宁夏回族自治区银川市贺兰县第一中学2023-2024学年高二下学期第三阶段考试（一）数学试卷（含解析）

贺兰县第一中学2023-2024学年高二下学期第三阶段考试（一）数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．从集合中,选出个数组成的子集,使得这5个数中的任何两个数之和不等于,则取出这样的子集的个数为( )
A.10 B.32 C.110 D.220
2．已知，求( )
A. B. C. D.
3．在的展开式中,常数项为( )
A.28 B.-28 C.30 D.360
4．已知随机变量,,则( )
A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8
5．云南民族村自建成以来,以生动鲜活的形态,展示了云南各民族的建筑艺术 歌舞服饰 文化风情 宗教信仰和生活习惯.在即将到来的五一假期,预计需要安排6名工作人员去三个不同的民族景点辅助宣传民俗文化,每个景点至少安排1人,则不同的安排方法种数是( )
A.360 B.450 C.540 D.1020
6．已知某仓库中有10箱同样型号的零件,其中有5箱、3箱、2箱依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的,且甲、乙、丙三厂生产该型号零件的次品率依次为,,现从这10箱中任取一箱,再从这箱中任取一个零件,则取得的零件是次品的概率为( )
A.0.08 B.0.1 C.0.15 D.0.2
7．将三项式展开,得到下列等式：
…
观察多项式系数之间的关系,可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形,其构造方法为：第0行为1,以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时,缺少的数以0计）之和,第k行共有2k+1个数.则关于x的多项式式的展开式中,项的系数( )
A. B. C. D.
8．已知函数在R上可导,其导函数为,若满足：,,则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.若相关系数r的绝对值越大,则两个变量的线性相关性越强
B.设随机变量X服从正态分布,若,则
C.若随机事件A,B满足：,则A,B相互独立
D.随机变量,若方差,则
10．某种子站培育出A、B两类种子,为了研究种子的发芽率,分别抽取 100粒种子进行试种,得到如下饼状图与柱状图：
用频率估计概率,且每一粒种子是否发芽均互不影响,则( )
A.若规定种子发芽时间越短,越适合种植,则从5天内的发芽率来看,B类种子更适合种植
B.若种下12粒A类种子,则有10粒种子5天内发芽的概率最大
C.从样本A、B两类种子中各随机取一粒,则这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率是0.145
D.若种下10粒B类种子,5至8天发芽的种子数记为X, 则
11．已知函数的定义域为，且是的一个极值点，则下列结论正确的是( )
A.方程的判别式
B.
C.若，则在区间上单调递增
D.若且，则是的极小值点
三、填空题
12．当时,不等式恒成立,则实数m的取值范围是________________.
13．已知随机变量,且,则的最小值为_____________.
14．若存在,使不等式成立,则a的取值范围为_______________.
四、解答题
15．设函数
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式：.
16．生涯规划是对职业生涯乃至人生进行持续的系统的计划过程.高中选科分类是生涯规划的重要组成部分，生涯规划专业团队为某“乡村振兴县”的高中学生指导学生选科分类，生涯规划团队在该县的高一学生中随机抽取100名学生，进行选科类别与学生性别的关系研究，得到的统计数据如下列联表：（单位：名）
男生 女生 合计
历史类 15 25 40
物理类 35 25 60
合计 50 50 100
（1）依据的独立性检验，分析学生的性别是否对选科分类有影响；
（2）生涯规划团队远过对随机抽取的100名学生中的男生的样本数据分析得到：首选物理，再选化学和地理的频率为；首选历史，再选化学和地理的频率为.以样本估计总体，频率估计概率，为进一步了解学生选科的情况，再从全校男生中用随机抽样的方法选取4名学生，记选取的4名男生中选化学和地理人数为X，求X的分布列和数学期望.
附，.
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
17．函数.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)在上单调递增,求a的取值范围.
18．某中学即将迎来百年校庆,校方准备组织校史知识竞猜比赛.比赛规则如下：比赛分成三轮,每轮比赛没有通过的学生直接淘汰,通过的学生可以领取奖品结束比赛,也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛,三轮都通过的学生可获得奖品一纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为,通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为,通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为.
(1)求学生小杰获得奖品的概率;
(2)已知学生小杰获得奖品,求他至少通过两轮比赛的概率;
(3)求学生小杰通过的比赛轮数的分布列与数学期望.
19．已知函数,其中.
(1)讨论的单调性;
(2)若函数有两个不同的零点,.
①求实数a的取值范围;
②证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：将和为1的数分组：,,,,共5组,
只要从这五组每组中各取一个数就符合题意,每组有2种取法,故有个子集.
故选：B.
2．答案：A
解析：因为，
所以，解得.
故选：A
3．答案：A
解析：二项式的通项公式为：,,
由解得,,代入通项得：,即常数项为28.
故选：A.
4．答案：C
解析：由题意得,所以.
故选：C.
5．答案：C
解析：由题意可知：三个景点安排的人数之比为或或,则有：
若三个景点安排的人数之比为,则有种安排方法;
若三个景点安排的人数之比为,则有种安排方法;
若三个景点安排的人数之比为,则有种安排方法;
故不同的安排方法种数是.
