出回归直线方程，再代入计算即可求解.
18．【答案】（1）解：函数的定义域为R，由为偶函数，得，
即，则，又不恒为0，
所以.
（2）解：函数，令，函数在上单调递增，
当时，，而函数在上单调递增，因此在上单调递增，
又函数是R上的偶函数，因此在上单调递减，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
（3）解：由（2）知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，不等式，
则，而，
于是，
依题意，对于任意恒成立，
当时，，当且仅当或时取等号，
，当且仅当时取等号，因此，
所以实数k的取值范围是.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义（如果对于函数的定义域内任意的一个，都有，那么函数就叫做偶函数）求出值.
（2）利用指数函数单调性，结合对勾函数单调性及偶函数的性质求解即得.
（3）利用偶函数性质及函数单调性脱去法则“f”，转化为恒成立的不等式求解.
（1）利用偶函数的定义（如果对于函数的定义域内任意的一个，都有，那么函数就叫做偶函数）求出值.
（2）利用指数函数单调性，结合对勾函数单调性及偶函数的性质求解即得.
（3）利用偶函数性质及函数单调性脱去法则“f”，转化为恒成立的不等式求解.
19．【答案】（1）解：依题意，的可能值为，
，，
，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3 4
数学期望.
（2）解：（ⅰ）设事件“从甲盒中摸出2个白球”，事件“从甲盒中摸出1个白球和1个黑球”，
事件“从甲盒中摸出2个黑球”，事件“从乙盒中摸出1个黑球”，
显然，且两两互斥，，
，
则，
所以在乙盒中摸出的是黑球的概率是.
（ⅱ）在乙盒中摸出的是黑球，甲盒中恰剩一个黑球的事件是在事件发生的条件下，事件发生，
因此，
所以在乙盒中摸出的是黑球，甲盒中恰剩一个黑球的概率为.
【知识点】条件概率与独立事件；全概率公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）求出的可能值及各值对应的概率，列出分布列并求出期望.
（2）（ⅰ）利用古典概型（事件的概率等于事件包含的基本事件数除以样本空间的基本事件总数）及全概率公式计算即得；（ⅱ）利用条件概率公式计算得解.
（1）求出的可能值及各值对应的概率，列出分布列并求出期望.
（2）（ⅰ）利用古典概型（事件的概率等于事件包含的基本事件数除以样本空间的基本事件总数）及全概率公式计算即得；（ⅱ）利用条件概率公式计算得解.
20．【答案】（1）解：因为关于可线性分解，所以，即，
因为，所以(*)，
若，则充分大时，将大于2，
又因为的值域为，所以等式(*)不可能成立，所以必有.
（2）解：（i）由（1）知，即，则，，
因为，所以，，又因为，所以，
此时，不符合题意；
或，，又因为，所以，
此时，满足，符合题意，
因此，
依题意，因为，所以或，
显然不成立，于是，
则，解得，，
所以函数的零点为，.
（ii）显然，
又因为周期为3，所以当时，，
当时，，
当时，
，
因此恒成立，则，
所以的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据给定的定义，赋值计算，.
（2）（ⅰ）利用定义求得，再由结合最值确定，进而求出零点；（ⅱ）由的周期为3，则按分类求出，进而求出m的范围.
（1）根据给定的定义，赋值计算，.
（2）（ⅰ）利用定义求得，再由结合最值确定，进而求出零点；（ⅱ）由的周期为3，则按分类求出，进而求出m的范围.
1 / 11．（2024高二下·南平期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由已知可得.
故选：C.
【分析】应用交集定义（交集的定义是由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合， 记作， 读作A交B）计算即可.
2．（2024高二下·南平期末）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：随机变量，由，得，解得，
所以.
故选：B
【分析】利用二项分布的期望公式求出，再利用独立重复试验的概率公式（在次独立重复的伯努利试验中，事件发生的次数的期望值等于试验次数乘以每次试验中事件发生的概率）计算得解.
