《等比数列的前n项和》教学设计（第一课时）
丰城中学 龚金国
一、教材分析
1.在教材中的地位与作用
在《数列》一章中，《等比数列的前n项和》是一项重要的基础内容，从知识体系来看，它是《等差数列的前n项和》与《等比数列》的顺延。错位相减法是一种重要的数学思想方法，是求解一类混合数列前n项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用；从知识结构看等比数列的前n项和公式的探究与推导，需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是增强学生应用意识和数学能力的良好载体；从知识的应用价值来看，它是从大量现实和数学问题中抽象出来的一个模型，前n项和公式的推导过程中蕴涵了基本的数学思想方法，如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常出现。等比数列的前n项和在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
2．教材编排与课时安排
提出问题→解决问题→引入课题→等比数列前n项和公式推导→强化公式运用（例题与练习）→自我提升（归纳小结）。
教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程，并充分揭示公式的结构特征和内在联系。
二、教学目标分析
依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特点，确定本节课的教学目标如下：
【知识与技能】 理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题，一是已知等比数列基本量而求其前n项和；二是已知前n项和而逆向求解数列基本量；三是基本思想方法（方程思想，分类讨论思想）的运用。
【过程与方法】 感悟并理解公式的推导过程，感受公式探求过程所蕴涵的渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质，初步提高学生的建模意识和探究、分析与解决问题的能力。
【情感、态度与价值观】 通过经历对公式的探索过程，对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美和数学的严谨美。
三、重、难点分析
【教学重点】 等比数列前项和公式的推导及其简单应用。从知识体系看，为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；就知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来说，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力。
【教学难点】 等比数列前项和公式推导方法的理解。从学生认知发展水平看，探究能力和用数学语言交流的能力有待提高。从知识特点看，等比数列前n项和公式的推导，需要充分理解等比数列的概念和性质，并能整合知识，做到融会贯通，而这对学生却是比较困难的，何况错位相减法是初次接触，对学生来说是很新鲜的，因此，教师在发挥学生主体性前提下要给予适当的提示和指导。
四、学情与教法分析
1．学情分析
从学生思维特点和认知结构看，前面学生已经深入学习过数列的定义、通项公式、等差数列及其前n项和等知识，一方面容易把本节内容与等差数列前n项和进行类比，另一方面，本节的公式推导所要求的计算量更大，思维的深刻性更高。而且对q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后继学习使用过程中往往会出错。对高二上学期的学生而言，虽然具有一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维上具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
2．教法分析
根据学生认知发展水平和心理结构特点，结合教学内容的难易程度，在教学过程中可以利用计算机多媒体辅助教学，以建构主义理论为指导，采用引导启发教学法和探究-建构教学相结合的教学模式，着重于学生的发现、探索和运用，并辅以变式教学，注意适时适当讲解和演练相结合。
3．教学构想
等比数列前 n项和公式的推导是本节课的重点内容，要积极引导学生观察实例，发现规律，类比推理，推导归纳，总结反思，增强认知，强化运用。 教学中可以给出等比数列前 n项和公式推导的其他方法，以提高学生学习的兴趣，开拓学生的思维视野。例题和巩固练习的选择要全面，不能忽略q=1的情况，注意分类讨论思想的渗透。通项公式与前 n项和公式的综合运用涉及五个基本量，要对已知其中三个量求另两个量进行强化训练，但要注意避免难度较大的指数方程的求解
五、教具准备
教科书（北师大版·必修5） 多媒体课件和操作系统
六、教学过程
教学
环节
教 学 过 程
设计
意图
教 学 内 容
教 师 活 动
学 生 活 动
问
题
情
境
刘墉奉旨救灾，但国库空虚，和珅提议捐款，要刘墉在一个月中，第一天捐一万，以后每天比前一天多一万。刘墉接受，但提议和珅捐款，规则是在一个月中，第一天捐一分钱，以后每天捐的钱是前一天的两倍。
打开多媒体课件，动画语音展示故事情境，展示结束后引导、启发学生分析、思考问题
聆听故事，感受数学问题的情景化，趣味吸引的同时有自己的猜测，并在教师的引导、启发后展开自己的思维分析
以故事引题,激发学生学习兴趣和热情，调动学习积极性，领悟数学应用价值。
探
究
问
题
求S30=1+2+22+23+…229=？
法1：提取公比2，解方程求S30
法2：错位相减法S30=1+2+22+23+…+229
2S30= 2+22+23+24+…+230
相减得 －S30=1－230 ∴S30=230－1
230－1分
1073.74万显然比465万大很多！和珅如果同意了，就上了刘墉的当
引导、启发学生观察，寻求等式规律，启发学生发现方法，若提取公比2后便构造出一个方程，就可求出。若是乘以公比2，则所得新等式与原式有29项相同，两式相减可消去29项，达到计算化烦为简的目的，突破难点。
通过提问，使学生体会“乘以2”的作用，注意小结操作方法，为下面的公式推导做好准备。
板书必要步骤，供学生理解和模仿。
观察、尝试、讨论、探究，欲解决引言问题，但苦于没思路。
在师生相互交流中思维逐步展开，动笔演算，感受方程思想和错位相减法的奥妙，体会数学的应用价值，同时感受了错位相减法的优势。
感受和惊叹结果的“大”！ 进一步激励学习的主动性。
通过引言实例的探究解决，使学生感受数学的应用价值，同时也为下面的学习作好铺垫，在特殊具体的问题情境中蕴涵着一般的规律和方法，激励学生模仿创新，作好认知准备。
建
构
数
学
一般化，等比数列前n项和怎么求呢？
法1：
于是（1－q）Sn=
当q≠1时,Sn==
当q=1时, Sn=na1。
法2：提取公比q
当q≠1时,Sn==
当q=1时, Sn=na1。
法3： ∵==…=q
由等比定理
∴
当q≠1时,Sn==
当q=1时, Sn=na1。
引导启发学生联想、类比、抽象，鼓励学生由特殊到一般，自主探究等比数列前n项和公式，通过反问，引导学生分类讨论，突破难点。
