2024 年邵阳市高三第三次联考参考答案与评分标准
数 学
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的.
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 B D C A C D B C
2
1. B 【解析】∵ z(1+i)= i2024 -i =
- ( - )
1-i,∴ z = 1 i = 1 i = -+ i,∴ z
= 1. 选 B.
1 i 2
2. D 【解析】∵ A∪B={x -1≤x≤6} ,∴ U (A∪B)= {x x<-1 或 x>6} . 选 D.
3. C 【解析】若 a>1,则 f(x)的图象为:
若 0
x1 +x2 f(x )+f(x )4. A 【解析】( 1 2教材必修一 P 101T8)满足 f ( ) ≥ ,则函数为上凸函数,由函数的2 2
图象可得选 A.
5. C 【解析】∵ y′= ( 1 x2 +ln x+ 12 2 ) ′= x+ 1 ,∴ y′x x= 1 = 2,
1 1
所以曲线 y= x2 +ln x+ 在点 (1,1 ) 处的切线为:y-1 = 2 (x-1 ) ,即 y= 2x-1.
2 2
联立 y= 2x-1 与 x2 =ay,得 x2 -2ax+a= 0,依题意可知 Δ= 4a2 -4a= 0,所以 a= 0 或 1.
当 a= 0 时,x2 =ay= 0 不是抛物线,舍去. 选 C.
6. D 【解析】(教材选择性必修三 P 50 例 5)设事件 M = “任取一个零件,取到的零件是次品”,
N1 =“任取一个零件,来自甲工厂”,N2 =“任取一个零件,来自乙工厂”,
由题意得 P(N1)= 0. 4,P(N2)= 0. 6,P(M |N1)= 0. 05,P(M |N2)= 0. 08.
因为 P(M)= P(N1)·P(M |N1)+P(N2)·P(M |N2)= 0. 4×0. 05+0. 6×0. 08 = 0. 068,
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P(MN2)= = 0. 6×P(N |M) 0. 08 = 12所以 2 . 选 D.P(M) 0. 068 17
7. B 【 2b解析】由题可得:c= 2,a2 +b2 = 4,点 O 到直线 l:x-y-2b= 0 的距离 d= ≤2,
2
b b2
所以 08. C 【解析】因为函数 f(2x+3)的图象关于点(-1,1)对称,
所以 f[2(x-1)+3]+f[2(-x-1)+3] = 2,即 f(2x+1)+f(-2x+1)= 2,
则 f(x)的图象关于点(1,1)对称,B 选项错误.
由 f(x+3)= x+f(3-x),得 f(x+3)- 1 (x+3)= f(3-x)- 1 (3-x) .
2 2
令 h(x)= f(x)- 1 x,则 f(x)= h(x)+ 1 x,
2 2
由 h(x+3)= h(3-x),得 h(x)的图象关于直线 x= 3 对称.
又 f(x)的图象关于点(1,1)对称,则 f(x+1)+f(1-x)= 2,
所以 h(x+1)+ 1 (x+1)+h(1-x)+ 1 (1-x)= 2,即 h(x+1)+h(1-x)= 1,
2 2
1
则可得 h(x)的图象关于点 (1, ) 对称,2
故 h(x)为周期函数,且周期为 8,h(x)= h(x+8),
,f(985)= h(985)+985 =h(1)+985 = 1 +985所以 = 493,D 选项错误.
2 2 2 2
又 f(x)= h(x)+ 1 (x)= h(x+8)+ 1 x= f(x+8)- 1 (x+8)+ 1 x,则 f(x)+8 = f(x)+4,
2 2 2 2
所以 f′(x)= f′(x+8),即 g(x)= g(x+8),故g(x)为周期函数,A 选项错误.
由 f(x+3)= x+f(3-x),得 g(x+3)+g(3-x)= 1,g(3)= 1 ,则 g(211)= g(3)= 1 ,C 选项正确. 选 C.
