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3.1 椭圆——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．已知椭圆上有一点P，、分别为其左、右焦点，，的面积为S，以下4个结论：
①若，则满足题意的点P有4个；
②若，则；
③的最大值为；
④若是钝角三角形，则S的取值范围是.
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2．已知椭圆的左焦点为F，P是C上一点，M是圆上一点，则的最大值为( )
A.7 B.9 C.11 D.13
3．已知F是椭圆的右焦点，P为椭圆C上一点，为椭圆外一点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
4．已知，是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，过点作x轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点为P点（如图所示），若的面积为，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
6．下列选项中椭圆的形状更扁的是( )
A. B. C. D.
7．关于椭圆C：，有下面四个命题：甲：长轴长为4；乙：短轴长为2；丙：离心率为；丁：右准线的方程为；如果只有一个假命题，则该命题是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
8．若椭圆经过点，且焦点分别为和，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．一般地，若，（，且），则称A，B，P，Q四点构成调和点列.已知椭圆C：，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点.动点E满足M，N，D，E四点构成调和点列，则下列结论正确的是( )
A.M，N，D，E四点共线 B.
C.动点E的轨迹方程为 D.既有最小值又有最大值
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是( )
A.离心率的取值范围为
B.当离心率为时，的最大值为
C.存在点Q使得
D.的最小值为1
11．设椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是( )
A.当点P不在x轴上时，的周长是6
B.当点P不在x轴上时，面积的最大值为
C.存在点P，使
D.
12．已知P是椭圆上一点，，是椭圆E的左、右焦点，且的面积为3，则下列结论正确的是( )
A.点P的纵坐标为3 B.
C.的周长为 D.的内切圆半径为
三、填空题
13．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动.当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动.记点N的运动轨迹为，点M的运动轨迹为.若，，过上的点P向作切线，则切线长的最大值为______.
14．如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为_______.
15．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定的点的轨迹是圆.人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，，动点M满足，记动点M的轨迹为曲线W，给出下列四个结论：
①曲线W的方程为
②曲线W上存在点D，使得D到点距离为6；
③曲线W上存在点E，使得E到直线的距离为；
④曲线W上存在点F，使得F到点B与点距离之和为8.
其中所有正确结论的序号是___________.
16．已知椭圆的左 右焦点分别为，，点P在椭圆上且在x轴的下方，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率为___________.
四、解答题
17．（1）已知点在圆：外，求实数m的取值范围.
（2）已知椭圆的离心率为，求实数n的取值.
18．已知地球运行的轨道是长半轴长km，焦距与长轴长的比为0.02的椭圆，太阳在这个椭圆的一个焦点上.求地球到太阳的最远距离和最近距离.（注：把地球、太阳看成质点）
19．已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得，求椭圆离心率的取值范围.
20．已知直线l：与椭圆C：仅有一个公共点，求实数m的值.
参考答案
1．答案：C
解析：在椭圆中，，，则，则、，
设点，，
设，，则，且，
，
，
因为，则，且，
.
对于①，，则，所以，，可得，
所以，满足条件的点P的坐标为、、、，共4个点，①对；
对于②，若，则，②对；
对于③，的最大值为，③对；
对于④，若为钝角，则，，
此时且，则，
由可得，则，
由对称性可知，当为钝角时，，
综上所述，当是钝角三角形，则S的取值范围是，④错.
故选：C.
2．答案：C
解析：因为椭圆C的方程为，所以椭圆的长半轴长，短半轴长，圆的圆心的坐标为，半径为1，由圆的几何性质可得，当且仅当M为的延长线与圆的交点时等号成立，所以，由椭圆的定义可得.
所以，
故选：C.
3．答案：D
解析：点F为椭圆的右焦点，
，
点P为椭圆C上任意一点，点A的坐标为，点A在椭圆外，
设椭圆C的左焦点为，
，
，
，当点P在的延长线上时取等号，
，
则的最大值为.
故选：D.
4．答案：C
解析：，，点M在以为直径的圆上.
又点M在椭圆的内部，，，即，，即.又椭圆的离心率，
.
5．答案：A
解析：由题意可得，即，
即有，
令，则，
可得，
则，即，
解得，，
椭圆的方程为.
故选：A.
6．答案：C
解析：椭圆的离心率为；
椭圆的离心率为；
椭圆，即的离心率为；
椭圆，即的离心率为；
又，所以椭圆形状更扁.
故选：C.
7．答案：B
解析：依题意，甲：；乙：；丙：；丁：；，甲丙丁真命题，故乙为假命题.
故选：B.
8．答案：C
解析：由于椭圆经过点，且焦点分别为和，
所以椭圆的焦点在x轴上，且，，，
所以椭圆的离心率为.
