中小学教育资源及组卷应用平台
《垂径定理》教学设计
第三课时《垂径定理》教学设计
课型 新授课
教学内容分析 垂径定理是“华师大版九年级数学（下）”第二章第一节第三课时的内容。垂径定理作为圆的重要性质，不仅体现了圆的对称性，也是解决部分圆的计算证明问题的重要依据。本节课的主要内容是先让学生动手操作探究，再尝试用演绎推理的方法证明结论，进而分析垂径定理的推论即常见的应用图形。通过本课时的学习，学生可以加强对圆的对称性的理解，同时也为继续圆的性质奠定基础。
学习者分析 学生已经学习了圆的对称性，掌握了三角形全等的相关知识。本节课在此基础上，通过引导学生先动手探究，观察对比得到结论，随后用演绎推理的方式进行证明，得到垂径定理。随后继续探究其本质，得到垂径定理的推论及常见的应用图形，发展学生数学思维的同时加强学生对本节课知识的理解。
教学目标 1、掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决相关的证明、计算问题。 2、通过动手操作、观察对比等活动，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。 3、通过发现、推理验证垂径定理的过程，培养学生的数学逻辑思维和严谨的数学态度。
教学重点 掌握垂径定理及其推论。
教学难点 运用垂径定理解决相关的证明、计算问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习导入，引入新知教师活动1： 教师提问：说出圆的圆心角、弧和弦之间的关系。 教师讲授：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等。 在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。学生活动1： 复习引入，回顾圆的对称性中圆心角、弧和弦之间的关系，激发学生对本节课的学习兴趣。活动意图说明：通过复习引入，回顾圆的对称性中圆心角、弧和弦之间的关系，巩固所学知识，激发学生对数学的学习兴趣，为本节课的学习奠定基础。环节二：探究新知，合作交流教师活动2： 试一试：如图，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径 的弦 ，垂足为点 ，再将纸片沿着直径 对折，分别比较 与 ， 与 . 你能发现什么结论 我们发现， ， ， 你可以尝试用演绎推理证明这一结论吗？ 已知：在中， 是直径， 是弦， ，垂足为点 . 求证： ， ， 解：连接线段 、、、 ， ∴ ， 是等腰三角形， 又 ， ∴ ， 则 ， ∴ 则 ， 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 几何语言： 在中， 是直径， 是弦， ，垂足为点 .则有， ， 类似于上面的证明，我们还可以得到： 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 思考：不是直径这个条件可以去掉吗？ 不可以去掉，因为圆的直径永远相互平分，但并不一定相互垂直. 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 思考：垂径定理包含哪些条件？ 过圆心的直径； 垂直于弦； 平分弦（弦不是直径）； 平分弦所对的优弧； 平分弦所对的劣弧。 注意：五个条件中的任意两个条件都可以推出另外三个结论。 垂径定理的基本图形： 学生活动2： 学生通过对折等方式进行探究，提高学生对数学的兴趣和动手能力。 学生尝试用演绎推论的方式证明结论，发展学生的数学逻辑思维 教师进行讲解，学生认真听讲 教师进行讲解，学生认真听讲 用几何语言总结数学概念，发展学生的几何思维 学生思考回答问题，教师进行讲解 学生积极思考，回答问题，教师进行点拨 教师讲解垂径定理的基本图形，学生认真听讲，发展学生的几何意识 活动意图说明：通过引导学生先动手探究，观察对比得到结论，随后用演绎推理的方式进行证明，得到垂径定理。培养学生严谨的数学意识，发展学生的数学逻辑思维和几何思维。环节三：例题精讲，再探新知教师活动4： 例1如图，是的直径，弦，垂足为点，连接．若，则的半径长为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 例2工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径.假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径AB是 毫米. 例3如图，在 ⊙中，点 是弧 的中点，弦 与半径 相交于点 ， ， ．求的⊙半径．学生活动3： 学生认真思考，举手回答问题，教师进行补充和讲解 活动意图说明：通过例题训练，强调垂径定理的几何应用，引导学生分析题目条件，选择合适的证明方法。环节四：课堂小结，总结归纳
