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2.1 圆的方程——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．已知圆C的圆心在直线上，且过点和，则圆C的标准方程为( )
A. B.
C. D.
2．圆心为，且与x轴相切的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
3．已知圆，圆，M、N分别为圆和上的动点，P为直线上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4．已知圆C的方程为，则圆C的半径为( )
A. B.2 C. D.8
5．若曲线上所有的点均在第二象限内，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
6．若直线平分圆的面积，则的最小值为( )
A.8 B. C.4 D.6
7．点与圆的位置关系是( )
A.点在圆外 B.点在圆上 C.点在圆内 D.与a的值有关
8．已知点M为圆上任意一点，且点，则MQ的最大值为( )
A.5 B.9 C.8 D.7
二、填空题
9．过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是___________.
10．已知直线，圆，则圆C关于直线l对称的圆的方程为__________.
11．已知圆C的圆心在直线上，点与都在圆C上，则圆C的面积为________.
12．已知直线与的交点在圆上，且经过圆心C，则圆心C到的距离为______.
三、解答题
13．已知不过原点的直线l在两坐标轴上的截距相等，且过点.
（1）求直线l的方程；
（2）若圆C经过原点和点，且圆心在直线l上，求圆C的标准方程.
14．已知圆E经过点，，且圆E与y轴相切.
（1）求圆E的一般方程；
（2）设P是圆E上的动点，求线段的中点M的轨迹方程.
15．已知圆C的圆心在x轴上，并且过，两点.
（1）求圆C的方程；
（2）若P为圆C上任意一点，点，点Q满足，求点Q的轨迹.
16．（1）已知的三个顶点，，，求外接圆的方程.
（2）已知圆C的圆心在直线上，且过点，，求圆C的方程.
参考答案
1．答案：A
解析：设圆C的圆心坐标为，半径为r，则圆C的方程为，
由点和点在圆C上，
可得①，②，
由①②可得，，
故圆C的标准方程为.
故选：A.
2．答案：B
解析：因为圆心为，且与x轴相切，所以此圆的半径为5，
所以圆的方程为，
故选：B.
3．答案：A
解析：由，得，，
由，得，，
由题意知，当、P、三点共线时，取到最小值，如图，
又，
所以.
故选：A.
4．答案：C
解析：方法一：由圆的一般方程可知，，，，所以半径.
方法二：由圆C的一般方程整理得，所以圆C的半径为.
5．答案：D
解析：由题意，曲线C的方程可化为.因此曲线C是圆心为，半径为2的圆.因为曲线C上所有的点均在第二象限内，所以解得，所以实数a的取值范围是.
6．答案：A
解析：圆的圆心为，若直线平分圆的面积，则直线过圆心，可得，即，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8.
7．答案：A
解析：方法一：由，知点P在圆外.
方法二：圆可化为，圆心为，半径为.因为，所以点P在圆外.
8．答案：D
解析：变形为，则圆C的圆心为，半径，如图，MQ的最大值为.
9．答案：
解析：因为圆即，所以圆心为，
又直线的斜率为，
所以所求直线的斜率为2，
所求直线的方程为，即.
故答案为：.
10．答案：
解析：设圆心关于直线l对称圆心为，由直线l为线段中垂线，
可得，解得，，
得对称圆心为，圆的半径为1，
所以圆C关于直线l对称的圆的方程为.
故答案为：.
11．答案：
解析：设圆的方程为，
所以，解得：，，，
所以圆的面积.
故答案为：.
12．答案：
解析：由得：，；
由圆的方程可知：圆心，；
由得：或，则圆心或，
当圆心为时，所求距离；
当圆心为时，所求距离；
综上所述：圆心C到的距离为.
故答案为：.
13．答案：（1）
（2）
解析：（1）设直线，
将点代入可得，
所以直线l的方程为.
（2）设原点为O，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为2，
线段的中点坐标为，线段的垂直平分线方程为，即.
联立，解得所以圆C的圆心坐标为.
圆C的半径.
故圆C的标准方程为.
14．答案：（1）
（2）
解析：（1）设圆的方程为，
因为圆E过点，，又跟y轴相切，
圆E必在y轴右侧，且跟y轴的切点为，
圆心的纵坐标为0.
，解得，
圆E的方程为，化简得.
（2）设.因为M为线段的中点，所以，
因为点P是圆E上的动点，所以，即，
所以M的轨迹方程为.