故选：C.
6．答案：A
解析：以,,分别表示取得的零件是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,B表示取得的零件为次品,
则,,,,,,
则由全概率公式,所求概率为,
故选：A.
7．答案：D
解析：根据广义杨辉三角的定义：;
故;
关于x的多项式的展开式中项的系数为.
故选：D.
8．答案：C
解析：令,则,
函数满足,
当时 在上单调递增,
当时在上单调递减,
又由,
即函数的图象关于对称,从而,
对于A,,,,A错误;
对于B,,,,B错误;
对于C,,,,C正确;
对于D,,,,D错误.
故选：C
9．答案：AC
解析：对于A,根据相关系数越接近1,则线性相关性越强,故A正确;
对于B,由题意,,根据正态分布曲线的对称性知,
,故B错误;
对于C,由,因,故得,
则可得,,即A,B相互独立,故C正确;
对于D,因,则,解得或,
当时,;
当时,.
故D错误.
故选：AC.
10．答案：BC
解析：从5天内的发芽率来看,A类种子为,B类种子为,故A错误;
若种下12粒A类种子,由题意可知发芽数X服从二项分布,,
,
则,且,
可得,且,
所以,即,即有10粒种子5天内发芽的概率最大,故B正确;
记事件A:样本A种子中随机取一粒8天内发芽;
事件B: 样本B种子中随机取一粒8天内发芽;
根据对立事件的性质,这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率：
,故C正确;
由题意可知X服从二项分布,,
所以,故D错误;
故选：BC
11．答案：ABD
解析：因为，则，
依题意是关于x的方程的一个变号正实数根，
所以方程的判别式，故A正确；
因为，显然，所以，故B正确；
当时，因为，所以函数的开口向下，且与x轴的正半轴只有一个交点，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
当且，将代入，整理得，
所以方程有两个不相等正实数根与，
又，所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：设,,
因为,
由或;
由,
又,所以在上单调递减,在上单调递增,
所以.
所以.
故答案为：
13．答案：8
解析：由随机变量,则正态分布的曲线的对称轴为,
又因为,所以,所以.
当时,
,
当且仅当,即时等号成立,故最小值为8.
故答案为：8.
14．答案：
解析：由,
因为,所以,令,
由,
构造函数,
即,当且仅当时取等号,
所以
故答案为：.
15．答案：(1)；
(2)答案见解析
解析：（1）对一切实数x恒成立，等价于，恒成立.
当时，不等式可化为，不满足题意.
当，有，即，解得
所以a的取值范围是.
（2）依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为；
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
16．答案：（1）认为学生的性别对选科分类有影响；
（2）分布列见解析；
解析：（1）零假设为：学生的性别对选科分类没有影响.
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，
即认为学生的性别对选科分类有影响.
（2）设A表示事件：男生选化学和地理，表示事件：男生选物理，表示事件：男生选历史.
由题意，，，且，，
.
则，所以，
，，
，，
X的分布列如下表所示：
X 0 1 2 3 4
P
17．答案：(1)在上单调递增;
(2)
解析：(1)当时,,的定义域为,
,
令,则,
令,即,
当时,,单调递减;当时,,单调递增;
, 在上成立,
在上单调递增.
(2)∵在上单调递增,∴,恒成立,
,恒成立,
即,恒成立.
令,则.
,当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
取得最小值.
,.
实数a的取值范围为.
18．答案：(1)
(2)
(3)分布列见解析,.
解析：(1)记事件：学生通过第i轮,事件：学生通过第i轮就选择奖品离开,
事件：学生通过第i轮且继续答题,,
由题意得,
,,
,
,
,
记事件B：学生获得奖品.则,
,
,
,
.
(2)学生小杰获得奖品,则至少通过两轮比赛的概率：.
(3)由题意,随机变量X可取0,1,2,3,
可得,
,
,
,
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以期望为.
19．答案：(1)答案见详解
(2)①;②证明见详解
解析：(1)由题意可知：的定义域为,且,
若,则,
当,则;当,则;
可知在内单调递增,在内单调递减;
若,令,解得或,
当,即时,令,解得或;令,解得;
可知在,内单调递增,在内单调递减;
当,即时,则,
可知在内单调递增;
当,即时,令,解得或;令,解得;
可知在,内单调递增,在内单调递减;
综上所述：若,在内单调递增,在内单调递减;
若,在,内单调递增,在内单调递减;
若,在内单调递增;
若,在,内单调递增,在内单调递减.
(2)①有两个不同的零点,,
即有两个不同实根,,得,
令,,
令,得,
当时,,可知在上单调递增,
当时,,可知在上单调递减,
当时,取得最大值,且,当时,
得的大致图像如图所示：
可得,所以实数a的取值范围为.
②当时,有两个不同的零点.
两根满足C,
两式相加得：,两式相减得：,
上述两式相除得,
不妨设,要证：,只需证：,
即证,
设,令,
则,
可知函数在上单调递增,且.
可得,即,所以.