2 2
二、多选题:本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要
求. 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
题 号 9 10 11
答 案 ABC AD BD
9. ABC 【解析】由三角函数的定义知 A 选项正确;
因为 sin (α+2π = sin α+ π + π = cos α+ π = 3 ,所以 B 选项正确;3 ) ( 6 2 ) ( 6 ) 5
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2
sin2α+sin αcos α= sin α
+sin αcos α= tan
2α+tan α= 4+2 6因为 2 2 2 =+ ,所以 C 选项正确;sin α+cos α tan α+1 4 1 5
设扇形的半径为 r,圆心角为 α,因为扇形所对的弧长为 l=αr= 2r,
所以扇形周长为 l+2r= 2r+2r= 4r= 8,故 r= 2 cm,所以 D 选项不正确.
10. AD 【解析】(教材必修二 P 170T8)三棱锥 E-ABC 中,底面 ABC 的面积
为定值,由平面 A1B1C1D1∥平面 ABCD 可知,平面 A1B1C1D1 上任意一
点到平面 ABCD 的距离都相等,则可得三棱锥 E-ABC 的体积为定值.
故 A 选项正确;
若存在点 E 使得 CE⊥平面 BDD1B1,
因为在正方体中,A1C1⊥平面 BDD1B1,所以 CE 与 A1C1 重合或平行,
显然这样的点 E 不存在,故 B 选项错误;
因为在正方体中,CC1∥平面 BDD1B1,当点 E 与 C1 重合时,CE 为 CC1,
则存在点 E 使得 CE∥平面 BDD1B1,故 C 选项错误;
因为正方体中,CC1⊥平面 A1B1C1D1,由题可得 l 平面 A1B1C1D1,所以 l⊥CC1,
又因为 l⊥CE,易得 l⊥平面 CC1E,则 l⊥C1E.
当 l 与 B1D1 重合时,B1D1 ⊥C1E. 在正方形 A1B1C1D1 中 A1C1 ⊥B1D1,则可得 E 为 A1C1 与
B1D1 的交点即为上底面的中心,故 D 选项正确.
11. BD 【解析】(教材必修一 P256T26) sin1>sin
π
由 ,cos14 4 4
则有 sin1>cos1,故 A 选项错误.
x3 x5 7
由 sin x= x- + -x +…, sin 1 = 1- 1 + 1 1则 - +…,
3! 5! 7! 3! 5! 7!
1- 1 1又 + = 1- 1 + 1 = 101≈0. 84(精确到小数点后两位),故 B 选项正确.
3! 5! 6 120 120
2
cos π = 1 ,π2 >9, π 1则有 1- < ,故 C 选项错误.
3 2 18 2
3
当 x>0 时,令 f(x)= sin x-x+x ,则 f′(x)= cos x-1+ 1 x2,f″(x)= x-sin x>0,
6 2
所以 f′(x)在(0,+∞ )上为增函数,则 f′(x)>f′(0)= 0,
所以 f(x)在(0,+∞ )上为增函数,则 f(x)>f(0)= 0,
x3 x3
故当 x>0 时,sin x-x+ >0 恒成立,即 sin x>x- . 故 D 选项正确.
6 6
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三、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. -40 13. sin ( 3 x+ π2 4 )
14. 2π(或 120°),[ -5,9]
3
1 5 1 r
12. -40 【解析】 (2x3 -x2 ) 的展开式的通项为:T =Cr (2x3 ) 5-r· (- ) = (-1 ) rCr 25-rx15-5rr+1 5 ,令x2 5
3
15- =
1
5r 0,得 r= 3,故 T4 =C3 3 25 (2x ) · (- 2 ) = -40.x
13. sin ( 3 x+ π ) 【解析】由题知:A = 1,T = 2π = 4 ( π - π2 4 ω 2 6 ) = 4π,3
∴ ω= 3 ,f(x)= sin
2 ( 3 x+φ) ,∵ x = π , 3 x+φ = π π时 ,故 φ = ,2 6 2 2 4
∴ f(x)= sin ( 3 x+ π2 4 ) .
