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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 下册第27章
课标要求 1.理解圆、弧、弦、圆心角、 圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系。 2.探索并证明垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系， 知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论： 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半； 直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。 4.了解三角形的内心与外心。 5.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念 (例75)。 6.能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆 ;作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形。 7.能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线 (例76)。 8.探索并证明切线长定理： 过圆外一点的两条切线长相等。 9.会计算圆的弧长、扇形的面积。 10.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
内容分析 本章是华师大版九年级下册第27章《圆》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“图形的性质”。学生已经学习了简单图形的周长、面积和体积等知识，对立体图形和平面图形有了初步的认识，形成了基本的空间观念和几何观念。本章内容先由生活中的常见图形引入圆，随后引导学生观察圆的基本元素，分别探究点、线圆的位置关系和圆的切线，然后解决与圆有关的计算问题，最后探究正多边形的外切圆与内切圆，进一步巩固圆的相关知识，为后续学习圆柱、圆锥等立体几何知识打下基础。但是由于本章内容需要较强的抽象逻辑思维和空间想象能力，教师应注意用直观教学手段展示圆的基本元素和性质，帮助学生形成直观认识；同时让学生亲自动手操作，体验知识探究的过程和形成过程。
学情分析 学生已经直观认识了圆，并学习了长方形、正方形等平面图形以及它们的周长、面积计算，这为学习圆的相关知识提供了一定的基础。但是圆的性质较为抽象和复杂，学生的空间观念和几何观念正在发展中，因此学生在理解和应用上可能会存在一定的困难。本章在此基础上，通过多媒体等教学工具向学生直观的展示圆的相关的概念；同时让学生自己动手操作，探究知识的形成过程，发展学生的几何意识和动手能力；通过大量与生活相关的实际问题，让学生感受数学知识与生活之间的联系，发展数学素养。
单元目标 （一）教学目标 1.理解并掌握圆的基本元素 2.理解圆的轴对称性和中心对称性以及圆心角、弧和弦之间的关系，并能灵活运用这些关系解题 3.掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决相关的证明、计算问题 4.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，并能运用圆周角的知识解决数学问题 5.理解并掌握点和圆的三种位置关系及其数量关系；探究过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法 6.能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离） 7.能够利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法判断直线与圆的位置关系 8.理解和掌握切线的判定定理和性质定理；能够灵活运用切线的判定定理和性质定理解决相关问题 9. 了解并掌握切线长定理，能够运用定理解决实际问题；熟悉三角形内切圆的概念；掌握三角形内心的定义，能够准确找出三角形的内心 10.掌握弧长和扇形面积的计算公式；能够运用公式准确计算弧长和扇形面积，并解决相关问题 11.能掌握圆锥的组成，并解决圆锥相关的问题 12.能够理解并掌握正多边形与圆之间的密切联系，以及如何通过圆来构造正多边形 （二）教学重点、难点 教学重点： 1.掌握垂径定理及其推论; 2.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论 3.理解并掌握点和圆的三种位置关系及其数量关系；探究过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法 4.能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离） 5.理解和掌握切线的判定定理和性质定理； 6. 了解并掌握切线长定理，能够运用定理解决实际问题；熟悉三角形内切圆的概念；掌握三角形内心的定义，能够准确找出三角形的内心 7.掌握弧长和扇形面积的计算公式；能解决圆锥相关的问题 8.能够理解并掌握正多边形与圆之间的密切联系，以及如何通过圆来构造正多边形 教学难点： 1.能运用垂径定理解决相关的证明、计算问题 2.能运用圆周角的知识解决数学问题 3.掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法 4.能够利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法判断直线与圆的位置关系 5.能够灵活运用切线的判定定理和性质定理解决相关问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数27.1圆的认识327.2与圆有关的位置关系427.3圆中的计算问题227.4正多边形与圆1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务27.1.1圆的基本元素1、理解并掌握圆的基本元素，能识别其基本元素。 2、通过观察、对比等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。 3、激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的探索精神和创新意识。1.能识别圆的基本元素。 活动一：情景导入， 展示生活中常见的圆形，激发学生学习的兴趣 活动二：观察圆的图形，思考圆的形成过程及其基本特征，探究圆的基本元素。 活动三：例题训练，请学生回答问题. 活动四：课堂小结，巩固所学知识，培养学生的归纳总结能力。 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题27.1.2圆的对称性1．理解圆的轴对称性和中心对称性以及圆心角、弧和弦之间的关系，并能灵活运用这些关系解题。 2、通过动手操作、观察对比等活动，培养学生的空间想象能力和动手能力。 3、感受数学图形的奇妙，提高学生对数学的兴趣。1．理解圆的轴对称性和中心对称性以及圆心角、弧和弦之间的关系 2.能够利用圆心角、弧和弦之间的关系进行简单应用 活动一：复习引入，回顾圆的基本元素，为继续探究圆的对称性奠定基础。 活动二：通过对折旋转等方式探究圆的对称性，以及弧、弦和圆周角之间的关系 活动三：例题精讲，运用圆心角、弧和弦之间的关系进行简单应用 活动四：课堂小结，巩固所学知识，培养学生的归纳总结能力。 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题27.1.3垂径定理1、掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决相关的证明、计算问题。 2、通过动手操作、观察对比等活动，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。 3、通过发现、推理验证垂径定理的过程，培养学生的数学逻辑思维和严谨的数学态度。1、能掌握垂径定理及其推论 2.能运用垂径定理解决相关的证明、计算问题。 活动一：复习引入，回顾圆的对称性中圆心角、弧和弦之间的关系 活动二：学生通过对折等方式进行探究，用演绎推论的方式证明结论，得到垂径定理。 活动三：例题精讲，运用垂径定理解决相关的证明、计算问题 活动四：知识总结，加深对知识的理解和记忆，培养学生的归纳总结能力。 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题27.1.4圆周角1.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，并能运用圆周角的知识解决数学问题。 2、引导学生经历圆周角定理的探究、证明和应用过程，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。 3、激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养严谨求实的数学态度。1.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论 2.能运用圆周角的知识解决数学问题。 活动一：复习引入，回顾所学知识 活动二：学生动手操作，发现圆周角定理，证明圆周角定理及其推论的过程，加深学生对知识的理解 活动三：例题精讲，让学生运用圆周角定理及其推论进行简单的证明和计算，巩固知识，提高学生的应用能力和解题技巧。 活动四：知识总结，回顾本节课所学内容，梳理知识，巩固记忆 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题26.2.1点与圆的位置关系1.理解并掌握点和圆的三种位置关系及其数量关系；探究过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法。 2.通过生活中的实际例子，探求点和圆的三种位置关系，并提炼出相关的数学知识；渗透数形结合、分类讨论等数学思想。 3. 激发学生学习数学的兴趣，培养学生的科学态度和科学探索的学习方法。1.能理解并掌握点和圆的三种位置关系及其数量关系 2.掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法 活动一：情景导入，将数学与实际生活相联合，调动学生思维的积极性 活动二：通过动手操作、合作交流等方式，理解点和圆的三种位置关系以及三角形的外接圆、外心、内接三角形的概念和过不在同一直线上的三点画圆的方法 活动三：例题精讲，巩固和加深他们对课堂所学内容的理解，发展学生的思维和解题能力。 活动四：课堂小结，梳理本节课的知识框架 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题27.2.2直线与圆的位置关系1.