2.4.2解分式方程同步学案
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2.4.2解分式方程同步学案
列清单·划重点
知识点① 分式方程的解法
1.基本思路：
2.步骤:
(1)方程两边同乘最简公分母，化为 .
(2)解这个 方程.
(3)检验：把求得的整式方程的根代入所乘的最简公分母中，使最简公分母为 的根是原方程的增根，应当舍去.
知识点② 增根
1.定义：在方程变形中产生的 原方程的根.
2.产生原因：在方程两边同乘了一个使分母为 的整式.
明考点·识方法
考点① 分式方程的解法
典例1 解方程：
思路导析 (1)两边同乘(x-1)(2x+1)去分母,将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可；
(2)两边同乘(x-2)去分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可.
变式 解方程：
考点② 利用分式方程的根(及解的正负)确定字母的取值(或范围)
典例2 已知关于x的分式方程 的解是正数，则m的取值范围是 .
思路导析 先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m 的取值范围即可.
变式 关于 x 的方程 的解为非负数，则m的取值范围是 .
考点③ 分式方程的增根问题
典例3 已知关于 x的分式方程 有增根，则k的值为 .
思路导析 把分式方程化成整式方程得，由分式方程有增根，得,即可求出k的值.
方法技巧 增根问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②根据最简公分母确定增根；③把增根代入整式方程，即可求得相关字母的取值范围.
变式 若关于x的方程 有增根的值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
考点4 分式方程的无解问题
典例 4 若关于 x 的方程 无解，则m 的值为 .
思路导析 利用去分母后得到的一元一次方程无解和原分式方程无解分别分析，得出答案.
注意
分式方程无解的情况有两种：(1)分式方程化成的整式方程无解，则分式方程也无解；(2)化成的整式方程的解都是该分式方程的增根，均被舍掉，则分式方程无解.
变式 若关于 x 的方程 无解，则m的值为 ( )
A.0 B.4 或 6 C.6 D.0 或 4
当堂测·夯基础
1.已知x=1是方程 的解，那么实数m的值为( )
A. -2 B.2 C. -4 D.4
2.知关于 x 的分式方程 的解是非负数，则m 的取值范围是( )
3.关于x 的分式方程 有增根,则 .
4.若关于 x 的分式方程 无解,则实数 .
5.解方程:
参考答案
【列清单·划重点】
知识点 1
1.整式方程
2.(1)整式方程 (2)整式 (3)零
知识点 2
1.不适合 2.零
【明考点·识方法】
典例1 解:(1)去分母,得5(2x+1)=x--1,
去括号，得
移项、合并同类项，得9x=-6，
系数化为1，得
检验：当 时,(x-1)(2x+1)≠0,
所以 是原方程的根；
(2)原方程可化为
去分母,得1+2(x-2)=x--1,
去括号,得1+2x--4=x--1,
移项、合并同类项，得x=2，
检验:当x=2时,x--2=0,
∴x=2是原方程的增根，应舍去，
所以原方程无解.
变式 解：原方程可化为
去分母,得 3x+1-5(3x-1)=2,
去括号,得3x+1-15x+5=2,
移项、合并同类项,得—12x=—4,
系数化为1，得
检验：当 时,2(3x-1)=0,则 是原方程的增根，应舍去，故原方程无解.
典例2 m>4且m≠5
解析:去分母,得2x--m+3=x--1,解得x=m--4.
∵x为正数，∴m--4>0,解得m>4,
∵x≠1,∴m-4≠1,即m≠5,∴m的取值范围是m>4且m≠5.
变式 m≥-5且m≠-3
典例3 —3 解析：去分母，得
∵分式方程有增根，∴x-2=0,解得
把x=2代入k+3=x--2,得k+3=2-2,解得k=-3.
变式 B
典例 4 —1 或 5 或 解析：去分母，得x+4+m(x--4)=m+3,
移项、合并同类项,得(m+1)x=5m--1,
①整式方程无解，当m+1=0时，一元一次方程无解，∴m=-1;
②分式方程有增根，则 ∴x=±4,
解得m=5或
变式 D
【当堂测·夯基础】
1. B 2. C 3. 0 4. 3或7
5.解:去分母,得3=5(x--1)-3x,
去括号,得3=5x-5-3x,
移项、合并同类项,得-2x=-8,
系数化为1,得x=4,
检验:当x=4时,x-1≠0,
则原分式方程的解为x=4.