14. 2π(或 120°),[-5,9] 【解析】由sin2B+sin2C-sin2A+sin Bsin C= 0 及正弦定理,
3
2
b2 +c2 -a2
+bc= 0, cos A= b
+c2 -a2 1
得 由余弦定理可知 = - ,
2bc 2
又∵ A∈(0,π),∴ A= 2π.
3
∵ b= 2,c= 1,∴ 由余弦定理得 a= 7 ,cosB= 2 7 ,
7
∴ A→B 与 B→C 2 7的夹角的余弦值为- .
7
→
又∵ BP= tB→C,∴ P→C=(1-t)B→C,
A→P·B→C=(A→且 B+tB→C)·B→C=A→B·B→C+t B→C2 = 7t-2,
∴ P→C2 -B→C·A→P= 7(1-t) 2 -(7t-2)= 7t2 -21t+9,t∈[0,1],
∴ P→C2 -B→C·A→P∈[-5,9],
四、解答题:本大题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)解:(1)由 f(x)= - 1 x3 +x2 +1,得 f′(x)= -x2 +2x, ……………………………… 1 分
3
令 f′(x) >0,得-x2 +2x>0,解得 0所以 f(x)的单调递增区间为(0,2) ……………………………………………………… 5 分
(注:单调递增区间是否带端点均给分)
(2)令 f′(x)= 0,解得 x= 0 或 x= 2. ……………………………………………………… 6 分
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当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示:
x (-∞ ,0 ) 0 (0,2 ) 2 (2,+∞ )
f′(x) - 0 + 0 - ………… 9 分
f(x) 1 7单调递减 单调递增 单调递减
3
由函数 g(x)= f(x) -k 有且仅有三个零点,得方程 f(x)= k(k∈R)有且仅有三个不等的实数
根,所以函数 y= f(x)的图象与直线 y= k 有且仅有三个交点. ………………………… 10 分
显然,当 x→-∞ 时,f(x)→+∞ ;当 x→+∞ 时,f(x)→-∞ . ……………………………… 11 分
所以由上表可知,f(x)的极小值为 f(0)= 1,f(x)的极大值为 f(2)= 7 ,
3
故 k∈ (1, 7 ) . ……………………………………………………………………………… 13 分3
16. (15 分)证明:(1)连接 AC,取 AB 的中点 F,
1
连接 CF,则 AF= AB=CD.
2
又∵ AB∥CD,∴ AF CD.
∴ 四边形 ADCF 为平行四边形,
∴ CF=AD= 1 AB.
2
∴ ∠ACB= 90°,则 AC⊥BC. ………………………………………………………………… 3 分
又 PA⊥平面 ABCD,BC 平面 ABCD,∴ PA⊥BC. ……………………………………… 4 分
又∵ AC∩PA=A,AC 平面 PAC,PA 平面 PAC,∴ BC⊥平面 PAC. …………………… 6 分
又 AE 平面 PAC,∴ BC⊥AE. ……………………………………………………………… 7 分
(2)以 A 为坐标原点,AD,AB,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,
z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设 AD=CD=a.
则 AP=AB= 2AD= 2a, …………………………………… 8 分
依题意得 D(a,0,0),C(a,a,0),B(0,2a,0),P(0,0,2a) .
→
则 BP= (0,-2a,2a),C→P= ( -a,-a,2a), ……………… 9 分
∵ P→E= 2E→C,∴ D→E= 2 D→C+ 1 D→P= (- a ,2a,2a ) . …… 10 分3 3 3 3 3
设平面 PBC 的法向量为 n= (x0,y0,z0),
ìn·B→ P= -2ay0 +2az0 = 0,
则í
n·C→
…………………………………………………………… 11 分
P= -ax0 -ay0 +2az0 = 0,
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取 y0 = 1,得 z0 = 1,x0 = 1. ∴ n= (1,1,1) . ………………………………………………… 12 分
→
设直线 DE 与平面 PBC 所成角为 θ,则有 sin θ= cos〈D→E,n〉 = DE·n = a→ =
3 .
