山东省A7联盟2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题(含答案）

高三数学测试卷（一）
（本试题考试时间120分钟，满分150分）2024.8
考生注意：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 集合的子集个数为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
2. 若复数z满足（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 从，，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，则这2个数的乘积不超过1的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知正三棱柱与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的高的比值为（ ）
A. B. C. D.
5. 有四个幂函数：；；；.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：①它是偶函数；②它的值域是且；③它在上单调递增．若他给出的三个性质中有两个正确、一个错误，则他研究的函数是（ ）
A. B. C. D.
6. 对于平面上的动点P，且满足对于，；PA、PB长度之比为t（t不为0），则我们称P点运动所得的轨迹为“完美曲线”.若，，．则下列和“完美曲线”有交点的有几个？（1）（2）（3）（4）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
7. 若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 正项数列中，（为实数），若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分
9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知不等式对任意恒成立，其中，是整数，则的取值可以为（ ）
A. B. C. 0 D. 8
11. 由倍角公式可知，可以表示为二次多项式.一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫（P.L.Tschebyscheff）多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分
12 若，，则______.
13. 已知某射击运动员在10次射击中，命中环数平均数为7，方差为4，现增加两次射击，命中环数分别是6和8，则该射击运动员的这12次射击的命中环数的方差为_______.
14. 设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为____________.
四、解答题：本题共5小题，满分77分解答题（一）15~17题，每题有2问，（1）问所有考生必须作答，（2）问在（i）（ii）中任选一题作答.考生选的序号不同，题目满分不同.若选择（i），满分为8分；选择（ii），满分4分.若多做，则按第一小题计分.解答时，先在答题卡上将所选序号涂黑，然后作答.
15. 如图，在中，，，，P为内一点，．
（1）若，求PA；
（2）（i）若，求．
（ii）求的取值范围．
16. 已知数列前n项和为（n为正整数），若，．
（1）求；
（2）（i）证明：；
（ii）解不等式：．
17. 如图①，已知三角形是边长为2等边三角形，是的中点，，如图②，将沿边翻折至．
（1）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
（2）（i）若平面与平面所成的二面角的正切值为，求点到直线的距离．
（ii）若点在平面上的投影在上，求平面与直线所成角的正弦值．
解答题（二）18~19小题，每题17分，考生须作答所有小问.
18. 已知抛物线.过抛物线焦点F作直线分别在第一、四象限交于两点，过原点O作直线与抛物线的准线交于E点，设两直线交点为S.若当点P的纵坐标为时，.
（1）求抛物线的方程.
（2）若平行于x轴，证明：S在抛物线C上.
（3）在（2）的条件下，记的重心为R，延长交于Q，直线交抛物线于（T在右侧），设中点为G，求与面积之比n的取值范围.
19. 已知集合（，），若存在数阵满足：
①；
②．
则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”．
（1）已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值；
（2）若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；
（3）判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由．
高三数学测试卷（一）答案解析
（本试题考试时间120分钟，满分150分）2024.8
考生注意：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题只有一个选项符合题目要求．
【1】D 【2】D 【3】B 【4】D 【5】D 【6】C 【7】C 【8】A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分
【9】BCD 【10】BD 【11】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分
【12】2
【13】##
【14】16
四、解答题：本题共5小题，满分77分解答题（一）15~17题，每题有2问，（1）问所有考生必须作答，（2）问在（i）（ii）中任选一题作答.考生选的序号不同，题目满分不同.若选择（i），满分为8分；选择（ii），满分4分.若多做，则按第一小题计分.解答时，先在答题卡上将所选序号涂黑，然后作答.
【15】（1）
（2）（i）,（ii）
【16】（1）4102650
（2）（i）证明见解析，（ii）
【17】（1）存在，
（2）（i）；（ii）
解答题（二）18~19小题，每题17分，考生须作答所有小问.
【18】（1）
（2）证明见解析 （3）
【19】（1），，，
（2）证明见解析 （3）是“好集合”，满足的“好数阵”有，，，；不是“好集合”，证明见解析