教师活动4： 教师提问：垂径定理及其几何语言. 教师讲授：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 几何语言：在中， 是直径， 是弦， ，垂足为点 .则有， ， 。 教师提问：垂径定理的推论，并举例. 教师讲授：1.过圆心的直径；2.垂直于弦；3.平分弦（弦不是直径）；4.平分弦所对的优弧；5.平分弦所对的劣弧。 五个条件中的任意两个条件都可以推出另外三个结论。 如：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.学生活动4： 学生回忆知识要点，举手回答问题，用自己的语言进行描述，教师进行评价和讲解 活动意图说明：总结所学知识，强调垂径定理的重要性及其应用，加深对知识的理解和记忆，培养学生的归纳总结能力。
板书设计 垂径定理 垂径定理： 几何语言： 垂径定理的推论：
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，一条公路的拐弯处是一段圆弧，点是这段弧所在的圆的圆心，，点是的中点，点是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ） A．10cm B．12.5cm C．15cm D．17cm 2．为的直径，弦于点，已知，，则的直径为 ． 3. 在中，弦 的长为 24cm，圆心 到弦 的距离（弦心距）为 5cm.求的半径. 4．如图， 是的弦，半径 于点 ，且 cm， cm . 求 的长. 选做题： 4．如图， 的直径 垂直于弦 ，垂足为点 ， 为 上一点，求与 的大小。 【综合拓展类作业】 1. 如图， 为⊙的直径，弦于点， ， ． （1）求⊙的半径； （2）求图中阴影部分的面积．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥. 如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ） A． B． C． D． 2．如图，是⊙O的切线，点B为切点，作交于点A，交⊙O于C，D两点，若，，则⊙O的半径长是 ． 3. 江南水乡杭州有很多小河和石拱桥，石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知曲院风荷的一座石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径 米，弧的长度为 米． 4.唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，求该浆轮船的轮子半径。 选做题： 5．已知的半径为10cm，弦，且cm， cm，则弦和之间的距离为多少？ 【综合拓展类作业】 6．已知：如图，在中，弦与弦平行。 求证：
教学反思 本课时通过让学生动手操作和推理证明得到垂径定理，课堂氛围活跃，学生积极参与课堂，加强对垂径定理的理解。同时教师在教学时向学生分析强调垂径定理的推论，常见的应用图形，并及时进行例题训练，巩固知识的同时，帮助学生更好的掌握垂径定理的应用方法。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 下册第27章
课标要求 1.理解圆、弧、弦、圆心角、 圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系。 2.探索并证明垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系， 知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论： 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半； 直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。 4.了解三角形的内心与外心。 5.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念 (例75)。 6.能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆 ;作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形。 7.能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线 (例76)。 8.探索并证明切线长定理： 过圆外一点的两条切线长相等。 9.会计算圆的弧长、扇形的面积。 10.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
内容分析 本章是华师大版九年级下册第27章《圆》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“图形的性质”。学生已经学习了简单图形的周长、面积和体积等知识，对立体图形和平面图形有了初步的认识，形成了基本的空间观念和几何观念。本章内容先由生活中的常见图形引入圆，随后引导学生观察圆的基本元素，分别探究点、线圆的位置关系和圆的切线，然后解决与圆有关的计算问题，最后探究正多边形的外切圆与内切圆，进一步巩固圆的相关知识，为后续学习圆柱、圆锥等立体几何知识打下基础。但是由于本章内容需要较强的抽象逻辑思维和空间想象能力，教师应注意用直观教学手段展示圆的基本元素和性质，帮助学生形成直观认识；同时让学生亲自动手操作，体验知识探究的过程和形成过程。