DE n 3 a 3
∴ 3直线 DE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 . ………………………………………… 15 分
3
17. (15 分)解:(教材必修一 P 137 例 6)
(1)设 Q(x,y),则 H(x,0) .
∵ 3直线 OB 的方程为 y= - x,
2
∴ M (x,- 3 x ) ,E (6,- 3 x2 2 ) .
∴ O→Q= (x,y),O→E= (6,- 3 x ) .2
∵ O→Q∥O→E,∴ x· (- 3 x = 6y,2 )
化简得 x2 = -4y,其中 0即 Γ 的方程为:x2 = -4y(0(注:x 的范围没写或写错扣 1 分)
(2)∵ 抛物线 x2 =-4y 的图象关于 y 轴对称,点N 在Γ 上,
∴ 点 N 关于 y 轴对称的点 N′也在抛物线 x2 = -4y 的图象上.
设直线 AN′的方程为 y = mx + y0 (m≠ 0),A (x1,y1 ) ,
N′(x2,y2 ) ,则 N( -x2,y2) .
y=mx+y0,
联立方程得:{x2 = -4y,
整理得 x2 +4mx+4y0 = 0. ………………………… 8 分
∵ Δ= 16m2 -16y0 >0,∴ x1 +x2 = -4m,x1x2 = 4y0 .
设 P(0,y →3),则 PN= ( -x ,y -y ),P
→
2 2 3 A= (x1,y1 -y3) .
∵ P,N,A 三点共线,∴ (y2 -y3)x1 +(y1 -y3)x2 = 0, ………………………………………… 9 分
∴ (x1 +x2)y3 = y2x1 +y1x2 = 2mx1x2 +(x1 +x2)y0 .
即-4my3 = 4my0,又∵ m≠0,∴ y3 = -y0 . ………………………………………………… 10 分
∴ P(0,-y0) .
∵ 点 N′,N 关于 y 轴对称,∴ PN′ = PN ,
∵ △PN′N 为等边三角形,∴ ∠DPN′= ∠DPN= 30°,
y -y m(x -x ) x -x
∴ AN 1 2 1 2直线 的斜率 k= = = - 1 2 = -+ 3 ,………………………………… 11 分x1 x2 (x1 +x2) 4
∴ x1 -x2 = 4 3 .
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由(x -x ) 2 = (x +x ) 21 2 1 2 -4x1x2 = 16m2 -16y0 = 48,得 m2 = 3+y0 . ………………………… 12 分
∵ m2 >0,∴ y0 >-3,又∵ y0 <-1,∴ -32y0 -2y0
则点 P 到直线 AD 的距离 d= = . ………………………………………… 13 分
m2 +1 4+y0
设 t= 4+y 20 ,则 18-2t2 8
故 d= = -2t. ……………………………………………………………………… 14 分
t t
∵ y= 8 -2t 在(1, 3 ) 2 3上单调递减,∴ t 3
即点 P 到直线 AD 的距离的取值范围是 (2 3 ,63 ) ……………………………………… 15 分
18. (17 分)解:(1)y= ebx+a 更适合. …………………………………………………………… 3 分
(2)由 Yi = ln y ,得 Y= ln(ebx
+a
i )= bx+a. …………………………………………………… 4 分
10
∑xiYi - 10x Y
b = i = 1 = 79. 75
- 10 × 5. 5 × 1. 9 24. 75
依题意得 = - = -10 2 0. 3, ………… 7 分
∑ 2 82. 5xi - 2 385 -10x 10 × 5. 5
i = 1
a =Y - b x = 1. 9 - ( - 0. 3) × 5. 5 = 3. 55, …………………………………………… 9 分
所以 Y= -0. 3x+3. 55,即 y= e-0. 3x+3. 55 . …………………………………………………… 10 分