故选：C.
9．答案：ABC
解析：对于A，因为M，N，D，E四点构成调和点列，
则有，因为有公共点D，所以M，N，D三点共线，
且有，因为有公共点E，所以M，N，E三点共线，
即可得到M，N，D，E四点共线，A正确；
对于B，因为，所以，
即，
所以，B正确；
对于C，设，，，
由，得，
两式相乘得：，
同理可得：，
则，
又点，在椭圆上，
，，
，即，即，C正确.
对于D，到直线的距离，
即为的最小值，无最大值，D错误.
故选：ABC.
10．答案：BD
解析：由题意可得，所以，由点在椭圆内部可得，可得，即，所以.对于A，，故A错误；对于B，当时，，，，故B正确；对于C，由A知，若，当Q在短轴端点时，最大，此时，则，由，可得的最大值小于，所以不存在点Q使得，即C错误；对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确.故选BD.
11．答案：ABD
解析：由椭圆方程可知，，从而.
对于A，根据椭圆定义知，，又，所以的周长是，正确；
对于B，设点，因为，则，因为，
所以面积的最大值为，正确；
对于C，由椭圆性质可知，当点P为椭圆C短轴的一个端点时，最大，此时，又，所以为正三角形，，故不存在点P，使，错误；
对于D，当点P为椭圆C的右顶点时，取得最大值，此时，当点P为椭圆C的左顶点时，取得最小值，此时，所以，正确.故选ABD.
12．答案：CD
解析：由已知得，，.由，得，故A错误.不妨设，，
，，.
，
，
，
，
，故B错误.
的周长为，故C正确.
设的内切圆半径为r，则，，故D正确.故选CD.
13．答案：
解析：以滑槽AB所在的直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示.
因为，所以点N的运动轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，
其方程为.
设点，，，
依题意，，且，
所以，且，
即，且.
由于t不恒等于0，于是，故，，
代入，可得，
故曲线的方程为.设上的点，
则，
则切线长为，故切线长的最大值为.
故答案为：.
14．答案：
解析：如图，连接.
设（），则.
因为，，所以，.
在中，，所以，即，整理得，所以，所以直线的斜率为.
故答案为：-2.
15．答案：①③④
解析：设，因为M满足，
所以，整理可得：，
即，所以①正确；
对于②，由①可知，点在圆的外部，
因为到圆心的距离，半径为2，
所以圆上的点D到的距离的范围为，
而，所以②不正确；
对于③，圆心到直线的距离为，
所以圆上的点E到直线的距离的范围为，
又，
即，故③正确；
对于④，假设存在这样的点F，使得F到点B与点的距离之和为8，
则F在以点B与点为焦点，实轴长为8的椭圆上，
即F在椭圆上，
易知椭圆与曲线W：有交点，故曲线W上存在点F，使得F到点B与点的距离之和为8；所以④正确.
故答案为：①③④.
16．答案：
解析：如图，
设线段的中点为M，连接，连接，则，
因为椭圆的方程为，所以，，，
即，，，因为，
所以，
所以是等边三角形，则，所以直线的斜率为，
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）或
解析：（1）若方程表示圆，则，解得，
根据点在圆外，可得，则，
所以.
（2）由椭圆方程，得，
①若焦点在x轴上，则，即，，
，
，即.
②若焦点在y轴上，则，即，，
，
得到，即.
故或.
18．答案：地球到太阳的最远距离和最近距离分别为km，km
解析：由题设，长轴长为km，又，则km，
所以地球到太阳的最远距离为km，地球到太阳的最近距离为km.
19．答案：
解析：方法1：由结论1知：当点为椭圆短轴的端点时，最大，
因此要最大角，即，即，也就是，
解不等式，得，故椭圆的离心率.
方法2：此时离心率，故椭圆的离心率.
20．答案：
解析：由，可得，
又直线l：与椭圆C：仅有一个公共点，
，整理可得，
，即实数m的值为.
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3.1.2 椭圆的几何性质——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．已知椭圆，则它的短轴长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
2．已知椭圆的方程为，则其焦距为( )
A. B.6 C. D.
3．椭圆的短轴长为( )
A.8 B.2 C.4 D.
4．已知椭圆的两个焦点分别为，，P是椭圆上一点，，且离心率为，则椭圆C的标准方程为( )
A. B. C. D.
5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
6．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为( )
A. B.
C. D.
7．已知椭圆，则下列结论正确的是( )
A.长轴长为2 B.焦距为
C.短轴长为 D.离心率为
8．已知椭圆的离心率为，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知椭圆的左、右焦点分别为F，E，直线与椭圆相交于A，B两点，则下列结论中正确的是( )
A.椭圆C的离心率为 B.存在m，使得为直角三角形
C.存在m，使得的周长最大 D.当时，四边形FBEA的面积最大
三、填空题
10．椭圆的焦点坐标是______.
