2.4解直角三角形（第1课时）（同步课件）(共33张PPT)

(共33张PPT)
（青岛版）9年级
上
2.4解直角三角形
（第1课时）
第2章
“—”
掌握直角三角形中，角与角、边与边、角与边的关系。
已知直角三角形的两个元素（至少一个是边），会解直角三角形。
培养学生分析问题、解决问题的能力。
渗透数形结合的思想，培养学生良好的学习习惯。
学习目标
（1）三边之间的关系:a2+b2=_____；
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；
（3）边角之间的关系：
sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.
A
C
B
c
b
a
如图，在Rt△ABC中，其中∠C=90°。它的边、角以及边角之间都有什么关系呢？
c2
90°
勾股定理
直角三角形两锐角互余
锐角三角函数
新知导入
A
B
C
c
b
a
在Rt△ABC 中，∠C =90°,∠A,∠B，∠C 的对边分别是a, b, c．除直角C外，已知两个元素，你会求其它元素吗？
新知探究
A
B
C
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且，求这个直角三角形的其他元素.
做一做：在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他的元素吗？
分析：直角三角形中已知两边可以利用 求出第三条边；
直角三角形中，已知两边可以利用 求∠A(或∠B)的度数；
再利用 求∠B(或∠A)的度数．
勾股定理
锐角三角函数
两锐角互余
探究一：已知两边解直角三角形
解：在Rt△ABC中，a2＋b2＝c2，a＝，b＝，
∴.
在Rt△ABC中，sin B＝，
∴ ∠B＝30°
∴ ∠A＝90°-∠B=60°．
A
B
C
还有别的
解法吗？
议一议：分组探究，思考下面的问题：
1.由两个已知条件，能不能求出其中的一个锐角？
2.如何再求出另外一个锐角的度数？
3.如何求出第三条边的长？
A
B
C
tanA=
（或tanB=）
A=60°
(或B=30°)
sinA=
(或sinB=)
边c
分析：
解：在Rt△ABC中，a＝，b＝，
∴tanA=.
∴∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°
在Rt△ABC中，sin A＝，
∴ .
A
B
C
方法二：
探究二：已知一边和一个锐角解直角三角形
想一想：在Rt△ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a, b, c,且b=30,∠B＝25°,求这个直角三角形的其他元素(边长精确到1）.
A
B
C
b
30
c
a
25°
分析：直角三角形中已知一边和一个锐角，可以利用 求∠A的度数．再利用 求出另两条边.
锐角三角函数
两锐角互余
解：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，
∴∠A=90°-∠B=65°.
A
B
C
b
30
c
a
25°
也可以利用勾股定理求出第三条边.
B
C
A
a
b
c
除直角以外，如果再知道直角三角形的两个元素（至少一个是边），就可以求其他的元素了.
由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
观察下面的三组等式，你发现在直角三角形中，除直角以外，至少知道几个元素就可以求出其他的未知元素？
定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角. 由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
特别提醒：(1)在直角三角形中，除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三).
(2)一个直角三角形可解，则其面积可求. 但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明, 则不包括求面积.
深度理解
●已知两个角不能解直角三角形，因为只有角的条件，三角形的大小不唯一，即有无数个三角形符合条件.
●已知一角一边时，角必须为锐角，因为若已知直角，则不能求解.
解直角三角形就是把所有的未知元素求出来的过程，不是只求单独的一条未知边或一个未知角.
已知和解法 三角形类型 已知条件 解法步骤
Rt△ABC 两 边 两直角边 (如a,b)
斜边,一直 角边(如c,a)
已知和解法 三角形类型 已知条件 解法步骤
Rt△ABC 一 边 和 一 角 一直 角边 和一 锐角 锐角,邻边 (如∠A,b)
锐角,对边 (如∠A,a)
斜边、 锐角(如c,∠A) ∠B=_________;
a=________;b=_______
90°-∠A
c·sinA
c·cosA
教你一招
解直角三角形的一般方法：
在解直角三角形时，应求出所有未知元素.首先要分析出直角三角形中的已知元素，根据已知元素利用适当的边角关系进行求解. 求边的长度时，为减小误差，一般要选择题目中的原始数据，尽量避免用中间所得的结果计算.
例1 在Rt△ABC 中，已知∠C=90°，a = 17.5 ，c＝62.5 ．解这个直角三角形
分析：这是已知直角三角形的两边解直角三角形的问题．要会选择适当的三角比．
.
60
5
.
17
5
.
63
2
2
2
2
=
-
=
-
=
a
c
b
所以
因为
解
,
2
2
2
c
b
a
：
=
+
".
37
'
15
16
,
28
.
0
5
.
62
5
.
17
sin
°
=

=
=
=
A
c
a
A
得
由
".
23
'
44
73
"
37
'
15
16
90
90
°
=
°
-
°
=

-
°
=

A
B
所以
A
B
C
c
b
a
例2 在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)如果AB=15,∠A=60°,求BC的长;
(2)如果AB=15,tan A=,求BC的长.
例2 在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)如果AB=15,∠A=60°,求BC的长;
解(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴sinA=,
∵∠A=60°,AB=15,
∴sin 60°==,
∴BC=15;
(2)如果AB=15,tan A=,求BC的长.
【自主解答】(2)在Rt△ABC中,tan A==,
设BC=3k,AC=4k,则AB=5k,
∵AB=15,∴k=3,
∴BC=3k=9.
例3.在Rt△ABC 中，已知∠C=90°，c = 28,∠ B=60°.
解这个直角三角形。
结论:若已知一边一角,能解直角三角形.
1.根据下列所给条件解直角三角形，不能求解的是( )
①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边.
A. ①②③ B. ②④ C. 只有② D. ②④⑤
课堂练习
解：①能够求解；②不能求解；③能够求解；④能够求解；⑤能够求解.
答案：C
2.已知在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若a= ,b= ,则c= ；
（2）若a=10，c= ，则∠B= ；
（3）若b=35，∠A=45°，则a= ；
（4）若c=20，∠A=60°，则a= .
2.已知在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若a= ,b= ,则c= ；
（2）若a=10，c= ，则∠B= ；
（3）若b=35，∠A=45°，则a= ；
（4）若c=20，∠A=60°，则a= .
45°
35
3.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝1，BC=，则cosA= .
3.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝1，BC=，则cosA= .
4.在△ABC中，已知AB＝3，AC=6，∠B＝45°，则BC= .
4.在△ABC中，已知AB＝3，AC=6，∠B＝45°，则BC= .
解直角三角形
由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫作解直角三角形.
两边：两直角边或斜边、一直角边
一边一角：直角边、一锐角或斜边、一锐角
课堂总结
1、课本51练习1,2
2、习题2.4,T1-2
作业布置
2
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