北师大版数学八年级上册 1.3勾股定理的应用 导学案（含答案）

第一章 勾股定理
3 勾股定理的应用
【学习目标】
（1）通过自主探索合作更好地理解勾股定理以及直角三角形的判别条件。
（2）解决勾股定理在现实生活中的简单运用。
（3）能通过观察图形，培养学生动手能力、分析推理能力以及小组合作能力，让学生在探索中体验发现的乐趣。
【学习策略】
“蚂蚁怎么走最近”是一个生动有趣的问题，让学生充满了探究的欲望，这个问题体现了二、三维图形的转化，对发展学生的空间观念很有好处．在教学过程中教师应通过情景创设，激发兴趣，鼓励引导学生经历探索过程，得出结论，从而发展学生的数学应用能力，提高学生解决实际问题的能力．
【学习过程】
一.复习回顾
前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？
例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？
二.新课学习：
1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于 。如果用a,b和c表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2 + b2= c2
2、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b，c满足 那么这个三角形是直角三角形。
3、判断题(1).如果三角形的三边长分别为a,b,c，则　a2 + b2= c2　　（　）
(2)如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，则a2 + b2= c2（　）
（3）由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形　（　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4、填空:
(1)在△ABC中, ∠C=90°，c=25,b=15,则a=＿＿＿＿.
(2)三角形的三个内角之比为：１：２：３，则此三角形是＿＿＿．若此三角形的三边长分别为a,b,c,则它们的关系是＿＿＿＿．
（3）三条线段 m,n,p满足m2-n2=p2，以这三条线段为边组成的三角形为（ ）。
应用：
蚂蚁怎么走最近
出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面周长等于18厘米．在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)．
（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）
（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么 你画对了吗
（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少
例 这是一个滑梯示意图若将滑道AC水平放平刚好与AB一样长，已知滑梯的高度=3M，CD=1M,试求滑道AC的长。
三.尝试应用：
1.如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端下滑0.4米，则梯足将向外移（　　）
A．0.6米 B．0.7米 C．0.8米 D．0.9米
2．在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高　　米．
3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是　　寸．
四.自主总结：
这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型.
五.达标测试
一．选择题（共4小题）
1．如图，小红从A地向北偏东30°，方向走100米到B地，再从B地向西走200米到C地，这时小红距A地（　　）
A．150米 B．100米 C．100米 D．50米
2．如图，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（　　）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
A．6 B．5 C．4 D．3
3．如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（　　）
A．3 B． C． D．4
填空题
4．如图，Rt△ABC的两直角边分别为1，2，以Rt△ABC的斜边AC为一直角边，另一直角边为1画第二个△ACD；在以△ACD的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1画第三个△ADE；…，依此类推，第n个直角三角形的斜边长是　　．
5．如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为　　．
三．解答题（共3小题）
6．小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m，50m，第三边上的高为30m．请你帮小强计算这块菜地的面积．（结果保留根号）
7．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．
（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；
（3）求点B1到最短路径的距离．
例题答案
例 解：设滑道AC的长度为x，则AB的长度为x米，AE的长度为（x-1）米。
在Rt△ACE中，由勾股定理得： ，
即
解得x=5
故滑道AC的长度为5米。
三.尝试应用答案
1.C解析：在直角三角形ABC中，首先根据勾股定理求得AC=2.4，
则A′C=2.4﹣0.4=2，
在直角三角形A′B′C中，根据勾股定理求得B′C=1.5，
所以B′B=1.5﹣0.7=0.8，
故选C．
2.15m 解析：如图，设树的高度为x米，因两只猴子所经过的距离相等都为30米．
由勾股定理得：x2+202=[30﹣（x﹣10）]2，解得x=15m．
故这棵树高15m．
3.25 解析：将台阶展开矩形，线段AB恰好是直角三角形的斜边，两直角边长分别为24寸，7寸，
由勾股定理得AB==25寸．
达标测试答案：
一．选择题（共4小题）
1．【解析】根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
解：在Rt△DAB中，因为∠DAB=30°，AB=100，所以DB=50，
勾股定理得，DA=50，
在Rt△DCA中，因为BC=200，DB=50，所以DC=150，
因为DA=50，所以勾股定理得，AC=100．
故选B．
【点评】此题主要考查学生对方向角及勾股定理在实际生活中的运用．
　2．【解析】在图示的直角三角形中，根据勾股定理可求出斜边的距离，再求出两直角边的长进行比较即可．
解：根据勾股定理得，斜边的长：=5（米），少走：3+4﹣5=2（米），
因为两步为1米，所以少走了2×2=4步．故选C．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
3.【解析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．
解：如图，AB==．故选C．
【点评】此题求最短路径，我们将平面展开，组成一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边就可以了．
二．填空题（共3小题）
4．【解析】根据题中所给的直角三角形的边长求出斜边长，找出规律即可解答．
解：第1个直角三角形的斜边长是=；
第2个直角三角形的斜边长是==；
…依次可得第n个直角三角形的斜边长的被开方数比第（n﹣1）个直角三角形的斜边长的被开方数大1；
故第n个直角三角形的斜边长是．
故答案为：．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，解析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．　
　
5．【解析】先连接AB，求出AB的长，再判断出△ABC的形状即可解答．
解：作辅助线：连接AB，
因为△ABD是直角三角形，所以AB===5，
因为52+122=132，所以△ABC是直角三角形，
则要求的面积即是两个直角三角形的面积差，
即×12×5﹣×3×4=30﹣6=24．
【点评】巧妙构造辅助线，问题即迎刃而解．综合运用勾股定理及其逆定理．
三．解答题（共3小题）
6．【解析】要求面积，则要构成直角三角形，根据题意可画出草图．此题需分两种情况讨论：
（1）若∠ACB为钝角时，作BD⊥AC交AC的延长线于D；
（2）若∠ACB为锐角时，作BD⊥AC交AC于D；两种情况下，分别利用勾股定理解直角三角形可求出△ABC的高，则面积可求．
解：分两种情况：
（1）如图（1），当∠ACB为钝角时，
因为BD是高，所以∠ADB=90度．
在Rt△BCD中，BC=40，BD=30，
所以．（1分）
在Rt△ABD中，AB=50，所以．（1分）
所以AC=AD﹣CD=40﹣10，
所以S△ABC=AC BD=（40﹣10）×30=（600﹣150）m2．（1分）
（2）如图（2），当∠ACB为锐角时，
因为BD是高，
所以∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△ABD中，AB=50，BD=30，
所以．
同理，（1分）
所以AC=AD+CD=（40+10），（1分）
所以S△ABC=AC BD=（40+10）×30=（600+150）m2，（1分）
综上所述：S△ABC=（600）m2．
【点评】构建直角三角形是解题的关键，此题主要用到勾股定理解题．
7.【解析】根据题意，先将长方体展开，再根据两点之间线段最短．
解：（1）如图，
木柜的表面展开图是矩形ABC'1D1或ACC1A1．
故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC'1或AC1；
（2）蚂蚁沿着木柜表面矩形ABC'1D1爬过的路径AC'1的长是．
蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形AB1C1D爬过的路径AC1的长=，
蚂蚁沿着木柜表面ACC1A1爬过的路径AC1的长是．
l1＞l2，故最短路径的长是．
（3）作B1E⊥AC1于E，
因为∠C1EB1=∠C1A1A，∠A1C1A是公共角，
所以△AA1C1∽△B1EC1，
即=，
则 为所求．