2.4线段、角的轴对称性（第2课时线段垂直平分线的判定）（教学课件）（共33张PPT）-八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

(共33张PPT)
第二课时 线段垂直平分线的判定
八年级苏科版数学上册 第二章 轴对称与轴对称图形
2.4 线段、角的轴对称性
目录/CONTENTS
新知探究
情景导入
学习目标
课堂反馈
分层练习
课堂小结
学习目标
1.理解线段的垂直平分线的判定定理. （重点）
2.掌握线段的垂直平分线的判定定理. （重点）
3.能用线段的垂直平分线的判定定理解决现实生活中的问题（重点、难点）
情景导入
旧知回顾
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.
1.什么叫做线段的垂直平分线？
2.线段是 图形，线段的垂直平分线是它的 .
轴对称
对称轴
3.线段垂直平分线的性质定理是什么？
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
4.这个性质定理可以用来证明 不必再用三角形全等来证明.
线段相等
上节课我们学习了线段垂直平分线的性质定理，回顾一下内容，回答下列问题.
M
情景导入
请在纸上画一条线段AB．
你能找出与线段AB的端点A、B距离相等的点吗？
这样的点有多少个？
A
B
M
点M到线段AB两端的距离相等，
那么点M是在这条线段的垂直平分线上吗？
本节课我们就来探讨一下这个问题吧！
M
无穷个
1.线段垂直平分线的判定定理
新知探究
（1）若点 Q 在线段 AB 上，且 QA = QB，则 Q 是线段 AB 的中点，点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上（如图①）.
Q
A
B
若这个点平分于线段那么一共有几种情况呢？
图 ①
（2）若点 Q 在线段AB 外，且 QA=QB，则作 QM⊥AB，垂足为 M（如图②）.由∠QMA=∠QMB=90°，QA=QB，QM=QM，
可证Rt△QAM≌Rt△QBM（HL）.
由此可知AM=BM，即点Q在线段AB的垂直平分线上.
M
B
A
Q
概念归纳
几何语言
∵ QA＝QB
∴ 点Q是线段AB的垂直平分线上的点．
由此我们得到线段垂直平分线的判定定理：
到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上．
M
B
A
Q
知识拓展
(1)线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合；
(2)三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离都相等.
概念归纳
典例剖析
例1.如下图，AD为∠BAC的平分线，交BC于点D，AE＝AF.
请判断线段AD所在的直线是否为线段EF 的垂直平分线，若是，请给予证明；若不是，请说明理由.
分析：由线段垂直平分线的判定可知，证明AD所在的直线上的点A和点D到线段EF的两个端点的距离相等即可.
解：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.
证明：如图2.4-4，连接DE、DF.
∵ AD为∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠FAD.
在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD. ∴ DE＝DF.
∴点D在线段EF的垂直平分线上.
∵ AE＝AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上.
∴线段AD所在的直线是线段EF的
垂直平分线.
注意：不可以只证明一个点在直线上，就说过该点的直线是线段的垂直平分线.
特别提醒
证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以利用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：一是作垂直，证平分；二是取中点，证垂直.
概念归纳
概念归纳
判断线段垂直平分线的两种方法：
一是定义法，二是判定定理.
一般习惯用定义法进行判断，而利用判定定理判断更简单. 用判定定理判定一条直线是线段的垂直平分线时，一定要证明直线上有两个不同的点到线段两个端点的距离相等.
2.线段垂直平分线的画法
新知探究
用尺规作线段AB的垂直平分线的画法：
(1)分别以点A、B为圆心，大于AB的长为
半径画弧，两弧相交于点C、D；
(2)过C、D两点作直线，
直线CD就是线段AB的垂直平分线，如右图所示
概念归纳
易错警示
作线段AB的垂直平分线时，必须以大于AB的长为半径画弧，否则所画的弧就不能相交或只有一个交点.
典例剖析
例2.在铁路a的同侧有两个工厂A和B，要在铁路边建一货场C，使A、B两个工厂到货场C的距离相等，试在下图中作出点C.
A
B
a
解：连接AB，作线段AB的垂直平分线交直线a于点C.
如下图, 点C即为所求.
概念归纳
方法点拨
尺规作图时要注意虚实线，即辅助性的线用虚线，所要画的线用实线，同时要注意保留作图痕迹.
随堂练
1.已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC．
解：因为AB＝AC，DB＝DC；
所以AD是线段BC的垂直平分线；
（线段的垂直平分线的判定定理）
因为点E在AD上；
所以EB=EC.
