中小学教育资源及组卷应用平台
1.1 直线的斜率——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．关于直线，下列说法正确的是( )
A.直线l的倾斜角为
B.向量是直线l的一个方向向量
C.直线l经过点
D.向量是直线l的一个法向量
2．已知两点，，直线l过点且与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是( )
A.或 B. C. D.
3．已知，，，直线l过点B，且与线段AP相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A.或 B.
C.或 D.或
4．已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角的取值范围为( )
A. B. C. D.
5．直线，的斜率的取值范围为( )
A. B. C. D.
6．三名同学相约在暑期进行了社会实践活动，同去某工厂加工同一种产品，他们在一天中的工作情况如图所示，其中的横、纵坐标分别为第i名同学上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第i名同学下午的工作时间和加工的零件数，，2，3，记为第i名同学在这一天平均每小时加工的产品个数，则，，中最大的( )
A. B. C. D.不能确定
7．已知两条直线：，：，当、的夹角在内变动时，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
8．将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列说法中，正确的有( )
A.直线在y轴上的截距是2
B.直线经过第一、二、三象限
C.过点，且倾斜角为90°的直线方程为
D.过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为
10．下列四个命题中错误的有( )
A.直线的倾斜角越大，其斜率越大
B.直线倾斜角的取值范围是
C.若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
D.若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
11．在同一平面直角坐标系中，表示直线与的图象可能是( )
A. B.
C. D.
12．若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得到直线，则直线的倾斜角可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题
13．当______时，直线与直线的夹角为60°.
14．经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是__________.
15．已知两条直线、，其中，当这两条直线的夹角在内变化时，a的取值范围为______.
16．已知边长为a的正三角形，D，E分别在边，上，满足，连接，，则和的夹角为______.
四、解答题
17．分别根据下列所给条件求直线方程：
（1）直线l过点，且直线l的倾斜角的正弦值为；
（2）直线l过点，分别交x轴、y轴于B，C两点，且满足.
18．经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，求直线l的倾斜角和斜率k的取值范围.
19．设直线l的方程是，其倾斜角为.
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）若将倾斜角用m表示，求关于m的函数关系.
20．已知直线l经过、（）两点，求直线l的倾斜角的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：关于直线，化为，
设倾斜角为，则斜率，解得，故A错误；
直线l经过点，故C错误；
由于，在直线上，，，即，
故向量是直线l的一个方向向量，故B正确；
由于，故，故其一个法向量，故D错误.
故选：B.
2．答案：A
解析：直线l与线段相交，所以临界情况为恰好经过点M或经过点N时，
，，由图可知，或.
故选：A.
3．答案：B
解析：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足，
即且，所以.
故选：B.
4．答案：A
解析：当时，，，所以此时直线l的倾斜角为；
当时，设直线l的倾斜角为，
所以直线l的斜率，
当且仅当时，等号成立，
所以，所以，
此时直线l的倾斜角的取值范围为，
综上，直线l的倾斜角的取值范围为，
故选：A.
5．答案：A
解析：由，可得直线的斜率为：.
当时，；
当时，，
因为，所以，
所以；
所以.
故选：A.
6．答案：B
解析：设，，
根据题意可知表示第i名同学早上的工作时间，表示第i名同学早上的加工零件数；
同理，表示第i名同学下午的工作时间，表示第i名同学下午的加工零件数.
所以，，
因此，可理解为线段中点与原点连线的斜率（如图）
因此，由图可以看出最大
故选：B
7．答案：C
解析：由题设，的倾斜角为，故倾斜角范围为，
所以且，即.
故选：C.
8．答案：B
解析：由知斜率为，设其倾斜角为，则，
将直线绕着原点逆时针旋转，
则
故新直线的斜率是.
故选：B.
9．答案：BC
解析：对于A:令时，，故在y轴上的截距是2，A错.
对于B:直线的斜率为2，在x、y轴上的截距分别为、5，故直线经过第一、二、三象限，B对.对于C:过点，倾斜角为90°的直线方程为，故C对.对于D:当直线的截距不为0时，设直线的方程为：，把点代入直线得，所以直线方程为：，当截距为0时，设直线方程为：，把点代入直线得，直线方程为：，故D错.
故选：BC
10．答案：ACD
解析：对于A，当倾斜角为锐角时，斜率大于0，当倾斜角为钝角时，斜率小于0，故A错误；
直线倾斜角的取值范围是，故B正确；
若一条直线的斜率为，此时可以为负角，而直线倾斜角的取值范围是，故C错误；
当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在，故D错误.
故选：ACD.
11．答案：AC
解析：A选项：由的图象可知，，经过一、三、四象限，则需经过二、三、四象限，故A选项正确；
B选项：由的图象可知，，经过一、二、三象限，则需经过一、三、四象限，故B选项错误；
C选项：由的图象可知，，经过一、二、四象限，则需经过一、二、三象限，故C选项正确；
D选项：由的图象可知，，经过二、三、四象限，则需经过一、二、四象限，故D选项错误；
故选：AC.
12．答案：BC
解析：易知直线l的倾斜角的取值范围为，当时，直线的倾斜角为，当时，直线的倾斜角为.故选BC.
13．答案：0或
解析：由的倾斜角为，
所以直线的倾斜角为或，故或.
故答案为：0或.
14．答案：
解析：如图，
，，，
，，
则使直线l与线段有公共点的直线l的斜率k的范围为，
又直线倾斜角的范围是：，且
直线l的倾斜角的范围为.
故答案为：.
15．答案：
解析：直线的倾斜角为，令直线的倾斜角为，则有，
过原点的直线，的夹角在内变动时，可得直线的倾斜角的范围是.
的斜率的取值范围是，即，
故答案为：.
