人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解单元测试卷（含解析）

人教版八年级数学上册
第十四章整式的乘法与因式分解单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式从左到右的变形是因式分解，并因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其截成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的式为（ ）

A．
B．
C．
D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．运用乘法公式计算，得到的结果是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列等式从左到右是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A． B．
C． D．
8．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．用四个全等的长方形和一个小正方形拼成所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用，分别表示矩形的长和宽（），则下列等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把（其中n为自然数）展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第行的每一项，如下所示：
……
根据上述材料，则的展开后含项的系数为（ ）
A．12 B． C．60 D．
二、填空题
11．已知，，则 ．
12．计算：（4x2y3+8x2y2﹣2xy2）÷2xy2＝　 　．
13．已知，则的值是 ．
14．分解因式：a3－a=
15．已知，则 ．
16．若，则代数式值为 .
三、解答题
17．因式分解：
(1)； (2)．
18．把一张长方形大铁皮切割成九块，切痕如图虚线所示，其中有两块是边长都为xdm的
大正方形，两块是边长都为ydm的小正方形，另外五块长、宽分别是xdm、ydm的小长方形，
且x＞y．
（1）用含x、y的代数式表示长方形大铁皮的周长；
（2）若每块小长方形的面积为15.5dm2，四个正方形的面积和为100dm2，求该切痕的总长度．
19．计算：
(1)； (2)．
20．（1）计算：； （2）因式分解：．
21．例题：若x2+y2﹣2x+6y+10＝0，求x和y的值．
解：∵x2+y2﹣2x+6y+10＝x2﹣2x+1+y2+6y+9＝（x﹣1）2+（y+3）2＝0，
∴x﹣1＝0，y+3＝0．
∴x＝1，y＝﹣3．
问题①：已知x2+5y2+4xy﹣2y+1＝0，求2x﹣3y的值．
问题②：已知a、b、c是等腰△ABC的三边，且满足5a2+b2＝6a+4ab﹣9，求等腰三角形的周长．
22．计算：．
23．一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发的第一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，比原计划提前到达目的地．
(1)求原计划的行驶速度；
(2)汽车按原路返回，若司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），共用时小时；若司机准备用一半时间以的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，共用时小时．
①直接写出用含a，b的式子分别表示和；
②试比较，的大小，并说明理由
24．当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式：_____________________________
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
25．“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，在整式乘法中，我们常用图形而积来解释一些公式．如图（1），通过观察大长方形而积，可得：．
(1)如图（2），通过观察大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，直接写出此公式；
(2)现有若干张如图（3）的三种纸片，A是边长为a的正方形，B是边长为b的正方形，C是长为a，宽为b的长方形．若要无缝无重叠拼出一个长为，宽为的长方形，设需要A型纸片x张，B型纸片y张，C型纸片z张，直接写出的值；
(3)图（4）是由图（3）中的两张A型纸片和两张B型纸片排成的一个正方形，其中两张A型纸片有重叠（图中阴影部分），直接写出阴影部分的面积（用含a，b的式子表示）；
(4)若图（2）也是由图（3）中的三种纸片拼成的，且图（2）中的阴影部分面积为17，图（4）中的阴影部分面积为8，求图（2）整个正方形的面积．
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参考答案
1．D
【分析】根据因式分解的意义和因式分解的方法逐个判断即可．
【详解】解：A．，故本选项不符合题意；
B．从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D．，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的意义和如何因式分解，能熟记因式分解的定义和灵活运用因式分解的方法分解因式是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，因式分解的方法有提公因式法，公式法（平方差公式和完全平方公式），十字相乘法等．
2．C
【分析】把大正方形的面积与小正方形的面积用字母表示出来，再用大正方形的面积减去小正方形的面积得到平行四边形的面积.
【详解】大正方形的面积为：
小正方形的面积为：
则平行四边形的面积=
故答案为C.
【点睛】本题解题关键在于，用大正方形的面积减去小正方形的面积表示出平行四边形的面积，此时为一个平方差公式与面积的结合.