（线段的垂直平分线的性质定理）
到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
随堂练
分层练习-基础
1.如图， AC ＝ AD ， BC ＝ BD ，那么下列判断正确的是(　B　)
A. CD 垂直平分 AB
B. AB 垂直平分 CD
C. CD 平分∠ ACB
D. ∠ ACB ＝∠ ADB ＝90°
B
2.[2024无锡梁溪区期中]如果一个三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，那么这个三角形是(　C　)
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
C
分层练习-基础
3.[2024苏州吴中区月考]在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形， A ， B 是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点).在这张5×5的方格纸中，找出格点 C ，使△ ABC 为等腰三角形，则满足条件的格点 C 有(　C　)
A. 3个 B. 5个
C. 6个 D. 8个
C
分层练习-基础
4. 如图，点 D 在△ ABC 的边 BC 上，如果 DB ＝ DA ，那么点 D 在线段 的垂直平分线上；如果 BC ＝ BD ＋ AD ，那么点 D 在线段 的垂直平分线上.
AB 　
AC 　
分层练习-基础
5. [2024扬州江都区期中]如图，在△ ABC 中，分别以点 B 和点 C 为圆心，大于 BC 长为半径画弧，两弧相交于点 M 、 N . 作直线 MN ，交 AC 于点 D ，交 BC 于点 E ，连接 BD . 若 AB ＝7， AC ＝12， BC ＝6，则△ ABD 的周长为 .
19　
分层练习-基础
6.[2024江阴月考]如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， G 为三角形外一点，且 GB ＝ GC . (1)求证：直线 AG 垂直平分 BC ；
证明：(1)∵ GB ＝ GC ， AB ＝ AC ，
∴点 G 、点 A 在 BC 的垂直平分线上.
又∵两点确定一条直线，
∴直线 AG 垂直平分 BC .
(2)点 D 在 AG 上，求证： DB ＝ DC .
证明：(2)∵ AG 垂直平分 BC ，点 D 在 AG
上，∴ DB ＝ DC .
证明：∵ BE ∥ AC ，∴∠ E ＝∠ DCO ，
在△ BOE 和△ DOC 中
∴△ BOE ≌△ DOC (AAS)，∴ OB ＝ OD ，∴点 O 在 BD 的垂直平分线上.
∵ AB ＝ AD ，∴点 A 在 BD 的垂直平分线上，∴ AO 垂直平分 BD .
分层练习-巩固
7. 如图，点 D 是△ ABC 边 AC 上一点， AD ＝ AB ，过 B 点作 BE ∥ AC ，且 BE ＝ CD ，连接 CE 交 BD 于点 O ，连接 AO .
求证： AO 垂直平分 BD .
分层练习-巩固
8.[2024扬州广陵区月考]如图，已知△ ABC ，点 P 为∠ BAC 的平分线上一点， PE ⊥ AB ， PF ⊥ AC ，垂足分别为点 E ， F .
(1)求证： PE ＝ PF ；
证明：(1)∵点 P 为∠ BAC 的平分线上一点，
∴∠ BAP ＝∠ FAP ，∵ PE ⊥ AB ， PF ⊥ AF
∴∠ PEA ＝∠ PFA ＝90°，在△ APE 和△ APF
中，
∴△ APE ≌△ APF (AAS)，∴ PE ＝ PF .
分层练习-巩固
(2)若 BE ＝ CF ，求证：点 P 在 BC 的垂直平分线上.
证明：(2)连接 PB ， PC ，如图，
∵ PE ⊥ AB ， PF ⊥ AF ，
∴∠ BEP ＝∠ CFP ＝90°，由(1)知
PE ＝ PF . 又∵ BE ＝ CF ，
∴△ BEP ≌△ CFP (SAS)，∴ BP ＝ CP ，∴点 P 在 BC 的垂直平分线上.
分层练习-巩固
9.[2024南京玄武区期中]如图，已知P 是直线 l 外一点，用两种不同的方法求作一点 Q ，使得点 Q 到点 P 的距离和点 Q 到直线 l 的距离相等.(要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹)
解：如图，点 Q 为所作.(答案不唯一)
分层练习-拓展
10. 【新考法·阅读理解法】 如果三角形三边的长 a ， b ， c 满足 ＝ b ，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”，如三边长分别为1，1，1或3，5，7……的三角形都是“匀称三角形”.如图，两条线段的长分别为 a ， c ( a ＜ c ).用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为 a ， c 的“匀称三角形”.(不写作法，保留作图痕迹)
分层练习-拓展
解：如图，△ ABC 为所作.
在线段的垂直平分线上
AC
40°或140°
课堂反馈
课堂反馈
课堂小结
1.线段的垂直平分线的判定定理：
到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上．
2.用尺规作图做出线段的垂直平分线.