3．（2024高二下·南平期末）“在上单调递增”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，求导得，
由，得或，即函数在上单调递增，
因为在上单调递增，于是，显然真包含于，
所以“在上单调递增”是”“的充分不必要条件.
故选：A
【分析】利用导数求出函数的单调递增区间，进而求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义(充分条件是指通过某一个条件可以推出某个结论，但没有这个条件也存在可以满足这个结论的其他条件；必要条件是指某个结论必须通过这个条件推出，没有它就不行)判断即得.
4．（2024高二下·南平期末）若，，则（ ）
A．10 B．20 C．50 D．100
【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：因为，又因为可得，
所以.
故选：B.
【分析】先根据指对数转化，再应用指数运算律（幂的乘方：底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法：底数不变，指数相加）计算即可.
5．（2024高二下·南平期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，设，则（ ）
X 0 1
P n
A．5 B． C． D．
【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由分布列的性质可得，，解得，，
，而，
所以.
故选：A
【分析】利用概率分布列的性质（所有可能取值的概率之和必须等于1）求出，再求出X的期望和方差，然后利用方差的性质计算即得.
6．（2024高二下·南平期末）将函数图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；辅助角公式
【解析】【解答】解：依题意，因为，所以.
故选：C
【分析】根据两角差的余弦公式（）化简函数，再利用三角函数图象的平移变换（左加右减）求出.
7．（2024高二下·南平期末）将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A，B，C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球．若标有数字1和2的小球不放入同一个盒子，则不同方法有（ ）
A．72种 B．42种 C．114种 D．36种
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：因为5个不同的小球，先分成3组，可分为1，1，3，或者是1，2，2，
所以共种可能，
因为将每一种分法放到3个盒子中，共有种不同方法，
所有根据分步乘法计数原理得：种可能.
故选：C.
【分析】可先将小球分组去掉1和2在一组的分法，再将三组小球放入三个盒子中，根据分步乘法计数原理即可求解.
8．（2024高二下·南平期末）以max M表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．3 D．2
【答案】D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：设，则.显然．
因为，当且仅当时取等号.
，当且仅当时取等号.
所以两式相乘，即，则.
此时，前面都要成立，则，，解得.
的最小值为2，当且仅当取得最小值.
故选：D.
【分析】设，根据定义，得到，两次运用基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当时等号成立），再运用不等式性质，得到，开方即可.
9．（2024高二下·南平期末）若，则n的值可能为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B,C
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：依题意，，因此，
所以或.
故选：BC
【分析】利用组合数公式化简，再利用组合数性质（从个不同元素中取出个元素的组合数等于从个不同元素中取出个元素的组合数）求出n的值.
10．（2024高二下·南平期末）已知函数（且）在R上为单调函数，，则（ ）
A．实数a的取值范围为
B．当时，的取值范围为
C．函数是周期函数
D．函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对
【答案】A,C,D
【知识点】函数的周期性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于选项A，因为函数在R上为单调函数，而且在上为增函数，
所以，解得，故选项A正确；
对于选项B，当时，，故选项B错误；
对于选项C，显然，函数是周期函数，故选项C正确；
对于选项D，函数的图象关于对称的图象对应解析式，
由，得，即，
由，，得，又，
因此函数的图象与函数的图象有无数个交点，
所以函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对，故选项D正确.
故选：ACD
【分析】由单调性求出a的范围判断A；求出函数值域判断B；由周期函数的定义判断C；由函数的图象关于直线的图象与函数的图象交点个数判断D.
11．（2024高二下·南平期末）A是轮子（半径为0.5m）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为x m（）时，点A距离地面的高度为，则（ ）
A．当时，点A恰好位于轮子的最高点
B．
C．当时，点A距离地面的高度在下降
D．若，，则的最小值为
【答案】B,C,D
【知识点】余弦函数的性质；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意知，因为轮子的半径为，所以轮子滚动一周的水平距离为，
如图所示，设轮子滚动了后到达了点，即，则
过点作垂直地面，过点作，
则，即，
对于选项A，当时，，故A不正确；
对于选项B，可得，故B正确；
对于选项C，当时，可得，
由余弦型函数的性质，可得在上单调递减，故C正确；
对于选项D，由，可得，
可得，所以，
令且，且，
则，且，
当时，可得的最小值为，故D正确.