3．D
【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算即可，正确计算是解题的关键．
【详解】解：A．，计算错误，故选项不符合题意；
B．，计算错误，故选项不符合题意；
C．，计算错误，故选项不符合题意；
D．，计算正确，故选项符合题意；
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了完全平方公式，先将前两项作为一个整体利用完全平方公式进行计算即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选C．
5．C
【分析】本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解．根据因式分解的定义逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，结果不是整式乘积的性质，不属于因式分解，不符合题意，选项错误；
B、，结果不是整式乘积的性质，不属于因式分解，不符合题意，选项错误；
C、是因式分解，故该选项正确；
D、，不是整式，不属于因式分解，不符合题意，选项错误；
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解．据此逐个判断即可．
【详解】解：A、从左到右不是因式分解，不符合题意；
B、从左到右不是因式分解，不符合题意；
C、从左到右是因式分解，符合题意；
D、从左到右不是因式分解，不符合题意；
故选：C．
8．D
【分析】根据积的乘方法则，完全平方公式，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，即可得到答案．
【详解】解：A. ，故该选项错误，
B. ，故该选项错误，
C. ，故该选项错误，
D. ，故该选项正确，
故选D．
【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握积的乘方法则，完全平方公式，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，是解题的关键．
9．D
【分析】根据大正方形的面积和小正方形的面积，可得出方程组，进行求解，然后依次检验选项即可．
【详解】解：大正方形的边长为，小正方形的边长为，
由题意知：，，
∴，．
组成方程组为：
，
可得：，．
，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：D．
【点睛】题目主要考查数形结合思想，理解题意对完全平方公式及二元一次方程组的运用是解题关键．
10．C
【分析】本题考查了数字变化的规律，利用杨辉三角的规律得到的展开式中的各项系数，依此规律解答即可得出结论．
【详解】解：由题意得：，
∴的展开式中含项是第3项，该项为，
∴的展开式中含项的系数为60，
故选：C．
11．
【分析】利用平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式计算．
【详解】，
即
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式，解题的关键是掌握平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式计算．
12．
【分析】根据分式的混合运算规则进行计算，即可得到答案.
【详解】
=
=
=
【点睛】本题考查分式混合运算，解题的关键是掌握分式的运算规则.
13．2xy+4x﹣1．
14．
【详解】解：a3－a
=a(a2-1)
=
故答案为：
15．5
【分析】本题主要考查整式乘法运算，代入求值，掌握整式乘法运算的法则是解题的关键．运用整式乘法运算将展开，把代入即可．
【详解】解：，
∵，
∴原式，
故答案为：5．
16．/
【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是将式子进行适当的变形；
将变形得，再将所求代数式整理变形得出含的因式，再采用整体代入求值即可．
【详解】解：，
，
即，
，
；
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有项，可采用平方差公式继续分解；
此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有项，可采用完全平方公式继续分解．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
18．，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先计算乘法，再计算减法，然后把代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：
，
当时，原式
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，多项式与单项式的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据多项式与多项式的乘法法则计算即可；
（2）根据多项式与单项式的除法法则计算即可．
【详解】（1）
（2）
20．（1）；（2）
【分析】（1）本题考查整式的运算，根据积的乘方，幂的乘方，单项式乘单项式，单项式除以单项式的法则，进行计算即可；
（2）本题考查因式分解．先提公因式，再利用平方差公式法，进行因式分解即可．掌握因式分解的方法，是解题的关键．
【详解】解：（1）原式；
（2）．
21．【分析】（1）由周长可得a+b，由面积可得ab，利用完全平方公式，将a+b，ab的值代入可得结论；
（2）由两个完全平方公式的关系变形后可得．
【解答】解：（1）∵长方形ABCD的周长为10，
∴a+b＝5．
∵长方形ABCD的面积为4，
∴ab＝4．
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣8＝17．
故答案为：5，4，17．
（2）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy．
∴（x﹣y）2＝72﹣4×10＝9．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，正确使用完全平方公式是解题的关键
22．
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除．根据幂的乘方，同底数幂的乘除法法则计算即可求解．
【详解】解：
．
23．(1)原计划的行驶速度为
(2)①；②
【分析】本题考查分式方程的应用、列代数式、分式的化简，理解题意是解答的关键．
（1）设原计划的行驶速度为，根据题意，利用一小时后的时间差为列方程求解即可；
（2）①根据时间、路程、速度关系分别求得，；②作差，根据分式的混合运算法则化简，然后与0比较即可求解．
【详解】（1）解：设原计划的行驶速度为，则
，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴原分式方程的解为．
答：原计划的行驶速度为．
（2）解：①根据题意， ，；
②，理由如下：
∵，
为正数，且，
．
．
24．（1）等式为（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）45.
【详解】试题分析：（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；
（2）根据（1）中结果，求出所求式子的值即可.
试题解析：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc）=121-76=45.
25．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查完全平方公式与图形面积，多项式乘多项式与图形面积问题．正确的识图，掌握数形结合的思想，是解题的关键．
（1）根据大正方形的面积等于两个阴影部分的面积加上两个长方形的面积，即可得出结果；
（2）的积，即可得出的值，进一步计算即可；
（3）根据阴影部分的面积等于两张型纸片和两张型纸片的面积之和减去大正方形的面积，求解即可；
（4）根据题意，得到，，利用完全平方公式变形求值即可．
【详解】（1）解：∵大正方形的面积等于两个阴影部分的面积加上两个长方形的面积，
∴；
（2）∵，
∴需要A型纸片张，B型纸片2张，C型纸片7张，
即：，
∴；
（3）；
（4）由题意，得：，，
∴，
∴，
∴；
即：整个正方形的面积为．
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