苏科版九年级数学上册 2.4 圆周角 同步测试（含详解）

苏科版九年级数学上册2.4 圆周角 同步测试
一、选择题
1．如图，在中，.是的外接圆，为弧的中点，为延长线上一点.若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，点是优弧上一点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，点是上一点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，则度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知，则（　　）
A． B． C． D．
7．如图，点A，B，C是⊙O上的点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，四边形内接于，，，则（　　）
A． B． C． D．无法确定
9．如图所示，四边形为的内接四边形，，则的大小是（　　）
A．120° B．110° C．100° D．50°
10．如图，是的直径，，则等于（　　）
A．32° B．58° C．60° D．64°
二、填空题
11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠C的度数是　 　.
12．如图，为的直径，点C在上，点Р在线段上运动（不与O，B重合），若，设为，则的取值范围是　 　.
13．如图，点A，B，C在上，，则等于　 　 °.
14．已知D是内一点，E是的中点，，，，，则　 　.
15．如图， 内接于 ，， 的角平分线交 于 ．若 ，，则 的长为　 　．
三、解答题
16．如图，已知四边形内接于.求证：.
17．如图，四边形内接于，为直径，．若，求的度数．
18．如图，为的直径，弦的延长线相交于点，且
求证：．
19．如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结CD．
求证：OD＝CD．
四、综合题
20．如图，为的直径，点在上，延长至点，使.延长与的另一个交点为，连结.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
21．如图，圆中延长弦，交于点，连接，，，.
（1）若，，求的度数；
（2）若，，，判断，，满足什么数量关系时，？请说明理由.
22．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为的中点，OD与AC交于点E.
（1）证明：
（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（3）若AB＝4，AC＝3，求DE的长.
23．已知是的直径，弦与相交，．
（1）如图，若为的中点，求和的大小；
（2）如图，若为上的点，且，过点作与的延长线交于点，求证：是的切线．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：，
，
为的内接四边形，
，
，
为弧的中点，
，
，
设，
则，，
，
，
在中，，
解得：，
，
故答案为：A.
【分析】由邻补角的性质可得∠BAD=180°-∠DAE=66°，由圆内接四边形的性质可得∠BCD=180°-∠BAD=114°，根据题意可得∠DAC=∠DCA，设∠DAC=∠DCA=x，则∠BAC=66°-x，∠BCA=114°-x，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠BCA=114°-x，然后根据内角和定理进行计算.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：在中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】根据弦、弧的关系可得，进而推出，由圆周角定理可得∠CDB=∠ABD=25°，然后根据内角和定理进行计算.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】由圆周角定理可得∠ACB=∠AOB，据此计算.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，优弧上找一点，连接
∵
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】优弧上找一点D，连接AD、DB，根据圆内接四边形的性质可得∠D=180°-m，由圆周角定理可得∠AOB=2∠D，据此计算.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：C.
【分析】同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，据此解答即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，在优弧上取一点M，连接AM、CM，
则，
四边形ABCM是的内接四边形，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠AMC的度数，进而根据圆内接四边形的对角互补求出∠ABC的度数，最后根据邻补角定义即可算出∠CBD的度数.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，且根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB，据此计算.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质可得∠BAO=∠ABO=75°，由内角和定理可得∠AOB=30°，根据相等的弦所对的圆心角相等可得∠COB=∠BOA=30°，则∠AOC=60°，由圆周角定理可得∠ADC=∠AOC，据此计算.
9．【答案】C
【解析】【解答】解： ，
，
，
故答案为：C.
【分析】利用圆内接四边形得到的度数，再通过圆周角定理求得的度数.
10．【答案】D
【解析】【解答】解： ，
，
故答案为：D.
【分析】圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
11．【答案】110°
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠A＝180°，
∴∠C＝180°-70°＝110°.
故答案为：110°.
【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠C+∠A＝180°，据此计算.
12．【答案】
【解析】【解答】解：当点P位于O点时，
，
则，此时的值最小；
当点P位于B点时，根据直径所对的角是可得，此时的值最大；
由于点Р不与O，B重合，
于是.
故答案为：.
【分析】当点P位于O点时，OA=OC，由等腰三角形的性质可得∠CAB=α=30°；当点P位于B点时，根据直径所对的角是90°可得α=∠ACB=90°，据此不难得到α的范围.
13．【答案】55
【解析】【解答】解：∵，
∴（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），
∴
故答案为：.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB=70°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
14．【答案】4
【解析】【解答】解：延长CD至F，使DF=DC，则，且，
∴，
∴A，F，B，D四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴.
又，
∴，
∴.
故答案为：4.
【分析】延长CD到F、使CD＝DF知DE∥AF、DE＝AF，通过∠ABD＝∠DFA＝∠EDC知点A、F、B、D四点共圆，从而得到∠BFD＝∠BCD＝∠BAD，证△BFD≌△BCD知∠BAF＝∠BDF＝90°，在Rt△BAF中根据勾股定理可得AF的长即可．
15．【答案】8
【解析】【解答】解：连接AD，
∵∠ACB=90°，
∴AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴
∴AD=BD，
在Rt△ADB中，
；
在Rt△ACB中
.