11．若椭圆的长轴是短轴的2倍，且经过点，则椭圆的离心率为________.
12．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则椭圆C的方程为_______.
13．椭圆的长轴长为______.
四、解答题
14．已知椭圆过点，且离心率.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P是椭圆C上一点，是椭圆的两个焦点，且，求的面积S.
15．已知椭圆的离心率为，焦距为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点是直线l被椭圆E所截得的线段的中点，求直线l的方程.
16．已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）讨论直线l与椭圆C的公共点个数.
17．设椭圆的左焦点坐标为，且其离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若在y轴上的截距为2的直线l与椭圆C分别交于A，B两点，O为坐标原点，且直线OA，OB的斜率之和等于12，求的面积.
参考答案
1．答案：B
解析：由椭圆的标准方程可知：，所以该椭圆的短轴长为，
故选：B.
2．答案：C
解析：因为椭圆的方程为，所以、，所以，所以，则焦距为.
故选：C.
3．答案：C
解析：由，可得，
所以短轴长为.
故选：C.
4．答案：B
解析：根据椭圆定义可得，
所以，
由离心率，所以，
由，
所以椭圆C的标准方程为.
故选：B.
5．答案：D
解析：点椭圆C上的点，
，
，且，
，，
在中，，
即，整理得：，
即，.
故选：D.
6．答案：B
解析：依题意，解得，，.
由于椭圆焦点在x轴上，
所以椭圆C的标准方程为.
故选：B.
7．答案：D
解析：依题意椭圆，
所以，，，
所以长轴长为，焦距为，短轴长为，ABC选项错误.
离心率为，D选项正确.
故选：D.
8．答案：D
解析：因为，则，所以.
故选：D.
9．答案：BD
解析：对于A，，，，则椭圆C的离心率为，故A错误；对于B，设点，，则.若，则，则，解得（舍去）或，故存在m，使为直角三角形，故B正确；对于C，的周长，当时，周长取得最大值8，而，则不存在m，使的周长最大，故C错误；对于D，当时，四边形FBEA的面积最大，显然正确，故D正确.故选BD.
10．答案：，
解析：当时，焦点坐标在x轴上，则，，
所以，故焦点坐标为；
当时，焦点坐标在y轴上，则，，
所以，故焦点坐标为，
故答案为：，.
11．答案：
解析：因为椭圆经过点，当焦点在x轴时，可知，，
所以，所以，
当焦点在y轴时，同理可得.
故答案为：.
12．答案：
解析：椭圆C的焦点在x轴上，则，，则，，
此时，椭圆C的方程为.
故答案为：.
13．答案：4
解析：椭圆方程化为：，令椭圆长半轴长为a，则，解得，
所以椭圆的长轴长为4.
故答案为：4.
14．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）由题意椭圆的离心率，
椭圆C的方程为，
又点在椭圆上，，解得，
椭圆C的方程为；
（2）由椭圆定义知，①
由余弦定理知，
即②，
联立①②得，
.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知，，
，，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）解：设直线l与椭圆E交于，两点，
则且，
两式相减并化简得.
又，，
所以，即，
所以直线l的方程为.
16．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）由题意椭圆的短轴长为，离心率为，
可知，，，解得，，
所求椭圆的方程为；
（2）由可得，
，
当即时，直线l与椭圆C相切，只有一个公共点；
当即时，直线l与椭圆C相交，有两个公共点；
当即或时，直线l与椭圆C相离，无公共点；
综上所述，当时，直线l与椭圆C只有一个公共点；
当时，直线l与椭圆C有两个公共点；
当或时，直线l与椭圆C无公共点.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为椭圆的左焦点坐标为，且其离心率为，
所以，解得，，
所以，，
故所求椭圆方程为；
（2）若直线AB垂直于x轴，则OA、OB的斜率都不存在，不合题意，
所以直线AB斜率存在，设，、，
联立，化简可得，
由，解得或，
所以，，
所以
，
解得，
所以直线AB的方程为，
此时，，
所以，
点到直线AB的距离为，
所以的面积为.
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3.2 双曲线——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．双曲线的焦点坐标为( )
A.， B.，
C.， D.，
2．若点在双曲线C：（，）的一条渐近线上，则( )
A.2 B. C. D.
