高二上学期数学开学考试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数，则=( )
A. B. C. D.
2.设，向量，且，则( )
A.3 B.5 C.9 D.25
3.某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛，现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是( )
比赛成绩 6 7 8 9 10
班级数 3 5 4 4 4
A. B.9 C. D.10
4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A.若∥，则 B.若∥，则
C.若，则∥ D.若∥∥，则∥
5.已知一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
6.一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，现从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两个球不同色的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.在平行四边形中，，若，则（ ）
A.1 B.2 C.4 D.8
8.在三角中，内角的对边分别为，已知，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分。
9.已知，则下列正确的是（ ）
A. B.在复平面内所对应的点在第二象限
C. D.
10.在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A. B.
C. D.的面积为
11.如图，在三棱柱中，已知点分别在上，且经过的重心，点分别是的中点，且平面，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知事件和互斥，且，则 .
13.已知在中，内角的对边分别为，若，，则
的面积为 .
14.在中，为中点，若，则实数的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.已知X，Y两组各有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：X组：10，11，12，13，14，Y组：12，13，15，14，a.
假设所有病人的康复时间相互独立，从X，Y两组随机各选1人，X组选出的人记为甲，Y组选出的人记为乙.
（1）如果a=8，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（2）如果a=16，事件M：“甲康复时间为11天”，事件N：“甲乙康复时间之和为25天”，
事件M，N是否相互独立？
16.如图，在三棱柱中，.
（1）证明：平面.
（2）设,，求四棱锥的高.
17.某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，如图所示。
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的中位数和平均数.
（2）若按照分层随机抽样从成绩在[80，90），[90，100]的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在[90，100]内的概率。
18.在“①，②△ABC外接圆面积为”这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，并作答。
在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且 .
（1）求C.
（2）若△ABC的面积为，求△ABC的周长.
19.如图，在直角梯形ABCD中，BC//AD，，BC=2，AD=3，CD=，边AD上一点E满足DE=1，现将△ABE沿BE折起到△的位置，使平面平面BCDE，如图所示.
（1）在棱上是否存在点F，使直线DF//平面. 若存在，求出；若不存在，请说明理由.
（2）求二面角的平面角的正切值。高二上学期数学开学考试题·答案
1.C 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7.D 8.B
9.AC 10.AC 11.ABC
12.0.4 13. 14.
15.（1）如果，从两组随机各选1人，样本空间，，共有25种，
甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有，共有8种，
所以概率为；
（2）当时，，事件的情况有，共4种
所以
事件：“甲康复时间为11天且甲乙康复时间和为25天”的情况为.
故
所以事件不相互独立.
16.（1）证明：因为平面平面，
所以，
又因，即，
平面，
所以平面，
又因为,
所以平面
（2）解：
如图，过点作，垂足为.
因为平面，平面，
，所以，
所以四棱锥的高为.
因为，
所以，
又因为为公共边，
所以与全等，所以.
设，则，
所以为中点，，
又因为，所以，
即，解得，
所以，
所以四棱锥的高为1.
17.（1）由频率分布直方图，得，解得，
成绩在的频率依次为，
显然本次竞赛成绩的中位数，则，解得，
本次竞赛成绩的平均数为，
所以，中位数约为74.3，平均数约为75.
（2）由（1）知，成绩在的频率之比为0.2:0.1=2:1，
则在中随机抽取人，记为1，2，3，4，在中随机抽取人，记为，
从6人中随机抽取2人的样本空间为，共15个样本点，设事件“至少有1人的成绩在内”，则，有9个样本点，因此
所以至少有1人的成绩在内的概率为.
18.解：（1）由得，
若选①
由正弦定理得，
所以，则，又因为，故.
若选②
外接圆半径，由正弦定理，
所以，则，又因为，故.
（2）由（1）知，所以，
因为的面积为，所以，
所以，
因为，所以，
由余弦定理得，，
所以，所以，
所以，所以的周长为8.
19.解：（1）当F是AC的中点时，直线DF∥平面.
证明如下：
设的中点为N，连接EN，FN，
因为∥，，且∥，，
所以∥且，
所以四边形是平行四边形，所以∥，
又因为平面平面，
所以∥平面，
所以存在点F，使DF∥平面，且.
（2）在平面图形，连接CE，则，
所以，
如图所示，取BE中点O，连接，则，
因为平面，平面，
且平面，
所以，又因为，
所以
作于，连接，
因为，且，所以，
又因为，所以，
所以为二面角的平面角，
在直角中，，可得，
故二角的平面角的正切值为2.