学生在引例启发和老师指导下，基本上能用错位相减法完成公式的推导，但对字母运算存在着一定的困难，教师需适时适当提示并板书，演示字母运算。
在用错位相减法推导后，为开阔学生思维视野，教师要及时总结方法，并引导学生分析，师生合作交流，尝试多种方法来探究公式的推导。
适当板书关键步骤，注意语音语调，激励学生展开联想、分析、训练学生的思维。
在教师指导下，从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，自己探究公式，体验到学习的愉快和成就感。
受引例的启发，基本能用错位相减法推导出结果，但不完善，在老师的提示下，经历分类讨论的思维过程。
感受变式教学对数学思维的训练，通过积极主动的课堂数学思维活动的参与，进一步提升自己认知结构的深刻性和广泛性，增强自己的数学运算能力。
经历数学发现的过程，体会数学建构所带来的成就感，并学会交流，学会合作。
发挥学生学习主体性和参与积极性，从特殊到一般,从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单模仿接受变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。
多种方法推导，扩展学生思维视野，变式教学有利于培养学生发散思维和创新精神。
1）推理成果
当q≠1时,Sn==
当q=1时, Sn=na1
2）公式的理解
①知三求二：n q a1 an Sn
②n的含义：项数（通项公式是qn－1）
③q的含义：公比（注意q=1，分类讨论）
④错位相减法：乘公比（作用是构造许多相同项）后错开一项后再减。
提问，师生对话交流，引导学生分析、剖析公式的内在结构，注意强调注意点。
归纳小结、理解提升、反思整理、强化记忆，加强认知。
剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式，及时总结、巩固、强化探究成果，提高认知的深度。
巩
固
提
高
例题：
1．
2：
3：辨误做答
［辨析］ 所给数列除首项外，每一项都与a有关，
而条件中没有a的范围，故应对a进行讨论
打开课件，师生合作交流，通过提问，引导学生思维逐步深入。
模仿套用公式作答，强化对公式的理解，思维训练深刻性加强，体会分类讨论思想。
直接和变式套用公式， 强化对公式的理解和识记，通过分类讨论思想的渗透，提升思维层次。
练习
打开课件，适时适当点拨提示，引导学生分析，启发学生思维，师生合作交流，强化学生对知识的应用和理解，提升学生的思维品质。
自主练习，个别学生板书，在老师的指导和启发下，训练自己的思维，强化对知识的应用，感受变式教学对思维的熏陶，达到巩固、灵活运用知识的目的。
进一步研究公式特点，增强公式的应用，促进学生数学认知结构的形成，深化对公式的认识和理解。一题多解及变式教学,有利于提高学生思维的梯度、深度和灵活性
总
结
反
思
1．一个公式：等比数列前n项和
当q≠1时,Sn==
当q=1时, Sn=na1
2．一个方法：错位相减法（乘以公比）
3．两个思想：方程思想，分类讨论思想（公式选择和公比q的讨论）
提问，在师生相互交流的同时打开课件， 帮助学生整合所学知识。
回忆总结所学知识，加深印象。
整理、归纳所学知识，完善学生认知结构和知识体系，明确本节学习内容。
作业
布置
教材练习A组1、2、3题。B组2,3
口述
聆听，作记号
巩固知识
七、板书设计
八、教学设计说明
问题情境故事化。采用语音动画形式叙述故事来创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲，让学生感受数学的应用价值，通过问题的解决，在特殊方法之中蕴涵一般规律，使学生自己去体会其中的思想方法，为进一步学习奠定基石。
问题情境与公式推导探究活动化。教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生思考、分析时间、讨论研究和交流展示思维的机会，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦。通过师生之间不断对话合作交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。通过教师的积极引导和启发，借助于变式教学的模式，培养学生思维的发散性、深度与广度，加深学生对知识的理解。
巩固练习结构、层次化。在理解公式的基础上,及时进行必要的思维训练练习，强化对公式的理解和运用。通过例题的板书和分析，进一步强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系，加强对数学思想方法的感悟。
板书设计人性化。必要的推理和演算过程板书在黑板上，有助于学生的阅读和理解，即时在黑板上整理总结归纳知识，作到知识和思想方法的一目了然，方便学生作笔记。
通过几种推导方法的研究，使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前n项和公式．错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回归定义，自然朴实．学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性。同时通过精讲例题，发散一点变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能．在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质。
课件20张PPT。江西省丰城中学龚金国3.2 等比数列的前n项和(第一课时)创设情境师生合作 探究问题师生合作 探究问题①②错位相减师生合作 探究问题你们还有什么方法？想一想：1等比数列前n项和公式的推导1243复习导入这些你都记得吗？一：方程法 Sn= a1+a1q +a1q2 +…+a1qn-2 + a1qn-1 qSn = a1q + a1q2 +…+ a1qn-1 +a1qn 两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n 二：错位相减法错位相减友情提示 （1）我们用两种方法求出了等比数列的前n项和巩固提高例1 例2 解：探索延拓还有其它解法吗？辨误做答 例3 解： 所求数列的前n项和..辨误做答例3能力检阅根据等比定理可得自我提升 1）： 本节课主要学习了等比数列的前n项和公式
及其简单应用.
1、知识小结 2）.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基
本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.
另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题
意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.在使用等比数列求和公
式时，注意q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思
考.
自我提升2、方法小结
错位相减法、分类讨论思想、方程思想等
作业课本习题A组1-3 B组2、3
谢谢各位！
