人教版八年级数学上册第十三章轴对称单元测试卷（含解析）

人教版八年级数学上册
第十三章轴对称单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若一个等腰三角形有一个角为110°，那么它的底角的度数为（ ）
A．110° B．55° C．110°或35° D．35°
3．已知点的坐标为，则点A关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，，若和分别垂直平分和，则等于（ ）

A． B． C． D．
5．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
6．如图，在中，，，的角平分线与外角的角平分线交于点，连接．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长为（ ）

A． B． C． D．2
8．已知如图，在中，，平分，于点D．若，，．则的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在等腰中，，，D是边的中点，E是边（端点除外）上的动点，过点D作的垂线交边于点F．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．四边形的面积等于面积的一半 D．
10．已知平面直角坐标系中有两点，若坐标轴上有点，使得为等腰三角形，则满足条件的点的个数有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
二、填空题
11．如图，在中，的垂直平分线交于点，若，则的长度是 ．
12．若等腰三角形的两条高所在直线形成的角中有一个为，则其顶角的度数为 ．
13．点关于轴对称的点的坐标为 ．
14．如图，三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，的周长为 ．
15．如图，中，是的垂直平分线，的周长为10，，则的周长为 ．

16．如图，在面积为48的等腰中，，，P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点外别为M、N，则线段MN的最大值为 ．
三、解答题
17．如图，，求证：．
18．如图，为等边三角形，为上一点，，分别为及其延长线上一点，，求证：．
19．如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点D，，垂足分别为点E、F．
(1)求证：；
(2)求证：．
20．如图，在等腰中，，点，，在的边上，满足．
(1)求证：；
(2)当时，求的大小．
21．如图，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)将先向右平移三个长度单位，再向下平移四个长度单位，则平移后的点A、B、C的对应点的坐标分别是（____，____），（____，____），（____，____）；
(2)画出关于直线（直线y上各点的纵坐标都为）对称的，并写出的坐标（____，____）；
(3)将向右平移五个长度单位，则扫过的面积是________（直接写出结果）．
22．如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A（﹣3，3），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣1）．
（1）直接写出△ABC的面积为 　 　；
（2）画出△ABC关于y轴的对称的△DEC（点D与点A对应，点E与点B对应），点E的坐标为 　 　；
（3）用无刻度的直尺，运用所学的知识作图（保留作图痕迹）．
①作出△ABC的高线AF
②在边BC上确定一点P，使得∠CAP＝45°．
23．等边和等边中共线，连接和相交于点．

(1)如图1，当点分别在边上时，求证：；
(2)如图2，当点在的延长线上时，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，直接写出与之间的数量关系为__________．
24．在平面直角坐标系中，A，P分别是x轴、y轴正半轴上的点，B是线段上一点，连接．
(1)如图1，轴于点A，，D是上一点，且；
①求证：；
②若，求证：；
(2)如图2，，G是的中点，连接，M是x轴负半轴上一点，，当点P在y轴正半轴上运动时，点M的坐标是否会发生变化？若不变，求点M的坐标；若改变，求出其变化的范围．
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案
1．C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分完全重合，称这个图形为轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
根据轴对称图形的概念，把图形沿某一条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够互相重合，逐一进行判断即可．
【详解】A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．D
【分析】因为三角形的内角和为180°，所以110°只能为顶角，根据三角形内角和定理可求出底角的度数．
【详解】解：∵110°为三角形的顶角，
∴底角为：（180°﹣110°）÷2＝35°．
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解，此题难度不大．
3．B
【分析】根据关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：点的坐标为，则点A关于y轴对称的点的坐标为
故选：B．
【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，掌握关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数是解题的关键．
4．A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据三角形内角和定理解得，再根据垂直平分线的性质可得，，进而可得，，即可获得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵和分别垂直平分和，
∴，，
∴，，
∴．
故选：A．
5．B
【分析】在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可．
【详解】解：在上截取，连接，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图所示：
∵，，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．
6．C
【分析】本题考查的是角平分线的性质，作交的延长线于，于，交的延长线于，根据角平分线的性质和判定得到平分求出 的度数，根据角平分线的定义求出 的度数，根据三角形内角和定理计算得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：作交的延长线于，于，交的延长线于，如图：
∵平分，平分，
∴，，
∴，又，，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，又平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
7．C
【分析】本题考查了折叠的性质等面积法求高，解题的关键是作出常用辅助线及熟练掌握折叠的性质．由折叠的性质可得：，，，进而证得，得到，由面积法可求解．
【详解】解：由折叠的性质可得：，，，，，
如图，过点D作于点M，作于点N，则，

∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
8．D
【分析】本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
先根据角平分线的性质得出，由定理得出，故可得出 ，进而得出的长，据此可得出结论．
【详解】解：∵平分 于点，
在与中，
周长
故选：D．
9．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，连接，先证明，根据全等三角形的性质，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，

∵△为等腰直角三角形，D是边的中点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，故选项A、B正确，不符合题意；
∴，
∴，故选项C正确，不符合题意；
当点F在中点时，则是等腰直角斜边的中位线，
∴，故选项D不正确，符合题意；
故选：D．
10．B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定、坐标与图形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．
分、、三种情况，进行分析画图即可解答．
【详解】解：如图：
当时，以点A为圆心，长为半径画弧，交y轴于点，
当时，以点B为圆心，长为半径画弧，交x轴于点，
当时，作的垂直平分线，交x轴于点，交y轴于点，
∵点A，B，三个点在同一条直线上，
∴满足条件的点C的个数是5．
故选：B．
11．4.5
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，以及角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．连接，根据线段垂直平分线的性质得到，证明是的角平分线，得到，再根据含30度角的直角三角形的性质，得到，由此即可得解．
【详解】解：如图所示，连接，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
.
是的角平分线，
又，
.
在中，，，，
，
．
故答案为：．
12．或或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的有关概念，三角形的内角和定理，分三种情况讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】分情况讨论：
如图，，，
∵，，
∴，
∴，即顶角为，
如图，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即顶角为，
如图，
同理可得，
∴，即顶角为，
综上可知：顶角度数为或或．
13．
【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标．根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：．
14．7
【分析】
先根据折叠的性质可得，，再求出的长，然后根据的周长进行计算．
【详解】解：由折叠的性质得：，，
∴，
∴的周长，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，翻折变换保留原有图形的性质，而且可以使得原有的分散条件相对集中，从而有利于问题的解决．
15．16
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，先根据是的垂直平分线得出，，再根据的周长为10即可得出结论．
【详解】解：∵是的垂直平分线，，
∴，，
∴，
∵的周长为10，
∴
∴．
故答案为：16．
16．19.2
【分析】点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，根据三角形三边关系可得，当点P与点B或点C重合时，P、M、N三点共线，MN最长，由轴对称可得，，再由三角形等面积法即可确定MN长度．
【详解】解：如图所示：点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，
由图可得：，
当点P与点B或点C重合时，如图所示，MN交AC于点F，此时P、M、N三点共线， MN最长，
∴，，
∵等腰面积为48，，
∴，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查对称点的性质及三角形三边关系，三角形等面积法等，理解题意，根据图形得出三点共线时线段最长是解题关键．
17．证明见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定，先证明，在用证明即可，掌握判定三角形全等是解题的关键．
【详解】证明，
，
在和中，
，
．
18．见解析
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识．过点作交于点，证明为等边三角形，推出，再证明，由可得，即可求解．
【详解】证明：过点作交于点，
为等边三角形，
，，
∴，
，
∴，
为等边三角形，
，
，，
，
，，
，
，
，
在和中，，
，
．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，垂直平分线的性质．
（1）连接，根据垂直平分线和角平分线的性质分别得到，证明，从而证得；
（2）证明，得到，从而可以得到．
【详解】（1）证明：连接，

