2015-2016学年泰州市海陵区高二数学理科期末考试试卷加答案WORD版

2015～2016学年度第一学期期末考试
高二数学试题（理科）
填空
1. 命题“”的否定为 .
2. 若复数，则 .
3. 顶点在原点，焦点为的抛物线方程为 .
4. 命题“若，则”的否命题为 .
5. 已知函数，则 .
6. 若双曲线的一条渐近线方程为，则 .
7. “”是“”的 条件.(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分又不必要”中，选出适当的一种填空)
8. 椭圆上一点到右焦点的距离为，则点到左准线的距离为 .
9. 已知数列，，，，，的前项和为，计算得，，，照此规律， .
10.已知函数，对于区间上的任意，，的最大值是 .
11.已知动抛物线的准线方程为，且经过点，则动抛物线焦点的轨迹方程是 .
12.已知函数的导函数，若在处取得极大值，则实数的取值范围是 .
13.如图，已知椭圆：的左顶点为，点的坐标为.若椭圆上存在点(点异于点)，使得点关于点对称的点满足，则实数的最大值为 .
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14.若函数与函数的图像有三个不同交点，则实数的取值范围为 .
二．解答题
15.设，.
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求取值范围.
16.设命题：方程表示双曲线；命题：方程表示焦点在轴的正半轴上的抛物线.
(1)若命题为真，求实数的取值范围；
(2)若命题是真命题，求实数的取值范围.
17.已知数列满足，且.
(1)求，，；
(2)由此猜想的通项公式，并用数学归纳法给出证明.
18.已知，两地相距.按交通法规规定：，两地之间的公路上车速要求不低于且不高于.假设汽车以速度行驶时，每小时耗油量为()升，汽油的价格是元升，司机每小时的工资是元.
(1)若汽车从地以的速度匀速行驶到地，需耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从地到地的总费用最低？
19.如图，椭圆的焦点为、，过作垂直于轴的直线交椭圆于点(点在轴上方)，连结并延长交椭圆于另一点.设().
(1)若，，求椭圆的方程；
(2)求椭圆的离心率的范围；
(3)当离心率最大时，过点作直线交椭圆于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求直线的斜率.
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20.已知.
(1)当时，求函数的图像在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若函数在定义域内单调递减，，求的最大值.
2015～2016学年度第一学期期末考试
高二数学试题（理科）参考答案
1． 2． 3． 4．若,则
5． 1 6．1 7．必要不充分 8． 3 9． 10．
11．（剔除点）（不剔除的不扣分） 12．（，） 13． 14．
15．解：（1）为纯虚数，………4分
所以，解得． ……………………7分
（2） …………………10分
因为在复平面内对应的点位于第二象限，所以， ………12分
解得．所以的取值范围是． ……………………14分
16．解：（1）因为为真，所以， ………………3分
所以实数的取值范围为． ………………6分
(2)当是真命题时，实数的取值范围是， ………………8分
当是真命题时，， 解得或， ………………11分
因为命题是真命题，所以是真命题且也是真命题，
所以，所以实数的取值范围是． …………14分
17．解 ：(1) 由，得，………………2分
因为，所以求得，，． ………………5分
(2)猜想，并用数学归纳法证明如下： ……………7分
①由（1）知，当时，猜想成立． …………………9分
②假设当（）时猜想成立，即，那么当时，有
这就是说，当时，猜想也成立． ………14分
综合①和②可知，对任何，猜想成立． …………15分
18．解：（1）当时，总耗油量为： ………5分
答：当汽车从地以的速度匀速行驶到地，共耗油升． …………6分
（2）设总费用为元，则
，≤≤……10分
则，由得， …………………12分
当时，，当时，，所以当时，取得极小值，且是最小值． ……………………14分
答：当汽车以的速度匀速行驶时，从地到地的总费用最低． …………15分
19．解：（1），所以.又因为，所以.所以.所以椭圆方程为. ……………………3分
（2）由题意，点的坐标为， ……………………4分
又，设，因为，所以，
所以所以 ……………………6分
代入椭圆方程，得，即，
即，解得．…………8分
因为≤≤，所以≤≤，即椭圆的离心率的范围为．……10分
（3）解法一： 由（2）知，椭圆的离心率的最大值为，即
所以，因为，所以． ……………13分
所以直线的方程为，与椭圆方程联立，解得
或．所以．……16分
解法二：由（2）知，椭圆的离心率的最大值为，即
所以，因为，所以．………………13分
因为的坐标为，所以直线的方程为，
即，代入椭圆方程，整理得：
．
因为方程有一根为，所以另一个根，
所以．由，解得． ………16分
20．解：（1），则， ………1分
则，又，所以函数的图象在处的切线方程为即． ………3分
（2），定义域为， ………4分
则，
当时，显然恒成立，此时在单调增； ………6分
当时，（*），，
①当时，恒成立，此时在单调增； ………7分
②当时，方程（*）有两个不等的实数根
所以在上单调增，在上单调减，在上单调增，
综上，当时，在单调增；
当时，在上单调增，在上单调减，在上单调增．
………9分
（3）,定义域为，则.
因为在定义域内单调减，所以在恒成立，
即在恒成立，即 ………11分
令,则，
记，则，所以在单调增，且
，，
所以存在唯一的，，有，………13分
此时，当时，，当时，，
所以，当时，取得极小值，且是最小值．
所以，即， ………15分
又，所以，
因为，则的最大值为． ………16分