人教版八年级数学上册第十五章分式单元测试卷（含解析）

人教版八年级数学上册
第十五章分式单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若分式的值为0，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．
2．下列变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为米，用科学记数法表示为米，则n的值是（ ）
A． B． C．6 D．5
4．下列分式中最简分式是（ ）
A． B． C． D．
5．已知甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，两人每天共做140个零件，设甲每天做x个零件，根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
6．分式与的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
7．与《九章算术》的类似题，今有善行者每刻钟比不善行者多行六十尺，不善行者先行两百尺，善行者行八百尺追上．设善行者每刻钟行x尺，则列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（ ）
A． B． C． D．
9．函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水吨数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．分式方程的解是 ．
12．化简： ．
13．如果等式成立，那么的取值范围是 ．
14．若关于x的分式方程有增根，则a= ．
15．定义一种新的运算“”，若，则．
①依定义， ；
②若，则 ．
16．已知x＝，y＝，= ．
三、解答题
17．先化简，再求值：，其中x=20160+4
18．解下列方程：
(1) (2)
19．设，，求值.
20．端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3000元购进、两种粽子1100个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同，已知粽子的单价是种粽子单价的1.2倍.
（1）求、两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购买、两种粽子共2600个，已知、两种粽子的进价不变，求中粽子最多能购进多少个？
21．一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发的第一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，比原计划提前到达目的地．
(1)求原计划的行驶速度；
(2)汽车按原路返回，若司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），共用时小时；若司机准备用一半时间以的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，共用时小时．
①直接写出用含a，b的式子分别表示和；
②试比较，的大小，并说明理由
22．甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地开往乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达乙地，设前一小时行驶的速度为．
(1)提速后走完剩余路程的时间为________（用含x的式子表示）；
(2)求汽车前一小时的行驶速度；
(3)当汽车以的速度原路返回时，同时有一辆货车以（）的速度从甲地开往乙地，两车相遇时汽车比货车多行驶多少千米？（结果用含a的式子表示）
23．为了落实“惠民工程”，某街道办事处计划对某小区的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程再由甲队单独完成还需10天．
(1)这项工程的规定时间是多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为5500元，乙队每天的施工费用为4500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成．则该工程施工总费用是多少元？
24．武汉市某区的天然气管道升级工程，若由乙工程队单独完成所需天数是由甲工程队单独完成所需天数的两倍；若甲工程队单独做5天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的一半，共需施工费28万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多0.8万元，
(1)单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需多少天？
(2)甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？
(3)甲、乙两工程队合做，若要完成全部工程的施工费不超过52万元，且乙工程队的施工天数大于6天，直接写出甲工程队施工天数．（天数为整数）
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参考答案：
1．B
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件为：分子等于零，分母不等于零，根据分式值为零的条件列式计算即可得出答案．
【详解】解：分式的值为0，
，，
解得：，
故选：B．
2．D
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．逐一进行判断．
【详解】解：A. 是最简分式，不能约分，故本选项错误；
B. ，故本选项错误；
C. ，故本选项错误；
D. ，故本选项正确．
故选D
【点睛】本题主要考查了分式的性质, 熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．A
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键．
【详解】解：∵，用科学记数法表示为米，
∴n的值是
故选：A．
4．C
【分析】此题主要考查了最简分式的概念，根据最简分式的概念，可把各分式因式分解后，看分子分母有没有公因式.
【详解】解：A. ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；
C. 是最简分式，故该选项正确，符合题意；
D. ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
5．A
【分析】设甲每天做x个零件，根据甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，列出方程即可．
【详解】设甲每天做x个零件，根据题意得：
；
故选A．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．
6．C
【分析】本题考查最简公分母，解题的关键是：需要掌握最简公分母的定义．
【详解】解：在分式与中，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积即最简公分母为：，
故选：C．
7．C
【分析】设善行者每刻钟行x尺，则不善行者每刻钟行尺，再根据善行者行800尺的时间与不善行者行600尺的时间相同列出方程即可．
【详解】由题意可得，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
8．B
【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间=工作总量÷工作效率，再结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，
依题意，得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
9．C
【分析】二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于0；分式有意义的条件是分母不为依此即可求解．
【详解】根据题意得：解得：．
故选：C．
【点睛】此题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
10．A
【分析】此题考查列代数式，首先求得原来每天的用水量，现在每天的用水量，再用原来的减去现在的列出算式即可，掌握基本的数量关系：水的总量天数每一天的用水量是解决问题的关键．
【详解】解：原来每天的用水量为：，
现在每天的用水量为：，
∴现在比原来每天节约用水吨数是：，
故选：．
11．
【分析】先去分母，方程两边同乘以，把分式方程化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可得到原方程的解．
【详解】解：，
方程两边同乘以得，，
解得，
经检验是原方程的解．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程：解分式方程的基本步骤为①找出最简公分母，去分母，把分式方程转化为一元一次方程；②解一元一次方程；③检验；④确定分式方程的解．
12．
【分析】根据分式的混合运算规则进行计算，即可得到答案.
【详解】
=
=
=
【点睛】本题考查分式混合运算，解题的关键是掌握分式的运算规则.