(3)零假设 H0:市民佩戴头盔与性别无关联. …………………………………………… 11 分
根据列联表中的数据,经计算得到:
2
χ2 = 40(8×6-14×12) = 40×120×120 =
20×20×22×18 20×20× ×
≈3. 636>2. 706 x0. 10, ………………………… 15 分22 18
根据小概率值 α= 0. 10 的独立性检验,我们推断 H0 不成立,即认为市民佩戴头盔与性别有
关联,此推断犯错误的概率不超过 0. 10. ………………………………………………… 17 分
19. (17 分)(1)(ⅰ) f(x)= x2 -x,f′(x)= 2x-1, ……………………………………………… 1 分
由 f(an)= (an-an+1) f′(an),
a2
得 a2n-an = (an-an+1)(2an-1),解得 an+1 =
n
- , ………………………………………… 2 分2an 1
a
又 b1 = 2,b = ln ( nn ) (an>1)an-1
a2n
a 2a -1 ÷ a2 a
∴ bn+1 = ln ( n+1 = ln n ÷ = ln n = 2ln n , ……………………… 4 分an+1 -1 ) a2 ÷ ( 2 ) ( ) n a -2a +1 a-1÷ n n n-1
è2an-1
b
∴ n+1 = 2,∴ {bn}是以 2 为公比,2 为首项的等比数列. ………………………………… 5 分bn
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∴ b = 2nn . …………………………………………………………………………………… 6 分
b 2n(ⅱ)令 cn =
n
- ,则 c
= 1 1
(b 1)(b n n n+1
= n - n+1 , ………………… 7 分
n n+1 -1) (2 -1)(2 -1) 2 -1 2 -1
∴ Tn = c1 +c2 +c3 +…+cn
= ( 1 - 11 2 ) + ( 12 - 1 1 12 -1 2 -1 2 -1 23 ) +…+ ( n --1 2 -1 2n+1 -1 )
= 1- 1n+1 . …………………………………………………………………………… 8 分2 -1
显然,当 n≥1 时,{T 2 2n}是递增数列,g(n)= -n +n+ 在 n≥1 时,单调递减, ………… 9 分3
可得 Tn≥T1 = 1-
1
2 =
2 ,g(n)≤g(1)= 2 . …………………………………………… 10 分
2 -1 3 3
∴ Tn≥-n2 +n+
2 . ………………………………………………………………………… 11 分
3
(2)∵ f(x)为奇函数,
∴ f( -x)= ax2 -bx-csin x= -f(x)= -ax2 -bx-csin x.
∴ a= 0, …………………………………………………………………………………… 12 分
又∵ f ( π ) = π ·b+c= π +1,b,c∈Q,2 2 2
∴ b= 1,c= 1. ……………………………………………………………………………… 13 分
a +cosa ,a
∴ f(x)= x+sin x,a ={ n+1 n+1 n+1 由 a2 = 6a1 = 6 得,a2 >a1 = 1.
∴ a3 = f(a2)= 6+sin6≈5. 72∴ a4 =a3 +cosa3 = 6+sin6+cos(6+sin6)≈5. 72+0. 85 = 6. 57>a3,
∴ a5 = f(a4)= a4 +sin a4 >a4,a6 = f(a5)= a5 +sin a5,
∵ f(x)= x+sin x 在(0,+∞ )上为增函数,
∴ 当 2π0,2πa4≈6. 57∈(2π,3π),
a5 = f(a4)= a4 +sina4∈(2π,3π) .
当 an∈(2π,3π)时,2π∴ n≥4 时,an>an-1,又 a2 >a3,
∵ 当 n≥2 时,(an) min =a3,
∴ m≤a3 = 6+sin6.
又 m∈Z,∴ m 的最大值为 5. …………………………………………………………… 17 分
注:解答题有其他解法酌情给分.