故答案为：8
【分析】连接AD，利用圆周角定理可证得AB是圆的直径，同时可得到∠ADB=90°，利用角平分线的定义可证得∠ACD=∠BCD，可得到AD=BD，利用勾股定理求出AB的长，然后利用勾股定理求出BC的长.
16．【答案】证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴.
【解析】【分析】连接OD、OB，由圆周角定理可得∠C=∠BOD，∠A=(360°-∠BOD)，据此证明.
17．【答案】解：如图，连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵为直径，
∴．
∴．
【解析】【分析】连接AC，根据圆周角的性质可得，再利用三角形的内角和求出即可。
18．【答案】证明：如图：连接AC，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BP.
∵BC=PC，
∴AC为BP的垂直平分线，
∴AB=AP，
∴∠P=∠B，
∴∠BAD=∠P+∠B=2∠P．
【解析】【分析】 连接AC，由AB为圆O的直径，可得∠ACB=90°，由垂直平分线的性质可得AB=AP，利用等边对等角可得∠P=∠B， 根据三角形外角的性质即得结论.
19．【答案】证明：如图，连接OC，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠CAD=∠BAD，∠OCA=∠OCB，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠COD=∠CAD+∠OCA=∠BAD+∠OCB，
∠DCO=∠BCD+∠OCB，
∴∠COD=∠DCO，
∴△DCO是等腰三角形，
∴OD=CD．
【解析】【分析】连接OC，先证明△DCO是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质可得OD=CD。
20．【答案】（1）证明：为的直径，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：设，
，
，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得：，（舍去），
，
由（1）得：，
，
，
，
的长为.
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠ACD=180°-∠ACB=90°，由已知条件可知DC=BC，AC=AC，利用SAS证明△ACD≌△ACB，得到∠D=∠B，由圆周角定理可得∠B=∠E，据此证明；
（2）设BC=x，则AC=x-2，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得x的值，由（1）得∠D=∠E，则CD=CE，结合DC=CB可得CE=CB，据此解答.
21．【答案】（1）解：∵，，
∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BCD=∠BAD=10°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+10°=70°
（2）解：当γ=2（α+β）时，AD=CD，
∵，，
∴∠ACB=∠ADB=α°，∠BAD=∠BCD=β°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=α°+β°，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC，
∵，
∴∠CAD=∠CBD=∠ACD，
∵∠DBA+∠ACD=180°，∠EBD+∠DBA=180°，
∴∠ACD=∠EBD，
∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=2∠ACD=γ°，
∴γ=2（α+β）
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠ACB，∠BCD的度数，再根据∠ACD=∠ACB+∠BCD，代入计算求出∠ACD的度数.
（2）利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ACB=∠ADB=α°，∠BAD=∠BCD=β°，可得到∠ACD=α°+β°，利用等边对等角可证得∠ACD=∠DAC，再利用圆周角定理可得到∠CAD=∠CBD=∠ACD，利用圆内接四边形的性质可得到∠ACD=∠EBD，由此可推出∠EBC=2∠ACD，即可证得结论.
22．【答案】（1）证明：∵D为的中点，
∴，
∴，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴；
（2）解：如图所示，连接OC，
∵D为的中点，
∴OD⊥AC，，
∴
∵
∵∠AOD=∠B=70°，
∴；
（3）解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB＝4，AC＝3，
∴，OA=OD=2，
∵D为的中点，
∴AE=CE，
∵OA=OB，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得OD⊥AC，根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，即BC⊥AC， 根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行可得结论；
（2） 连接OC， 根据等弧所对的圆心角相等得∠AOD=∠COD，根据二直线平行，同位角相等得 ∠AOD=∠B=70°， 进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得答案；
（3）根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，根据勾股定理算出BC的长，根据垂径定理得AE=CE，进而根据三角形的中位线定理可得OE的长，最后根据DE=OD-OE即可算出答案.
23．【答案】（1）解：如图 ，连接 ，
是 的直径，弦 与 相交， ，
．
．
为弧 的中点， ，
，
；
（2）证明：如图 ，连接 ，
，
．
，
，
，
，
，
由 ，又 ，
．
是 的一个外角，
．
．
是 的切线．
【解析】【分析】（1）连接OD，由圆周角定理可得∠ACB=90°，结合余角的性质求出∠ABC的度数，易得∠AOD=90°，由圆周角定理可得∠AOD=2∠ABD，据此计算；
（2）连接OD，由等腰三角形的性质可得∠OCD=∠ODC=25°，∠ACO=∠A=40°，结合内角和定理可得∠COD=130°，∠AOC=100°，利用周角的概念可求出∠AOD的度数，由平行线的性质可得∠P=∠BAC=40°，由外角的性质可得∠AOD=∠P+∠ODP=130°，求出∠ODP的度数，据此证明.