13．＞2
【分析】直接利用二次根式的性质，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，得出关于的不等式组，进而求出出答案．
【详解】解：等式成立，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，正确解不等式组是解题关键．
14．1
【详解】方程两边同乘以x（x-1）得，x（x-a）-3（x-1）= x（x-1），
整理得，(-a-2)x+3=0，
∵关于x的分式方程存在增根，
∴x（x-1）=0，
∴x=0或x=1，
把x=0代入(-a-2)x+3=0得，a无解；
把x=1代入(-a-2)x+3=0，解得a=1；
∴a的值为1．
故答案为∶1．
15．
【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方等知识，①直接根据新定义即可求解设，②，，根据新运算定义用表示得方程即可求解，理解并运用新运算的定义是解题的关键．
【详解】解：①依题意可得，
∴，
∴，
设，，
②依题意可知：，，
∴，
∴
∴
，
故答案为：，．
16．
【分析】先分母有理化，求出，的值，再同分根据完全平方公式变形计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了分母有理化，整式的混合运算，异分母分式加减法，完全平方公式的变形计算，正确掌握各知识点是解题的关键．
17．，.
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后求出x的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式，
∵x=20160+4=5，
∴原式=.
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．
18．(1)
(2)方程无解
【分析】本题主要考查解分式方程，
（1）根据解分式方程的去分母、整理、系数化为1及检验步骤求解即可；
（2）根据解分式方程的去分母、整理、系数化为1及检验步骤求解即可；
【详解】（1）解：方程两边乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以，原分式方程的解为．
（2）方程两边乘，得，
解得，
检验：当时，，
因此，不是原分式方程的解．
故方程无解．
19．31
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．先把，化简，再把变形为代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
20．（l）种粽子的单价是3元，种粽子的单价是2.5元；（2）种粽子最多能购进1000个.
【分析】（1）根据题意列出分式方程计算即可，注意根的验证.
（2）根据题意列出不等式即可，根据不等式的性质求解.
【详解】（l）设种粽子的单价为元，则种粽子的单价为元
根据题意，得
解得：
经检验，是原方程的根
所以种粽子的单价是3元，种粽子的单价是2.5元
（2）设种粽子购进个，则购进种粽子个
根据题意，得
解得
所以，种粽子最多能购进1000个
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，关键在于分式方程的解需要验证.
21．(1)原计划的行驶速度为
(2)①；②
【分析】本题考查分式方程的应用、列代数式、分式的化简，理解题意是解答的关键．
（1）设原计划的行驶速度为，根据题意，利用一小时后的时间差为列方程求解即可；
（2）①根据时间、路程、速度关系分别求得，；②作差，根据分式的混合运算法则化简，然后与0比较即可求解．
【详解】（1）解：设原计划的行驶速度为，则
，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴原分式方程的解为．
答：原计划的行驶速度为．
（2）解：①根据题意， ，；
②，理由如下：
∵，
为正数，且，
．
．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分式方程的应用：
（1）用剩余的路程除以提速后的速度，即可求解；
（2）根据原计划的时间减去实际的时间等于，列出方程，即可求解；
（3）先求出两车相遇的时间为，然后用汽车行驶的路程减去货车的路程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：提速后走完剩余路程的时间为；
故答案为：
（2）解：根据题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：汽车前一小时的行驶速度为；
（3）解：根据题意得：两车相遇的时间为，
，
答：两车相遇时汽车比货车多行驶．
23．(1)这项工程的规定时间是天
(2)该工程施工费用是元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．
（1）设这项工程的规定时间是天，根据“如果由甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程再由甲队单独完成还需10天”列出分式方程，解方程即可得出答案；
（2）先计算出该工程由甲、乙队合作完成所需时间，然后计算费用即可．
【详解】（1）解：设这项工程的规定时间是天，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
这项工程的规定时间是天；
（2）解：该工程由甲、乙队合作完成，所需时间为：（天），
该工程施工费用是：（元），
该工程施工费用是元．
24．(1)甲需25天，乙需50天
(2)甲每天的施工费用为万元，乙每天的施工费用为1.2万元；
(3)20天或21天
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程和不等式组的应用，根据已知数量关系正确列式是解题关键．
（1）设单独完成此项工程，甲需工x天，则乙需2x天，根据题意列分式方程求解，检验后即可得到答案；
（2）设乙每天的施工费用为y万元，则甲每天的施工费用为万元，根据题意列一元一次方程求解即可；
（3）设甲工程队施工天数为天，甲工程队完成了此工程的，则乙工程队完成了此工程的，所用时间为天，根据题意列一元一次不等式组求解即可
【详解】（1）解：设单独完成此项工程，甲需工x天，则乙需2x天，
由题意得：，．
解得，
检验：当时，，原分式方程的解为，
故甲需25天，乙需50天；
（2）解：设乙每天的施工费用为y万元，则甲每天的施工费用为万元，
由题意得：，
解得，
，
故甲每天的施工费用为万元，乙每天的施工费用为1.2万元；
（3）解：设甲工程队施工天数为天，则甲工程队完成了此工程的，乙工程队完成了此工程的，
乙工程队所用时间为天，
，
解得：，
甲工程队施工天数为20天或21天．
答案第1页，共2页
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