3．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为( )
A. B. C. D.
4．双曲线的离心率是( )
A. B. C.2 D.
5．已知双曲线C：的一条渐近线过点，则它的离心率为( )
A. B.2 C. D.3
6．已知双曲线C：的实轴长为4，虚轴长为8，则C的渐近线方程为( )
A. B.
C. D.
7．若双曲线C两条渐近线方程是，则双曲线C的离心率是( )
A. B. C.2 D.
8．双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知双曲线，则下列说法正确的是( )
A.离心率为 B.虚轴长为
C.焦点坐标为 D.渐近线方程为
10．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则( )
A.
B.双曲线的离心率
C.双曲线的渐近线方程为
D.原点O在以为圆心，为半径的圆上
11．双曲线上一点，，分别为双曲线的左，右焦点，若，则( )
A.2 B.4 C.18 D.16
12．已知曲线，则下列说法正确的是( )
A.若曲线C为椭圆，则且
B.若，以为中点的弦AB所在直线的方程为
C.当时，，为曲线C的焦点，P为曲线C上一点，且，则
D.若，直线l过曲线C的焦点F且与曲线相交于A，B两点，则
三、填空题
13．写出与直线没有公共点的一个双曲线的标准方程：_____.
14．双曲线的实轴长为__________.
15．双曲线的右焦点F到其中一条渐近线的距离为________.
16．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为__________.
四、解答题
17．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，离心率为，两顶点间的距离为6；
（2）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点.
18．已知双曲线的渐近线方程是，焦点是，，求双曲线的标准方程.
19．求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的顶点为焦点的双曲线方程.
20．已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的离心率为，点P在双曲线C上，点，分别为双曲线C的左右焦点，.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知点，，设直线PA，PB的斜率分别为，.证明：为定值.
参考答案
1．答案：D
解析：方程可化为，所以双曲线的焦点在y轴上，且，，所以，
所以双曲线的焦点坐标为，.
故选：D.
2．答案：C
解析：依题意得点在直线上，
所以.
故选：C.
3．答案：A
解析：因为双曲线的渐近线方程为，而，所以，
故两条渐近线中一条的倾斜角为，一条的倾斜角为，它们所成的锐角为.
故选：A.
4．答案：A
解析：双曲线的实半轴长，半焦距，
则双曲线的离心率，
故选：A.
5．答案：C
解析：双曲线的一条渐近线为，
将代入得，
所以双曲线的离心率.
故选：C.
6．答案：B
解析：由双曲线的实轴长为4，虚轴长为8，
可知，，解得，，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：B.
7．答案：A
解析：由渐近线方程可知，则.
故选：A.
8．答案：C
解析：由题意，的渐近线方程为.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：由双曲线的方程得，，则.
离心率，A正确；虚轴长为，B错误；焦点坐标为，C正确；渐近线方程为，D正确.故选ACD.
10．答案：ABC
解析：设，则.
由双曲线的定义知，即，，即，，，故A中说法正确；
在中，，
则在中，，化简并整理，得，离心率，故B中说法正确；
双曲线的渐近线方程为，故C中说法正确；
若原点O在以为圆心，为半径的圆上，则，即，与不符，故D中说法错误.
故选ABC.
11．答案：AC
解析：由双曲线的方程知，即，由双曲线的定义可得，所以，即，当时，，当时，，所以的长为2或18.故选AC.
12．答案：AC
解析：易知A中说法正确；
对于B，当时，方程为，与联立，消x可得，则，可得直线AB与双曲线无交点，故B中说法错误；
对于C，当时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，，，，
又，故可得，
又，
所以，故，故C中说法正确；
对于D，当时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则，，，
当直线l的斜率为0时，设，，，故，故D中说法错误.故选AC.
13．答案：或（答案不唯一）
解析：当双曲线的过一三象限渐近线的斜率小于等于2时，
双曲线与直线没有公共点，
若双曲线焦点在x轴上，即，则有，即，
故可取，，即双曲线方程为，
若双曲线焦点在y轴上，即，则有，即，
故可取，，即双曲线方程为，
故答案为:或（答案不唯一）.
14．答案：
解析：双曲线的标准方程为，则，因此，该双曲线的实轴长为.
故答案为：.
15．答案：
解析：由题意可知：，，
所以右焦点F的坐标为，
该双曲线的一条渐近线的方程为：，
所以F到一条渐近线的距离为：，
故答案为：.
16．答案：
解析：因为C的一条渐近线方程为，所以，
所以C的离心率.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）设双曲线的方程为.
由，，得，，，
所以双曲线的方程为.
（2）由题意可知，双曲线的焦点在y轴上.
设双曲线的方程为，则，，，
所以双曲线的方程为.
18．答案：
解析：焦点在x轴上，设双曲线方程为：，
由渐近线方程可知：，
又因为，故由可知，，
所以双曲线的标准方程为：.