能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离）；能够利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法判断直线与圆的位置关系。 2.通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式。 3.渗透数形结合、归纳总结等数学思想，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的科学态度和科学探索的学习方法。1.能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离） 2.能够利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法判断直线与圆的位置关系。 活动一：情景导入，将数学与实际生活相联合 活动二：探究新知，结合图像理解直线与圆的三种位置关系，并会判断直线与圆的位置关系 活动三：例题训练，巩固和加深他们对课堂所学内容的理解 活动四：课堂小结，帮助学生形成系统、完整的知识体系 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题27.2.3切线（1）1.理解和掌握切线的判定定理和性质定理；能够灵活运用切线的判定定理和性质定理解决相关问题。 2.通过观察、思考、讨论和操作，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和动手操作能力。 3.通过小组合作学习和自主探究，提高学生的综合运用能力和团队协作能力。1.能理解和掌握切线的判定定理和性质定理 2.能够灵活运用切线的判定定理和性质定理解决相关问题 活动一：情景导入，调动学生思维的积极性 活动二：探究新知，理解切线的判定定理和切线的性质定理 活动三：例题训练，根据题目要求选取恰当的表达式 活动四：课堂小结，巩固和加深学生对课堂所学内容的理解 活动五：巩固练习，请学生回答问题.27.2.4切线（2）1、了解并掌握切线长定理，能够运用定理解决实际问题；熟悉三角形内切圆的概念；掌握三角形内心的定义，能够准确找出三角形的内心。 2.培养学生积极的学习态度，激发学生对数学几何知识的兴趣，增强学生的学习自信心。 3.通过探索三角形内切圆的性质，使学生感受数学的对称美、简洁美，培养学生的审美情趣。1.能够运用切线长定理解决实际问题 2.能理解三角形内切圆的概念 3.掌握三角形内心的定义，能够准确找出三角形的内心活动一：复习导入，回顾切线的判定定理和切线的性质定理 活动二：探究三角形内切圆的概念和三角形内心的定义，学习如何准确找出三角形的内心 活动三：例题精讲，应用所学知识解决简单的实际问题 活动四：课堂小结，巩固所学知识 活动五：巩固练习，请学生回答问题27.3.1弧长与扇形的面积1.掌握弧长和扇形面积的计算公式；能够运用公式准确计算弧长和扇形面积，并解决相关问题。 2、通过等分圆周的方法，体验弧长和扇形面积公式的推导过程，培养学生的探索能力、空间想象能力和数学运用能力。 3、体会数学与实际生活的密切联系，激发学习数学的兴趣。1.能掌握弧长和扇形面积的计算公式 2.运用公式准确计算弧长和扇形面积，并解决相关问题。 活动一：情景导入，激发学生的学习兴趣和求知欲 活动二：通过等分圆的方式探究弧长和扇形面积的计算公式 活动三：例题训练，加强学生对本节课知识的掌握和理解 活动四：课堂小结，引导学生自主总结公式记忆技巧和应用方法 活动五：巩固练习，请学生回答问题27.3.2圆锥的相关计算1、掌握圆锥的组成，能够解决与圆锥相关问题。 2、通过对圆锥知识的学习，培养学生的空间几何观念。 3、培养学生良好的数学习惯。1、理解圆锥的组成 2.能够解决与圆锥相关问题。 活动一：复习导入，回顾所学知识 活动二：探究圆锥的组成，以及与圆锥相关的计算 活动三：例题训练，提高学生的应用能力和解题技巧 活动四：课堂小结，回忆所学知识 活动五：巩固练习，请学生回答问题27.4正多边形和圆1.能够理解并掌握正多边形与圆之间的密切联系，以及如何通过圆来构造正多边形。 2.经历从具体到抽象、从感性到理性的探究过程，培养抽象思维和用数学知识解决实际问题的能力。 3.鼓励学生勇于探索知识，培养他们的探索精神和创新意识。1.能够理解并掌握正多边形与圆之间的密切联系 2.能通过圆来构造正多边形。 活动一：情景导入，引入课题 活动二：探究正多边形与圆之间的密切联系，学习通过圆来构造正多边形 活动三：例题训练，提高学生的应用能力和解题技巧 活动四：课堂小结，巩固所学知识 活动五：巩固练习，请学生回答问题
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27.1.3 圆周角
华师大版九年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教学目标
1、理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，并能运用圆周角的知识解决数学问题。
2、引导学生经历圆周角定理的探究、证明和应用过程，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
3、激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养严谨求实的数学态度。
复习导入
问题一：说出垂径定理，并用几何语言表示。
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
几何语言：
在中， 是直径，弦
则有， ， .