垂直平分，
，
平分，，
，
在和中，
，
∴，
；
（2）证明：在和中，
，
∴，
，
，
，
．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由已知等腰中，，可得，再证明，即得；
（2）在中，由，，求得，再结合，可得，在中，有，再由，推导得到，最后由及三角形内角和定理，得到的大小．
【详解】（1）证明：∵等腰中，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵等腰中，，
∴，
∵在中，，
又∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵在中，，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
，，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
21．(1)；画图见详解
(2)，画图见详解
(3)21
【分析】此题主要考查了作图-平移变换，作图-轴对称变换，解答本题的关键要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
（1）向右平移三个长度单位，再向下平移四个长度单位，则平移后点、、的对应的坐标分别是横坐标加上3，纵坐标减4可得答案；
（2）先作出直线，再作出、、关于直线的对称点，连线并写出其坐标即可；
（3）向右平移五个长度单位可得 扫过的面积即为梯形的面积．
【详解】（1）如图1所示：向右平移三个长度单位，再向下平移四个长度单位后到达位置，
∴，
故答案为：；
（2）关于直线(直线上各点的纵坐标都为)对称的，如图2，的坐标；
故答案为：；
（3）如图3，
∴扫过的面积：．
故答案为：21．
22．（1）；（2）（4，-2）；（3）①AF为△ABC的高作法见详解；②∠CAP=45°，作法见详解．
【分析】（1）利用割补法求三角形ABC面积S△ABC=S△ABH+S梯形AHGC-S△BCG代入计算即可；
（2）先求出点A、B关于y轴对称的点坐标D、E，然后描出点D、E，顺次连结线段DE，EC，CD即可；
（3）①根据勾股定理AB=，过C向左5格向上1格作CH=，则CH⊥AB， 根据勾股定理AC=，过B向右4格，向上3格作BI，CH与BI交于G，则BI⊥AC，则点G为垂心，过A作射线AG交BC于F，则AF为所求，；
②根据AC=，过C先下3格，向左4格，作CR=，连结AR交BC于P，则RC⊥AC，RC=AC，可得△ACR是等腰直角三角形，可求∠RAC=∠ARC=45°，则∠CAP=45°，
【详解】解：（1）S△ABC=S△ABH+S梯形AHGC-S△BCG
=
，
故答案为；
（2）∵A（﹣3，3），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣1）．△ABC关于y轴的对称的△DEC，
∴点D（3，3），点E（4，-2），
描点D、E，连结CD，DE，EC，
则△DEC为△ABC关于y轴对称的三角形，
故答案为（4，-2）；
（3）①根据勾股定理AB=，过C向左5格向上1格作CH=，则CH⊥AB， 根据勾股定理AC=，过B向右4格，向上3格作BI，CH与BI交于G，则BI⊥AC，则点G为垂心，过A作射线AG交BC于F，则AF为所求，
AF为△ABC的高；
②根据AC=，过C先下3格，向左4格，作CR=，连结AR交BC于P，则RC⊥AC，RC=AC，
∴△ACR是等腰直角三角形，
∴∠RAC=∠ARC=45°，
则∠CAP=45°，
【点睛】本题考查割补法求三角形面积，轴对称，图形旋转，作一角等于已知角，等腰直角三角形性质，掌握割补法求三角形面积，轴对称，图形旋转，过一点作已知直线的垂线，作一线段等于已知线段，等腰直角三角形性质是解题关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明得到，从而得到，即，即可推出；
（2）过作于点于点，在上截取，连接，证明得到，由三角形内角和定理得出，根据全等三角形对应边上的高相等，，得到，从而推出平分，证明为等边三角形，得到，，再证明得出，即可得证；
（3）过作于点于点，作于点，根据，，，可得，再由，，，即可得到答案．
【详解】（1）证明： 和是等边三角形，
，，，
在和中，
，
，
，
，即，
；
（2）解：过作于点于点，在上截取，连接，
，
和是等边三角形，
，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵全等三角形对应边上的高相等，，，
，
平分，
，
为等边三角形，
，，
，即，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：过作于点于点，作于点，
，
由（2）可得，
，，，
，
，，，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形面积公式等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质，添加适当的辅助线是解此题的关键．
24．(1)①证明见解析；②证明见解析
(2)不变，
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）①由题意知，，，进而可证；②如图1，延长交轴于，过作的延长线于，由，可得，，证明，则；
（2）如图，延长到，使，连接，过作于，证明，则，证明，则，进而可求点坐标．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②证明：如图1，延长交轴于，过作的延长线于，
由（1）知，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长到，使，连接，过作于，
∵，，，
∴，∴，
∵，，∴，
∴，
∴．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页