19．答案：
解析：椭圆
，，，
且椭圆焦点在y轴上
双曲线的焦距是，实轴长为，虚轴长为8，
即，，，
焦点在y轴上，
双曲线方程为：.
20．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题知：，
由双曲线的定义知：，，
又因为，所以，所以，
所以，双曲线C的标准方程为.
（2）设，则，
因为，，所以，，
所以.
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3.2.2 双曲线的几何性质——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是( )
A. B.2 C. D.1
2．已知双曲线的虚轴长为4，则实数m的值为( ).
A.4 B. C. D.
3．双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
4．双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5．设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6．若双曲线的一条渐近线与直线相互.垂直，则C的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为( )
A. B.6 C. D.8
7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，P、Q是双曲线上关于原点对称的两点，，四边形的面积为2，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
8．设双曲线的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，且的面积为，则C的方程为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知曲线，则( )
A.当时，则C的焦点是，
B.当时，则C的渐近线方程为
C.当C表示双曲线时，则m的取值范围为或
D.不存在实数m，使C表示圆
10．已知双曲线，则下列说法中正确的有( )
A.双曲线C的离心率等于半焦距的长
B.双曲线与双曲线C有相同的渐近线
C.直线被圆截得的弦长为
D.直线与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2
三、填空题
11．双曲线C：的右准线l：，l与C的渐近线的一个交点为，则C的方程为______.
12．双曲线的虚半轴长为______.
13．若双曲线C：的一条渐近线与直线平行，则C的离心率为___.
14．过点且与双曲线：的渐近线垂直的直线方程为__________.
四、解答题
15．（1）已知某椭圆过点，，求该椭圆的标准方程；
（2）求与双曲线有共同的渐近线，经过点的双曲线的标准方程.
16．求圆锥曲线的离心率.
17．已知中心在原点且关于坐标轴对称的双曲线C的离心率为2.
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）如果双曲线C的焦点和椭圆的焦点相同，求双曲线C的方程.
18．双曲线，右焦点为.
（1）若双曲线C为等轴双曲线，且过点，求双曲线C的方程；
（2）经过原点O倾斜角为45°的直线l与双曲线C的右支交于点M，是以线段OF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率.
参考答案
1．答案：D
解析：双曲线的，，，
所以，一个焦点设为，一条渐近线设为，
所以，焦点到渐近线的距离为.
所以，根据双曲线的对称性可知，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是1.
故选：D.
2．答案：A
解析：由题意虚轴在y轴，，.
故选：A.
3．答案：A
解析：双曲线中，，，故渐近线方程为，
即.
故选：A.
4．答案：B
解析：由双曲线方程知：，，而渐近线方程为，
所以双曲线渐近线为.
故选：B.
5．答案：D
解析：由题知，所以.
故选：D.
6．答案：C
解析：由题意得双曲线的这条渐近线方程为，由两直线垂直得，解得，，双曲线的焦点坐标为，，虚轴的一个顶点坐标为，.故选C.
7．答案：A
解析：由已知得，所以，，所以，可得，
由勾股定理可得，由双曲线的定义可得，所以，由双曲线的对称性可知四边形为矩形，所以，
所以，故该双曲线的离心率.故选A.
8．答案：B
解析：直线为双曲线的一条渐近线，
设双曲线C的方程为，则右焦点为，
故右焦点F到直线的距离，，
，，故C的方程为.故选B.
9．答案：ABC
解析：对于A，当时，曲线，则，，则，所以C的焦点是，，所以A正确，
对于B，当时，曲线表示双曲线，则由，得C的渐近线方程为，所以B正确，
对于C，当C表示双曲线时，，解得或，所以C正确，
对于D，当时，即时，曲线，即表示圆，所以D错误，
故选：ABC.
10．答案：ACD
解析：由双曲线，得，，，所以双曲线C的离心率为，故A正确；双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，故B不正确；直线被圆截得的弦长为，故C正确；直线，当时，直线与双曲线的交点可能是0个，也可能是2个；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线的交点是1个，所以直线与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2，故D正确.故选ACD.
11．答案：
解析：的渐近线为，当时，，
所以，又准线方程为，
解得，，所以C的方程为.
故答案为：.
12．答案：1
解析：由双曲线，可得，
所以该双曲线的虚半轴长为1.
故答案为：1.
13．答案：
解析：双曲线C：的渐近线方程为，与渐近线平行，故可得，所以离心率为.
故答案为：.
14．答案：，
解析：由双曲线：可得其渐近线方程为，
过点且与双曲线：的渐近线垂直的直线方程为，
即，.