⌒
⌒
⌒
⌒
复习导入
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
问题二：说出垂径定理的推论。
1.过圆心的直径；2.垂直于弦；3.平分弦（弦不是直径）；4.平分弦所对的优弧；5.平分弦所对的劣弧。（知二推三）
新知讲解
思考：观察下面的图片，你能说出各个角的区别吗？
如图（2）所示的两条射线在圆周上相交所成的角叫做圆周角。圆周角的顶点在圆上，它的两边与圆相交。
如图（4）所示的两条射线在圆心上相交所成的角叫做圆心角。圆周角的顶点在圆心，它的两边与圆相交。
新知讲解
思考：如图 ，线段 是的直径，点 是上的任意一点（除点 、外），那么就是直径 所对的圆周角，想想看会是怎样的角？
我们可以看到，所以 、 都是等腰三角形，因而
， 。
又因为，
所以 。
新知讲解
因此，不管点 在 上何处 （除点 、外），总等于 ，即：
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于（直角）。
那么对于一般的弧所对的圆周角，又有什么规律呢？
如图， 、 都是弧 所对的圆周角。 是弧 所对的圆心角，这几个角有什么关系？
新知讲解
试一试：（1）分别量一量图中弧 所对的两个圆周角的度数，比较一下。再变动点 在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化，你发现其中有什么规律吗？
（2）分别量出图中弧 所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？
和同学交流一下，是不是都有相同的结果？
我们可以发现，圆周角的度数没有变化，并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半。
新知讲解
由上述操作可以猜想：在同一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。
为了证明这个猜想，如下图所示，可将圆对折，使折痕经过圆心和圆周角的顶点。
这时可能出现三种情况（1）折痕是圆周角的一条边；（2）折痕在圆周角的内部；（3）折痕在圆周角的外部。
新知讲解
接下来，我们分别就这三种情况证明这一猜想：
已知：在中 所对的圆周角是，所对的圆心角是。
求证：
⌒
证明：（1）圆心在的边上，
，
∴ ，
是的外角，
∴ ，
∴.
新知讲解
证明：（2）圆心在的内部，
作直径 ，利用（1）的结论，有
，
∴ ，
∴.
新知讲解
证明：（3）圆心在的外部，
作直径 ，利用（1）的结论，有
，
∴ ，
∴.
你能尝试写出（3）的证明过程吗？
新知讲解
由此我们可以得到：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。
圆周角定理
由圆周角定理，可以得到以下推论：
推论 1： 的圆周角所对的弦是直径（如图）
新知讲解
如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆。这个多边形叫做这个圆的内接多边形。
对于圆内接四边形，有另一个推论：
推论 2：圆内接四边形的对角互补。（如图）
新知讲解
试一试：尝试能说出这两个推论的证明过程。
推论 1：的圆周角所对的弦是直径。
证明：设的半径为，为圆周角所对的弦，
。
根据圆周角定律得 ，
∴ 三点在同一条直线上，
则弦 过圆心，
，
所以 的圆周角所对的弦是直径。
新知讲解
证明：连接并延长，交于点，连接、，
， ，
∴ ，
即 ，
，
∴ ，
同理可得，
所以圆内接四边形的对角互补。
推论 2：圆内接四边形的对角互补。
新知讲解
思考：如图 ，是一个圆形零件，你能找到它的圆心位置吗？你有什么简捷的办法
可以把一个直角三角尺的直角顶点放在圆周上，两直角边与圆分别有交点，连结两交点 的线段即是直径，然后变换位置再做一次，两条直径的交点就是圆心（注意避开两条直径重合的情形）。
也可以在圆形零件中任意画两条不平行的弦，分别作两条弦的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点就是圆心。
（答案不唯一）
典例精析
例1: 试找出图中所有相等的圆周角。
相等的圆周角有：
；
；；
典例精析
例2 : 如图 ， 是⊙的直径， ∠ ，求 ∠ 的大小。
解: 是⊙的直径，
∴ ∠ （直径所对的圆周
角等于 ），
∴ ∠
典例精析
例3: 试分别求出图中 的大小 。
解： （1） 同弧所对的圆周角相等，
.