16．答案：
解析：以的中点为坐标原点O，建立直角坐标系，
所以，，，，
因为，可得，，
则直线的斜率为，
直线的斜率为，
所以，两直线，的夹角的正切值为，
所以，所求夹角为.
故答案为：.
17．答案：（1）或
（2）
解析：（1）设直线l的倾斜角为，，则：
，，则直线l的斜率.
故直线l的方程为，
即或.
（2）设直线l的方程为，则，，
又，则.
由，得，解得，
则直线l的方程为，即.
18．答案：；
解析：因为，，由l与线段相交，
所以，
所以或，
由于在及均为增函数，
所以直线l的倾斜角的范围为：.
故倾斜角的范围为，斜率k的范围是.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）当，斜率，解得；
（2）时，，；
时，，斜率，，
综上，.
20．答案：
解析：直线l过，两点，
直线l的斜率为，
设直线l的倾斜角为，则，且，
解得或，
直线l的倾斜角的取值范围是.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
1.2 直线的方程——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线相交于点P（P与A，B不重合），则面积的最大值是( )
A. B.5 C. D.
2．已知点，.若直线与线段AB恒相交，则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3．已知点，又、k分别为过点P的直线l的法向量和斜率，有下列直线方程：
①；
②；
③（，且）.
其中能表示所有过点P的直线方程的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4．设函数，，，若函数的图象与x轴所围成的封闭图形被直线分为面积相等的两部分，则k的值为( )
A. B. C. D.
5．已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为( )
A. B. C. D.5
6．已知点，，若直线l：与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7．直线与直线（实数a为参数）的位置关系是( )
A.与相交 B.与平行
C.与重合 D.与的位置关系与a的取值有关
8．已知椭圆，直线，那么直线与椭圆位置关系( )
A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定
二、多项选择题
9．已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是( )
A.l的倾斜角等于 B.l在x轴上的截距等于
C.l与直线垂直 D.l与直线平行
10．若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值是( )
A.2 B. C.3 D.
11．下列说法中，正确的有( )
A.过点并且倾斜角为90°的直线方程为
B.直线的纵截距是
C.直线的倾斜角为60°
D.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为
12．已知直线l的倾斜角等于，且l经过点，则下列结论中正确的有( )
A.l的一个方向向量为
B.直线l与两坐标轴围成三角形的面积为
C.l与直线垂直
D.l与直线平行
三、填空题
13．将直线绕其与x轴的交点A逆时针旋转后得到直线l，则直线l的方程为______.
14．设直线过定点A，则过点A且与直线垂直的直线方程为______.
15．已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积不小于5，则k的取值范围为______.
16．经过两点和的直线方程为________.
四、解答题
17．已知的顶点，，直线的斜率为.
（1）求过点A，且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程；
（2）求角A的角平分线所在直线的一般式方程.
18．已知的顶点，，.
（1）求边上的中线所在直线的方程；
（2）求经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程.
19．已知的三个顶点分别为，，.
（1）求边和所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程.
20．在平面直角坐标系中，
（1）已知的三个顶点坐标分别为，，，求：BC边上高线所在的直线的方程.
（2）若直线l的方程为（），且直线l在x轴上截距是y轴上截距的，求该直线的方程.
（3）过点作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B.求当取得最小值时直线l的方程.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意直线过定点，
直线可变为，所以该直线过定点，
所以，
又，
所以直线与直线互相垂直，
所以，
所以即，
当且仅当时取等号，
所以，，即面积的最大值是.
故选：D.
2．答案：D
解析：由直线方程，令，解得，故直线过定点，如下图：
则直线的斜率，直线的斜率，
由图可知：.
故选：D.
3．答案：C
解析：设直线l上的某一点为，则
对于①，因为是直线l的法向量，故，又，，故l为，故①能表示所有过点P的直线方程；
对于②，利用点斜式易得l为：，但是可能还存在斜率不存在的情况，此时l为：，故②不能表示所有过点P的直线方程；
对于③，是直线的一般式，可表示所有直线，将代入得到，显然成立，故③能表示所有过点P的直线方程.
综上：①③都能表示所有过点P的直线方程.
故选：C.
4．答案：B
解析：，，，
令，得，
或，解得或.
令，得，，或，
令得，
所以（1）时，，
（2）时，，
（3）时，，
（4）时，，
（5）时，，
（6）时，，
直线过定点，
由此画出，的图象如下图所示，
阴影部分是函数的图象与x轴所围成的封闭图形，
根据对称性可知，阴影部分的面积为.
设直线与直线相交于A，由图可知，
由解得，
，，三角形的面积为，
解得，此时，符合题意.
故选：B.
5．答案：C
解析：根据题意：
动直线过定点，
动直线过定点，
，
直线和直线满足：，
，
直线与直线交于点P，
，
，
为直角三角形，且，
设，，则，，
，
，
，
当即时，的最大值为.
故选：C.
6．答案：D
解析：由，得，
所以直线l的方程恒过定点.
因为，，
所以，.
由题意可知，作出图形如图所示
由图象可知，或，解得或，
所以实数m的取值范围为.
故选：D.
7．答案：B
解析：由，
可得，
因为且，
所以与平行.
故选：B.
8．答案：A
解析：由，则，
则直线，恒过定点，
由，则点，在椭圆内部，
直线与椭圆相交.
故选：A.
9．答案：CD
解析：因为直线l的一个方向向量为，
所以直线l的斜率为，
因为直线l经过点，
所以直线l的方程为，即，
对于A，设直线l的倾斜角为，则，
因为，所以，所以A错误，
对于B，当时，，得，
所以直线l在x轴上的截距等于，所以B错误，
对于C，因为直线的斜率为，且，
所以直线l与直线垂直，所以C正确，
对于D，因为直线的斜率为，且在y轴上的截距为，
而直线l的斜率为，且在y轴上的截距为，
所以直线l与直线平行，所以D正确，
故选：CD
10．答案：AD
解析：直线l与两坐标轴围成三角形，
，，
且，
令，解得，
令，解得，
，
，
或，
当时，
，
方程无解；
当，
解得或.