故答案为：，.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）设椭圆方程为，
则有，解得，，
椭圆方程为；
（2）所求双曲线与双曲线有共同的渐近线，
设双曲线的方程为，
曲线经过点，，
解得，
所求双曲线的方程为.
16．答案：2
解析：原式配方得，即，该双曲线中，，则，.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）由双曲线C的离心率为2，有，
则，即，∴，即，
当焦点在x轴上时双曲线C的渐近线为，
当焦点在y轴上时双曲线C的渐近线为.
（2）因为椭圆的焦点在x轴且，
由有，
所以双曲线C的方程为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）双曲线C为等轴双曲线，
，
双曲线过点，将其代入得：，
；
（2）法一：是以线段OF为底边的等腰三角形，，
是等腰直角三角形，，
过M作轴于点A，则，，
设左焦点，由双曲线定义知，
，
于是.
法二：前同法一得，点M在上，
，
整理得：，解得：，
，，
于是.
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3.3 抛物线——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．已知抛物线C：上一点到其焦点F的距离等于4，则P的值为( )
A. B.1 C.2 D.3
2．准线方程为的抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
3．抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
4．点P是抛物线上一动点，则点P到点的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是( )
A.0 B. C.1 D.
5．抛物线的焦点到其准线的距离是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6．抛物线W：的焦点为F.对于W上一点P，若P到直线的距离是P到点F距离的2倍，则点P的横坐标为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7．抛物线的焦点到准线的距离是( )
A. B. C.2 D.4
8．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知抛物线的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是( )
A.C的准线方程为
B.直线与C相切
C.若，则的最小值为
D.若，则的周长的最小值为11
10．已知抛物线，线段AB为过焦点F的弦，过点A，B分别作拋物线的切线，两切线交于点P，设，，，则下列结论中正确的有( )
A.若直线AB的斜率为-1，则
B.若直线AB的斜率为-1，则
C.点P恒在平行于x轴的直线上
D.若点是弦AB的中点，则
11．已知抛物线的焦点为F，，是拋物线上两点，则下列结论中正确的是( )
A.点F的坐标为
B.若A，F，B三点共线，则
C.若直线OA与OB的斜率之积为，则直线AB过点F
D.若，则AB的中点到x轴距离的最小值为2
12．已知经过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设，，则下列结论中正确的是( )
A.当AB与x轴垂直时，AB最小 B.
C.以弦AB为直径的圆与直线相离 D.
三、填空题
13．①为抛物线C上的点，且；②焦点到准线的距离是1.在这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解.
已知抛物线的焦点为F，______，若直线与抛物线C相交于A、B两点，求弦长.
14．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行.沿直线发出的光线经抛物线反射后，与x轴相交于点，则___________.
15．抛物线的焦点为F，第一象限的点M在C上，且，则M的坐标是___.
16．过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦长为___________.
四、解答题
17．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
18．如图，抛物线的顶点在坐标原点，圆的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点且斜率为2，直线l交抛物线和圆依次于A，B，C，D四点.
（1）求抛物线的方程；
（2）求的值.
19．求曲线的焦点.
20．已知抛物线的焦点为F，直线与E相交所得线段的长为.
（1）求E的方程；
（2）若不过点F的直线l与E相交于A，B两点，请从①AB中点的纵坐标为3，②的重心在直线上，③这三个条件中任选两个作为已知条件，求直线l的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原因）.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
参考答案
1．答案：C
解析：依题意可知，，
故选：C.
2．答案：D
解析：因为抛物线的准线方程为，所以，所以抛物线的标准方程为
故选：D.
3．答案：B
解析：抛物线的准线方程是，即.
故选：B.
4．答案：D
解析：由可知该抛物线的焦点坐标为，设，准线方程为，
设，垂足为B，
因为点P是抛物线上一动点，
所以点P到抛物线准线的距离等于，当A，P，F三点在同一条直线上时，点P到点的距离与到抛物线准线的距离之和最小，最小值为，
故选：D.
5．答案：A
解析：抛物线的焦点为，准线方程为，
所以焦点到准线的距离；
故选：A.
6．答案：A
解析：由题意得：，准线方程为，设点P的横坐标为a，，
由抛物线的定义可知：
则，解得：或（舍去），
从而点P的横坐标为1.
故选：A.
7．答案：D
解析：由题意得，得，
所以抛物线的焦点到准线的距离是4.
故选：D.
8．答案：D
解析：抛物线的焦点是，，，，
.
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：D.
9．答案：BCD
解析：抛物线，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误；
由，即，解得，所以直线与C相切，故B正确；
设点，所以，
所以，故C正确；
如图过点P作准线，交于点N，，，
所以，
当且仅当M、P、N三点共线时取等号，故D正确；
故选：BCD.