15．答案：（1）
（2）点Q的轨迹是以为圆心，为半径的圆
解析：（1）由题意可知，AB的中点为，，所以AB的垂直平分线方程为，它与x轴的交点为圆心，又半径，所以圆C的方程为.
（2）设，，由，得，所以又点P在圆C上，故，所以，化简得点Q的轨迹方程为，故点Q的轨迹是以为圆心，为半径的圆.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）设外接圆的方程为，
则解得
所以外接圆的方程为.
（2）方法一：设圆C的标准方程为，则解得所以圆C的标准方程为.
方法二：设圆C的一般方程为，
则圆心为，得
所以圆C的方程为.
方法三：线段AB的中点为，其垂直平分线的斜率为，所以圆心C也在直线，即上，
又圆心C在直线上，所以，所以圆的半径为，
所以圆C的方程为.
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2.2 直线与圆的位置关系——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．已知圆，直线与圆C相交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A. B. C. D.
2．过坐标原点O作直线的垂线，若垂足在圆上，则r的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数b的值为( )
A. B. C. D.
4．已知直线和圆相切，那么a的值是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
5．点在圆的外部，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
6．直线与圆的公共点个数为( ).
A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个
7．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A、B是的边上的两个定点，C是边上的一个动点，当C在何处时，最大 问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点C时，最大.人们称这一命题为米勒定理.已知点P，Q的坐标分别是，，R是y轴正半轴上的一动点，当最大时，点R的纵坐标为( )
A. B.2 C. D.4
8．已知圆C经过，两点，且圆心在直线上，若圆C上的点到直线的最大距离为，则( )
A.-4或-1 B.4或-1C.-C.-4或1 D.4或1
二、多项选择题
9．已知圆，一条光线从点射出经x轴反射，下列结论正确的是( )
A.圆C关于x轴对称的圆的方程为
B.若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线的方程为
C.若反射光线与圆C相切于A，与x轴相交于点B，则
D.若反射光线与圆C交于M，N两点，则面积的最大值为
10．已知圆，直线.则以下几个命题正确的有( )
A.直线l恒过定点 B.直线l与圆C相切
C.直线l与圆C恒相交 D.直线l与圆C相离
11．设有一组圆，则下列命题中正确的是( )
A.存在k，使得圆与x轴相切 B.存在一条直线与所有的圆均相交
C.存在一条直线与所有的圆均不相交 D.所有的圆均不经过原点
三、填空题
12．点P在圆上运动，点Q在直线上运动，若的最小值是1，则______.
13．已知圆，，P，Q是圆O上的动点，且，若在直线上存在点M，使得M是的中点，则实数k的取值范围是_________.
14．已知圆，若直线l与圆C交于A，B两点，则的面积最大值为___________.
15．实数x，y满足，那么的最大值为___________.
四、解答题
16．已知圆C经过点，和.
（1）求圆C的方程；
（2）过点的直线l被圆C截得的弦长为8，求直线l的方程.
17．已知圆C经过原点且与直线相切，圆心C在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线l经过点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.
18．已知圆，直线l过原点.
（1）若直线l与圆M相切，求直线l的方程；
（2）若直线l与圆M交于P，Q两点，当的面积最大时，求直线l的方程.
19．已知圆M与直线相切，圆心M在直线上，且直线被圆M截得的弦长为.
（1）求圆M的方程.
（2）若在x轴上的截距为且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：对圆，其圆心C坐标为，半径；
点C到直线的距离，
故.
故选：D.
2．答案：C
解析：因为垂足在圆上，即直线l与该圆相切，
所以.
故选：C.
3．答案：D
解析：圆的圆心坐标为，半径为2，
因为圆上恰有三个点到直线的距离为1，
所以圆心到直线的距离为1，所以有，
故选：D.
4．答案：C
解析：由题可知圆心坐标为，半径为2，列式可得，
得，（舍去）.
故选：C.
5．答案：D
解析：由于方程表示圆，所以，，
由于点在圆的外部，
所以，.
综上所述，a的取值范围是.
故选：D.
6．答案：D
解析：为，
故l过定点，在圆上，
故直线l与圆相切或相交，公共点个数为1个或2个，
故选：D.
7．答案：C
解析：因为P，Q分别是、，R是y轴正半轴上的一动点，
根据米勒定理知，当的外接圆与y轴相切时，最大，
由垂径定理知，弦的垂直平分线必过的外接圆圆心，
所以弦中点G的坐标为，
故弦中点的横坐标即为的外接圆半径的大小，即，
由垂径定理得圆心为，
所以的外接圆的方程为，
令，得R的纵坐标为.