学情分析 学生已经直观认识了圆，并学习了长方形、正方形等平面图形以及它们的周长、面积计算，这为学习圆的相关知识提供了一定的基础。但是圆的性质较为抽象和复杂，学生的空间观念和几何观念正在发展中，因此学生在理解和应用上可能会存在一定的困难。本章在此基础上，通过多媒体等教学工具向学生直观的展示圆的相关的概念；同时让学生自己动手操作，探究知识的形成过程，发展学生的几何意识和动手能力；通过大量与生活相关的实际问题，让学生感受数学知识与生活之间的联系，发展数学素养。
单元目标 （一）教学目标 1.理解并掌握圆的基本元素 2.理解圆的轴对称性和中心对称性以及圆心角、弧和弦之间的关系，并能灵活运用这些关系解题 3.掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决相关的证明、计算问题 4.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，并能运用圆周角的知识解决数学问题 5.理解并掌握点和圆的三种位置关系及其数量关系；探究过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法 6.能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离） 7.能够利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法判断直线与圆的位置关系 8.理解和掌握切线的判定定理和性质定理；能够灵活运用切线的判定定理和性质定理解决相关问题 9. 了解并掌握切线长定理，能够运用定理解决实际问题；熟悉三角形内切圆的概念；掌握三角形内心的定义，能够准确找出三角形的内心 10.掌握弧长和扇形面积的计算公式；能够运用公式准确计算弧长和扇形面积，并解决相关问题 11.能掌握圆锥的组成，并解决圆锥相关的问题 12.能够理解并掌握正多边形与圆之间的密切联系，以及如何通过圆来构造正多边形 （二）教学重点、难点 教学重点： 1.掌握垂径定理及其推论; 2.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论 3.理解并掌握点和圆的三种位置关系及其数量关系；探究过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法 4.能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离） 5.理解和掌握切线的判定定理和性质定理； 6. 了解并掌握切线长定理，能够运用定理解决实际问题；熟悉三角形内切圆的概念；掌握三角形内心的定义，能够准确找出三角形的内心 7.掌握弧长和扇形面积的计算公式；能解决圆锥相关的问题 8.能够理解并掌握正多边形与圆之间的密切联系，以及如何通过圆来构造正多边形 教学难点： 1.能运用垂径定理解决相关的证明、计算问题 2.能运用圆周角的知识解决数学问题 3.掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法 4.能够利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法判断直线与圆的位置关系 5.能够灵活运用切线的判定定理和性质定理解决相关问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数27.1圆的认识327.2与圆有关的位置关系427.3圆中的计算问题227.4正多边形与圆1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务27.1.1圆的基本元素1、理解并掌握圆的基本元素，能识别其基本元素。 2、通过观察、对比等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。 3、激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的探索精神和创新意识。1.能识别圆的基本元素。 活动一：情景导入， 展示生活中常见的圆形，激发学生学习的兴趣 活动二：观察圆的图形，思考圆的形成过程及其基本特征，探究圆的基本元素。 活动三：例题训练，请学生回答问题. 活动四：课堂小结，巩固所学知识，培养学生的归纳总结能力。 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题27.1.2圆的对称性1．理解圆的轴对称性和中心对称性以及圆心角、弧和弦之间的关系，并能灵活运用这些关系解题。 2、通过动手操作、观察对比等活动，培养学生的空间想象能力和动手能力。 3、感受数学图形的奇妙，提高学生对数学的兴趣。1．理解圆的轴对称性和中心对称性以及圆心角、弧和弦之间的关系 2.能够利用圆心角、弧和弦之间的关系进行简单应用 活动一：复习引入，回顾圆的基本元素，为继续探究圆的对称性奠定基础。 