（2） 连接 ，
同弧所对的圆周角相等，
， ，
.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，圆内接四边形中，，连接，
，，，．则的度数是（ ）
A． B．
C． D．
A
2．在直角中，，，，点是
内一点，满足，则的最小值为 .
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3. 如图，，是半圆上的两点， 为圆心， 是直径，，求的度数．
解： ① ∵ ，
∴，
∵ 是直径，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ .
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3. 如图，，是半圆上的两点， 为圆心， 是直径，，求的度数．
解： ② ∵ ，
∴，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ .
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4．如图1， 是的直径，．
（1）求的度数．
（2）如图2，若， 与的交点记作，．求的半径．
解: （1）如图1，连接，
∵ 是的直径，
∴．
∵，
∴．
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
解: （2）如图2，连接．
∵， 是的直径，
∴，，
∴．
设的半径为，则．
∵在中，，
∴，即，
解得．
课堂练习
【综合拓展类作业】
5．如图，四边形内接于，是的直径，，交的延长线于点E，且平分．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
证明： （1）平分
四边形是平行四边形．
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：（2），
，
， ，
，
，
是直径 ，
在中，，
答：的长为10．
课堂总结
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。
圆周角定理：
推论 1： 的圆周角所对的弦是直径。
如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆。这个多边形叫做这个圆的内接多边形。
推论 2：圆内接四边形的对角互补。
板书设计
圆周角
圆周角定理：
多边形的外接圆和圆的内接多边形：
推论 1：
推论 2：
例题讲解
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．某著作讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．如图，四边形内接于半径为的圆，，，
，则四边形的周长为( )
A． B．
C． D．
A
2．如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为 .
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3. 已知：如图，在⊙O中，弦 ， 交于点， ．
求证： ．
解：由圆周角定理可得： ，
在和中，
，
∴
∴ ．
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，四边形内接于，，交于点E．已知的半径为3，，．
（1）求的度数．
（2）求的长．
解：（1）如图1，连接，．
∵的半径为3，，
∴，
∴是等边三角形，∴．
∵，∴．
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
解：（2）如图2，连接，，
则．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
作业布置
【综合拓展类作业】
5．已知四边形 内接于，连接、 ，若是的直径， 平分，过 作，与 的延长线交于点 ．若，
，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
解：如图，过点作，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
作业布置
【综合拓展类作业】
，
，，
，
在中，，
，
，
谢谢
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《圆周角》教学设计
第四课时《圆周角》教学设计
课型 新授课
教学内容分析 本节课是“华师大版九年级数学（下）”第二章第一节第四课时的内容。圆周角的概念及其定理在圆的几何性质中占有重要地位，不仅深化了学生对圆的理解，还为后续学习圆与其它平面图形的关系提供了理论基础。本节课的主要内容是引导学生通过观察对比等方式，发现圆周角的相关结论，随后用所学知识进行证明，得到圆周角定律并探究证明其推论。
