四川省眉山市仁寿第一中学校北校区2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷（含解析）

四川省仁寿第一中学校北校区2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．复平面内复数z所对应的点为，则( )
A. B.2 C. D.1
2．已知向量，，若，则实数x的值为( )
A.1 B.3 C. D.
3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200，400，为了了解学生的课业负担情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取人数分别是( )
A.6，4，8 B.6，6，6 C.5，6，7 D.4，6，8
4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
5．如图，某圆柱侧面展开图的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该圆柱的体积为( )
A. B. C. D.
6．如图，一架高空侦察飞机以的速度在海拔的高空沿水平方向飞行，在A点处测得某山顶M的俯角为，经过后在B点处测得该山顶的俯角为，若点A，B，M在同一个铅垂平面内，则该山顶的海拔高度约为( )（，）
A. B. C. D.
7．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
8．点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是( )
A. B.3 C. D.
二、多项选择题
9．已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.7，10.0，10.0，10.0，10.3，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则( )
A.甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数
B.甲种的样本方差大于乙种的样本方差
C.甲种样本的分位数小于乙种样本的分位数
D.甲乙两种水稻近五年的总方差为
10．函数图象与y轴交于点，且为该图像最高点，则( )
A.
B.的一个对称中心为
C.函数图像向右平移个单位可得图象
D.是函数的一条对称轴
11．如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则( )
A.三棱锥的外接球表面积为
B.动点F的轨迹是一条线段
C.三棱锥的体积是随点F的运动而变化的
D.若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度的取值范围为
三、填空题
12．的值是_____.
13．已知，，，则向量在向量上的投影向量为______.
14．三棱锥中，二面角为，和均为边长为2的正三角形，则三棱锥外接球的半径为______.
四、解答题
15．如图，在三棱柱中，，且，底面，E为中点.
(1)求证：；
(2)求证：平面
16．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，外接圆面积为
(1)求A；
(2)求周长的最大值.
18．已知函数
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）求在区间上的最值；
（3）若，，求的值.
19．任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题.
(1)试将写成三角形式；
(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；；
(3)计算：的值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为复数z所对应的点为，所以，
所以，
故选：B.
2．答案：B
解析：因为，，，
所以，则.
故选：B
3．答案：A
解析：某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200，400，
该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈，
则高一年级抽取人数是：186，
高二年级抽取人数是：184，
高三年级抽取人数是：188.
故选:A.
4．答案：B
解析：若，，则或m与n异面，故A错误;
若，，由直线与平面垂直的性质可得，故B正确;
若，，则或或n与相交，故C错误;若，，则或，故D错误.
故选:B.
5．答案：C
解析：由斜二测两法得，在原图矩形ABCD中，，所以该圆杜的高为，底面半径为，故该圆柱的体积为.
故选:B
6．答案：B
解析：依题意得，，
在中，米，，
由正弦定理得，得米，
又
所以该山顶的海拔高度为米.
故选：B
7．答案：D
解析：，即，故，
，
因为，所以，故，因为，所以，故为等腰直角三角形.故选：D.
8．答案：D
解析：如图，延长AP交BC于点D，
设，则，且B，C，D三点共线，故，得，
故，，
，，
因，
故，即，
，，.
故选:D.
9．答案：ACD
解析：对于A，，，正确；
对于B，因为甲、乙平均值都为，所以，
，
显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，错误；
对于C，，故甲种样本的分位数为10.0，
乙种样本的分位数为10.2，所以甲种样本的分位数小于乙种样本的分位数，正确；
对于D，甲乙两种水稻近五年的总方差为，
故甲乙两种水稻近五年的总方差为
，
正确.
故选：ACD
10．答案：AB
解析：因为为该图像最高点，
所以，
又函数的图象与y轴交于点，则，
又，所以，则，
则，
所以，
由图可知，所以，
所以，
所以，故A正确;
对于C，函数图像向右平移个单位可得图象，故C错误;
对于B，因为，所以的一个对称中心为，故B正确;
对于D，不是最值，所以不是函数的一条对称轴，故D错误.
故选:AB.
11．答案：ABD
解析：对于A：由题意可知：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，
可知正方体的外接球的半径，
所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确；
对于B：如图分别取，的中点H，G，连接，，，.
由正方体的性质可得，
且平面，平面，所以平面，
同理可得：平面，
且，平面，所以平面平面，
而平面，所以平面，
所以点F的轨迹为线段GH，故B正确；
对于C：由选项B可知，点F的轨迹为线段GH，因为平面，
则点F到平面的距离为定值，
同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C不正确；
对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上.
因为截面平面，平面平面，所以.
同理可证，所以截面为平行四边形，所以点N为的中点.
在四棱锥中，侧棱最长，且.
设棱锥的高为h，
因为，所以四边形为菱形，
所以的边上的高为面对角线的一半，即为，又，
则，，
所以，解得.
综上，可知长度的取值范围是，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：因为
故答案为:.
13．答案：
解析：因为，所以
则向量在向量上的投影向量为:
故答案为:.
14．答案：
解析：如图，设H为AB的中点，，分别为和的外心，过点，分别作平面ABC和平面PAB的垂线，交点为O，连接OH，OA，OC，
根据题意可知，球心既过的外心垂直平面PAB的垂线上，又在过的外心垂直平面ABC的垂线上，所以O即为三棱雉外接球的球心，设外接球半径为R，易知，，
所以即为二面角的平面角，因为二面角为，则，因为和均为边长为2的正三角形，所以，，则，所以，
则，
在中，，，则，
又，
所以在中，，即，解得.故答案为:.
15．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析
解析：（1）底面且平面，，
又且，平面，
平面，又平面，
（2）
取的中点F，连接，，因为E，F分别为，的中点可知，，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，又因为，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面
16．答案：（1）
（2）84
（3）两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37.
解析：（1）每组小矩形的面积之和为1，
，.
（2）成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为m，由，得，故第75百分位数为84；
（3）由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，故.
设成绩在中10人的分数分别为，，，…，；成绩在中20人的分数分别为，，，…，，
则由题意可得，，
所以，，
所以，
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37.
17．答案：（1）
（2）9
解析：（1）已知向量，则，
则，所以，
则，所以，
又，故且，所以，又，则；
（2）由（1）知：，则，
由正弦定理可得：的外接圆半径为，则，即，
所以，
则，当且仅当且，即时等号成立，
故三角形周长的最大值为9
18．答案：（1）的单调递减区间为
（2）最大值为2，最小值为1；
（3）
解析：（1）因为.
所以的最小正周期，，，所以的单调递减区间为；
（2）由（1）知的单调递减区间为，
，在上单调递增，在上单调递减，
又，，，故，；
另解：，，
在单调递增，在上单调递减，
当时，，，当时，，；
（3），，
由，得，，
.
19．答案：（1）；
（2）答案见解析；
（3）
解析：（1）由于，故，则；
（2）设模为1的复数为，
则
，
由复数乘方公式可得，故，；
（3）首先证明：；
由于，则，
则，
故，
则可得
，
，
所以
.