故选：BCD.
【分析】设轮子滚动了后到达了点，过点作垂直地面，过点作，求得函数的解析式为，利用余弦型函数的性质，逐个选项判断，即可求解.
12．（2024高二下·南平期末）已知随机变量，若，则 ．
【答案】0.2
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】解：如下图所示，画出正态分布的曲线图，因为，所以，所以阴影区域面积为.
根据正态分布的对称性，可得，所以
故填：0.2.
【分析】根据正态分布概率曲线图，结合对称性可解.
13．（2024高二下·南平期末）若，则 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，解得，
所以.
故答案为：
【分析】根据已知条件，利用两角和的正切公式求出，再利用正余弦齐次式法和同角三角函数的关系式以及二倍角公式求值.
14．（2024高二下·南平期末）若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为 ．
【答案】1
【知识点】函数的最大（小）值；对数的性质与运算法则；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，，
令，
因为存在使得不等式成立，
所以，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
即，
，
解得：，
，
所以实数的最大值为1，
故填：1．
【分析】令，转化问题为，进而根据函数的单调性求出，转化问题为，即可求解．
（2024高二下·南平期末）已知的展开式中，二项式系数和为64．
15．求展开式中各项系数的和；
16．求展开式中含的项．
【答案】15．解：因为由的展开式中，二项式系数和为64，得，解得，
所以展开式中各项系数的和为.
16．解：展开式的通项公式，
令，得，所以展开式中含的项为.
【知识点】二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【分析】（1）先由二项式系数的性质（的展开式的各个二项式系数的和等于）求出，再由赋值法得出各项系数和.
（2）先求出展开式的通项公式，再求出指定项.
15．先由二项式系数的性质（的展开式的各个二项式系数的和等于）求出，再由赋值法得出各项系数和.
16．先求出展开式的通项公式，再求出指定项.
17．（2024高二下·南平期末）某企业拥有甲、乙两种生产工艺，用这两种生产工艺共生产40件同一类型产品，所得合格品情况如表1，该企业对甲生产工艺研发投入x（亿元）与总收益y（亿元）的数据统计如表2.
表1：
工艺 合格情况 合计
合格品 不合格品
甲 18 20
乙 8
合计 40
表2：
研发投入x（亿元） 1 2 3 4
收益y（亿元） 6.5 7 8 8.5
（1）完成列联表，并根据的独立性检验，能否认为产品合格率与生产工艺有关？
（2）用线性回归方程预估当对甲生产工艺研发投入10亿元时，总收益将达到多少亿元？
附：①，.
②临界值表：
α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
③参考公式：，.
【答案】（1）解：列联表为：
工艺 合格情况 合计
合格品 不合格品
甲 18 2 20
乙 12 8 20
合计 30 10 40
零假设：两种工艺生产的配件与合格率无关，
因为由列联表中数据得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
所以认为产品合格率与生产工艺有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）解：因为，
，，
所以，，
故关于的线性回归方程为，
令，得，
所以预估研发投入10亿元，收益将达到12.75亿元.
【知识点】最小二乘法；线性回归方程；回归分析；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）首先完善列联表，然后计算的观测值，与临界值对比即可得到答案.
（2）先根据最小二乘法公式求出回归直线方程，再代入计算即可求解.
（1）首先完善列联表，然后计算的观测值，与临界值对比即可得到答案.
（2）先根据最小二乘法公式求出回归直线方程，再代入计算即可求解.
18．（2024高二下·南平期末）已知函数，为偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）写出的单调区间（不需要说明理由）；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）解：函数的定义域为R，由为偶函数，得，
即，则，又不恒为0，
所以.