故选：AD.
11．答案：AB
解析：对于A，由倾斜角为，则直线斜率不存在，即垂直于x轴，故方程为，则A正确；
对于B，由斜截式方程，易知直线纵截距为，故B正确；
对于C，由一般式方程，可得斜截式方程，设该直线的倾斜角为，则，故，故C错误；
对于D，由一般式方程，则斜截式方程，易知直线过顶点，可作下图：
则直线的斜率，直线的斜率，
故，则D错误.
故选：AB.
12．答案：AC
解析：由题意直线l的斜率为，直线方程为，即，
它与直线重合，D错误；
，因此是直线l的一个方向向量，A正确；
在直线方程中令得，令得，
直线l与两坐标轴围成三角形的面积为，B错误；
由于，C正确.
故选：AC.
13．答案：
解析：直线与x轴的交点，
由直线l与直线垂直，可得，
所以直线l的方程为，即.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为，所以，
所以直线恒过定点，即，
因为过点A且与直线垂直，
所以设过点A的直线方程为，
所以，即，
所以所求直线方程为，
故答案为：.
15．答案：或
解析：直线中，令，则，令，则，
则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，
由题意知，三角形的面积不小于5，可得，解得或，
故答案为：或.
16．答案：
解析：由题意，所求直线经过两点和，可得，
整理得，即所求直线的方程为.
故答案为：.
17．答案：（1）或
（2）或
解析：（1）当所求直线过原点时，设直线方程为，
因为直线过点A，所以，故方程为，
当所求直线不过原点时，因为所求直线在两坐标轴上截距相等，
所以，设所求直线方程为，
因为直线过点A，所以，解得，
所以所求直线方程为.
综上，满足条件的直线方程为或.
（2）因为的顶点，，直线的斜率为，
所以，直线方程为，直线的倾斜角为，
根据题意，作出其图形，如图，
当点C位于直线下方时，，此时其角平分线为，
角平分线的倾斜角为，
所以，角平分线方程为，即；
当点C位于直线上方时，，此时其角平分线为，
角平分线的倾斜角为，
所以，角平分线方程为，即.
所以，角A的角平分线所在直线的一般式方程为或.
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题意可得，线段的中点为，故，
则中线所在直线方程为：，即；
（2）设两坐标轴上的截距为a，b，
若，则直线经过原点，斜率，
直线方程为，即；
若，则设直线方程为，即，
把点代入得，即，直线方程为；
综上，所求直线方程为或.
19．答案：（1）边所在直线的方程为，边所在直线的方程为
（2）中线所在直线的方程
解析：（1），，直线的截距式方程得：，化简得.
，，由直线的两点式方程，
得方程为，即，
综上所述，边所在直线的方程为，
边所在直线的方程为.
（2）设中点，由线段的中点坐标公式，
可得，，中点D坐标为.
再由直线的两点式方程，得所在直线的方程为，
化简得，即为所求边上的中线所在的直线的方程.
20．答案：（1）
（2）或
（3）
解析：（1），
BC边上高线所在直线的斜率为，
又高线过，
高线所在直线方程为，即；
（2）由题意直线l在两轴上截距都存在，则，
令得，令得，
因为直线在x轴上截距是y轴上截距的，
若x，y轴上截距都为0，即直线过原点时，，此时直线为；
若x，y轴上截距不为0，则，解得，此时直线为；
综上，直线l方程为或；
（3）设不妨取，，，，
过点P，所以有，
，
当且仅当，即时等号成立，
当取得最小值时，
直线l的方程为，即.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
1.2.3 直线的一般式方程——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2．过点且与直线平行的直线方程为( )
A. B.
C. D.
3．设直线系，对于下列四个结论：
①当直线垂直于x轴时，或π；
②当时，直线倾斜角为；
③M中所有直线均经过一个定点；
④存在定点P不在M中任意一条直线上.
其中正确的是( )
A.①② B.③④ C.②③ D.②④
4．设直线的方向向量为，的法向量为，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5．已知点、，若直线与线段相交，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6．直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7．在中，已知点，，且边的中点M在y轴上，边的中点N在x轴上，则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
8．直线的倾斜角为( )
A.30° B.45° C.120° D.150°
二、多项选择题
9．下列说法错误的是( )
A.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B.直线的倾斜角的取值范围是
C.经过两点，的直线方程过
D.方程与方程表示同一条直线
10．下列说法正确的是( )
A.直线必过定点
B.过，两点的直线方程为
C.直线的倾斜角为
D.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
11．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数( )
A.1 B. C.3 D.
12．在下列四个命题中，错误的有( )
A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B.直线的倾斜角的取值范围是
C.经过任意两个不同的点，的直线都能用方程表示
D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
三、填空题
13．若直线l的倾斜角α满足，且它在x轴上的截距为3，则直线l的方程是___________.
14．若两直线与为同一条直线，则实数a的值为___________.
15．直线的斜率为______.
16．过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是_________.
四、解答题
17．已知点，，：
（1）求过点A且与平行的直线方程；
（2）若中点为D，求过点A与D的直线方程；
（3）求过点B且在x轴和y轴上截距相等的直线方程.
18．已知顶点、、.
（1）求边上中线所在的直线方程
（2）求边上高线所在的直线方程.
19．（1）若直线l过点，且与直线平行，求直线l的一般式方程.
（2）若直线l过点，且与直线垂直，求直线l的斜截式方程.