故选：C.
8．答案：C
解析：圆心在直线上，设圆C的圆心坐标为，由题意得：，解得，
所以圆心为，半径，
所以圆C的方程为.
因为圆C上的点到直线的最大距离为，所以圆心到直线的距离为，即，解得或.
故选：C.
9．答案：ABD
解析：对于A，由圆C的方程知圆心，半径，
圆C关于x轴对称的圆的圆心为，半径为1，
所求圆的方程为，即，A正确；
对于B，反射光线平分圆C的周长，反射光线经过圆心，
入射光线所在直线经过点，，
入射光线所在直线的方程为，即，B正确；
对于C，易知反射光线经过点关于x轴的对称点，
，
，则，
对于D，设，
则圆心到反射光线的距离，C错误；
，
，
则当时，，D正确.
故选ABD.
10．答案：AC
解析：将直线l的方程整理为，
由解得：
则无论m为何值，直线l过定点，
因为，所以点在圆内，
故直线l与圆C恒相交，故AC正确.
故选：AC.
11．答案：ABD
解析：当时，圆心，半径，满足与x轴相切，故A正确；因为圆心恒在直线上，所以该线与圆一定相交，故B正确；若k取无穷大的正数，半径也无穷大，则可认为所有直线都与圆相交，故C错误；若在圆上，则.若k是奇数，则左式是偶数，右式是奇数，方程无解；若k是偶数，则左式是奇数，右式是偶数，方程无解，故所有的圆均不经过原点，故D正确.故选ABD.
12．答案：10或-10
解析：由题，设圆心为O，要使最短，则O，P，Q三点共线且OQ与直线垂直.则，其中为圆半径为1，为圆心到直线距离.
则，解得或.
故答案为:10或-10.
13．答案：
解析：连结，，因为M是的中点，所以，
又，所以，即.
设，则，
即，
即M在圆上.
又M在直线上，所以l与圆C有公共点，
即，解得或.
故答案为：.
14．答案：8
解析：圆的圆心为，半径为4，
设线段的中点为M，
由垂径定理得：，
由基本不等式可得：，
所以，当且仅当时，等号成立，
则，
故答案为：8.
15．答案：1
解析：得，
所以点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆的上半部分，
表示点与点连线的斜率，
过A作半圆的切线，切点为B，如下图所示，则，
由于，，，
所以三角形是等腰直角三角形，所以直线的斜率为1，
也即的最大值为1.
故答案为：1.
16．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设圆C的方程为.
因为A，B，D三点都在圆C上，所以它们的坐标都是圆C方程的解，
故，
得，，，
圆C的方程为.
（2）圆C的方程为，圆心为，半径为5，
当直线l的斜率不存在时，l的方程为，圆心到直线l的距离等于3，
故圆C截得的弦长为8，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设l的方程为，即，
设圆心到直线l的距离等于d，则，解得：，
则有，解得：，
l的方程为或.
17．答案：（1）
（2）或
解析：（1）因为圆心C在直线上，可设圆心为，
则点C到直线的距离，
.
据题意，，则，
解得，
所以圆心为，半径，
则所求圆的方程是.
（2）当弦长为2，则圆心到直线的距离为.
当k不存在时，直线符合题意；
当k存在时，设直线方程为，
圆心到直线的距离，，
直线方程为.
综上所述，直线方程为或.
18．答案：（1）或
（2）或
解析：（1）①当直线l的斜率不存在时，直线l为，显然符合直线与圆相切，
②当斜率存在时，设直线为，圆M的圆心坐标，
圆心到直线的距离，
由题意得：直线l与圆M相切，则，解得：，
所以直线l的方程为：，
综上所述，直线l的方程为：或.
（2）直线l的斜率不存在时，直线l为与圆相切，不符合题意，故直线l斜率必存在，
设直线l的方程为：，
圆心到直线的距离，弦长，
所以，
当时，面积S最大，
这时，整理得，解得，或，
所以直线l的方程：或.
19．答案：（1）
（2）存在
解析：（1）设圆M的圆心为，半径为r，因为圆M与直线相切，所以.
又直线被圆M截得的弦长为，
所以，解得
即圆心坐标为，
所以圆M的方程为.
（2）存在.