活动二：通过对折旋转等方式探究圆的对称性，以及弧、弦和圆周角之间的关系 活动三：例题精讲，运用圆心角、弧和弦之间的关系进行简单应用 活动四：课堂小结，巩固所学知识，培养学生的归纳总结能力。 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题27.1.3垂径定理1、掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决相关的证明、计算问题。 2、通过动手操作、观察对比等活动，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。 3、通过发现、推理验证垂径定理的过程，培养学生的数学逻辑思维和严谨的数学态度。1、能掌握垂径定理及其推论 2.能运用垂径定理解决相关的证明、计算问题。 活动一：复习引入，回顾圆的对称性中圆心角、弧和弦之间的关系 活动二：学生通过对折等方式进行探究，用演绎推论的方式证明结论，得到垂径定理。 活动三：例题精讲，运用垂径定理解决相关的证明、计算问题 活动四：知识总结，加深对知识的理解和记忆，培养学生的归纳总结能力。 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题27.1.4圆周角1.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，并能运用圆周角的知识解决数学问题。 2、引导学生经历圆周角定理的探究、证明和应用过程，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。 3、激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养严谨求实的数学态度。1.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论 2.能运用圆周角的知识解决数学问题。 活动一：复习引入，回顾所学知识 活动二：学生动手操作，发现圆周角定理，证明圆周角定理及其推论的过程，加深学生对知识的理解 活动三：例题精讲，让学生运用圆周角定理及其推论进行简单的证明和计算，巩固知识，提高学生的应用能力和解题技巧。 活动四：知识总结，回顾本节课所学内容，梳理知识，巩固记忆 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题26.2.1点与圆的位置关系1.理解并掌握点和圆的三种位置关系及其数量关系；探究过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法。 2.通过生活中的实际例子，探求点和圆的三种位置关系，并提炼出相关的数学知识；渗透数形结合、分类讨论等数学思想。 3. 激发学生学习数学的兴趣，培养学生的科学态度和科学探索的学习方法。1.能理解并掌握点和圆的三种位置关系及其数量关系 2.掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法 活动一：情景导入，将数学与实际生活相联合，调动学生思维的积极性 活动二：通过动手操作、合作交流等方式，理解点和圆的三种位置关系以及三角形的外接圆、外心、内接三角形的概念和过不在同一直线上的三点画圆的方法 活动三：例题精讲，巩固和加深他们对课堂所学内容的理解，发展学生的思维和解题能力。 活动四：课堂小结，梳理本节课的知识框架 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题27.2.2直线与圆的位置关系1.能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离）；能够利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法判断直线与圆的位置关系。 2.通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式。 3.渗透数形结合、归纳总结等数学思想，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的科学态度和科学探索的学习方法。1.能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离） 2.能够利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法判断直线与圆的位置关系。 活动一：情景导入，将数学与实际生活相联合 活动二：探究新知，结合图像理解直线与圆的三种位置关系，并会判断直线与圆的位置关系 活动三：例题训练，巩固和加深他们对课堂所学内容的理解 活动四：课堂小结，帮助学生形成系统、完整的知识体系 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题27.2.3切线（1）1.理解和掌握切线的判定定理和性质定理；能够灵活运用切线的判定定理和性质定理解决相关问题。 2.通过观察、思考、讨论和操作，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和动手操作能力。 