选择必修 第二章 2.2.1 直线的点斜式方程（22页ppt）

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选择必修
第二章 直线和圆的方程
2.2直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
教学目标
学习目标 数学素养
1.经历利用斜率公式探索得到直线点斜式方程的过程，能准确的写出直线的点斜式方程. 1.直观想象素养和逻辑推理素养.
2.通过点斜式方程中将几何要素“点”特殊化的过程，得到直线的斜截式方程，学会直线点斜式方程与斜截式方程的相互转化． 2.逻辑推理素养和数学运算素养.
3.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程，会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题． 3.数形结合素养和数学运算素养.
温故知新
1.直线的倾斜角
2.直线的斜率
当直线l 与 x 轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l 向上的方向 之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
直线的倾斜角α的取值范围是：0°≤ α < 180°.
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率(slope).
斜率常用小写字母k表示，即
如果直线经过两点 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2) (x1 ≠ x2)，那么可得如下斜率公式：
.
3.两条不同的直线l1，l2 平行和垂直的判定条件
如果两直线斜率存在，对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l 2，
l1∥l2 k1=k2.
l1⊥l2 k1k2=–1.
新知探究
我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.这样，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k（或倾斜角），就能唯一确定一条直线.也就是说，这条直线上任意一点的坐标（x,y）与点P0(x0，y0)和斜率k之间的关系是完全确定的.那么，这与关系如何表示呢？下面我们就来研究这个问题.
如图,直线l经过点P0(x0，y0),且斜率为k.设点P (x，y)是直线l上不同于点P0 的任意一点，因为直线l的斜率为k，由斜率公式得
.
即
y-y0=k(x-x0)
点P0的坐标(x0，y0)满足关系式y-y0=k(x-x0)吗？
显然，点P0的坐标(x0，y0)满足关系式y-y0=k(x-x0).
新知探究
y-y0=k(x-x0)
由上述推导过程可知：
⑴直线l经过上的每一个点的坐标（x,y）都满足关系式y-y0=k(x-x0)；
反过来，我们还可以验证
⑵坐标满足关系式y-y0=k(x-x0)的每一个点都在直线l上.
事实上，若点P1（x1,y1)的坐标x1,y1满足关系式y-y0=k(x-x0)，则
y1-y0=k(x1-x0)
当x1=x0时，y1=y0，这是点P1与P0重合，显然有点P1在直线l上；
当x1≠x0时，有,这表明过点P1，P0的直线l1的斜率为k.
因为直线l，l1的斜率都为k且都过点P0，所以它们重合.所以，点
P1在直线l上.
建立直线的方程，就是利用确定直线位置的几何要素，建立直线上任意一点的横坐标x,纵坐标y所满足的关系式.
由⑴⑵可得：坐标满足关系式y-y0=k(x-x0)的每一个点都在直线l上；直线l经过上的任意一点的坐标都满足关系式y-y0=k(x-x0).
新知探究
y-y0=k(x-x0)
我们把方程
称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线方程.
方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式（pooint slope form）.
注意
1.直线的点斜式方程的条件是：
①已知点P0(x0，y0)和斜率k；
2.方程y-y0=k(x-x0)与不是等价的.前者表示整条直线，后者表示去掉点P0(x0，y0)的直线.
y-y0=k(x-x0)
②斜率必须存在.
3.当k取任意实数时，方程y-y0=k(x-x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线.
知新探究
直线l的方程是
特别：x轴所在的直线方程： y=0.
如图，当直线l的倾斜角为0°时，即tan0°=0．
这时直线l与x轴平行或重合.
（1）当直线l的倾斜角为0°时直线的方程是什么？
（2）当直线l的倾斜角为90°时直线的方程是什么？
O
x
y
P0
l
y-y0=0 ，即 y=y0.
知新探究
直线l的方程是
特别：y轴所在的直线方程： x=0.
如图，当直线l的倾斜角为90°时，直线没有斜率，
这时直线l与y轴平行或重合.
（1）当直线l的倾斜角为0°时直线的方程是什么？
（2）当直线l的倾斜角为90°时直线的方程是什么？
x-x0=0 ，即 x=x0.
O
x
y
P0
l
它的方程不能用点斜式表示．
又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0，所以
知新探究
【例1】直线l经过点P0(－2，3)，且倾斜角α=45°，求该直线的点斜式方程，并画出直线l．
解：
直线l经过点P0(－2，3)，斜率k=tan45°=1，代入点斜式方程得
y－3=x＋2，
画图时，只需在找出直线l上的另一点P1(x1，y1)，
例如取x1=1，则y1=4，得点的坐标为(－1，4)，
过P0， P1两点的直线即为所求.
y
1
2
3
4
x
O
-1
-2
l
初试身手
1.根据条件写出下列直线的方程：
⑴经过原点，倾斜角为； ⑵经过点A（-1,1），与x轴平行；
⑶经过点B(2,-2),倾斜角为90°．
解：
⑴∵倾斜角为，∴,
⑵由题意得，k=0,
∴所求直线方程为.