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2.4.2解分式方程同步学案
列清单·划重点
知识点① 分式方程的解法
1.基本思路：
2.步骤:
(1)方程两边同乘最简公分母，化为 .
(2)解这个 方程.
(3)检验：把求得的整式方程的根代入所乘的最简公分母中，使最简公分母为 的根是原方程的增根，应当舍去.
知识点② 增根
1.定义：在方程变形中产生的 原方程的根.
2.产生原因：在方程两边同乘了一个使分母为 的整式.
明考点·识方法
考点① 分式方程的解法
典例1 解方程：
思路导析 (1)两边同乘(x-1)(2x+1)去分母,将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可；
(2)两边同乘(x-2)去分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可.
变式 解方程：
考点② 利用分式方程的根(及解的正负)确定字母的取值(或范围)
典例2 已知关于x的分式方程 的解是正数，则m的取值范围是 .
思路导析 先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m 的取值范围即可.
变式 关于 x 的方程 的解为非负数，则m的取值范围是 .
考点③ 分式方程的增根问题
典例3 已知关于 x的分式方程 有增根，则k的值为 .
思路导析 把分式方程化成整式方程得，由分式方程有增根，得,即可求出k的值.
方法技巧 增根问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②根据最简公分母确定增根；③把增根代入整式方程，即可求得相关字母的取值范围.
变式 若关于x的方程 有增根的值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
考点4 分式方程的无解问题
典例 4 若关于 x 的方程 无解，则m 的值为 .
思路导析 利用去分母后得到的一元一次方程无解和原分式方程无解分别分析，得出答案.
注意
分式方程无解的情况有两种：(1)分式方程化成的整式方程无解，则分式方程也无解；(2)化成的整式方程的解都是该分式方程的增根，均被舍掉，则分式方程无解.
变式 若关于 x 的方程 无解，则m的值为 ( )
A.0 B.4 或 6 C.6 D.0 或 4
当堂测·夯基础
1.已知x=1是方程 的解，那么实数m的值为( )
A. -2 B.2 C. -4 D.4
2.知关于 x 的分式方程 的解是非负数，则m 的取值范围是( )
3.关于x 的分式方程 有增根,则 .
4.若关于 x 的分式方程 无解,则实数 .
5.解方程:
参考答案
【列清单·划重点】
知识点 1
1.整式方程
2.(1)整式方程 (2)整式 (3)零
知识点 2
1.不适合 2.零
【明考点·识方法】
典例1 解:(1)去分母,得5(2x+1)=x--1,
去括号，得
移项、合并同类项，得9x=-6，
系数化为1，得
检验：当 时,(x-1)(2x+1)≠0,
所以 是原方程的根；
(2)原方程可化为
去分母,得1+2(x-2)=x--1,
去括号,得1+2x--4=x--1,
移项、合并同类项，得x=2，
检验:当x=2时,x--2=0,
∴x=2是原方程的增根，应舍去，
所以原方程无解.
变式 解：原方程可化为
去分母,得 3x+1-5(3x-1)=2,
去括号,得3x+1-15x+5=2,
移项、合并同类项,得—12x=—4,
系数化为1，得
检验：当 时,2(3x-1)=0,则 是原方程的增根，应舍去，故原方程无解.
典例2 m>4且m≠5
解析:去分母,得2x--m+3=x--1,解得x=m--4.
∵x为正数，∴m--4>0,解得m>4,
∵x≠1,∴m-4≠1,即m≠5,∴m的取值范围是m>4且m≠5.
变式 m≥-5且m≠-3
典例3 —3 解析：去分母，得
∵分式方程有增根，∴x-2=0,解得
把x=2代入k+3=x--2,得k+3=2-2,解得k=-3.
变式 B
典例 4 —1 或 5 或 解析：去分母，得x+4+m(x--4)=m+3,
移项、合并同类项,得(m+1)x=5m--1,
①整式方程无解，当m+1=0时，一元一次方程无解，∴m=-1;
②分式方程有增根，则 ∴x=±4,
解得m=5或
变式 D
【当堂测·夯基础】
1. B 2. C 3. 0 4. 3或7
5.解:去分母,得3=5(x--1)-3x,
去括号,得3=5x-5-3x,
移项、合并同类项,得-2x=-8,
系数化为1,得x=4,
检验:当x=4时,x-1≠0,
则原分式方程的解为x=4.
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