3.通过小组合作学习和自主探究，提高学生的综合运用能力和团队协作能力。1.能理解和掌握切线的判定定理和性质定理 2.能够灵活运用切线的判定定理和性质定理解决相关问题 活动一：情景导入，调动学生思维的积极性 活动二：探究新知，理解切线的判定定理和切线的性质定理 活动三：例题训练，根据题目要求选取恰当的表达式 活动四：课堂小结，巩固和加深学生对课堂所学内容的理解 活动五：巩固练习，请学生回答问题.27.2.4切线（2）1、了解并掌握切线长定理，能够运用定理解决实际问题；熟悉三角形内切圆的概念；掌握三角形内心的定义，能够准确找出三角形的内心。 2.培养学生积极的学习态度，激发学生对数学几何知识的兴趣，增强学生的学习自信心。 3.通过探索三角形内切圆的性质，使学生感受数学的对称美、简洁美，培养学生的审美情趣。1.能够运用切线长定理解决实际问题 2.能理解三角形内切圆的概念 3.掌握三角形内心的定义，能够准确找出三角形的内心活动一：复习导入，回顾切线的判定定理和切线的性质定理 活动二：探究三角形内切圆的概念和三角形内心的定义，学习如何准确找出三角形的内心 活动三：例题精讲，应用所学知识解决简单的实际问题 活动四：课堂小结，巩固所学知识 活动五：巩固练习，请学生回答问题27.3.1弧长与扇形的面积1.掌握弧长和扇形面积的计算公式；能够运用公式准确计算弧长和扇形面积，并解决相关问题。 2、通过等分圆周的方法，体验弧长和扇形面积公式的推导过程，培养学生的探索能力、空间想象能力和数学运用能力。 3、体会数学与实际生活的密切联系，激发学习数学的兴趣。1.能掌握弧长和扇形面积的计算公式 2.运用公式准确计算弧长和扇形面积，并解决相关问题。 活动一：情景导入，激发学生的学习兴趣和求知欲 活动二：通过等分圆的方式探究弧长和扇形面积的计算公式 活动三：例题训练，加强学生对本节课知识的掌握和理解 活动四：课堂小结，引导学生自主总结公式记忆技巧和应用方法 活动五：巩固练习，请学生回答问题27.3.2圆锥的相关计算1、掌握圆锥的组成，能够解决与圆锥相关问题。 2、通过对圆锥知识的学习，培养学生的空间几何观念。 3、培养学生良好的数学习惯。1、理解圆锥的组成 2.能够解决与圆锥相关问题。 活动一：复习导入，回顾所学知识 活动二：探究圆锥的组成，以及与圆锥相关的计算 活动三：例题训练，提高学生的应用能力和解题技巧 活动四：课堂小结，回忆所学知识 活动五：巩固练习，请学生回答问题27.4正多边形和圆1.能够理解并掌握正多边形与圆之间的密切联系，以及如何通过圆来构造正多边形。 2.经历从具体到抽象、从感性到理性的探究过程，培养抽象思维和用数学知识解决实际问题的能力。 3.鼓励学生勇于探索知识，培养他们的探索精神和创新意识。1.能够理解并掌握正多边形与圆之间的密切联系 2.能通过圆来构造正多边形。 活动一：情景导入，引入课题 活动二：探究正多边形与圆之间的密切联系，学习通过圆来构造正多边形 活动三：例题训练，提高学生的应用能力和解题技巧 活动四：课堂小结，巩固所学知识 活动五：巩固练习，请学生回答问题
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共30张PPT)
27.1.2 垂径定理
华师大版九年级下册
第二课时
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教学目标
1、掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决相关的证明、计算问题。
2、通过动手操作、观察对比等活动，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
3、通过发现、推理验证垂径定理的过程，培养学生的数学逻辑思维和严谨的数学态度。
复习导入
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等。
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
问题一：说出圆的圆心角、弧和弦之间的关系。
新知讲解
试一试：如图，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径 的弦 ，垂足为点 ，再将纸片沿着直径 对折，分别比较 与 ， 与 . 你能发现什么结论
⌒
⌒
我们发现， ， ，
⌒
⌒
⌒
⌒
你可以尝试用演绎推理证明这一结论吗？
新知讲解
已知：在中， 是直径， 是弦， ，垂足为点 .
求证：
， ， .
⌒
⌒
⌒
⌒
解：连接线段 、、、 ，
∴ ， 是等腰三角形，
又 ，
∴ ，
则 ，
∴
则 ， .
⌒
⌒
⌒
⌒
新知讲解
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
几何语言：
在中， 是直径，弦
则有， ， .
⌒
⌒
⌒
⌒
新知讲解
类似于上面的证明，我们还可以得到：
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
这个条件可以去掉吗？
不可以去掉，因为圆的直径永远相互平分，但并不一定相互垂直.