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数 学
一、 选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知复数 z 满足: z(1+i)= i2024 -i, 其中 i 是虚数单位, 则 z 的值为
A. 2 B. 1 C. 2 D. 4
2. 已知全集 U=R, 集合 A = {x -1≤x≤2} , B = {x 1≤x≤6} , 如图 (一) 所示, 则图中阴
影部分表示的集合是
A. {x -1≤x≤6} B. {x x<-1}
C. {x x>6} D. {x x<-1 或 x>6}
3. “00 且 a≠1)在 R 上单调递减” 的 图(一)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
x +x f(x1) +f(x )4. 2下列函数对于任意 x1, x2∈(0, +∞ ), 都有 f ( 1 2 ≥ 成立的是2 ) 2
4
A. f(x)= ln x B. f(x)= x2 +1 C. f(x)= 2x D. f(x)= x 3
5. y= 1 2
x +ln x+ 1已知曲线 在点 (1, 1 ) 处的切线与抛物线 x2 =ay 也相切, 则实数 a 的值为
2 2
1 A. 0 B. C. 1 D. 0 或 1
2
6. 甲、 乙两个工厂代加工同一种零件, 甲加工的次品率为 5%, 乙加工的次品率为 8%, 加工
出来的零件混放在一起. 已知甲、 乙工厂加工的零件数分别占总数的 40%, 60%, 任取一
个零件, 如果取到的零件是次品, 则它是乙工厂加工的概率为
A. 3
1 B. C. 3
D. 12
20 3 8 17
2 2
7. x已知双曲线 C: 2 -
y
2 = 1(a>0,b>0)的焦点在圆 O:x
2 +y2 = 4 上,且圆 O 与直线 l:x-y-2b = 0
a b
有公共点, 则双曲线 C 的离心率的取值范围为
A. [ 2 , +∞ ) B. (1, 2 ] C. (1, 3 ] D. [ 2 , 2]
8. 已知函数 f(x)及其导函数 f′(x)的定义域均为 R,记 g(x)= f′(x), 函数 f(2x+3)的图象关于
点( -1, 1)对称. 若对任意 x∈R,有 f(x+3)= x+f(3-x),则下列说法正确的是
A. g(x)不为周期函数 B. f(x)的图象不关于点(1,1)对称
C. g(211)= 1 D. f(985)= 1
2
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二、 多选题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合
题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的有
A. 若角 α 1 3 π的终边过点 P ( , ) , 则角 α 的集合是{α α= +2kπ, k∈Z2 2 3 }
B. cos (α+ π ) = 3 , sin (α+2π 3若 则 =6 5 3 ) 5
C. 若 tan α= 2, 则sin2α+sin αcos α= 6
5
D. 若扇形的周长为 8 cm, 圆心角为 2 rad, 则此扇形的半径是 4 cm
10. 如图 (二) 所示, 点 E 为正方体形木料 ABCD-A1B1C1D1 上底面的动点, 则下列结论正确
的有
A. 三棱锥 E-ABC 的体积为定值
B. 存在点 E, 使 CE⊥平面 BDD1B1
C. 不存在点 E, 使 CE∥平面 BDD1B1
D. 经过点 E 在上底面上画一条直线 l 与 CE 垂直, 若 l 与直线 B1D1
重合, 则点 E 为上底面中心 图(二)
11. 英国数学家泰勒发现了如下公式:
3 5 7 2 4 6
sin x= x-x +x -x +…, cos x= 1-x +x -x +…,
3! 5! 7! 2! 4! 6!
某数学兴趣小组在研究该公式时, 提出了如下猜想, 其中正确的有
A. sin12 3
C. cos π <1-π D. 当 x>0 x时, sinx>x-
3 18 6
三、 填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
5
1
12. (2x3 - 2 ) 的展开式中常数项是 . (用数字作答)x
13. 宋朝诗人王镃在 《蜻蜓》 中写到: “轻绡剪翅约秋霜, 点水低飞恋野塘”, 描绘了蜻蜓点
水的情形, 蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹, 截取其
中一段水波纹, 其形状可近似地用函数 f(x)= Asin(ωx+φ)
(A>0,ω>0, φ < π ) 的图象来描述, 如图 (三) 所示, 则2
f (x ) = . 图(三)
14. 已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A, B, C 的对边, 且sin2B+sin2C-sin2A+sin Bsin C= 0,
则 A= ; 若 b = 2, c = 1, B→P = tB→C, t∈ [0, 1], 则 P→C2 -B→C·A→P 的取值范围
是 .
