2.2圆的对称性（第2课时垂径定理）（教学课件）-九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

(共42张PPT)
九年级苏科版数学上册 第二章 对称图形——圆
第二课时 垂径定理
2.2 圆的对称性
目录/CONTENTS
新知探究
情景导入
学习目标
课堂反馈
分层练习
课堂小结
学习目标
1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决
一些简单的计算、证明和作图问题. （重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. （难点）
情景导入
你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m.
你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
垂径定理
新知探究
O
O
在纸上画⊙O，把⊙O剪下并折叠，使折痕两旁的部分完全重合，你发现了什么？
可以发现无论我们怎么折，这个折痕总是经过⊙O的.
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴.
操作与思考
画⊙O和⊙O的直径AB、弦CD，使AB⊥CD，垂足为P（如右图）.在所画图中有哪些相等的线段、相等的弧？
·
A
B
P
C
D
PC=PD ，
AC=AD ，
BC=BD ，
︵
︵
︵
︵
P
C
D
A
B
O
P
C
(D)
A
B
O
我们可以运用图形运动的方法证实小丽、小明的猜想：
将右图中的ADB沿直径AB翻折.
因为圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴，
所以ADB与ACB重合.
又因为∠APD = ∠APC = 90°，
所以射线PD与射线PC重合（如图所示），
于是点D与点C重合.
这样，PC=PD，AC=AD，BC=BD.
︵
︵
︵
︵
︵
︵
︵
连接OC、OD.
如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD.垂足为P
∴ PC=PD，∠BOC=∠BOD.
在△OCD中，∵OC=OD，OP⊥CD ，
∴ ∠AOC=∠AOD.
（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）.
以上结论还可以用下面的方法加以证实：
∴ BC =BD,
AC =AD.
︵
︵
︵
︵
·
O
C
D
A
B
P
概念归纳
垂径定理
·
O
A
B
C
D
P
垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AP=BP,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
推导格式：
概念归纳
1.“垂直于弦的直径”中的“直径”还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线.
其实质是：过圆心且垂直于弦的线段或直线.
2.“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆.
课本例题
例1. 如图，☉O中，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.AC与BD相等吗？为什么？
AC=BD
过点O作OP⊥AB于P.
∵ OP⊥AB，
∴ AP=BP ，CP=DP
（垂直于弦的直径平分弦）.
∴ AP－CP=BP－DP,
即 AC=BD.
P
你还有其他解题方法吗？
例1. 如图，☉O中，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D. AC与BD相等吗？为什么？
AC=BD
连接OA、OC、OD、OB.
∵ OA=OB，OC=OD,
∴∠A=∠B，∠OCD=∠ODC.
∴∠AOC=∠BOD.
∴△AOC≌△BOD.
∴AC=BD.
课本例题
拓展与延伸
如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD.
试问：AC与BD相等吗？为什么？
⌒
⌒
∵ AB∥CD ,OE⊥AB，
解：AC= BD.
过点O作OE⊥AB于E，并延长交弦CD、⊙O 于F、G.
∴ OF⊥CD.
∴
AG=BG,
CG=DG.
∴AC=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
E
F
G
1.下列图形是否具备垂径定理的条件？
如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
练一练
概念归纳
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
概念归纳
对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：
(1)过圆心； (2)垂直于弦； (3)平分弦(非直径)；
(4)平分弦所对的劣弧；
(5)平分弦所对的优弧. 简记为“知二推三”.
你知道为什么要强调非直径吗？
·
O
A
B
D
C
P
1.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦（不是直径），与CD交于点P，且P是AB的中点.
求证：AB⊥CD，
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
∵P是AB的中点，
∴AB⊥CD.
即AP=BP，
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
（垂径定理）
练一练
典例剖析
例2.[中考·甘孜州] 如下图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥ AB 于点H. 若AB＝10，CD＝8，则OH 的长度为_________．
3
分析：紧扣垂径定理得到CH＝4，再利用勾股定理计算出OH 的长度.
解：如图，连接OC.
∵ CD⊥AB，∴ CH＝DH＝CD＝×8＝4(垂直于弦的直径平分弦).
又∵ OC＝AB＝×10＝5，∴在Rt△OCH中，利用勾股定理，得
OH＝＝＝3.
概念归纳
利用垂径定理求线段的长的方法：
垂径定理是解决圆中的计算、证明问题常用的知识， 求线段长时，一般利用半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理求解，即用“垂径定理＋勾股定理”求解．
典例剖析
例3.赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
回到导入的问题
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
解：
如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
(
(
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，
即R2=18.52+（R-7.23）2. 解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，
(
连接OA，根据垂径定理，得D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.
(
由题设可知AB=37，CD=7.23，
所以 AD= AB= 37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.
典例剖析
概念归纳
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
O
A
B
C
·
在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
概念归纳
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
d+h=r
A
B
C
D
O
h
r
d
C
随堂练
C
5
随堂练
随堂练
分层练习-基础
1.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论错误的是(　　)
A.CE＝DE B．AE＝OE
C.BC＝BD D．△OCE≌△ODE
B
︵
︵
2. [2023盐城一模]如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为(　　)
C
A. 1 B．2 C．3 D．4
分层练习-基础
3.[2023宜昌]如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D.
若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为(　　)
A. 5
B．4
C．3
D．2
B
4.
分层练习-基础
A
分层练习-基础
5.如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过
圆心O，则折痕AB的长为________.
6.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，水深CD为16 dm，水面宽度AB为48 dm，求轨道的直径.
分层练习-基础
分层练习-巩固
7.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，
连接EB.若AB＝4，CD＝1，则EB的长为(　　)
A. 2
B．3
C. 4
D．5
B
分层练习-巩固
8.[2023陕西]陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图.AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连接 OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知AB＝24 cm，碗深CD＝8 cm，则⊙O的半径OA为(　　)
A.13 cm B．16 cm
C．17 cm D．26 cm
A
︵
︵
分层练习-巩固
9.如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上， AC＝11 m，BC＝21 m，OC＝13 m，则这个花坛的半径为________.
20 m
10.[2024宿迁九年级统考期中]如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，13为半径画圆，直线y＝kx＋3k＋4(k≠0)与⊙O交于B，C两点，则弦BC长的最小值为________.
24
分层练习-巩固
11.如图，⊙P的半径为5，弦AB＝6，以AB为边作正方形ABCD(点D，P在直线AB两侧)．若正方形ABCD绕点P旋转一周，则边CD扫过的面积为________.
9π
分层练习-巩固
12.如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD的延长线于点C.
(1)求证：D是AC的中点；
证明：连接BD.
∵AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，
∴D是AB的中点．
∴AD＝BD.∴AD＝BD.∴∠BAD＝∠ABD.
∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°.
∴∠BAD＋∠C＝90°，∠ABD＋∠DBC＝90°.
︵
︵
︵
∴∠C＝∠DBC.∴BD＝CD.
∴AD＝CD，即D为AC的中点．
分层练习-巩固
13．如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m，现有一艘宽3 m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里，问：此货船能顺利通过这座拱桥吗？
　　　
分层练习-拓展
课堂反馈
两条弧
不是直径
垂直
两条弧
A
课堂反馈
课堂小结
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）.
垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形