新知讲解
思考：垂径定理包含哪些条件？
过圆心的直径；
垂直于弦；
平分弦（弦不是直径）；
平分弦所对的优弧；
平分弦所对的劣弧。
注意：五个条件中的任意两个条件都可以推出另外三个结论。
新知讲解
垂径定理的基本图形：
典例精析
例1:如图，是的直径，弦，垂足为点，连接．若，则的半径长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
C
例2:工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径.假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径AB是 毫米.
6
典例精析
例3:如图，在 ⊙中，点 是弧 的中点，弦 与半径 相交于点 ， ， ．求的⊙半径．
解：连接
∵点 是弧 的中点，弦 与
半径 相交于点 ，
∴ .
∵ ， .
典例精析
∵ ，设⊙ 的半径为 ，
∴在 中，由勾股定理得：
，
即： ，
∴ .
则 ⊙的半径为 10．
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，一条公路的拐弯处是一段圆弧，点是这段弧所在的圆的圆心，，点是的中点，点是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．10cm B．12.5cm C．15cm D．17cm
B
2． 为的直径，弦于点，已知，，则的直径为 ．
⌒
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3. 在中，弦 的长为 24cm，圆心 到弦 的距离（弦心距）为 5cm.
求的半径.
解：过圆心 作 于点，连接，
由垂径定理可得cm，
在中，由勾股定理可得
cm，
则的半径为cm.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4．如图， 是的弦，半径 于点 ，且 cm， cm .
求 的长.
解：由垂径定理可得cm，
在中，由勾股定理可得
cm，
∴ cm.
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5．如图， 的直径 垂直于弦 ，垂足为点 ， 为 上一点
，求与 的大小。
解： 是直径，
∴ ，
则 ，为等腰三角形，
∴
∴
课堂练习
【综合拓展类作业】
6．如图， 为⊙的直径，弦于点， ， ．
（1）求⊙的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
解： （1）连接， ，
设， ，则， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴，
解得： 或（舍去），
∴ ，
∴ ⊙的半径为4；
课堂练习
【综合拓展类作业】
（2）∵ ， ，
∴在中， ， ，
∴ ，
∵＝
阴影部分的面积为：.
课堂总结
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
几何语言：
在中， 是直径，弦
则有， ， .
⌒
⌒
⌒
⌒
课堂总结
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
垂径定理的推论：
1.过圆心的直径；2.垂直于弦；3.平分弦（弦不是直径）；4.平分弦所对的优弧；5.平分弦所对的劣弧。
五个条件中的任意两个条件都可以推出另外三个结论。
如：
板书设计
垂径定理
垂径定理：
几何语言：
垂径定理的推论：
例题讲解
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥. 如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A． B． C． D．
B
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，是⊙O的切线，点B为切点，作交于点A，交⊙O于C，D两点，若，，则⊙O的半径长是 ．
5
3．江南水乡杭州有很多小河和石拱桥，石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知曲院风荷的一座石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径 米，弧的长度为 米．
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4.唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，求该浆轮船的轮子半径。
解：设轮船的轮子的半径为 m，则m
∴ m，
在中，由勾股定理可得
，即，
解得m
则的半径为m.
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
5. 已知的半径为10cm，弦，且cm， cm，则弦和之间的距离为多少？
解： 作于点，于点，
连接、 ，
∵
∴ 、 、 三点共线 .
①当弦和在圆心同侧时，如图所示
∵ cm， cm，
∴ cm， cm，
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
∵ cm，
∴ cm， cm，
则 cm.
②当弦和在圆心异侧时，如图所示
∵ cm， cm，
∴ cm， cm，
∵ cm，
∴ cm， cm，
则 cm.
作业布置
【综合拓展类作业】
6．已知：如图，在中，弦与弦平行。
求证：
⌒
⌒
解：作直径⊥ ，
∴，
∵
∴ ⊥
则
则.
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin
