函数的单调性 教学设计
万载中学：徐英
【课题】???函数的单调性（教学设计）
【教材】???北师大版《数学》必修1，第二章《函数》§3第一课时
【授课类型】新授课
一、教材分析
1、教材内容
本节课是北师大版全日制普通高级中学教科书（必修1）数学第二章《函数》§3第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题．
2、教材所处地位、作用
函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是首先研究的一个性质．通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题．通过上述活动，加深对函数本质的认识．函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础．此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．从方法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法．
二、教学目标
（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，并能从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法．
（2）过程与方法：从生活实际和已有旧知出发，引导学生探索函数的单调性的概念，通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．
（3）情感态度价值观：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程,也培养学生细心观察、归纳、分析的良好习惯和不断探求新知识的精神．
三、教学重点与难点
教学重点（1）函数单调性的概念；
（2）运用函数单调性的定义判断和证明一些函数的单调性．
教学难点（1）函数单调性的知识形成；
（2）利用函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性．
四、教学手段??计算机多媒体、投影仪．
五、教法分析与学法指导
本节课是一节较为抽象的数学概念课，教师要启发讲授，学生要探究学习．
因此，教法上要注意：
1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性．
2、在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，逐个完成对各个难点的突破，以获得各类问题的解决．
3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达．
4、采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性．
在学法上：
1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力．
2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃．
六、教学过程
一、创设情境，引入课题
教师指出：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．
问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？
预案：水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等．
归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．
〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．
二、归纳探索，形成概念
对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数的单调性，同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.
1．借助图象，直观感知
〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习做好铺垫.
问题3：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?
师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．
(1)板书定义
(2)巩固概念通过判断题，强调三点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．
思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?
〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.
三、掌握证法，适当延展
实际问题：???在一碗水中，加入一定量的糖，糖加得越多糖水就越甜．你能运用所学过的数学知识来解说这一现象吗？?
五、归纳小结，提高认识
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
1．小结
(1)?概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．
(2)?证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．
(3)?数学思想方法：数形结合．
2．作业
书面作业：课本第38页??习题2-3?第4，5题．
课后探究：研究二次函数的单调性．
六、板书设计
函数的单调性
一、?函数单调性的概念（增函数定义、减函数定义)
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二、?例题
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三、?学生课堂练习
四、?课时小结
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五、?作业
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七、课后反思
本课设计以学生活动为主体的探究式教学教学设计，从课堂反映来看，学生创造潜能是无限的，思维是相当活跃的。要关爱学生，及时鼓励;充分发挥学生主体作用，调动学生的学习积极性;切实重渗透教学思想方法，培养综合运用能力.?重注意以下几个问题:
1）重视学生的亲身体验．具体体现在两个方面：①将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对“y随x的增大而增大”的理解；②运用新知识尝试解决新问题．如：对函数在定义域上的单调性的讨论．
（2）重视学生发现的过程．如：充分暴露学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程；充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程．
（3）重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义．
（4）重视课堂问题的设计．通过对问题的设计，引导学生解决问题．
课件21张PPT。函数的单调性
万载中学 徐英数与形,本是相倚依
焉能分作两边飞
数无形时少直觉
形少数时难入微
数形结合百般好
隔离分家万事休
切莫忘,几何代数统一体
永远联系莫分离
—— 华罗庚
姚明数据统计表能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？函数的这种性质称为函数的单调性局部上升或下降下降上升对区间I内 x1，x2 ，
当x1当x1当x1MN任意两个自变量的值x1,x2，区间I内随着x的增大，y也增大图象在区间I逐渐上升I 那么就说在f(x)这个区间上是单调
减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.x设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上
的任意两个自变量的值x1,x2，设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上
的任意两个自变量的值x1,x2， 那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，I称为f(x)的单调 区间.增当x1单调区间（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。注意：判断1：函数 f (x)= x2 在 是单调增函数；（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。注意：判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数；（3） x 1, x 2 取值的任意性例1、下图为函数 , 的图像，指出它的单调区间。123-2-3-2-1o-4-1y-1.5[-1.5，3]，[5，6][-4，-1.5]，[3，5]，[6，7]例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：数缺形时少直观_____________ ,讨论1：根据函数单调性的定义， 2试讨论 在 和 上的单调性？？变式2：讨论 的单调性成果交流变式1：讨论 的单调性_______;_______.例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：例3.判断函数 在定义域 上的单调性.
（教材P43/7(4))描点作图练一练 试用定义法证明函数
在区间 上是单调增函数。
小结
1.函数单调性的定义中有哪些关键点？
2.判断函数单调性有哪些常用方法？
3.你学会了哪些数学思想方法？数与形,本是相倚依,
焉能分作两边飞;
数无形时少直觉,
形少数时难入微;
数形结合百般好,
隔离分家万事休;
切莫忘,几何代数统一体,
永远联系莫分离.
——华罗庚谢谢指导!成果运用若二次函数 在区间 上单调递增，求a的取值范围。 解：二次函数 的对称轴为 ,
由图象可知只要 ，即 即可.