∴所求直线方程为y=1.
⑶∵直线的倾斜角为90°，
∴直线的斜率不存在，直线与y轴平行，
∴所求直线方程为x=2.
初试身手
2.直线y=x+1,绕着其一点P（3,4）逆时针选择90°后得到直线l,求直线l的点斜式方程．
解：
方法1：直线y=x+1的斜率k1=1,∴直线y=x+1的倾斜角为45°，
∴直线l的斜率k==-1,
由题意知，直线l的倾斜角为135°，
又点P（3,4）在直线l上，
方法2：直线y=x+1的斜率k1=1,
由题意知，直线l与直线y=x+1垂直，
∴直线l的斜率k-1,
∴直线l的方程为y-4=-(x-3).
又点P（3,4）在直线l上，
∴直线l的方程为y-4=-(x-3).
知新探究
下面我们看点斜式的一种特殊情形：如果斜率为k的直线l，过点P0(0，b)，这时P0是直线l与y轴的交点，代入直线的点斜式方程，得
y-b=k(x-0)，
即
y=kx+b
我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距(intercept).
这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，
我们把方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式(slope intercept form).
其中，k和b均匀明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距.
O
x
y
.
(0,b)
P
知新探究
注意：
⑴斜截式是点斜式的特例，只适用于斜率存在的情形；
⑵直线在坐标轴上的横、纵截距及求法：截距的值是实数，它是坐标值，不是距离.
方程y=kx＋b与我们学过的一次函数的表达式类似．我们知道，一次函数的图象是一条直线．你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx＋b ？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y=2x－1，y=3x及y=－x+3图象的特点吗？
从直线方程的角度看，它表示的是平面直角坐标系中一条直线上点的坐标所满足的代数关系；
一次函数中的x的系数k≠0,k是常数，但直线的斜截式方程中的k有实际意义,k可以为0，表达与x轴平行或重合的直线.
知新探究
【例2】写出下列直线的斜截式方程：
⑴斜率是3，在y轴上的截距是-3； ⑵倾斜角是135°，在y轴上的截距是2； ⑶倾斜角是150°，在y轴上的截距是0.
解：
⑴由题意得，直线方程为y=3x-3.
⑶∵倾斜角是150°，∴,
⑵∵倾斜角是135°，∴,
∴直线方程为y=-x+2.
∴直线方程为.
新知探究
【例3】已知直线l1：y= k1x＋b1， l2：y=k2 x＋b2，试讨论：
⑴ l1∥l2的条件是什么？
⑵l1⊥l2的条件是什么？
解：
⑴若l1∥l2，则k1＝k2 ，此时l1，l2与y轴的交点不同，即b1≠b2 ；反之，若k1＝k2 ，且b1≠b2 ，则l1∥l2 ．
⑵若l1⊥l2 ，则k1k2 =－1；反之，若k1k2 =－1，l1⊥l2 ．
由例2可以得到，对于直线l1：y= k1x＋b1， l2：y=k2 x＋b2，
分析：回顾前面用斜率判定两直线平行、垂直的结论，可以发现l1∥l2或l1⊥l2时，k1，k2与b1，b2应满足的关系．
l1∥l2 k1＝k2 ，且b1≠b2 .
l1⊥l2 k1k2 =－1.
初试身手
3.已知直线l1：y＝x＋a，l2：y＝(a2－3)x＋1，当a为何值时，
⑴l1∥l2； ⑵l1⊥l2．
⑴若l1∥l2，则a2－3＝1，a2＝4，∴a＝±2，
解：
∴a≠1，即a≠2，
又由于l1∥l2，两直线l1与l2不能重合，
则a＝－2．
⑵，若l1⊥l2，则(a2－3)·1＝－1，
∴a2＝2，解得a＝.
初试身手
4.已知斜率为2的直线l不经过第四象限，且和两坐标轴围成面积为4的三角形，求直线l的方程.
设直线l的方程为y=2x+b，
解：
∵直线l的斜率为2且不经过第四象限,
∴b≥0,
令x=0,y=b,
令y=0,x=,
由题意得 ,
即b2=16,
∴b=4或b=-4（舍去），
则直线l的方程为y=2x+4.
课堂小结
1.直线的点斜式方程
2.直线的斜截式方程
若直线过定点(x0，y0)且斜率为k，则直线方程为
若直线的斜率为k且它在y轴上的截距为b，则直线方程为
若直线过定点(x0，y0)且斜率不存在（与x轴垂直），则直线方程为
y-y0=k(x-x0)
y=kx+b
x-x0=0 ，即 x=x0.
作业布置
作业： P61 练习 第1⑵⑶，2,3,4题
P67 习题2.2 第1⑴⑵⑶，8⑴⑶题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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