设，，，
由得.
由根与系数的关系，得，.
假设存在满足条件，则，
.
由，得，
即，
即，
即，
即，
即，又，所以.
所以存在满足条件.
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2.3 圆与圆的位置关系——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．若圆与圆外切，则实数( )
A.2 B.3 C. D.
2．圆：和圆：的公共弦AB的垂直平分线的方程为( )
A. B. C. D.
3．圆与圆公共弦所在直线方程为( )
A. B.
C. D.
4．已知圆：与圆：，则两圆的位置关系( )
A.相交 B.相离 C.外切 D.内切
5．圆与圆的位置关系为( )
A.相交 B.内切 C.外切 D.相离
6．圆与圆的位置关系是( )
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
7．若圆与圆相外切，则实数( )
A. B.3 C. D.1
8．圆和圆的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
二、多项选择题
9．在平面上有相异两点A，B，设点P在同一平面上，且满足(其中，且)，则点P的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.设，，a为正实数，则下列说法正确的是( )
A.当时，此阿波罗尼斯圆的半径
B.当时，以AB为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切
C.当时，点B在阿波罗尼斯圆圆心的左侧
D.当时，点A在阿波罗尼斯圆外，点B在阿波罗尼斯圆内
10．已知圆，圆，直线，点M，N分别在圆，上，则下列结论正确的有( )
A.圆，没有公共点
B.MN的取值范围是
C.过N作圆的切线，则切线长的最大值是
D.直线l与圆，都有公共点时，
11．以下四个命题表述正确的( )
A.圆上有4个点到直线的距离都等于1
B.已知，，三点，动点P不在x轴上，且满足，则直线PM的斜率取值范围是
C.圆与圆恰有一条公切线，则
D.圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A，B为切点，则直线AB经过定点
12．下列说法正确的有( )
A.若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B.直线过定点
C.曲线与恰有四条公切线，则实数m的取值范围为
D.斜率为-2，在y轴截距为3的直线方程为
三、填空题
13．以圆与圆相交的公共弦为直径的圆的标准方程为__________.
14．已知圆与圆，则圆与圆的公切线方程是__________.
15．已知圆与圆恰有两条公切线，则实数m的取值范围为___________.
16．圆心在直线上，且过两圆和的交点的圆的方程是_______________.
四、解答题
17．在①，，，②，，，③，，，这三个条件中任选一个，补充在下面试题的空格处并作答
已知在平面直角坐标系xOy中，圆上动点P满足条件；当存在这样的点P时，求a的取值范围
18．已知圆：.关于直线对称，记点，过点P.的直线与圆M相切于点A，B.
（1）求的最小值；
（2）当取最小值时，求切点A，B.所在的直线方程.
19．已知圆，圆.
（1）若圆与圆外切，求实数a的值；
（2）设时，圆与圆相交于A，B两点，求.
20．平面直角坐标系xOy中，直线，设圆经过，，圆心在l上.
（1）求圆的标准方程；
（2）设圆上存在点P，满足过点P向圆作两条切线PA，PB，切点为A，B，四边形的面积为10，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由已知得圆心为，半径，圆心，半径，
由两圆外切可知，
即，
解得，
故选：B.
2．答案：D
解析：变形为，圆心为，
变形为，圆心为，
公共弦AB的垂直平分线即为直线，
即，整理得.
故选：D.
3．答案：B
解析：由与两式相减
得：，即.
故选：B.
4．答案：C
解析：圆：的圆心为，半径；
圆：的圆心为，半径，
圆心距，
所以两圆相外切.
故选：C.
5．答案：A
解析：由与圆，
可得圆心，，半径，，
则，且，，
所以，所以两圆相交.
故选：A.
6．答案：D
解析：圆的圆心坐标是，半径是1；
圆的圆心坐标是，半径是6，
所以圆心距为，故两个圆内切.
故选：D.
7．答案：C
解析：的圆心，半径为2，
的圆心，半径为1，
因为两圆外切，
所以，
即，解得，
故选：C.
8．答案：C
解析：圆的圆心为，半径；
圆化为标准方程为，故其圆心为，半径为，
圆心距，所以两圆的位置关系是外切.
故选：C.
9．答案：AD
解析：设，则，，
因为，所以，
所以.
