福建省福州市福州第二中学2024-2025学年高三适应性考试（8月开门考）数学试题（含解析）

福州二中2024－2025学年高三适应性考试（8月）
数学学科
（满分：150分，考试时间：120分钟）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为(　　)
A. 240种 B. 120种 C. 96种 D. 480种
4. 已知向量满足，则向量在向量方向上投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（ ）
A. B. C. D.
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 设函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 是的极大值点 B.
C. 当时， D. 当时，
8. 卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆的方程为：，为坐标原点，点，点为卵圆上任意一点，有下列四种说法：①卵圆关于轴对称；②卵圆上不存在两点关于直线对称；③线段长度的取值范围是；④的面积最大值为1；
其中正确说法的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 已知直线和圆，则（ ）
A. 直线过定点
B. 直线与圆有两个交点
C. 存在直线与直线垂直
D. 直线被圆截得的最短弦长为
10. 已知定义在的函数满足，且，当时，，则（ ）
A.
B. 是偶函数
C. 上单调递减，在上单调递增
D. 不等式的解集是
11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A. 当时，的周长为定值
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，有且仅有一个点，使得
D. 当时，有且仅有一个点，使得平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中常数项为_________．（用数字作答）
13. 当时，曲线与的交点个数为______.
14. 已知函数，若当且仅当，则a的值是______，b的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四边形中，
（1）求的正弦值；
（2）若，且△面积是△面积的4倍，求的长.
16. 如图，在三棱柱中，分别是梭的中点．
（1）在棱上找一点，使得平面平面，并证明你的结论；
（2）若是边长为2的等边三角形，，求二面角的正弦值．
17 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．
18.
在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
19. 已知有穷数列共有项，首项,设该数列的前项和为，且其中常数.
（1）求证：数列是等比数列
（2）若，数列满足，求出数列的通项公式
（3）若（2）中的数列满足不等式，求出的值
数学学科 答案解析
（满分：150分，考试时间：120分钟）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1】A 【2】C 【3】A 【4】C 【5】B 【6】D 【7】D 【8】B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
【9】ABC 【10】AD 【11】BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12】
【13】4
【14】 ①. ②.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
【15】（1）
（2）
【16】（1）为棱的中点，证明见解析
（2）
【17】（1）答案见解析
（2）（ⅰ）0；（ⅱ）证明见解析
【18】（I）（II）存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.
【19】（1）证明见解析
（2）
（3）