（2）解：函数，令，函数在上单调递增，
当时，，而函数在上单调递增，因此在上单调递增，
又函数是R上的偶函数，因此在上单调递减，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
（3）解：由（2）知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，不等式，
则，而，
于是，
依题意，对于任意恒成立，
当时，，当且仅当或时取等号，
，当且仅当时取等号，因此，
所以实数k的取值范围是.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义（如果对于函数的定义域内任意的一个，都有，那么函数就叫做偶函数）求出值.
（2）利用指数函数单调性，结合对勾函数单调性及偶函数的性质求解即得.
（3）利用偶函数性质及函数单调性脱去法则“f”，转化为恒成立的不等式求解.
（1）利用偶函数的定义（如果对于函数的定义域内任意的一个，都有，那么函数就叫做偶函数）求出值.
（2）利用指数函数单调性，结合对勾函数单调性及偶函数的性质求解即得.
（3）利用偶函数性质及函数单调性脱去法则“f”，转化为恒成立的不等式求解.
19．（2024高二下·南平期末）已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盒中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．
（1）若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用X表示摸出的4个球中白球的个数，求X的分布列和数学期望．
（2）若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球．
（ⅰ）计算在乙盒中摸出的是黑球的概率；
（ⅱ）如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率．
【答案】（1）解：依题意，的可能值为，
，，
，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3 4
数学期望.
（2）解：（ⅰ）设事件“从甲盒中摸出2个白球”，事件“从甲盒中摸出1个白球和1个黑球”，
事件“从甲盒中摸出2个黑球”，事件“从乙盒中摸出1个黑球”，
显然，且两两互斥，，
，
则，
所以在乙盒中摸出的是黑球的概率是.
（ⅱ）在乙盒中摸出的是黑球，甲盒中恰剩一个黑球的事件是在事件发生的条件下，事件发生，
因此，
所以在乙盒中摸出的是黑球，甲盒中恰剩一个黑球的概率为.
【知识点】条件概率与独立事件；全概率公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）求出的可能值及各值对应的概率，列出分布列并求出期望.
（2）（ⅰ）利用古典概型（事件的概率等于事件包含的基本事件数除以样本空间的基本事件总数）及全概率公式计算即得；（ⅱ）利用条件概率公式计算得解.
（1）求出的可能值及各值对应的概率，列出分布列并求出期望.
（2）（ⅰ）利用古典概型（事件的概率等于事件包含的基本事件数除以样本空间的基本事件总数）及全概率公式计算即得；（ⅱ）利用条件概率公式计算得解.
20．（2024高二下·南平期末）函数的定义域为R，若存在非零实数T，对，都有，则称函数关于T可线性分解，已知（，）．
（1）若关于T可线性分解，求，；
（2）若，关于3可线性分解．
（ⅰ）求函数的零点；
（ⅱ）对，，求m的取值范围．
【答案】（1）解：因为关于可线性分解，所以，即，
因为，所以(*)，
若，则充分大时，将大于2，
又因为的值域为，所以等式(*)不可能成立，所以必有.
（2）解：（i）由（1）知，即，则，，
因为，所以，，又因为，所以，
此时，不符合题意；
或，，又因为，所以，
此时，满足，符合题意，
因此，
依题意，因为，所以或，
显然不成立，于是，
则，解得，，
所以函数的零点为，.
（ii）显然，
又因为周期为3，所以当时，，
当时，，
当时，
，
因此恒成立，则，
所以的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据给定的定义，赋值计算，.
（2）（ⅰ）利用定义求得，再由结合最值确定，进而求出零点；（ⅱ）由的周期为3，则按分类求出，进而求出m的范围.
（1）根据给定的定义，赋值计算，.
（2）（ⅰ）利用定义求得，再由结合最值确定，进而求出零点；（ⅱ）由的周期为3，则按分类求出，进而求出m的范围.
1 / 1