学习者分析 学生已经学习了圆心角、弧、弦之间关系，本节课对于巩固圆心角与弧、弦之间的关系以及后续学习圆的其它性质起着承上启下的作用。本课时通过引导观察对比等方式，引导学生发现问题、解决问题，掌握圆周角定律即其推论。但是对于平面几何问题，学生仍然依赖事物的具体直观形象，因此在教学时要详细展示证明过程，帮助学生理解圆周角定理是如何从具体图形中抽象出来的。
教学目标 1、理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，并能运用圆周角的知识解决数学问题。 2、引导学生经历圆周角定理的探究、证明和应用过程，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。 3、激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养严谨求实的数学态度。
教学重点 理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论。
教学难点 能运用圆周角的知识解决数学问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习导入，引入新知教师活动1： 教师提问：说出垂径定理，并用几何语言表示。 学生回答：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 几何语言： 在中， 是直径，弦 则有，， . 教师提问：说出垂径定理的推论。 学生回答：1.过圆心的直径；2.垂直于弦；3.平分弦（弦不是直径）；4.平分弦所对的优弧；5.平分弦所对的劣弧。（知二推三） 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.学生活动1： 复习引入，回顾所学知识，为继续探究圆的性质奠定基础。活动意图说明：通过复习引入，巩固所学知识，为本节课继续探究圆基本性质奠定基础。环节二：探究新知，合作交流教师活动2： 思考：观察下面的图片，你能说出各个角的区别吗？ 如图（2）所示的两条射线在圆周上相交所成的角叫做圆周角。圆周角的顶点在圆上，它的两边与圆相交。 如图（4）所示的两条射线在圆心上相交所成的角叫做圆心角。圆周角的顶点在圆心，它的两边与圆相交。 思考：如图 ，线段 是的直径，点 是上的任意一点（除点 、外），那么就是直径 所对的圆周角，想想看会是怎样的角？ 我们可以看到，所以 、 都是等腰三角形，因而 ， 。 又因为， 所以 。 因此，不管点 在 上何处 （除点 、外），总等于 ，即： 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于（直角）。 那么对于一般的弧所对的圆周角，又有什么规律呢？ 如图， 、 都是弧 所对的圆周角。 是弧 所对的圆心角，这几个角有什么关系？ 试一试：（1）分别量一量图中弧 所对的两个圆周角的度数，比较一下。再变动点 在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化，你发现其中有什么规律吗？ （2）分别量出图中弧 所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？ 和同学交流一下，是不是都有相同的结果？ 我们可以发现，圆周角的度数没有变化，并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半。 由上述操作可以猜想：在同一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。 为了证明这个猜想，如下图所示，可将圆对折，使折痕经过圆心和圆周角的顶点。 这时可能出现三种情况（1）折痕是圆周角的一条边；（2）折痕在圆周角的内部；（3）折痕在圆周角的外部。 接下来，我们分别就这三种情况证明这一猜想： 已知：在中 所对的圆周角是，所对的圆心角是。 求证： 证明：（1）圆心在的边上， ， ∴ ， 是的外角， ∴ ， ∴. （2）圆心在的内部， 作直径 ，利用（1）的结论，有 ， ∴ ， ∴. 你能尝试写出（3）的证明过程吗？ （3）圆心在的外部， 作直径 ，利用（1）的结论，有 ， ∴ ， ∴. 由此我们可以得到： 圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。 由圆周角定理，可以得到以下推论： 推论 1： 的圆周角所对的弦是直径（如图） 如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆。这个多边形叫做这个圆的内接多边形。 对于圆内接四边形，有另一个推论： 推论 2：圆内接四边形的对角互补。（如图） 试一试：尝试能说出这两个推论的证明过程。 推论 1：的圆周角所对的弦是直径。 