当时，此阿波罗尼斯圆的半径，故A中说法正确；
当时，以AB为直径的圆的方程为，
阿波罗尼斯圆的方程为，两圆圆心距为，两半径之和为，两半径之差的绝对值为，，故两圆相交，故B中说法错误；
当时，阿波罗尼斯圆圆心的横坐标为，所以点B在阿波罗尼斯圆圆心的右侧，故C中说法错误；
当时，点A与阿波罗尼斯圆圆心的距离为，故点A在阿波罗尼斯圆外，点B与阿波罗尼斯圆圆心的距离为，故点B在阿波罗尼斯圆内，故D中说法正确.故选AD.
10．答案：AC
解析：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径.
对于A，圆心距，所以圆与圆外离，没有公共点，A中结论正确；
对于B，的最小值为，最大值为，故MN的取值范围是，B中结论错误；
对于C，连接，与圆交于点N(外侧交点)，过N作圆的切线，切点为P，此时NP最长，在中，，C中结论正确；
对于D，直线l的方程化为，圆心到直线l的距离为，解得，圆心到直线l的距离为，解得，所以直线l与圆，都有公共点时，，D中结论错误.故选AC.
11．答案：BD
解析：A.圆心到直线的距离，
而圆的半径等于2，所以圆上只有3个点到直线距离等于1，所以A错误;
B.设点，由得，
化简得，
设过点且与相切直线方程为，
即，则有，解得，
因为点P在圆（）上，
所以PM的斜率取值范围是，所以B正确；
C.由题可知
解得，所以C错误；
D.因为点P为直线上，所以设，
圆的圆心为，
所以PC中点坐标为，，
所以以PC为直径的圆Q方程为，
即，
圆Q与圆C的公共弦直线方程为，
即，
令，则，解得，
所以直线过定点，
所以D正确.
故选：BD.
12．答案：AB
解析：因为直线经过第一、二、四象限，所以且，则在第二象限，故选项A正确；
直线可变形为，所以直线必过定点，故选项B正确；
根据两圆有四条公切线，所以两圆相离，曲线化为标准式得，，曲线化为标准式得，，所以圆心距为5，即，解得，故选项C错误；
斜率为-2，且在y轴上的截距为3的直线方程为，故选项D错误.
故选：AB.
13．答案：
解析：两圆方程相减可得公共弦方程为，即.又因为圆的圆心坐标为，半径为.圆的圆心坐标为，半径为1，所以的方程为.由可得以公共弦为直径的圆的圆心坐标为，所以该圆与圆重合，所以该圆的方程为.
14．答案：
解析：圆，即，圆心为，半径，圆，即，圆心为，半径，圆心距，所以两圆内切，由解得所以两圆切点的坐标为，又，所以公切线的斜率为-2，所以公切线的方程为，即.
15．答案：
解析：由，即，可知圆的圆心为，半径为5.
因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交，
则，
又，
所以，
即m的取值范围是.
16．答案：
解析：设所求圆的方程为，即，则，此圆的圆心.因为圆心在直线上，所以，解得，所以所求圆的方程为.
17．答案：
解析：设
若选①：由得：
，
化简得：，圆心为，半径为2；
圆的圆心为，半径为；
因为点P存在，所以，
即：，
解得：，
所以实数a的取值范围是.
若选②：由得：，化简得：，
圆心为，半径为2；下同①
若选③：由得：，化简得：
，圆心为，半径为2；下同①.
18．答案：（1）4
（2）
解析：（1）因为圆关于直线对称，
所以直线过圆心，所以，即，
故点P的轨迹方程为，
因为的最小值即为到直线的距离，
由于，即，
所以，即.
（2）由（1）知，当取最小值时，直线MP垂直直线，
可得直线MP的方程为，即，
联立，解得，
因为，，所以M，A，P，B四点共圆，
故以MP为直径的圆的方程为，
又已知圆，
两圆方程相减得AB的方程为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）圆，即为，所以，，
圆，所以，，
因为两圆外切，所以，得，
化简得，所以.
（2）时，圆，即，
将圆与圆的方程联立，得到方程组
两式相减得公共弦AB的方程为：，
得点到直线AB的距离.
所以.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）设圆的标准方程为，
因为圆经过，，圆心在l上，
所以有，即圆的标准方程；
（2）四边形的面积10，而四边形是由两个全等的直角三角形组成，
的面积为5，即，又，，
，动点P的轨迹为以为圆心，以5为半径的圆，
即点P在圆
又点P在圆上，
圆E与圆有公共点.
，即，
解得.
实数m的取值范围为
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