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四、 解答题: 本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 1已知函数 f(x)= - x3 +x2 +1.
3
(1)求函数 f(x)的单调递增区间;
(2)若函数 g(x)= f(x) -k(k∈R)有且仅有三个零点, 求 k 的取值范围.
16. (15 分) 如图 (四) 所示, 四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB∥CD, AB⊥AD,
AP=AB= 2AD= 2CD, E 为棱 PC 上的动点.
(1) 求证: BC⊥AE;
(2) P→若 E= 2E→C, 求直线 DE 与平面 PBC 所成角的正弦值.
图(四)
17. (15 分) 如图 (五) 所示, 已知点 B(6, -9), BC⊥x 轴于点 C, 点 M 为线段 OB 上的动
点 (M 不与端点 O, B 重合), MH⊥x 轴于点 H, ME⊥BC 于点 E, OE 与 MH 相交于
点 Q, 记动点 Q 的轨迹为 Γ.
(1) 求 Γ 的方程;
(2) 点 A, N 是Γ 上不同的两点, N 关于 y 轴对称的点为 N′, 记直线 AN′与 y 轴的交点为
D(0,y0), 直线 AN 与 y 轴的交点为 P. 当△PN′N 为等边三角形, 且 y0 <-1 时, 求
点 P 到直线 AD 的距离的取值范围.
图(五)
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18. (17 分) 某市开展 “安全随我行” 活动, 交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼, 并
记录了某月该路口连续 10 日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数 y 与天数 x 的情况, 对统计
得到的样本数据 (xi, yi) ( i= 1, 2, …, 10) 作了初步处理, 得到下面的散点图及一些
统计量的值.
10 10 10
x y Y ∑xiyi ∑x2i ∑xiYi
i = 1 i = 1 i = 1
5. 5 8. 7 1. 9 301 385 79. 75
10
表中 Yi = ln yi, Y =
1 ∑Y10 i .i = 1
(1) 依据散点图推断, y= bx+a 与 y=ebx+a 哪一个更适合作为未佩戴头盔人数 y 与天数 x 的回
归方程类型 (给出判断即可, 不必说明理由)
(2) 依据 (1) 的结果和上表中的数据求出 y 关于 x 的回归方程.
(3) 为了解佩戴头盔情况与性别的关联性, 交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查,
得到如下列联表:
佩戴头盔
性别 合计
不佩戴 佩戴
女性 8 12 20
男性 14 6 20
合计 22 18 40
依据 α= 0. 10 的独立性检验, 能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联
n
∑xiyi - nx y - 2
参考公式: b = i = 1 ,a =y - b x, χ2 = n(ad bc) ,其中 n=a+b+c+n d.
∑ (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)x2 - nx2i
i = 1
α 0. 15 0. 10 0. 05 0. 025 0. 010 0. 005 0. 001
xα 2. 072 2. 706 3. 841 5. 024 6. 635 7. 879 10. 828
19. (17 分)已知数列{an} ,{bn} ,函数 f(x)= ax2 +bx+csin x,其中 n∈N ,a,b,c 均为实数.
a
(1) 若 a= -b= 1, c= 0, f(a )= (a -a ) f ′(a ),b = 2,b = ln ( nn n n+1 n 1 n a -1 ) ,n
(ⅰ) 求数列{bn}的通项公式;
b
(ⅱ) 2设数列{ n 的前 n 项和为 T ,求证:T ≥-n2 +n+ .(bn-1)(b -1)} n nn+1 3
( π ) π
ì π π
f ( +a - , a 问: 当 n≥2 时, 是否存在整数 m, 使得 m≤an 成立. 若存在, 求出 m 的最大值;
若不存在, 请说明理由. (附: sin6≈-0. 28, cos5. 72≈0. 85)
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