20．求直线L的方程：
（1）求过点且与直线平行的直线方程；
（2）求过点且与直线垂直的直线方程.
参考答案
1．答案：D
解析：设直线倾斜角为，
由，可得，
所以斜率为，
由，可知倾斜角为.
故选：D.
2．答案：D
解析：由题可得，设平行于直线的直线l的方程为，
因为直线过点，
所以，解得，
所以直线l的方程为.
故选：D.
3．答案：D
解析：，
①当直线垂直于x轴时，则，解得或π或，故①错误；
②当时，直线方程为：，
斜率，即，倾斜角，故②正确；
③由直线系
可令，消去可得，
故直线系M表示圆的切线的集合，故③不正确.
④因为对任意，存在定点不在直线系M中的任意一条上，故④正确；
故选：D.
4．答案：A
解析：因为，所以，，，
所以或.
当时，成立，所以“”是“”的充分条件；
当时，不一定成立，所以“”是“”的非必要条件.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．答案：A
解析：直线l的方程化简得，由，可得，
故直线l恒过定点，故，，直线l的斜率为，
要使得直线l与线段有公共点，则或，解得.
故选：A.
6．答案：A
解析：直线的斜率，
设直线的倾斜角为，则，
解得.
故选：A.
7．答案：A
解析：设，，，
因为，，
所以且，
解得，，，，
即，，，
所以MN所在直线方程为，
即.
故选：A.
8．答案：B
解析：由直线，则该直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，解得.
故选：B.
9．答案：AD
解析：对于A：若，则两直线方程分别为：和，
两直线的斜率分别为，，故，
从而直线与直线互相垂直；
若直线与直线互相垂直，
则，解得或，
从而“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故A错误；
对于B：由题意，直线的斜率，
即且，解得或，故B正确；
对于C：当斜率不存在时，此时直线方程：且，此时符合题意；
当斜率存在时，由两点式可知：直线方程为：满足题意，故C正确；
对于D：因为的定义域为R，而的定义域为，
所以方程与方程不表示同一条直线，故D错误.
故选：AD.
10．答案：AD
解析：对于A，因为直线可以化为：，令，则，解得，，所以直线过定点，故A正确；
对于B，当，时，过，两点的直线方程为，故B不正确；
对于C，直线的斜率，所以倾斜角为，故C不正确；
对于D，直线与两坐标轴的交点分别为，，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：，故D正确.
故选：AD.
11．答案：BC
解析：依题意可知，
所以当，即时，直线化为，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；
当，即时，直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为，故，解得；
综上所述，实数或.
故选：BC.
12．答案：AD
解析：当倾斜角为时，斜率不存在，故A错误；
根据规定直线倾斜角范围为，故B正确；
根据直线两点式方程为：，化为整式方程为，对于或也满足上式，故C正确；
当直线过原点时，即方程为时，其在x轴和y轴上截距也都相等，故D错误.
故选：AD.
13．答案：
解析：由，所以，
从而直线l的方程为，即.
故答案为：.
14．答案：0
解析：因为两直线与为同一条直线，所以，所以.
故答案为：0.
15．答案：
解析：化直线方程为斜截式得，故直线的斜率为.
故答案为：.
16．答案：或
解析：当截距为0时，设直线方程为，
将代入，可得，
所以直线方程为，
当截距不为0时，设直线方程为，
将代入，可得：，
所以直线方程为，
综上：直线方程为或.
故答案为：或.
17．答案：（1）
（2）
（3）或
解析：（1）设所求直线的斜率为k，则有，又直线过点A，
直线方程为：，
即：.
（2）D为中点，，即，
直线的方程为：，
即：.
（3）当所求直线在x轴和y轴上的截距都为0时，即直线经过B点和坐标原点，此时直线方程为：，即：；
当所求直线在x轴和y轴上的截距都不为0时，设直线方程为：，，
由题意有：，解得：，所以直线方程为：，
即：,
综上：所求直线方程为：或.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）线段的中点坐标为，即，
所以边上中线所在的直线方程为：，
整理得：；
（2）直线的斜率为，
所以边上高线所在直线的斜率为，
所以边上高线所在直线的方程为，
整理得：
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）设直线方程为：，将代入方程，得，
所以直线方程为；
（2）设直线方程为：，将代入方程，得，
所以直线方程为，
即直线l的斜截式方程为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）设该直线为，因为该直线过点，所以，解得.
即所求直线为.
（2）设与直线垂直的直线方程为：，
代入得：，解得：.
所求直线方程为：.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
1.3两条直线的平行与垂直——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．已知直线，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
2．设，则“”是“直线与垂直”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3．已知直线：与直线：平行，则实数a为( )
A.3 B.-2 C.3或-2 D.以上都不对
4．已知直线：，与：平行，则a的值是( )
A.3 B. C.3或 D.3或5
5．设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则“、相交”是“”的( )条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
6．已知直线l的倾斜角为，直线经过点和，且直线与垂直，a的值为( )
A.1 B.6 C.0或6 D.0
7．设，则直线与直线垂直的充分不必要条件是( )
A. B.
C.或1 D.或
8．已知直线：与直线：平行，则a的值是( )
A. B.1 C.或1 D.4或
二、多项选择题
9．已知直线：，直线：，则下列命题正确的有( )
A.直线恒过点
B.存在m使得直线的倾斜角为
C.若，则或
D.不存在实数m使得
10．已知点，，.若为直角三角形，则可能有( )
A. B.
C. D.
11．下列说法正确的是( )
A.已知直线l过点，且在x、y轴上截距相等，则直线l的方程为
B.直线的倾斜角为
C.a，，“直线与垂直”是“”的必要不充分条件.
D.若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为
12．已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则( )
A.A点的坐标为 B.直线垂直于
C. D.的最大值为
三、填空题
13．已知直线：，：，若，则实数_________.
14．若直线与直线平行，则__________.
15．已知直线和直线，给出下列四个结论：
①存在k，使得的倾斜角为；②不存在k，使得与重合；
③对任意的k，与都有公共点；④对任意的k，与都不垂直.
其中，所有正确结论的序号是____________.
16．已知、是分别经过，两点的两条平行直线，当、间的距离最大时，直线的方程为______.
四、解答题
17．在①它的倾斜角比直线的倾斜角小，②与直线垂直，③在y轴上的截距为，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.
问题：已知直线l过点，且______，求直线l的方程.
18．已知直线和直线互相垂直，求的取值范围.
19．已知点，，，，求证：四边形ABCD是梯形.
20．已知中，、、，写出满足下列条件的直线方程.
（1）BC边上的高线的方程；
（2）BC边的垂直平分线的方程.
参考答案
1．答案：A
解析：因为，所以，所以，所以.又二次函数的图象的对称轴方程为，所以当时，取得最小值，为.
2．答案：A
解析：直线与垂直，则，，
“”是“直线垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
3．答案：A
解析：直线：的斜率为，一定存在斜率；
直线：的斜率为，
因为两直线平行，所以，解得或，
当时，：，：，不重合，平行；
当时，：，：，直线重合，所以舍掉.
故选：A.
4．答案：D
解析：由解得或，
当时，直线：，直线：，有，
当时，直线：，直线：，有，
所以a的值是3或5.
故选：D.
5．答案：C
解析：当直线斜率都存在即，均不为0时，若“、相交”，则两直线的斜率不相等，得，即，当直线斜率有一个不存在即，有且只有一个为0时，也成立，故充分性成立；
反之，，均不为0时，若“”，则，则两直线的斜率不相等，即、相交，，有且只有一个为0时，、也相交，故必要性成立；综上，则“、相交”是“”的充要条件，
故选：C.
6．答案：D
解析：因为直线l的倾斜角为，所以直线l的斜率为，且l与垂直，
所以直线斜率存在，
由经过点和，所以直线斜率为，
所以，解得：，
故选：D.
7．答案：B
解析：直线与直线垂直，等价于，解得或，
所以直线与直线垂直的充分不必要条件是B选项.
故选：B.
8．答案：B
解析：因直线：与直线：平行，
则有，解得或，
当时，直线：与直线：平行，
当时，直线：与直线：，即重合，
所以a的值是1.
故选：B.
9．答案：AB
解析：对于A，直线：，当时，，故直线恒过点，A正确；
对于B，当时，直线：即，的倾斜角为，B正确；
对于C，当时，:即，直线：即，此时两直线不平行，
故当时，若，此时有，则或，
当时，:即，:即，两直线重合，不合题意，故C错误；
对于D，当时，:即，:即，此时，D错误，
故选：AB.
10．答案：AB
解析：由题意知，，
若O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为 ，此时O，B重合，不符合题意，故C错误；
若A为直角顶点，则，故A正确；
若B为直角顶点，根据斜率关系，可知，
所以，即，故B正确；
和不可能同时成立，所以不可能成立，故D错误.
故选：AB.
11．答案：BCD
解析：对于A，由题意，显然直线斜率存在，且直线l过点，可设方程为，
令，；令，，
因为在x，y轴上截距相等，所以，则，，
，解得或1，故直线l方程为或，故A错误；
对于B，直线方程，转化为，设该直线的倾斜角为，故，解得，故B正确；
对于C，先证充分性：由“直线与垂直”，则，，，解得或3，故“直线与垂直”是“”的必要不充分条件，故C正确；
对于D，由题意，可设，向左平移3个单位，向上平移2个单位，可得，则，因为回到原来的位置，所以，，解得，故D正确.
故选：BCD.
12．答案：BD
解析：由题意可知，动直线经过定点，动直线经过定点.又的方程可化为，，所以两条直线始终垂直，又P是两条直线的交点，所以，所以.设，则，，，其中，则的最大值是.
13．答案：-3或0
解析：当时，直线：，：，此时显然，符合题意；
当时，整理可得直线：，：，
由，则，解得.
故答案为：-3或0.
14．答案：
解析：由直线与直线平行，可得:
，
解得，
，
所以，.
故答案为：.
15．答案：①③④
解析：对于①，由直线，当时，可整理为，
令，则，解得，故①正确；
对于②，由直线，整理可得，令，解得，
此时直线，即两直线重合，故②不正确；
对于③，由②可知，当时，两直线重合，有无数个公共点；当时，则，即两直线不平行，必定相交，有一个公共点，故③正确；
对于④，令，则，显然无解，故④正确.
故答案为：①③④.
16．答案：
解析：设两平行直线、的距离为d.
因为、是分别经过，点的两条平行直线，
所以，当且仅当时取等号.
因为直线AB的斜率为，所以与直线AB垂直的直线的斜率为，
所以的方程为，即.
故答案为：.
17．答案：
解析：选①，的斜率，故直线倾斜角为，所以直线l的倾斜角为，
故直线l方程为：，即；
选②，与直线垂直，可设直线l方程为：，
又直线l过点，所以，解得，
故所求直线方程为；
选③，直线在y轴上的截距为知，直线过点，又直线l过点，
故所求直线方程为，即.
18．答案：
解析：因为，所以，所以，因为，所以.
因为，所以，所以，故的取值范围为.
19．答案：证明见解析
解析：由点，，，，
可得，，
而，，
故，但，
所以四边形ABCD是梯形.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以BC边上的高线的斜率，
故BC边上的高线的方程为：，
即所求直线方程为：.
（2）因为，所以BC边上的垂直平分线的斜率，
又BC的中点为，
故BC边的垂直平分线的方程为：，
即所求直线方程为：.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
1.4两条直线的交点——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．若直线m被两平行线：与：所截得的线段的长为，则直线m的倾斜角可以是( )
A. B. C. D.
3．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点，，则欧拉线的方程为( )
A. B.
C. D.
4．已知直线：，：，则与( )
A.通过平移两直线可能会重合 B.不可能会垂直
C.通过绕上某点旋转可以重合 D.可能与x轴围成等腰直角三角形
5．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点E的坐标为( )
A. B. C. D.
6．已知点，，过点的直线l与线段有公共点，若点在直线l上，则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7．设集合，，若，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8．已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，关于：和：的交点情况是( )
A.存在k、、使之无交点
B.存在k、、使之有无穷多交点
C.无论k、、如何，总是无交点
D.无论k、、如何，总是唯一交点
二、多项选择题
9．已知两条直线，，则下列结论正确的是( )
A.当时，
B.若，则或
C.当时，与相交于点
D.直线过定点
10．已知直线：与直线：的交点在第三象限，则实数k的值可能为( )
A. B. C. D.2
11．瑞士数学家欧拉（LeonharEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心 重心 垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.若已知的顶点，，其欧拉线方程为，则下列正确的是( )
A.重心的坐标为或
B.垂心的坐标为或
C.顶点C的坐标为或
D.欧拉线将分成的两部分的面积之比为
12．已知直线，，，以下结论正确的是( )
A.不论a为何值时，与都互相垂直
B.当a变化时，与分别经过定点和
C.如果与交于点M，则的最大值是
D.不论a为何值时，与都关于直线对称
三、填空题
13．记直线和的交点为A，则经过A且与相垂直的直线方程为___.
14．已知直线，，，若它们不能围成三角形，则m的取值所构成的集合为______
15．若三条直线：，：，：不能围成三角形，则实数m取值的集合为____________.
16．平面直角坐标系内有四个定点，，，，在四边形ABCD内求一点P，使取得最小值时P的坐标为_________.
四、解答题
17．当时，直线和直线与坐标轴围成一个四边形.
（1）求直线与直线的交点坐标；
（2）求四边形的面积最小时a的值.
18．已知直线l：.
（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；
（2）若直线l与直线交于点P，与直线交于点Q，且线段PQ的中点是（1）中的定点M，求直线l的方程.
19．设直线与直线相交于一点A.
（1）求点A的坐标；
（2）求经过点A，且垂直于直线的直线l的方程.
20．已知直线与的交点在第一象限，求a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：根据题意，联立，解得，
因直线l与直线的交点位于第一象限，所以，解得，
又因且，所以.
故选：B.
2．答案：A
解析：因为平行直线截、的线段总是相等，故可设直线m过原点.
若直线m的斜率不存在，此时直线m的方程为：，
此时直线m截、的线段长为，不合题意.
若直线m的斜率存在，设直线m的方程为，
由可得，
由可得，
故直线m截、的线段长为，
解得，
因为，，，.
故选：A.
3．答案：D
解析：由题可得的重心为，
直线的斜率为，所以边上的高的斜率为2，则边上的高的方程为，即，
直线AC的斜率为，所以AC边上的高的斜率为，则AC边上的高的方程为，即，
联立可得垂心坐标为，
则直线GH的斜率为，则直线GH的方程为，
所以欧拉线的方程为.
故选：D.
4．答案：C
解析：对于A选项，若能通过平移两直线可能会重合，则两直线一定平行，故，显然矛盾，故错误；
对于B选项，当时，两直线为垂直关系，故错误；
对于C选项，由题知，与必相交，故通过绕与的交点旋转可以使得与重合，故正确；
对于D选项，因为，所以直线：与x轴不能垂直，
因为：的斜率为3，故与x轴也不能垂直，
所以，要想，与x轴围成直角三角形，则，
此时联立方程得与的交点坐标为，
因为与x轴交点为坐标原点O，与x轴交点为，
显然不在的中垂线上，
故此直角三角形不可能为等腰直角三角形，故D选项错误.
故选：C.
5．答案：D
解析：过E点作交于D，如图所示。
因为四边形是菱形，所以，，
所以在中，，
所以在中，，，，故E的坐标为：.
故选：D.
6．答案：D
解析：如图，因为过点的直线l与线段有公共点，
所以直线l的倾斜角在介于直线与直线的倾斜角之间，
因为点在直线l上，
所以点是直线l与直线的交点，
由图可知点的轨迹为线段，
由于，故直线的方程为，与联立得，即
所以实数m的取值范围为
故选：D.
7．答案：C
解析：由题知集合A表示直线，即上的点，但除去点，
集合B表示直线上的点，
易知直线与直线不重合，
所以当时，直线与直线相交且交点不是点，
当时，两条直线相交且交点为，符合题意；
当时，由且，得且且.
综上，且.
故选：C.
8．答案：D
解析：与是直线（k为常数）上两个不同的点，直线的斜率存在，
，即，并且，，
，
，解得：，
即.
方程组有唯一解.
故选：D.
9．答案：ACD
解析：因为，，对于A：当时，，，则、，所以，所以，故A正确；
对于B：若，则，解得或，当时，，满足题意，当时，，与重合，故舍去，所以，故B错误；
对于C：当时，，，则，解得，即两直线的交点为，故C正确；
对于D：，即，令，即，即直线过定点，故D正确；
故选：ACD.
10．答案：BC
解析：联立方程组，解得交点为，
因为交点在第三象限，所以，解得，
所以实数k的值可能为和.
故选：BC.
11．答案：BCD
解析：AB的中点为，AB的中垂线方程为，即，
联立，解得.
的外心为，
设，由重心坐标公式得，
三角形的重心为，代入欧拉线方程得：，整理得：①，
又外心为，
所以，
整理得：②联立①②得：，或，，
所以顶点C的坐标是或.
重心的坐标为或；
由于或，所以垂心的坐标为或.
因为直线与欧拉线平行，所以两部分的面积之比是或.
故选：BCD.
12．答案：ABC
解析：对于A，如果，则，，分别平行于x轴和y轴，显然；
如果，则，，，恒成立，故A正确；
对于B，对于直线，当时，恒成立，则过定点；
对于直线，当时，恒成立，则恒过定点，故B正确；
对于D，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，
代入方程知，当时，则点在上，
当、时不成立，则点不在上，
即不论a为何值时，与不一定关于直线对称，故D错误；
对于C，联立，解得：，即，
，即的最大值是，故C正确；
故选：ABC.
13．答案：
解析：联立，解得，.
.
设经过A且与相垂直的直线方程为，
把点A坐标代入可得：，
解得.
要求的直线方程为：，
故答案为：.
14．答案：
解析：当与平行或重合时，，
当与平行或重合时，，得，
当与平行或重合时，，此时无解；
当三条线经过同一点时，联立得，
将代入得，
解得，
故m的取值所构成的集合为.
故答案为：.
15．答案：
解析：当三条直线交于一点时不能围成三角形：由，
解得和的交点A的坐标，
由A在上可得，
解得
因为与相交，所以当、、有两条直线平行时不能围成三角形，
当时，，即，
当时，，即，
显然、与不可能重合.
综上，，，时，这三条直线不能围成三角形，
实数m的取值集合是.
故答案为：.
16．答案：
解析：因为，当且仅当点A，P，C三点共线，且点P位于A，C之间时等号成立，
，当且仅当B，P，D三点共线，且点P位于B，D之间时等号成立，
所以，
当且仅当点P为直线与的交点时等号成立，
因为，，，。
所以直线的方程为：，
直线的方程为：，
所以直线与的交点为，
所以当点P的坐标为时，取最小值，
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）直线整理得，过点，
直线整理得，过点，
所以直线与直线的交点坐标为.
（2），，，，，
由此画出两条直线的大致图象如下图所示，
由令，得，
由令，得，
所以四边形的面积，
所以当时，S取得最小值.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：直线l的方程化为，
令，解得，
所以不论m为何实数，直线l恒过一定点；
（2）由题意设，
因为M是线段PQ的中点，则，
又点P在直线上，
则，解得，
所以，
所以直线l的方程为，即.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由，
解得，
.
（2）直线的斜率为，垂直于直线的直线斜率为，
则过点，且垂直于直线的直线的方程为，
即.
20．答案：
解析：由题意，两条直线相交于一点，即两条直线不平行，故.
由，解得，
即两条直线的交点坐标为，
因为交点在第一象限，故，解得.
故.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
1.5平面上的距离——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．直线关于直线对称的直线方程为( )
A. B.
C. D.
2．点到直线的距离为d，则d的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．设，其中.则的最小值为( )
A.8 B.9 C. D.
4．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数，的最小值为( )
A. B. C. D.2
5．已知点M，N分别在直线：与直线：，且，点，，则|的最小值为( )
A. B. C. D.
6．函数的最小值是( )
A.5 B.4 C. D.
7．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为.根据以上性质，已知，，，P为内一点，记，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8．直线l的倾斜角为135°，且过点，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是( )
A. B.2 C. D.4
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
C.直线l：，为直线l上动点，则的最小值为
D.若两直线：与：平行，则
10．下列结论错误的是( )
A.过点，的直线的倾斜角为
B.直线与直线之间的距离为
C.与关于y轴对称
D.已知两点，，过点的直线l与线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是
11．已知O为坐标原点，点，动点P满足，Q是直线上的点，下列结论正确的是( )
A.点P的轨迹是圆 B.的最大值为3 C.的最小值为1 D.
12．已知在以为直角顶点的等腰三角形中，顶点A、B都在直线上，下列判断中正确的是( )
A.点A的坐标是或
B.三角形的面积等于4
C.斜边的中点坐标是
D.点C关于直线的对称点是
三、填空题
13．经过点，且与原点的距离等于2的直线l的一般式方程为______.
14．直线和，两点，若直线l上存在点M使得最小，求点M的坐标_____.
15．如图，矩形ABCD中边AB与x轴重合，，.从原点O射出的光线OP经BC反射到CD上，再经CD反射到AD上点Q处.
①若OP的斜率为，则点Q的纵坐标为_________；
②若点Q恰为线段AD中点，则OP的斜率为_________.
16．点到直线的距离的取值范围为____________.
四、解答题
17．求适合下列条件的直线方程：
（1）求直线l：关于点的对称直线的方程；
（2）直线l过点，且与x轴和直线围成的三角形的面积为2，求直线l的方程.
18．已知三个顶点的坐标分别为，，，线段的垂直平分线为l.
（1）求直线l的方程.
（2）点P在直线l上运动，当最小时，求此时点P的坐标.
19．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为.
（1）求直线的一般式方程；
（2）在下列两个条件中任选一个，求直线的一般式方程.
①角A的平分线所在直线方程为；
②边上的中线所在的直线方程为.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
20．在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，.
（1）设的中点为D，求边上的中线所在的直线方程；
（2）求边上的高所在的直线方程；
（3）求的面积.
参考答案
1．答案：B
解析：设点是所求直线上任意一点，
则关于直线对称的点为，且在直线上，
所以，代入可得，整理得.
所以，所求直线方程为.
故选：B.
2．答案：A
解析：，化简得，所以当时，恒成立，所以直线l过定点，所以当直线l过点时，d有最小值为0，此时；d的最大值为和点的距离为，此时直线l与垂直，因为，所以直线l的斜率，又因为，所以有，化简得，故此时无解；所以d的最大值取不到，故.
故选：A.
3．答案：B
解析：设，，，，
则表示：，
又直线AB与y轴相交于点，
所以，，
所以，当点P为时，等号成立，
故的最小值为9，
故选：B.
4．答案：A
解析：
表示动点到定点和的距离之和，
因为点在直线上运动，
作关于直线的对称点，则，
故，
当且仅当A，P，三点共线时取等，
故的最小值为.
故选：A.
5．答案：C
解析：设，则直线的方程为，，
由，
所以，
设，，，
则表示直线上的点A与B，C连线的距离之和，
所以的最小值为.
故选：C.
6．答案：A
解析：，
则其几何意义为点到两定点，的距离和，点表示为横坐标上的点，作出如图所示：
根据将军饮马模型，作出点A关于x轴对称点，连接，交x轴于点P，
则，此时直线的直线方程为
令，则，故当时，.
故选：A.
7．答案：B
解析：设为坐标原点，由，，，
知，且为锐角三角形，
因此，费马点M在线段上，设，如图，
则为顶角是的等腰三角形，故，
所以，
则的最小值为.
故选：B.
8．答案：C
解析：由题设，直线，整理得，
所以，直线l与坐标轴交点为，，
故直线被坐标轴所截得的线段长是.
故选：C.
9．答案：CD
解析：A：若，直线与直线垂直，符合题意；
若，由直线与直线垂直，
得，解得，
所以“”是“两直线垂直”的充分不必要条件，故A错误；
B：当在两坐标轴上的截距都为0时，直线方程为；
当在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，
将点代入直线方程，得，解得，则，
即，故B错误；
C：表示点到点的距离的平方，
当点到直线的距离为时，
的值最小，此时，即，故C正确；
D：由，得，解得，故D正确.
故选：CD.
10．答案：ABD
解析：对于A，设过点，的直线的倾斜角为，则，
且斜率为，由可得，故A错误；
对于B，可化为，所以直线与直线之间的距离为，故错误；
对于C，直线与y轴的交点为，且直线的斜率为2，所以直线关于y轴对称的直线的斜率为，由点斜式方程可得直线关于与y轴对称的直线方程为，即为，故正确；
对于D，如下图，过点的直线l与线段有公共点，直线的斜率为，
直线的斜率为，则直线l的斜率的取值范围是，故错误.
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：设，则，即，
所以P点轨迹是圆，此圆圆心为，半径为.是圆的一条直径.
C点到直线的距离为，直线与圆相离，
无最大值，最小值为，由于已知直线与以为直径的圆相离，，因此ACD正确.
故选：ACD.
12．答案：AD
解析：由题意得过与直线垂直的直线方程为，即，
两直线的交点即为的中点，则，
由题意得，，点A的坐标是或，
，
点C关于直线的对称点，即为点C关于点D的对称点，
故A，D正确，B，C错误，
故选：AD.
13．答案：或
解析：当该直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意；
当该直线斜率存在时，设直线方程为，
即，则原点到该直线的距离为，
化简得.
所以直线l的一般式方程为或.
故答案为：或
14．答案：
解析：如图，作出点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于M，则
则，
所以，当，B，M三点共线时取等号，
即，B，M三点共线时，最小，
设，则，解得，即，
因为，所以直线为，
由，得，即，
故答案为：.
15．答案：，
解析：对于①，因为若OP的斜率为，矩形ABCD中边AB与x轴重合，，，
所以得在的中点上，
所以反射光经过与y轴的交点，即坐标为，
设，则，解得，
所以点Q的纵坐标为，
对于②，由题意设，反射线与的交点，
因为入射角和反射角相等，
所以，
因为的斜率与的斜率相等，
所以，
解得，，
所以OP的斜率为，
故答案为：，.
16．答案：
解析：将直线方程变形为，
所以直线l过与的交点，
联立方程解得，
所以，直线l过定点，
所以，根据直线系方程的意义，直线l表示过点的不包含直线的所有直线，
所以，当直线l过点时，距离最小，为0；
当直线l与垂直时，距离取得最大值，，
因为直线l与垂直时，其方程为，直线系方程不含，
所以，其距离的最大值取不到.
所以，点到直线l距离的取值范围.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设直线上任意一点的坐标为，
则关于点的对称点为在直线l上，
所以，即，
所以直线的方程为；
（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为，
联立与得交点为，此时面积为，符合要求.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
即.
令得，.
由三角形的面积为2，得.
解得，可得直线l的方程为，即.
综上可知，直线l的方程为或.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）直线的斜率为，所以直线l的斜率为.
而线段的中点为，所以直线l的方程为，即.
（2）由（1）得点A关于直线的对称点为点C，所以直线与直线l的交点即为最小的点.
由，得直线的方程为，即.
联立方程，解得，所以点P的坐标为.
19．答案：（1）
（2）答案详见解析
解析：（1）边上的高所在的直线方程为，斜率为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
整理得.
（2）若选①，角A的平分线所在直线方程为，
，故.
设是点B关于直线的对称点，
则，解得，，即，
由于是直线上的点，
所以，
所以直线的方程为，
整理得直线的一般式方程为.
若选②，边上的中线所在的直线方程为，
，故.
设，则的中点在直线上，
即，整理得，
在直线，即，
，即，
所以，
所以直线的方程为，
整理得直线的一般式方程为.
20．答案：（1）
（2）
（3）8
解析：（1）因为，，，所以的中点，
故，
所以边上的中线所在的直线方程为，即.
（2）设，交与点H，则，
因为，所以，
所以边上的高所在的直线方程为，即.
（3）由（2）知，
所以直线的方程为，即，
所以点A到直线的距离，
又，
所以的面积为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