10．答案：ACD
解析：设直线PA的方程为，与抛物线方程联立，消去y并整理，得，由，得，所以直线PA的方程为，同理，得直线PB的方程为，联立解得所以交点，即，故D正确；根据题意，直线AB的斜率必存在，设直线AB的方程为，联立消去y并整理，得，所以，，所以，故C正确；当时，，故B错误；当时，根据拋物线的定义可得，故A正确.故选ACD.
11．答案：BCD
解析：点F的坐标为，故A错误；若A，F，B三点共线，设直线，代入抛物线方程，整理得，则，，，故B正确；设直线，代入抛物线方程，整理得，则，，若直线OA与OB的斜率之积为，则，则，即，，当时，等式恒成立，所以直线AB过点F，故C正确；由C得，，所以，所以.因为，所以AB的中点到x轴的距离，当且仅当时取等号，故AB的中点到x轴距离的最小值为2，故D正确.故选BCD.
12．答案：ABD
解析：设直线AB的斜率为k，倾斜角为.由题意，得点，则直线AB的方程为，代入，消去y并整理，得，所以，.因为，，所以，所以，故D正确；.因为，所以，所以当时，AB有最小值，故A正确；因为，，所以，故B正确；以弦AB为直径的圆的圆心为，则圆心到直线的距离为，所以该圆与直线相切，故C错误.故选ABD.
13．答案：
解析：若选①：
在抛物线上，且，
，则；
若选②：
焦点到准线的距离是1，；
故抛物线C的方程为.
联立，可得，
设，，则，，
.
14．答案：6
解析：因为直线与抛物线的对称轴平行，
所以由抛物线的光学性质可知沿直线发出的光线经抛物线反射后，与x轴相交于点就是抛物线的焦点，
所以，，
故答案为：6.
15．答案：
解析：由题意得：设M点的坐标为，故，
F点的坐标为，
，解得，
又M在第一象限，
，，即M点的坐标为.
故答案为：.
16．答案：2
解析：抛物线的焦点，对称轴是x轴，
经过点F垂直于x轴的直线l：，
由得或，于是得直线l：与抛物线二交点，，，
所以所求弦长为2.
故答案为：2.
17．答案：（1）焦点坐标为，准线方程为
（2）焦点坐标为，准线方程为
（3）焦点坐标为，准线方程为
（4）焦点坐标为，准线方程为
解析：（1）抛物线开口向右，，，所以焦点坐标为，准线方程为.
（2）抛物线开口向下，，，所以焦点坐标为，准线方程为.
（3）抛物线开口向左，，，所以焦点坐标为，准线方程为.
（4）抛物线开口向上，，，所以焦点坐标为，准线方程为.
18．答案：（1）抛物线方程为
（2）
解析：（1）由圆的方程，即可知，圆心为，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为，抛物线方程为.
（2），
为已知圆的直径，
，则，
设、，
，而A、D在抛物线上，
由已知可知，直线l方程为，
由消去y，得，
，
，
因此，.
19．答案：
解析：先求出的焦点，利用与的图像关系可得曲线的焦点.
20．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）因为直线与抛物线相交所得线段的长为，所以抛物线E过点（由抛物线的对称性得到），则，即，所以E的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，l与E相交于A，B两点，AB中点的纵坐标为0，选①②或①③或②③均不符合题意，故直线的斜率存在.设，，，由（1）知.由，得，所以.
方案一：选择条件①③.因为AB中点的纵坐标为3，所以，则，因为，所以，则，所以.综上，直线E的方程为.
方案二：选择条件②③.因为的重心在直线上，所以，则，即.因为，所以，则，即，所以.综上，直线的方程为.
方案三：选择条件①②.因为AB中点的纵坐标为3，所以，则.因为的重心在直线上，所以，则，即.两个条件，都只能得出斜率，无法计算出b的值，因此不能得到直线l的方程.
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3.3.2 抛物线的几何性质——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线上点到焦点的距离为3，则焦点到y轴的距离为( )
A.8 B.4 C.2 D.1
2．设抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点且A在第一象限，.现将直线AF绕点F逆时针旋转30°，得到直线l，且直线l与抛物线交于C、D两点，则( )
A.1 B. C.2 D.4
3．已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一点，过点P向抛物线的准线作垂线，垂足为N.若，则的面积为( )
A. B. C. D.
4．已知抛物线上的一点，则点M到抛物线焦点F的距离等于( )
A.6 B.5 C.4 D.2
5．抛物线上一点P到直线距离的最小值为( )
A. B. C. D.
6．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，O是原点，则( )
A.-1 B. C. D.0
7．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若PQ的中点到y轴的距离为1，则等于( )
A.4 B.5 C.6 D.8
8．已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则( )
A. B.2 C. D.
二、填空题
9．抛物线的顶点坐标为______.