证明：设的半径为，为圆周角所对的弦， 。 根据圆周角定律得 ， ∴ 三点在同一条直线上， 则弦 过圆心， ， 所以 的圆周角所对的弦是直径。 推论 2：圆内接四边形的对角互补。 证明：连接并延长，交于点，连接、， ， ， ∴ ， 即 ， ， ∴ ， 同理可得， 所以圆内接四边形的对角互补。 思考：如图 ，是一个圆形零件，你能找到它的圆心位置吗？你有什么简捷的办法 可以把一个直角三角尺的直角顶点放在圆周上，两直角边与圆分别有交点，连结两交点的线段即是直径，然后变换位置再做一次，两条直径的交点就是圆心（注意避开两条直径重合的情形）。 也可以在圆形零件中任意画两条不平行的弦，分别作两条弦的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点就是圆心。 （答案不唯一）学生活动2： 学生思考这些角之间的关系和区别，激发学生的探索兴趣和求知欲望 学生回答问题，教师进行点评和补充 学生积极思考，回答问题 教师进行讲解，学生认真听讲 学生积极思考，尝试回答问题 学生动手尝试，初步探究圆周角定理，提高学生的动手能力 学生进行合作交流，讨论自己的发现 教师进行讲解，学生认真听讲 教师进行讲解，学生认真听讲 学生认真思考，分析问题 引导学生分情况证明圆周角定理，让学生经历从特殊到一般的认知过程，掌发展分类讨论和化归的数学思想方法。 让学生通过类比的方法，独立证明圆心在圆周角外部的情况，培养学生的逻辑推理能力。 教师讲解，学生认真听讲，理解知识 教师讲解，学生认真听讲，理解知识 学生独立进行圆周角定理推论的证明，教师进行点拨启发，培养学生解决问题的能力，发展数学逻辑思维 学生积极思考问题，尝试用不同的方法寻找圆心，巩固所学知识，培养学生的开放性思维活动意图说明：通过学生动手操作，发现圆周角定理，证明圆周角定理及其推论的过程，加深学生对知识的理解，培养学生的观察、分析、归纳和逻辑推理能力。环节三：例题精讲，再探新知教师活动4： 例1试找出图中所有相等的圆周角。 例2如图 ， 是⊙的直径， ∠ ，求 ∠ 的大小。 例3试分别求出图中 的大小 。 学生活动3： 学生认真思考，举手回答问题，教师进行补充和讲解 活动意图说明：通过例题，让学生运用圆周角定理及其推论进行简单的证明和计算，巩固知识，提高学生的应用能力和解题技巧。环节四：课堂小结，总结归纳
教师活动4： 教师提问：我们这节课学习了什么？ 教师讲授：圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。 推论 1： 的圆周角所对的弦是直径 如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆。这个多边形叫做这个圆的内接多边形。 推论 2：圆内接四边形的对角互补。学生活动4： 学生回忆知识要点，举手回答问题，用自己的语言进行描述，教师进行评价和讲解 活动意图说明：回顾本节课所学内容，强调重点难点，帮助学生梳理知识，巩固记忆，同时为下节课的学习做好准备。
板书设计 圆周角 圆周角定理： 多边形的外接圆和圆的内接多边形： 推论 1： 推论 2：
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ） A． B． C． D． 2．在直角中，，，，点是内一点，满足，则的最小值为 . 3. 如图，，是半圆上的两点， 为圆心， 是直径，，求的度数． 选做题： 4．如图1， 是的直径，． （1）求的度数． （2）如图2，若， 与的交点记作，．求的半径． 【综合拓展类作业】 1. 如图，四边形内接于，是的直径，，交的延长线于点E，且平分． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．某著作讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为( ) A． B． C． D． 2．如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为 . 3. 已知：如图，在⊙O中，弦 ， 交于点， ． 求证： ． 选做题： 4．如图，四边形内接于，，交于点E．已知的半径为3，，． （1）求的度数． （2）求的长． 【综合拓展类作业】 5．已知四边形 内接于，连接、 ，若是的直径， 平分，过 作，与 的延长线交于点 ．若，，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
教学反思 本节课通过创设情境、实践探究、合作交流等方式，充分调动了学生的积极性和主动性，取得了良好的教学效果。同时通过引导学生分情况证明圆周角定理等，让学生经历从特殊到一般的认知过程，掌握分类讨论和化归的数学思想方法，充分发展学生的数学逻辑思维，帮助学生理解并掌握圆周角定理及其推论。
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