10．已知F是抛物线的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为，则的面积等于_______.
11．已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，P为C上一点，与x轴垂直，Q为x轴上一点，若P在以线段为直径的圆上，则该圆的方程为___________.
12．已知直线l过抛物线的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，若使的直线l有且仅有1条，则______.
三、解答题
13．已知点A，B是抛物线上不同的两点，且A，B两点到抛物线C的焦点F的距离之和为6，线段AB的中点为，求焦点F到直线AB的距离.
14．已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，且AB的中点的纵坐标为2.求C的方程.
15．已知抛物线的准线过双曲线的左焦点，点是两条曲线的一个公共点.
（1）求抛物线的方程；
（2）求双曲线的方程.
16．已知抛物线的焦点为F，直线与E相交所得线段的长为.
（1）求E的方程；
（2）若不过点F的直线l与E相交于A，B两点，请从①AB中点的纵坐标为3，②的重心在直线上，③这三个条件中任选两个作为已知条件，求直线l的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原因）.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
参考答案
1．答案：C
解析：抛物线的准线方程为：，
由抛物线的性质可知：点到焦点的距离等于到准线的距离，
即，得，抛物线方程为，
则焦点坐标为，焦点到y轴的距离为2.
故选：C.
2．答案：C
解析：抛物线交点F为()，准线为x=，
设，，设直线AF的倾斜角为，
，，，即，
，
将直线AF绕点F逆时针旋转30°得到直线l，则直线l倾斜角为90°，即直线l垂直于x轴，故，故.
故选：C.
3．答案：C
解析：如图，根据抛物线定义，可知，，又因为，所以三角形PNF为等边三角形，点F作于点M，则M为PN的中点，且，所以，由勾股定理得：，所以的面积为.
故选：C.
4．答案：B
解析：将点代入抛物线方程可得，解得，
则，
故选：B.
5．答案：A
解析：设直线与相切，
联立与得：，
由，得：，
则直线l为，
故与之间的距离即为上一点P到直线距离的最小值，
由两平行线间距离公式得：.
故选：A.
6．答案：B
解析：抛物线的焦点坐标为，
设过抛物线焦点F的直线为，，，
由可得，所以，，
所以，
故选：B.
7．答案：A
解析：由题意知，
抛物线的焦点坐标为，若PQ的中点到y轴的距离为1，
则轴，，由焦半径公式得：
，
故选：A.
8．答案：D
解析：，设，，
，则，得，
由抛物线定义得.
故选：D.
9．答案：
解析：抛物线，即，顶点坐标为；
故答案为：.
10．答案：2
解析：设过M的直线方程为，由，
，，由题意，于是直线方程为，
，，，焦点到直线的距离.
的面积是2.
11．答案：
解析：由题意得：
抛物线的焦点为，与x轴垂直
P点的横坐标为2，
，即，
故P点的坐标为或，
又Q为x轴上一点，且为直径，P点在圆上，
故设圆心为，于是有，即，
所以圆的方程为.
故答案为：.
12．答案：1
解析：焦点弦中，通径最短，所以若使的直线l有且仅有1条，则就是通径，即，.
故答案为：1.
13．答案：
解析：设，，且，
所以，且，故，则，
又，，则，
因为AB的中点为，即，则，
所以直线AB为，即，而，
所以焦点F到直线AB的距离.
14．答案：
解析：设点，则，所以，
又因为直线AB的斜率为1，所以，
将A、B两点代入抛物线方程中得：，将上述两式相减得，
，即，
所以，即，所以，
因此，抛物线的方程为.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）把，点代入方程，
得，解得：，
所以抛物线的方程为：.
（2）抛物线的准线方程为：，所以，
设双曲线的右焦点为F，则，
则，因此，
又因为，，
所以双曲线的方程为：.
16．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）因为直线与抛物线相交所得线段的长为，所以抛物线E过点（由抛物线的对称性得到），则，即，所以E的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，l与E相交于A，B两点，AB中点的纵坐标为0，选①②或①③或②③均不符合题意，故直线l的斜率存在.设，，，由（1）知.由，得，所以.
方案一：选择条件①③.因为AB中点的纵坐标为3，所以，则，因为，所以，则，所以.综上，直线l的方程为.
方案二：选择条件②③.因为的重心在直线上，所以，则，即.因为，所以，则，即，所以.综上，直线l的方程为.
方案三：选择条件①②.因为AB中点的纵坐标为3，所以，则.因为的重心在直线上，所以，则，即.两个条件，都只能得出斜率，无法计算出b的值，因此不能得到直线l的方程.
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